最短路问题2(无向图)
用matlab寻找赋权图中的最短路
用matlab寻找赋权图中的最短路 专业： 小组：第22小组 小组成员： 课题：用matlab寻找赋权图中的最短路 采用形式：集体讨论，并到图书馆搜集相关资料，进行编程，运行。最后以论文的形式表现出来。 1引言 图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源都非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的格尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏的难题，如迷宫问题，博弈问题等。这些古老的难题，吸引了很多学者的注意。 1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出很大的作用。在实践中，图论已成为解决自然科学，工程技术，社会科学，军事等领域中许多问题的有力工具之一。 最短路问题是图论理论中的经典问题，寻找最短路径就是在指定网络中两节点间找一条距离最小的路。 2 最短路 2.1 最短路的定义（short-path problem） 对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了， 若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等，而且经常被作为一个基本的工具，用于解决其他的做优化问题。 定义1：若图G=G（V，E）中个边[v i,v j]都赋有一个实数w ij ，则称这样的图G为赋权图，w ij 称为边[v i,v j]上的权。 定义2：给定一个赋权有向图，即给一个有向图D=（V,A），对每一个弧a=（v i,v j），相应地有权w（a）=w ij，又给定D中的两个顶点v s ，v t 。设P是D中从v s 到v t 的一条路，定义路P的权是P中所有弧的权之和，记为w（P）。最短路问题就是要在所有从v s到v t 的路中，求一条权最小的路，即求一条从v s min w（P）式中对D中所有从v s到v t 的路P最小，到v t 的路P0 ，使w（P0）= P 称P0 是从v s到v t 的最短路。 2.2最短路问题算法的基本思想及其基本步骤 在求解网络图上节点间最短路径的方法中，目前国内外一致公认的比较好的算法有Dijkstra和Floyd算法。这两种算法，网络被抽象为一个图论中定义的有向图或无向图，并利用图的节点邻接矩阵记录点的关联信息。在进行图的遍历搜
有向带权图从V1
1、问题描述： 根据以下给出的有向带权图，依据狄克斯特拉算法思想，计算出从顶点V1到其余各顶点的最短路径。 2、基本要求： 程序结构包含：main函数、关于图的相关操作的函数、求最短路径的函数。 ●main函数完成图的创建，并调用最短路径函数求得结果，并输出结果。 ●图的相关函数应包含图的结构体定义、图的初始化、创建等等相关功能。 ●求最短路径的函数，负责求出V1到其余各点的最短路径值、路径中的各点。 3、输出形式： ●输出内容为V1到其余各点的最短路径值、路径中的各点。 ●输出形式有三个部分：“起点→终点：起点-…….-终点= 路径值”，如： A→F ：A-D-C-F = 18 3、设计思想： 定义两个定点的集合S和T，集合S中存放已找到最短路径的顶点，集合T 总中存放当前还未找到最短路径的顶点。初始状态时，集合S中只包含源点，设为v0，然后从集合T中选择到源点v0路径长度最短的顶点u加入到集合S中，集合S中每加入一个新的顶点u,都要修改源点V0到集合T中剩余顶点的当前最短路径长度值，集合T中各顶点的新的当前最短路径长度为原来的当前最短路径长度值与从源点过顶点u到达该顶点的路径长度中的较小者。此过程不断重复，直到集合T中的顶点全部加入到集合S中为止。 4、关键函数的流程图:
5、实现（源程序清单及注释）： #include
用动态规划法实现有向图的最短路径问题。
动态规划法实现有向图的最短路径实验 实验题目： 设计一个求解有向图，单源最短路径的算法 实验目的： 1）了解，并掌握分支限界算法思想 2）会编写常见算法。 实验要求： 1.编写实验代码 2.分析算法时间和空间复杂度 实验主要步骤： 1 算法代码 package suanfa; publicclass ShortPath{ privatestatic Integer M = Integer.MAX_VALUE; publicstaticvoid main(String[]args){ int[][]c={{M,4,2,3,M,M,M,M,M,M}, {M,M,M,M,9,8,M,M,M,M}, {M,M,M,M,6,7,8,M,M,M}, {M,M,M,M,M,4,7,M,M,M}, {M,M,M,M,M,M,M,5,6,M}, {M,M,M,M,M,M,M,8,6,M}, {M,M,M,M,M,M,M,6,5,M}, {M,M,M,M,M,M,M,M,M,7}, {M,M,M,M,M,M,M,M,M,3}, {M,M,M,M,M,M,M,M,M,M}}; shortPath(10,c); } publicstaticvoid shortPath(int n,int[][]c){ int[] cost=newint[n];//cost[i]存储i到n-1的子问题的最短路径值 int[] path=newint[n];//path[i]存储状态，使cij+cost[i]最小的j值 //对数组cost[n]和path[n]进行初始化 for(int i=0;i
图论中最短路径问题
