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高中数学基础知识归类

一.集合与彳易逻辑

1?注意区分集合中元素的形式?如：函数的定义域；｛yly = lgx｝->函数的值

域；｛(x,y)\y = \gx］—>函数图象上的点集.

2. 集合的性质：①任何一个集合A是它本身的子集，记为4匸A?

%1空集是任何集合的子集，记为0匸A .

%1空集是任何非空集合的真子集；注意：条件为A Q B,在讨论的时候不要遗忘了4 = 0的情况

%1含〃个元素的集合的子集个数为2";真子集(非空子集)个数为2”-1;非空真子集个数为2"-2?

3. 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数/(x) = 4x1 2 3 4 - 2( p - 2)x — 2p2 _p + l在区间［—1,1］上至少存在一个实数

7

c,使/(c) >0,求实数p的取值范围?(答:(-3,-))

2

4. 原命题：p n q ;逆命题：qn p ;否命题：—逆否命题：「q n -ip ;互

为逆否的两个命题是等价的.如：“sinaHsin0”是“GH0”的________________ 条件.(答：充分非必要条件)

5. 若p a q且g p，则p是g的充分非必要条件(或g是p的必要非充分条件).

6. 注意命题p n q的否定与它的否命题的区别：命题卩n q的否定是p => —iq ;否命题是—1/7 => —yq .

命题“〃或q”的否定是且「q”；“ P且的否定是nq" ?

如：“若a和b都是偶数，则a + b是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数，则a+b是奇数”

否定是“若a和b都是偶数，则a + b是奇数”.

7 .常见结论的否定形式

原结论否定原结论否定

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有"个至多有〃-1个

小于不小于至多有"个至少有〃+1个

1 ①映射是：(1) “一对一或多对一”的对应；⑵集合A中的元素必有象且4中不同元素在B 中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集jB).

%1一一映射「A T B:⑴“一对一”的对应；⑵人中不同元素的象必不同，B中元素都有原象.

2 函数/: A-^B是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集!据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.

3 函数的三要素：定义域，值域，对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.

4 求定义域:使函数解析式有意义(如：分母H 0;偶次根式被开方数非负;对数真数〉0 ,底数〉0且H1;零指数幕的底数工0);实际问题有意义；若/(X)定义域为［a,b］,复合函数f［g(x)］定义域由a

二函数

x e [a.b]时g(x)的值域.

5?求值域常用方法：①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).

%1三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

%1不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义，利用数形结合的方法来求值域；⑧判别式法(慎用)：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).

6. 求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)；⑵代换(配凑)法；

⑶方程的思想--一对已知等式进行赋值，从而得到关于/(X)及另外一个函数的方程组。

7. 函数的奇偶性和单调性

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的，确定奇偶性方法有定义法、图

像法等；

⑵若f(x)是偶函数，那么f(x) = f(-x) = f(lxl)；定义域含零的奇函数必过原点(/(0) = 0);

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：/(X)± /(-%) = 0或丄V = ±1(/(%)主0);

f(x)

⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如/(x) = 0定义域关于原点对称即可)?

⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；

⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.

⑺复合函数单调性由“同增异减”判定.(提醒：求单调区间时注意定义域)

如：函数y = log丄(-兀？+ 2兀)的单调递增区间是__________ .(答：(1,2))

8. 函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------- “左加右减”(注意是针对兀而言)；

上下平移——“上加下减”(注意是针对.f(x)而言)?⑵翻折变换：/(X)->1 /(x)l; A-I).

⑶对称变换：①证明函数图像的对称性，即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.

%1证明图像G与c?的对称性，即证G上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在q上，反之亦然.

%1函数y = /(x)与y = /(-%)的图像关于直线乳=0 (y轴)对称；函数y = f(x)与函数y = /(-x)的图像关于直线y = 0 (兀轴)对称；

%1若函数y = f (x)对xe R时，f (a + x) = f (a一x)或/(x) = f {la -x)恒成立，则y = f(x)图像关

于直线x = a对称；

%1若y = /(X)对XE R时，/? + x) = f(h-x)恒成立，则y = f\x)图像关于直线 "凹对称；

2

9?函数的周期性：⑴若)，=/(兀)对兀丘/?时/(x + a) = /(x —d)恒成立，贝U /'(X)的周期为2丨°1;

⑵若y = /(x)是偶函数，其图像又关于直线x = a对称，则/(兀)的周期为21。I;

(3)若y = /(x)奇函数，其图像又关于直线x = a对称，则/(兀)的周期为41 a I;

⑷若y = f⑴关于点(a, 0), (b, 0)对称，则/(x)的周期为21 a -b I;

(5) y = f(x)的图象关于直线x = a ,兀=b(a丰b)对称，则函数y = f(x)的周期为21? - /? I;

(6) y = /(兀)又寸 XG R 时,/(.r+ 6?) = -/(x)或 f(x + a)=-

,则y = fM 的周期为

符合要单独列出?如:数列{心}满足再

=4爲+S 卄]

，求％ (答：a n = (4(n = 1) (3-4^(/? >2)

)?

fM 2ldl;

10. 对 数：

⑴ log rt b = log ,, b n

(a >0,a 工 1,Z?〉0,“ w R ) ;

(2)对 数 恒等式

d 。8

』=N(a>0,“l,N>0);

.14

(3)log,M ? N) = log“ M + log “ N;log 存——=log 。M - log “ N;log 。M n

=n\og a M ;

N

log (; = - log d M ;⑷对数换底公式 log t , N = —g|

—- (a > 0,a h 1,/? > 0,b h 1); ( n ( 呃 a

推论：log a b ? logb C ? logc a = 1 => log fli a 2 ? log 勺 °3 ??…log — % = log? ①?

(以上 M > 0, N > 0, a > 0,a 工 l,b > 0,b 工 l,c > 0, c H l,d[ 4,…> 0 且 q,①,…匕均不等于

1)

11. 方程k = /(x)有解okwD (D 为/(.r)的值域);a > /(x)恒成立u> a 1〔/(兀)】址人依，

a < /(兀)恒成立u> a W [/⑴]最小值?

12?恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)；⑵转化为一元二次方程根的分布问题; 13?处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两 看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

14?二次函数解析式的三种形式：①一般式：/(x) = ax 2

+ bx + c{a 0);②顶点式：

f(X)= a(x - h)~ +A:(QH 0); ③零点式：f(x) = a(x-x } )(x-x 2)(a ^0).

15.—元二次方程实根分布:先画图再研究△>()、轴与区间关系、区间端点函数值符号； 16?复合函数：⑴复合函数定义域求法：若/(x)的定义域为[a,b],其复合函数/[g(Q]的定 义域可由

不等式a < g(x)

17. 依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：

f\u) = g(x)u + /?(?￥)'0 (或 S0) (a L) o < / ⑺ _ 0 (或卩(Q )_ 0);

18. 函数y = ilA + h - (c 0, ad Hbc)的图像是双曲线：①两渐近线分别直线x = ~—(由分母为

ex + d

c

零确定)和直线y =-(由分子、分母中兀的系数确定)；②对称中心是点；

C

C C

19.函数 y = Q + 纟@ > 0"〉0):增区间为(YO ,—￡],[￡,+oo),减区间为[_,￡,0),(0,￡].

如：已知函数= 在区间(-2,+8)上为增函数,则实数a 的取值范围是 __________________ (答:

x + 2

(丄,+◎)

2

三.数列

1.

由：求心，? =丿

注意验证Q]是否包含在后面

①的公式中，若不

S n -S n ^n>2,neN )

2.等差数列｛①｝ O 5 — a n ^=d (d 为常数)o 2a n = % + % (n > 2, n w N*) <=> = an + b(a = cl.b = q -〃)o S n = An 2

+ Bn(A =—,B =a ｝-—);

5

<0

(或< Q“+i' °

).也可用

S” = An 2

+ Bn 的二次函数关系来分析.

g(q = l)

S n = n") _ a

、-a /

(少1)

I - q

\ - q

M[(g = l)

斗”+亠沖)

1 — q

1 — q

@ m + /z = / + Z; => a lu a n = a a (反

3. 等差数列的性质：①①=a m + ｛n-ni)d ，d =———-;

nt 一 n

%1 m + 〃 = / + ￡=> a m + a n =a ｛ + a k (反之不一定成立)；特别地，当m + n = 2p 时，有

4“ +色=2伤；

%1 若｛?｝、&｝是等差数列，则｛饥+巾”｝(「f 是非零常数)也是等差数列；

%1 等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即S in ,S 2m -S m ,S 3m -S 2in ,……仍是等 差数列； %1 等差数列｛a n ｝,当项数为2n Ht, 5V1. -S>. =nd , ￡±= a

?.;项数为2n-\时，

S 偶 a n+i

S 偶-S 奇=a lf; = a n (/? G N*), S 2M _, = (2n -1)心，且辿=；仝=/(/?) n 巴=f(2n-!)?

S 偶 〃 一 1 B” b n

%1 首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n 项和的最大(或最小)问题，转化为解

不等式

%1 若匕=加,匕” =n(m 主

it),则 a in+n =0;若 S” =加，S,” = n(m # /?),则 S in+n = 一 (m + /?)； 若 S’” =S“(”7 H”)，则 S”n=0; S3沪3 (S2m - Sm); S,n+n = S m +

+ mud ?

4. 等比数列血｝ o 丑=g(g 工 0) O 才=%% (/z >2,?e TV*) o a” = %” '?

5. 等比数列的性质

①"徑;②若⑺〃｝、｛$｝是等比数列，则｛g ｝、｛a n h n ｝等也是等比

数列;

之不一定成立)；s,”+”討” + 7◎严s” + 73” ?⑤等比数列中

-

……(注:各项均不为0)仍是等比数列?⑥等比数列⑷｝当项数为

2/z 时，—-=q ;项娄f 为2n -1时，丄'：上1

. = q ? s 奇 s 偶

6. ①如果数列a )是等差数列，则数列｛A ? ｝(严总有意义)是等比数列；如果数列匕｝是等

比数列，则数列｛log 」％ l ｝(Q 〉0,GHl)是等差数列；

%1 若｛色｝既是等差数列又是等比数列，则⑺”｝是非零常数数列；

%1 三个数成等差的设法：a -d,a,a + d ;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+ d,a+ 3d ;

三个数成等比的设法：-,a,aq ;四个数成等比的错误设法：-^,-,aq,aq'(为什么？)

q

q‘ q

7. 数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

-S (” _ [ \

⑵已知S “(即勺+冬+…+匕=/("))求用作差法：1，77

?