图论最短路径问题 在消防选址中的应用 【摘 要】 最短路径问题是图论解决的典型实际问题之一，可用来解决管路铺设、线路 安装、厂区布局和设备更新等实际问题。介绍了图论最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法，解决城市消防站的选址问题。 【关键词】 最短路径；Floyd 算法；消防 1 引言 图论是运筹学的一个重要分支，旨在解决离散型的优化问题，近年来发展十分迅速。在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一。图论中的“图”，并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，也不是工程设计图中的“图”，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的对象，以及这些对象之间具有或不具有某种特定关系的一个数学系统。也就是说，几何图形是表述 物体的形状和结构，图论中的“图”则描述一些特定的事物和这些事物之间的联系。它是数学中经常采用的抽象直观思维方法的典型代表。 2 图论基本概念 2.1 图的定义 有序三元组),,(?E V G =称为一个图，其中： (1)),,,(21n V V V V =是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点； (2)E 称为边集，其元素叫做图的边； (3)?是从边集E 到顶点集V 的有序或者无序对集合的影射，称为关联函数。 2.2 图的分类 在图G 中，与V 中的有序偶),(j i V V 对应的边e 称为图的有向边(或弧)，而与V 中顶点的无序偶对应的边e 称为图形的无向边，每一条边都是无向边的图，叫做无向图，记为 ),(E V G =；每一条边都是有向边的图叫做有向图，记为),(E V D =；既有无向边又有有 向边的图叫做混合图。 2.3 权 如果图G 中任意一条边),(j i V V 上都附有一个数ij W ，则称这样的图G 为赋权图， ij W 称为边),(j i V V 上的权。
图论之 最短路
图论之最短路 一、求最短路方法（对于一个包含环的图） 1、Dijkstra 2、Bellman-ford 3、SPFA 4、Floyd 二、Dijkstra思想（求单源点最短路，不含负边权） 1、设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将其加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v 到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2、Dijkstra步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S＝v，距离为0。U包含除v外的其他顶点，U 中顶点u距离为边上的权； （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）； （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值为经过顶点k的值（松弛操作）； （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 3、Dijkstra两种实现方法 （1）邻接矩阵+找最小边 （2）邻接表+优先队列 关键：松弛操作 if(d[v]>d[u]+e[u][v].w) d[v]=d[u]+e[u][v].w 4、Dijkstra 稠密图的邻接矩阵 for(int i=0;i
图的最短路径问题
带权图的最短路径问题 1、带权图的最短路径问题 带权图的最短路径问题即求两个顶点间长度最短的路径。 其中：路径长度不是指路径上边数的总和，而是指路径上各边的权值总和。 路径长度的的具体含义取决于边上权值所代表的意义。 【例】交通网络中常常提出的如下问题就是带权图中求最短路径的问题。 （1）两地之间是否有路相通? （2）在有多条通路的情况下，哪一条最短? 其中:交通网络可以用带权图表示：图中顶点表示城镇，边表示两个城镇之间的道路，边上的权值可表示两城镇间的距离，交通费用或途中所需的时间等等。 2、交通网络的表示 由于交通网络存在有向性，所以一般以有向网络表示交通网络。 【例】设A城到B城有一条公路，A城的海拔高于B城。若考虑到上坡和下坡的车速不同，则边
人教版八年级数学讲义最短路径问题(含解析)(2020年最新)
第6讲最短路径问题 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径 问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 知识梳理 讲解用时：20分钟 两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？ 选A-B，因为两点之间，直线最短 垂线段最短 如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各 点的所有连线中，哪条最短？ PC最短，因为垂线段最短
两点在一条直线异侧 A P L B 如图，已知A点、B点在直线L异侧，在L上选一点P，使PA+PB最短. 连接AB交直线L于点P，则PA+PB 最短. 依据：两点之间：线段最短 两点在一条直线同侧 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位 久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不 得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边 l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 作法： 1、作B点关于直线L的对称点B’； 2、连接AB’交直线L于点C； 3、点C即为所求. 证明：在直线L上任意选一点C’（点C’不与C重合），连接AC’、BC’、B’C’. 在△AB’C’中， AC’+B’C’＞AB’ ∴AC’+BC’＞AC+BC 所以AC+BC最短.