(宀 2) 7(a (n=D

(3)已知a, a 2 .... a n = f(n)求 a n 用作商法：a n = /(") (“ > ?)? ⑷若a n+l - a n = f(n)求a n 用迭加法?⑸已知也 =f(ii)，求d”用迭乘法. (6)已知数列递推式求％，用构造法(构造等差、等比数列)：①形如

四?三角函

dajb, a n =ka n _}+b n ,

a n =肋“_|+a+Z? (/:,/?为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等

比数列后，再求心.②形如心="”宀 的递推数列都可以用“取倒数法”求通项. 叽+ b

8?数列求和的方法：①公式法：等差数列，等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加; %1 错位相减；

%1 分裂通项法?公式：1 + 2 + 3 ----- n =-n{n +1) ； I 2 + 23 +32 4 ------- n~ =-n{n +1)(2/? +1);

2 6

13 + 23 +33

++

1 + 3 + 5 +…+ 〃=“2；常见裂项公式_1

_ = 1-J_；

2

n(n +1) n n +1

9?“分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”， 细心计算“年限” ?对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最 后”解决.

⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金# 元，每期利率为 r , 则〃期后本利和为：

S n = p(l + r) + P(1 + 2r )4----p(l + /zr) = p(/? + —_J2r )(等差数列问题);②复利问题：按揭

2

贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)〃元，采用分期等额还款方式，从借 款日算起，一期(如一年)后为第一次还款日，如此下去，分〃期还清.如果每期利 率为厂(按 复利)，那么每期等额还款X 元应满足：

p(l +厂)"=x(l + r)n ~l

+x(l + r)n 2 + ? ? ? + x(l + r) + x (等比数列问题).

1?a 终边与&终边相同o a = 0 + 2k/r （k eZ ）; a 终边与0终边共线o a = & + k7i （k e Z ）;

a 终边 与0终边关于x 轴对称o a = -& + ￡龙伙wZ); a 终边与&终边关于y 轴对称

<=> a = 7i-0 + 2k7i{k e Z); a 终边与0终边关于原点对称o a =兀+ & + 2￡龙伙e Z); a 终边与&终边关于角0终边对称oa = 20-& + 2k 兀(k eZ).

2 .弧长公式：扇形面积公式：s^=-lr = -\O\r 1

\ 1弧度(lmd" 57.3。? 朗形 2 2

3?三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一正二正弦，三切四余弦”.

注意：tan 15° = cot75。= 2-G ; tan75° = cotl5° = 2 + V3 ； 4?三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹 sinxicosx 、sinx ?cosx " 的关系? 如(sin 兀土 cos 兀)2 =1 ±2sinxcosx^.

5. 对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括; (注意：公式中岁线观9为够①

6?角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换?

如:Q =（G + 0） — 0 ； 2a =（G + 0） +（Q — 0） ； 2a = （0 +

G ）—（0 — G ）； G + 0 = 2 ?（

1_IL ；

2

宀7

2

2-厶-（上-0）等；"1 ”的变换:1 = sin 2 x + cos 2 x = tanx-cotx = 2sin30° = tan45°; 2 2

1

I/】

1

、. 1 1r 1 1 .. n 1 I

=—(―— ), =—[ — ], =—_ n{n + k) k n n + k n(n - l)(/i + 1) 2 n(n + 1) (" +

常见放缩公式:

7.重要结论：asinx + bcosx = J/ +b 2 sin (兀+ 0)其中 tan (p = -);重要公式sin%

J -c ()s2仪； a

2

1 一 cos a _ sin a 1 - cos a

1 + cos a 1 + cos a a

tan — = ±.

sin a

I - :—■ L 0 . . 0、c .

0 .? & ]

Vl±sin<9 = A /(cos —±sin —)* =lcos —±sin-l.

8?正弦型曲线

y = A sin (亦+ 0)

n

k/r + ------ (p

称轴 x =

(kwZ)；

CD

g ())T ；

(D

余弦型曲线

y = Acos(a)x +(/))

的对称轴x = —_- (k eZ);

CO

A tan — = cot

71

kn + ------ i p

(―?—,0)(hZ);

co

9?熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题 勿

忘三， 内角和等于180° , 一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：

sin A sin B sin C

余弦定理：cr =b 2 +c 2

-IhccosAxosA =

-- =

—— -1 ;

2bc

2bc

正弦平方差公式：sin 2 >4 -sin 2 B = sin(4 + 5)sin(A - B);三角形的内切圆半径

9 V r —乙 .

a +

b + c

面积公式：5* = -(7/?sin C =—;射影定理：a = bcosC+ ccosB ?

2 4R

10. MBC 中， 易 得： 4 + 3 + (?=龙

sin A = sin(B + C), cos A = -cos(B + C), tan A = -tan(fi + C) ?

&

? A

H+C A . B+C

② sin — = cos --------- , cos — = sin ----------

2 2

2 2

a>Z?oA 〉Bo sin A > sin B

%1 锐角 \ABC 中，A + B> — , sin A >cosB.cosA< cosB , a 2 +b 2 > c 2

,类比得钝角 \ABC

2

结论.

%1 tanA + tan B + tan C = tan A tan B tan C ?

11 ?角的范围：异面直线所成角(0,-];直线与平面所成角[0,-];二面角和两向量的夹角 2 2 [0,刃;直线

的倾斜角[0“)；厶到厶的角[0“)；厶与厶的夹角(0,3?注意术语:坡度、仰角、俯角、

2 方位角等.

五?平面向量

1.

设 d = (X|j) , b = (x 2, y 2)

? (1) a lib <=> x {y 2 -x 2y x =0 ;

(2) a 丄boa b = 0o x {x 2 + y x y 2 = 0.

2. 平面向量基本定理：如果q 和d 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对该平面内的任 一

向量d ,有且只有一对实数人、入，使a =人弓+入兮.

5.平面向量数量积性质:

注意：

3?设 a =(斗 j), b = (x 2. y 2)，则 a - b =\a\\h\ cosd = x }x 2 + y, y 2 ；其几何意义是a ?为等

于。的

长度 与乙在方的方向上的投影的乘积；方在乙的方向上的投影Glcos& = 2^

\b\

4?三点A. B . C 共线o 而与犹共线；与AB 共线的单位向量土—?

\AB\

设a = (x l ,y l ), b = (x 2,y 2),则 cos&= 一 一

\a\\b\

〈⑦为〉为锐角<=> ab>0 , aj)不同向；〈⑦为〉为直角U >Q ?为=0;〈⑦厉为钝角 <=>°?为v0, a.h 不反向?

6. 方?为同向或有0^>\a + bHa\ + \b\>\a\-\h\ =\a-h\;方易反向或有6

<=>l a —b\=\a\ + \b\> \a\ — \b\ a+b\\ a b 不共线o \a\-\b\ <1°±为1<1°1 + 丨乙1?

7. 平面向量数量积的坐标表示：⑴若? = (x 1,y 1), b = (x 2,y 2),则a-h = x {x 2 + y\y 2;

I A31= J (兀[一兀2)‘+()[ — 比)，； ⑵若 ° = (x,y),则 a = a ? a = x 2 + y 2

.

X. +尼

X = - ---

2

8. 中点坐标公式：1 丄(2 = 1).

v _ >1 + 力

2

③片，P,竹三点共线o 存在实数2、“使得刁=2丙+ “亜且;l + “ = l.

9. 三角形中向量性质：①AB^ACHBC 边的中点：(空_ +竺)丄(丝_竺)；

\AB\ 1/ICI \AB\ MCI

--- I -------- ----- ------ -------- ------ ----- 一

%1 PG = -(PA + PB + PC)<=>GA + GB + GC = 0<^>G 为从BC 的重心；

3

%1 顾?两=两?PC = PA ^C^>P 为AA3C 的垂心； __ __ ___ __ ____ __ 一

AQ sr

?\ BC\ PA+\CA \ PB+\ AB \ PC = 0<^> P 为 AABC 的内心；2(^ +

h0)所在直线

\AB\ \AC\

过MBC 内心.

10.

P(x,y)按>P(x',y'), 有

+ " ( PP f = a )；

? y =y + k

y = f (x) >y-k = f(x-h).

%1. 不等式

1. 掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：

%1 若ab>0, h>a,则丄〉丄.即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改

a b

变.

%1 如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分 类讨论.

2?掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法，尤 其

* +儿儿

注意

用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法.

3. 掌握重要不等式，

⑴均值不等式：若a#〉0,则瓦>?±^>7^>_

③利用基本不等式，如：

Jk + 1 —\[ic =I

yjk + I +

y[k J （当且仅当a = b时取等号）使

用+丄

b

条件：正二定三相等”常用的方法为：拆、凑、平方等;

⑵ ci,b、c G R , a~ +h~ +c2 > ah + be 4- ca（当且仅当a = h = c时,取等号）;

⑶公式注意变形如：‘+沪> （―）2, ah <（―）2;

2 2 2

（4）若。>〃〉0,加〉0,则-（真分数的性质）；

a a + m

4.含绝对值不等式：°,方同号或有0 ola + Z?l=lal + lbin Iml-lbl =ld-bl; °,方异号或有0 <=>l

a-b\=\a\ + \h\>^a\-\b^=\a +b \.

5?证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：A-BVOoAWB.注意：若两个正数作差比较有

困难，可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本

步骤：要证…需证…，只需证…；⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大

或缩小以达证题目的.放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：\]a~ + I >\a\;

> n .②将分子或分母放大（或缩小）

7^71）<-t（- h?④利用常用结论：1°

2

2°丄一丄<丄=丄_丄（程度大）；3° 4

度小）；

⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有

三角换元代数换元.如：知x2 + y2 =a2,可设x = acos〃,y = asin 0 ;知x2 + y2 < 1 ,可设x = rcosd, y = rsinO（0 < r < 1）;知* + = = I,可设x = acos= /?sin^;

er b°

⑺最值法，如：a > /（x）最大值，则a〉/（x）恒成立.a < /⑴说小值，则a < /（%）恒成立. %1.直线和圆的方

程r

1. 直线的倾斜角a的范围是[0,龙）；

2. 直线的倾斜角与斜率的变化关系k = tan a （a ^―）（如右图）: ---

2 °

3?直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点（无,旳）斜率为￡，则直线

方程为y - y0= k（x-x0）,它不包括垂直于兀轴的直线.⑵斛截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率则直线方程为y = kx + b,它不包括垂直于x轴的直线.（3）两点式：已知直线经过片（知”）、2（左，％）两点，则直线方程为丄丄二丄丄，它不包括垂直于坐

力一儿勺-州

标轴的直线. ⑷截距式：已知直线在兀轴和y轴上的截距为a,h,则直线方程为- + - = 1, a b

它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成Ax + By + C = 0（A,B不同时为0）的形式.

提醒:仃）直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距

式呢？）⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0?直线两截距相等O直线的斜率为-1

或直线过原点；直线两截距互为相反数O直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值

相等O直线的斜率为±1或直线过原点.

⑶截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.

4.直线右：AiX+Bj + G = 0与直线厶：A2x+B2y + C2 = 0的位置关系：

(1)平行o ^B2-A2B} =0 (斜率)且BG -BC工。(在y轴上截距)；

⑵相交O 人屁一为坊工。;(3)重合O 人厶一佔 =0且BG-BC=0?