课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据作图的方法即可得到结论． 解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小， ∴D的作法正确， 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1.1】 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem) 若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径） 1、Dijkstra算法： 用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度 代码： procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstra begin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongint for i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里 visit[v0]:=true;//已经连接v0结点 for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里； begin min:=maxlongint;//初始化min for j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小 begin min:=d[j];k:=j;end; visit[k]:=true;//连接进去 for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值， if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k]; end; writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。 思考：在实现步骤时，效率较低需要O(n)，使总复杂度达到O(n^2)。对此可以考虑用堆这种数据结构进行优化，使此步骤复杂度降为O(log(n))(总复杂度降为O(n log(n))。 实现：1. 将与源点相连的点加入堆（小根堆），并调整堆。 2. 选出堆顶元素u（即代价最小的元素），从堆中删除，并对堆进行调整。 3. 处理与u相邻（即下一个）未被访问过的，满足三角不等式的顶点 1):若该点在堆里，更新距离，并调整该元素在堆中的位置。 2):若该点不在堆里，加入堆，更新堆。 4. 若取到的u为终点，结束算法；否则重复步骤2、3。 **优化代码：(DIJKSTRA+HEAP) program SSSP;{single source shortest path} {假设一个图的最大节点数为1000，所有运算在integer范围内} {程序目标：给定有向图的邻接表，求出节点1到节点n的最短路径长度} const maxn=1000;{最大节点数} var n:integer;{节点个数} list:array[1..maxn,1..maxn] of integer;{邻接矩阵，表示边的长度}
赋权图的最短路与关键路的算法与实现
赋权图的最短路与关键路的算法与实现 摘要：图形是由点和线构成的集合．赋权图的最短路就是任意两个节点之间的权值之和最小的路径．最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量, 如时间、费用、线路容量等．本文介绍了如何求最短路的有效算法: Dijkstra算法．它能求出赋权图的任何两个节点之间权值之和的最小路径. 关键路径通常总是决定项目工期的进度活动序列．它是项目中从发点到收点的最长路径.关键路径法（Critical Path Method,CPM）是一种通过分析哪个活动序列（哪条路线）进度安排的总时差最少来预测项目工期的一门网络分析技术．关键路径法,能推算出项目的最短完成时间和项目各项活动的可能开始和结束时间. 关键词: 图的邻接矩阵; 最短路径; Dijkstra算法; 关键路径
The algorithm and implementation of the Shortest Path and the Critical Path Ａbstract: Graphics are constituted by the sets of points and lines. The shortest path of the weighted graph is the minimum sum of the weight between any two vertices. The shortest path not only refers to the shortest distance, but also can be extended to other metrics, such as time, cost, line capacity and so on. Dijkstra’s algorithm was the most efficient algorithm for how to find