5?直线系方程:①过两直线厶：A兀+BJ + G =0, 4：A2x+B2y + C2 =0.交点的直线系方程可设为Ax + Bj + G+/1(人2兀+B汀+ C2)= 0；②与直线l:Ax+By + C = 0平行的直线系方程可设为4- By + m = 0(m c);③与直线I:Ax-^By + C = 0垂直的直线系方程可设为Bx -Ay + n = 0.

6. 点P(x0,v0)到直线Ax + By + C = 0的距离公式〃=四丄空二Q ；

J/P + 矿

两条平彳亍线Ax + By + G = 0与Ax+Bv + G =0的弘巨离是d= f | 一°」.

?' A/A2+52

7. 设三角形三顶点人(州，)[),5(X2,>2)，C(x3,y3),贝U重心

厂/旺+吃+兀必+儿+儿、. G(—-—、一:—)，

8 ?有关对称的一些结论

(1)点(a,b)关于兀轴、轴、原点、直线y = x的对称点分別是

(d,-b), (~a,h), (-a,-b), (b,a).

(2)曲线/(x,y) = 0关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点(a,b): f (2a — x,2b— y) =

0 ；

② x 轴：/(x,-y) = 0 ;③ y 轴：/(-x,y) = 0;④原点：/(-x,-y) = 0 ;⑤直线y = x:

/(y,x) = 0;⑥直线y=_x: /(-.y,-x) = 0 ;⑦直线x = a: f\2a-x,y) = 0.

9. ⑴圆的标准方程：(x-a)2 + (y-b)2 = r2?

⑵圆的一般方程：x2 + y2 + 加 + Ey + F = (HD? + -4F > 0).

特别提醒：只有当D2 + E2-4F>0H+,方程

F + y? +加+ b，+尸=0才表示圆心为半径为H D' + E，-4F的圆(二元二次2 2 2

方a /Ix2 + + Cy2 + Dx + Ev + F = 0<圆o A = C H 0,且B = O,/)? + ￡? 一4人卩> 0).

(3)圆的参数方程：* ~ (&为参数)，其中圆心为⑺上)，半径为厂.圆的参数方程

[y = b + rs\n0

主要应用是三角换元：x2 + y2 = r~ x = rcosd.y = rsinfi^ ; x2 + y2 =t2 x= rcos0,y = rsin

6^(0 < r < V7).

⑷以AO|,yJ、B(x29y2)为直径的圆的方程(x-x1)(x-x2)-l-(y-y1)(y-y2) = 0;

10. 点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点Pg,儿)及圆的方程

(% 一a)2 + (y - h)2 =r2. (D (x0一a)2 + (y0一b)2 > r2 o 点P 在圆外;

②(x0- a)2 +(y0 -/?)2 < r2 <=> 点P在圆内;③(x0 -a)2 +(儿-b)2 = r2 <=> 点P 在圆上.

11. 圆上一点的切线方程：点P(x0,y0)在圆x2 + y2=r2上，则过点P的切线方程为：x Q x+y Q y = r2;

过圆(x-a)2 +(y-Z?)2=r~上一点P(x0,y0) 切线方程为 (兀° 一d)(x一。) + (儿一

b)(y - /?) = r2?

12. 过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与兀轴垂直的直线.

13?直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三

角形解决弦长问题.①d > r u>相离②d = z*o相切③d < r <=>相交

14.圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距

a

4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式\AB = J(兀]一工2)' +()'i 一>‘2)'或人3二Ji + L \x }-x 2\

1 +丨)[-I (弦 端 点4(西,开),兀2，旳)，由 方 程

为d ,两圆的半径分别为r,R : d > R + r u>两圆相离；d = R +厂u>两圆相夕卜切； \R-r\两圆相交；d =\R- r 1<=>两圆相内切； d vl R —厂lu>两圆内含； 〃 =0 o 两圆同心.

15 ?过圆G ： x2 + y2+Qx+E 』，+片二。，鸟：疋+员+卩兀+鸟卩+巴二0交点的圆(相交 弦)系

方程

为(兀‘ + y 2

+ °兀 + Ej + F|) + 2(兀'+ y 2 + D 2x+ E 2y + F 2) = 0. 2 = -1 时为两圆相交弦所在

直线方程.

16.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦 心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).

17?求解线性规划问题的步骤是：⑴根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域, 写出目标函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置，从而获得最优解. %1. 圆锥曲线方程

2 2

2 2

1 ?双曲线一-—二"=l(d > 0,/? > 0)的渐近线方程为——丄7 = 0 ?

(T A CT lr

2.设P(.r 0,y 0)为抛物线y 2 =2px(p >0)上任意一点，F 为焦点，则

\PF l=x 0+-^; y 2 =-2px(p>0)± 任意一点，F 为焦点，贝 '\\PF \=-x ()+^~.

2 2

2

9

3. 共渐近线v = ±-x6勺双曲线标准方程为二一匚=久(久为参数，2工0).

a~ lr

=J(l+f)[(X| +乳2)' _4斗兀2】=

AT

— kxc + h

「一. 消去y 得到o?+bx + c = 0, △>(), ￡为斜率).这里体现了解几中“设而不 F(x,y)=0 求”的思想；

5. 焦准距为p ;双曲线二-厶■ = 1(& > 0上> 0)的焦点到渐近线的距离为方；

a~ b~

6. 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax 2 + By 2

= 1 (对于椭圆

A > 0,

B 〉0 );

7. 抛物线y 2 =2px(p >0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB , A(x },y })、B(x 2,y 2)f 则有如

下结论：(DI AB\= x. +左 +p ； (2)x / = — , y = -p 2

;

(3)^^-+

= — ?

「 4

MFI \BF\ p

8.对于y ，=2px(/? ^0)抛物线上的点的坐标可设为(―以简化计算.

9?圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆

2

2

> 2 2

2

匚+二=1中，以P(X y )为中点的弦所在直线斜率“-半；在双曲线4-4 = 1+， cr lr c ry () cr A

以卩(心』0)为中点的弦所在直线斜率k ;在抛物线v 2 =2/7x(/?>0)中，以P(x 0, v 0)为

心0

中点的弦所在直线的斜率k=—.

10. 求轨迹方程的常用方法：

⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F(x,y) = O,是求轨迹的最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的 方程即可.

⑶代入法(相关点法或转移法).

⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.

⑸交轨法(参数法)：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.

14.解析几何与向量综合的有关结论：

(I)给出直线的方向向量力=(1,切或历=(加，“)?等于已知直线的斜率P或上;

m

⑵给出OA + OB与AB相交，等于已知OA + OBHAB的中点；

⑶给出~PM +~PN = O,等于已知P是MN的中点；

⑷给出+ AQ = A(BP+ BQ),等于已知与A3的中点三点共线；

(5)给出以下情形之一：①忑〃元；②存在实数2,使= ③若存在实数

Z0, 且Q +0=I;使況=aOA + P0B，等于已知A,B,C三点共线.

(6)给出0P =竺匕佟，等于已知P是乔的定比分点，2为定比，即乔=XPB

1 + 2

⑺给出莎?莎 =0,等于已知AM丄M3 ,即ZAMB是直角，给出莎? A7B =/H<0,等于已知ZAMB 是钝角或反向共线，给出莎?IfB = m>Q,等于已知ZAMB是锐角或同向共线.

⑻给出2(止 + 翌)=丽,等于已知MP是ZAMB的平分线.

\MA\ \MB\

⑼在平行四边形ABCD中，给出(乔+ AD) ? (AB - AD) = 0,等于已知ABCD是菱形.

(10)在平行四边形ABCD中，给出I而+正1=1而-疋I,等于已知ABCD是矩形.

‘ ? 2 ■ 2 ‘ ? 2

(II)在AABC中，给出Q4 =OB =OC，等于已知0是\ABC的外心(三甬形的外心是外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点).

(12)在MBC中，给出OA + OB-hOC =0，等于已知0是\ABC的重心(三甬形的重心是三角形三条中线的交点).

(13)在AABC'P,给出鬲?亦=亦?冼=元?刃，等于已知。是MBC的垂心 (三角形的垂心是三角形三条高的咎、)._

(14)在AABC中，给出OP = OA+ A(—+ ―) (Ae/?+)等于已知乔通过AABC的内

\AB\ I AC\

心.

(15)在中，给出a-OA + bOB + c-OC = 0.等于已知0是\ABC的内心(三角形内

切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).

(16)在\ABC中，给出AD = -(AB + AC),等于已知AD是AABC中BC边的中线.

2

九?直线、平面、简单几何体

1. 从一点0出发的三条射线04、OB、0C.若ZAOB = ZAOC，则点A在平面BOC上的射影在ZBOC的平分线上；

2. 立平斜三角余弦公式：(图略)A3和平面所成的角是q, AC在平面内，AC和A3的射影

成&2,设ZBAC =,则cos。】cos0 2=COS Q;

3. 异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线⑵补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；

4. 直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，是产生线面角的关犍.

5.二面角的求法：⑴定义法；（2）垂面法；（3）射影法：利用面积射影公式S射=S*：|Cos&

其中&为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

6?空间距离的求法：⑴两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算.⑵求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解.

⑶求点到平面的距离，一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此，确定已知面的垂面

是关犍；

二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解.

7 ?用向量方法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设方、乙分别为异面直线a、b的方向向量，则两异面直线所成的角a = a「ccostt?（2^线面角：设7是斜线/的方向向\a\-\b\

量，n是平面a的法向量，则斜线/与平面a所成的角a - arcsin V n l?⑶求二面角（法一）

I /1 ? I 〃I

在a内d丄Z ,在0内为丄/ ,其方向如图（略），则二面角a-l- 0的平面角a = arccos b-.（法二）设n., n*是二面角a-l-0的两个半平面的法向量，其方向一个\a\-\b\ ~

指向内侧，另一个指向外侧，则二面角a-l-0的平面

n ? n—

角a = arccos ? （4）求点面距离：设位是平面&的法向量，在a内取一点B,则力到

I q丨?I①丨

&的距离d=\AB\\ cos d 1= 2仗川（即而在方方向上投影的绝对值）.

l/zl

8. 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为0,则S恻cos&二几?

9. 正四面体（设棱长为a）的性质：

①全面积S = 耘;②体积V = —③对棱间的距离d 亠a;④相邻面所成二面角12 2

1

iz = arccos-;

3

⑤外接球半径/? = —（7；⑥内切球半径r = —a；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定

4 12

值h = —a ?

3

10. 直角四面体的性质：（直角四面体一三条侧棱两两垂直的四面体）.在直角四面体O-ABC

中，OA,OB,OC两两垂直，令OA = a,OB = b,OC = c,则⑴底面三角形ABC为锐角三角形；（2）直角顶点0在底面的射影丹为三角形ABC的垂心；（3）S；〃OC=S，MC S.wc；

⑷ ^AAOB + +；⑸~ _ + TT + _ ；⑹外接球半径

OH a b c

R= R = -yla2 +b2 +c2 .