the Shortest Path of weighted graph, which is studied in this paper. Dijkstra’s algorithm was used to calculate the minimum value of weighted graph between any two vertices. The critical path is usually used to obtain the progress of the project in activities. It is the longest path of a project from the starting point to the ending point. The critical path method (Critical Path Method, CPM) which analysis a sequence of the least time in activities or predict (which route) the schedule better. The critical path method can be used to calculate the shortest completion time, starting and ending times in project activities. Keywords: Adjacency matrix of the graph; The Shortest Path; Dijkstra’s algorithm; The Critical Path
运筹学中多阶段有向图的公式
§5.3 多阶段有向图中的最短路问题 5个部分： {}{ }{}{}{}E D D D C C B B B A ,,,,,,,,,32121321 初态、终态、始态、末态、状态I 赋权多阶段有向图 图5.7 解： 8356676m i n ),(1=?? ????????+++=E C l ，31)(D C d =， 53264min ),(2=? ?? ?? ?++=E C l ，32)(D C d =， 85386min ),(3),(6min ),(211=??? ???++=? ???? ?++=E C l E C l E B l ,21)(C B d =， 类似：125785min ),(7),(5min ),(212 =??? ???++=? ?????++=E C l E C l E B l ,22)(C B d =， 95481m i n ),(4),(1m i n ),(213=??????++=? ???? ?++=E C l E C l E B l ,.,)(213C C B d = 99812481min ),(8),(4),(1min ),(321=? ? ? ???????+++=??????????+++=E B l E B l E B l E A l ，1)(B A d =，
因此：最短路 .,,,,321E D C B A 路长：9 原则：最短路中每节为最短。 §5.4 摹矩阵 表上作业法 摹矩阵的乘规则：乘法=对应元素乘积的和；将乘积摹为求和，将和摹为取小 ),,(?⊕S 对应),,(?+R ⊕叫摹和，?叫摹积 零元素：z ：在非负数中为最小，加什么等于什么：{}a z a z a ==⊕,min 单位元素1：e ：乘什么等于什么：z z a z a =+=?；a e a e a =+=? 半域),,(?⊕S ：不可逆 极小代数：)min,,(+R 代数；+∞=z ，0=e ；{}{}R R S =∞+= ? ? ? ???--=??????⊕???? ??--723213426251753312对应元素取小（摹和） ???? ??????=?????????????????????574624361344348732513 { }763,34,48min 633448=+++=?⊕?⊕?， 关于最长路问题：只需在最短路问题基础上作三点修改 一、)max ,,(+R 即),,(+∨R 是一个半域，也称为极大代数 {} {}∞-= 实数R ，单位元素0，零元素∞- 二、摹乘法为：“相加取大” 三、零元素为∞-，而非∞+ 也可规定路长为各边路长之积，且要求最小 可以在)min,,(?R 上计算就可以了。 因此多阶段有向图的最短路问题的求解过程可以采用：表上作业法
应用Dijkstra算法求赋权图最短路径
给出赋权图,如下图所示： 应用Dijkstra 算法，求出顶点A到其它各点的最短距离，MATLAB源程序m文件清单如下： w=[0 1 inf 2 inf inf 1 0 3 4 inf inf inf 3 0 1 2 2 2 4 1 0 3 inf inf inf 2 3 0 2 inf inf 2 inf 2 0];%图的矩阵存储 n=6;%顶点数目 Result=inf(n-1,n+1);%保存寻找第一个顶点到其余顶点最短路径的中间结果 for i=1:n-1 Result(1,i)=w(1,i+1); end for i=2:n-1 ValMin=inf;IndMin=1; for j=1:n-1 if ValMin>Result(i-1,j) ValMin=Result(i-1,j); IndMin=j; end end Result(i-1,n)=IndMin;Result(i-1,n+1)=ValMin; for j=1:n-1 DelFlag=false; for k=1:i-1 if j==Result(k,n) DelFlag=true; end