2

11?已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分別为久0』因此有cos2 6z + cos2 0 +cos2了 = I 或sin2 6Z + sin2 /? + sin2 / = 2 ;若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,则有sin' a + sin' 0 + sin2y = 1或0 0 0

cos" a + cos~ 0 + cos" / = 2.

12 ?正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；

13?球的体积公式V=-TT R\表面积公式S=4TT R2;掌握球面上两点4、B间的距离求法：

3

⑴计算线段的长；⑵计算球心角ZAOB的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧AB的长.

十?排列组合和概率

1?排列数公式:A； = n(n一1)…(” 一加+1) = ----- (m < n,m, n G N*)，当加=n时为全排列

m !(n-m)!

A："?

2. 组合数公式：伽GJ, ? = C；； = 1.

” ml加?伽一1)?(加一

3. 组合数性质：C： = C：「; C； + C： ' =C：+「

4?排列组合主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；②捆绑法(相邻问题)；

③插空法(不相邻问题)；④间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉)⑤多排问题单排法;⑥先选后排,先分再排(注意等分分组问题); ⑦涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类).⑧分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成组问题别忘除以n!?

5 ?常用性质:n.n! = (n + l)!-n!;即M；；二 A；；：； - A：; C；+C；+I+--- + C； =C,；：；(l

6.二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：匚严0；严20 = 0,1,2,.?.,刃)；

⑵注意第r + 1项二项式系数与第r+ 1项系数的区别.

7.二项式系数具有下列性质：仃)与首末两端等距离的二项式系数相等；⑵若为偶数，中间一

项(第-+ 1项)的二项式系数最大；若/?为奇数，中间两项(M—+ 1和出+1项)的二项

2 2 2 式系数最大.

⑶C： + C：+C；+??? + C；=2”；C + C：+??. = ?+?+??? —

8?二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和如fM = (ax + b)n展开式的各项系数和为/(I),奇数项系数和为1(/(1) -/(-I)],偶数项的系数和为1[/(1) + /(-I)].

2 2

9.等可能事件的概率公式:⑴P(A) = ';⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：P(A + B) = nt

P(A) + P(B);⑶相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB) = P(A)P(B);⑷独立重复试验概率公式Pe = CWQ-p)“, ⑸如果事件A与B互斥，那么事件A与万、入与B 及事件入与歹也都是互斥事件；⑹如果事件A、B相互独立，那么事件A、3至少有一个不发生的概率是1 - P(AB) = 1-P(A)P(B); (6)如果事件A与B相互独立，那么事件A与B 至少有一个发生的概率是l-P(AB) = l- P(A)P(B)?

H—?概率与统计

1.理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机变量的分布列，由概率的性质

可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：⑴￡二0丿=1,2,…；⑵P、+ R + ? ? ? = 1.

2.二项分布记作g ?B(n, p) (/?,/?为参数)，P(g = k) = C：”q” *,记= b(k;n, p).

3.记住以下重要公式和结论：

⑴期望值Eg =和1 +x2p2+??? + ￡〃“ +????

⑵方差Dg = 3 -砖)2 p、+ (兀2 _ 唧宀+…+代—砖)2 Pn + ....

⑶标准差况=底;E(ag + b) = aEg + b; D(站 + b) = a2Dg ?

(4)Df =砖2_(砖)2

⑸若g ~ B(n, p)(二项分布),则Eg = np , Dg = npq(q = 1 - p).

4?掌握抽样的三种方法：⑴简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)；(2)(理)系统抽样, 也叫等距抽样;(3)分层抽样(按比例抽样)，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形. 它们的共同点都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中，“每次抽取时的各个个体被抽到

6.正态总体的概率密度函数:

W 心式中“Q 是参数，分别表示总体的

的概率相等”.如从含有N 个个体的总体中，采用随机抽样法，抽取“个个体，则每个个体第 一次被抽到的概率为丄，第二次被抽到的概率为丄，…，故每个个体被抽到的概率为上，即

N

N

N

每个个体入样的概率为上.

N

5.

总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本

思想方法，一般地,样本容 量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；⑴学会用样本平均 数丘二丄(壬+心+…+耳)=丄￡习去估计总体平均数；⑵会用样本方差 n n /=l

52 =-[(%.- X )2 + (x 2 - X )2

+ …+(￡ - 元)2 ]=丄 ￡ (x f . -x)2=-t (X ； - HX 2

)去估计总体方差 n n

z=i n /=i CT 2及总体标准差；⑶学会用修正的样本方差严=丄[(坷_才+(心_无)2 +... +(￡ _元)2] n - I 去估计总体方差CT?,会用S *去估计(7 .

平均数与标准差；

7?正态曲线的性质：⑴曲线在尢二“时处于最高点，由这一点向左、向右两边延伸时，曲线逐 渐降低；⑵曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，O ?越大，曲线越矮胖；反过来曲 线越高瘦.⑶曲线在兀轴上方，并且关于直线X==“对称；

8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布N(“Q 2)的概率py <^<^2),

可由变换= f 而得F(x)=①(二),于是有P(x } <^

CT

CT

C7

(7

9.假设检验的基本思想：⑴提出统计假设，确定随机变量服从正态分布N (“,/); (2)确定 一 次试

验中的取值d 是否落入范围(〃-3b ,“ + 3(7);⑶作出推断：如果a w(“-3o ■，“+ 3cr), 接受统 计假设；如果a g(“-3cr,“ + 3cr),由于这是小概率事件，就拒绝假设. +二?导数

1 ?导数的定义：/(兀)在点兀处的导数记作『丄=/g)=limdH 二竺.

2. 可导与连续的关系：如果函数y = /(x)在点心处可导，那么函数y = /(x)在点心处连续， 但是

y = f(x)在点兀。处连续却不一定可导.

3. 函数/(兀)在点心处有导数，则/(%)的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率. 但

函数/(兀)的曲线在点心处有切线，则/(兀)在该点处不一定可导.如= @在兀=0有 切线，但不可导.

4. 函数y = f(x)在点心处的导数的几何意义是指：曲线y = 在点P(x 0,/(x 0))处切线的 斜率即曲

线y = /(x)在点P(x 0,/(x 0))处的切线的斜率是广(心)，切线方程为 y-/Uo )= /Vo )(x-x o ).

5. 常见函数的导数公式：C = 0 (C 为常数);(x n )f

= ivc n -l

(neQ)?(sinx)r = cosx ;

(cos 兀)'=-sin 兀; (a x

y = a x

Ina ; (e x )f

= e x

; (iog“x)' =丄log,?(lnx)r = -

x

x

6. 导数的四则运算法则：(《±u)'= "'土『；(z/v)r

= u'v + uv r

; (-)' = 111

.

V

V

7?复合函数的导数：y ：=y ：M ?

8. 导数的应用：

(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y = /(x)在某个区间内可导，如果广⑴〉0 ,那么

心为增函数;如果八兀)V0,那么/⑴为减函数；如果在某个区间内恒有/z (x) = 0,那

fM =

e 2/

Z { _ac + bd z 2 c 2 +J 2

be 一

ad i (S 工 0) ? 5?注意以下结论:

(1)(1±Z )2

=±2Z ;⑵匕亠 l-z

么f(x)为常数;

⑵求可导函数极值的步骤：①求导数广(x);②求方程广(x) = 0的根；③检验广(兀)在 方程广(x)

= 0根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y 二/U)在这个根处取得最大值; 如果左负右正，

那么函数y = f (x)在这个根处取得最小值；

(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y = /(x)在(d,b)内的极值；②将y = /(兀)在 各极值

点点的极值与/'(d)、(方)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

9. 注意定积分的几何性质 1?理解复数、实数、虚数.纯虚数、模的概念和复数的几何表示? 2?熟练掌握与灵活运用以下结论：(l)a +加= c + di u> a =c 且c = w R);⑵复数是

实数的条件：① z = a + biwRo b = 0(a,b w R);② zwRoz = z ； @ze/?<=>z 2>0. 3?复数是纯虚数的条件：①乙二^+仞是纯虚数o a = 0且b 工0(a,b w/?);②z 是纯虚数

o z + z = 0(z H 0);③ z 是纯虚数 o z ，v 0. 4.

(1)复数的代数形式：z 二a+仞；⑵

复数的力口、减、乘、除运算按以下法则进行:设z 严a +加， z 2 = c + di(a.b,c,d G R) 、

则

Z] + z 2 =(d + c) + (b + d)i, Z]Z? = (a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i,

—= -/；(3)r + r x + r 2

+ 严=0(/? e N )； i+/ (4)1 zl=lozZ = loW =丄.

十五.注意答题技巧训练

1 ?技术矫正：考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意：

⑴按序答题，先易后难.一定要选择熟题先做.有把握的题目先做.会做的题目一定要做 对(计算要细心)。

⑵不能纠缠在某一题、某一细节上，一时无思路该跳过去就先跳过去，千万不能感觉自己 被卡住，这样会心慌，影响下面做题的情绪.

⑶避免“回头想”现象，一定要争取一步到位，不要先做一下，等回过头来再想再检查，高 考时间较紧张，也许待会儿根本顾不上再来思考.

⑷做某一选择题时如果没有十足的把握，初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标 记,有时间 再推敲，不要空答案，否则要是时间来不及瞎写签案只能增加错误的概率.

2?规范化提醒：这是取得高分的基本保证.规范化包括：解题过程有必要的文字说明或叙述, 注意解完后再看一下题目，看你的解答是否符合题意，谨防因解题不全或失误,答题或书写不 规范而失分?总 之，要吃透题“情”，合理分配时间，做到一准确、二速度、三规范.

特别是要注意如下解题结果的规范化：

⑴解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不等式、三角方程的结果一 般用解集(集合或区间)表示.三角方程的通解中必须加keZ.在写区间或集合时，要正确 地书写圆括号、方括号或大括号，区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开.

⑵带单位的计算题或应用题，最后结果必须带单位，解题结束后一定要写上符合题意的 “答,，.

⑶分类讨论题，一般要写综合性结论.

⑷任何结果要最简?如- =

= —等.

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⑸排列组合题,无特别声明，要求出数值.

(6)函数问题一般要注明定义域(特别是反函数).

⑺参数方程化普通方程，要考虑消参数过程中最后的限制范围.

⑻轨迹问题：①轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示，轨迹则需要说明 图形形状.

②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中x 或y 的范围.

⑼分数线要划横线，不要用斜线.

3?考前寄语：①先易后难，先熟后生；②一慢一快：审题要fit,做题要快；③不能小题难做, 小题大做，而要小题小做，小题巧做；④我易人易我不大意，我难人难我不畏难；⑤考试不怕题不会，就怕会题做不对；⑥基础题拿满分,中档题拿足分，难题力争多得分，似曾相识题力争不失分;⑦对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目，力争高上水平，有时“放弃”是一种策略?