if DelFlag==false if Result(i-1,j)>Result(i-1,n+1)+w(Result(i-1,n)+1,j+1) Result(i,j)=Result(i-1,n+1)+w(Result(i-1,n)+1,j+1); else Result(i,j)=Result(i-1,j); end end end end ValMin=inf;IndMin=1; for j=1:n-1 if ValMin>Result(n-1,j) ValMin=Result(n-1,j); IndMin=j; end end Result(n-1,n)=IndMin;Result(n-1,n+1)=ValMin; ValueRoute=inf(n-1,n);%保存用标号表示的第一个顶点到其余顶点的最短路径和最短距离 for i=1:n-1 j=1; while Result(j,n)~=i j=j+1; end IndRoute=n-1; ValueRoute(i,IndRoute)=Result(j,n);ValueRoute(i,n)=Result(j,n+1); ValMin=Result(j,n+1);IndMin=Result(j,n);IndRoute=IndRoute-1; while Result(j,n)>1 j=j-1; if Result(j,IndMin)>ValMin; ValueRoute(i,IndRoute)=Result(j,n); IndRoute=IndRoute-1; ValMin=Result(j,n+1); IndMin=Result(j,n); end end end StringRoute.Route='A ';%结构StringRoute的Route域依次临时存储从第一个顶点到其余顶点的最短路径 StringRoute.Distance=0;%结构StringRoute的Route域依次临时存储从第一个顶点到其余顶点的最短距离 k=2; for i=1:n-1 switch ValueRoute(1,i)
电气原理图识图步骤和方法
步骤和方法 电气原理图绘制一般原则 1.按标准---按规定的电气符号绘制。 2.文字符号标准---按国家标准GB7159-1987规定的文字符号标明。 3.按顺序排列---按照先后工作顺序纵向排列，或者水平排列。 4.用展开法绘制---电路中的主电路，用粗实线画在的左边、上部或下部。 5.表明动作原理与控制关系---必须表达清楚控制与被控制的关系。 6. 电气原理图中的主电路和辅助电路（主电路、辅助电路）。 电气原理图识图的步骤 1.识主电路的具体步骤 （1）查看主电路的选用电器类型。 （2）查看电器是用什么样的控制元件控制，是用几个控制元件控制。（3）查看主电路中除用电器以外的其他元器件，以及这些元件所起的作用。（4）查看电源。电源的种类和电压等级。 2.查看辅助电路的具体步骤 （1）查看辅助电路的电源（交流电源、直流电源）。 （2）弄清辅助电路的每个控制元件的作用。 （3）研究辅助电路中各控制元件的作用之间的制约关系。 电气接线图识图的步骤和方法 电气接线图绘制的基本原则
（1）按照国家规定的电气图形符号绘制，而不考虑真实。 （2）电路中各元件位置及内部结构处理。 （3）每条线都有明确的标号，每根线的两端必须标同一个线号。 （4）凡是标有同线号的导线可以并接于一起。 （5）进线端为元器件的上端接线柱，而出线端为元件的下端接线柱。 电气接线图中电气设备、装置和控制元件位置常识 （1）出入端子处理----安排在配电盘下方或左侧。 （2）控制开关位置----一般都是安排在配电盘下方位置（左上方或右下方）。 （3）熔断器处理----安排在配电盘的上方位置。 （4）开关处理----安装在容易操作的面板上，而不是安装在配电盘上。 （5）指示灯处理----安装在容易观察的面板上。 （6）交直流元件区分处理----采用直流控制的元器件与采用交流控制的元器件分开安装。 电气接线图的识图步骤和方法 （1）分析清楚电气原理图中主电路和辅助电路所含有的元器件，弄清楚每个元器件的动作原理。 （2）弄清楚电气原理图和电气接线图中元器件的对应关系。 （3）弄清楚电气接线图中接线导线的根数和所用导线的具体规格。 （4）根据电气接线图中的线号研究主电路的线路走向。 （5）根据线号研究辅助电路的走向。
08立体图形上的最短路径问题
第8讲 立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题： 1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法： （1）通过平移来转化 例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可 （2）通过旋转来转化 例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求 例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解
（3）通过轴对称来转化 例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两点之间，线段最短”可知'A B即为最短距 离 3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理 4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一通过平移来转化 【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少
【答案】13cm 【解析】 试题分析： 只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析： 解：展开图如图所示，2 2 51213AB cm =+= 所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二 通过旋转来转化 【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少 【答案】cm 412 【解析】 试题分析： 解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析： 解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平 使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2） )(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412
有向图中任意两点之间的最短路径
有向图中任意两点之间的最短路径 一.问题 求出有向图中任意两点之间的最短路径并打印结果 二.语言环境 C++ 三.问题分析 要解决有向图中任意两点之间的最短路径问题首先应解决的问题是 1.从源点到其余各点的最短路径问题 2.每一对定点之间的最短路径问题 对于”○ 1从源点到其余各点的最短路径问题”有经典算法-------“迪杰斯特拉 算法”.该算法的思想是: (1). 如图（A） 图（A ） 路径长度最短的最短路径的特点：
在这条路径上，必定只含一条弧，并且这条弧的权值最小。 下一条路径长度次短的最短路径的特点： 它只可能有两种情况：或者是直接从源点到该点(只含一条弧)；或者是从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两条弧组成)。 再下一条路径长度次短的最短路径的特点: 它可能有三种情况：或者是直接从源点到该点(只含一条弧)；或者是从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两条弧组成)；或者是从源点经过顶点v2，再到达该顶点。 其余最短路径的特点： 它或者是直接从源点到该点(只含一条弧)；或者是从源点经过已求得最短路径的顶点，再到达该顶点。 由以上特点可知： 假设S为已求得最短路径的终点的集合，则可证明：下一条最短路径（设其终点为x）或者是弧（v,x)，或者是中间只经过S中的顶点而最后到达终点x的路径。 假设此路径上有一个顶点不在S中，则说明存在一条终点不在S中，而长度比此路径短的路径。但这是不可能的，因为我们是按路径长度递增的次序来产生最短路径的，故长度比此路径短的所有路径均已产生，他们的终点必定在S中，即假设不成立。 设置辅助数组Dist，其中每个分量Dist[k] 表示当前所求得的从源点到其余各顶点k 的最短路径。 一般情况下， Dist[k] = <源点到顶点 k 的弧上的权值> 或者 = <源点到S中某顶点j的路径长度> + <顶点j到顶点 k 的弧上的权值>。
电气原理图识图步骤和方法
电气原理图识图步骤和 方法 The manuscript was revised on the evening of 2021
步骤和方法 电气原理图绘制一般原则 1.按标准---按规定的电气符号绘制。 2.文字符号标准---按国家标准GB7159-1987规定的文字符号标明。 3.按顺序排列---按照先后工作顺序纵向排列，或者水平排列。 4.用展开法绘制---电路中的主电路，用粗实线画在的左边、上部或下部。 5.表明动作原理与控制关系---必须表达清楚控制与被控制的关系。 6. 电气原理图中的主电路和辅助电路（主电路、辅助电路）。 电气原理图识图的步骤 1.识主电路的具体步骤 （1）查看主电路的选用电器类型。 （2）查看电器是用什么样的控制元件控制，是用几个控制元件控制。（3）查看主电路中除用电器以外的其他元器件，以及这些元件所起的作用。（4）查看电源。电源的种类和电压等级。 2.查看辅助电路的具体步骤 （1）查看辅助电路的电源（交流电源、直流电源）。 （2）弄清辅助电路的每个控制元件的作用。 （3）研究辅助电路中各控制元件的作用之间的制约关系。 电气接线图识图的步骤和方法 电气接线图绘制的基本原则
（1）按照国家规定的电气图形符号绘制，而不考虑真实。 （2）电路中各元件位置及内部结构处理。 （3）每条线都有明确的标号，每根线的两端必须标同一个线号。 （4）凡是标有同线号的导线可以并接于一起。 （5）进线端为元器件的上端接线柱，而出线端为元件的下端接线柱。 电气接线图中电气设备、装置和控制元件位置常识 （1）出入端子处理----安排在配电盘下方或左侧。 （2）控制开关位置----一般都是安排在配电盘下方位置（左上方或右下方）。 （3）熔断器处理----安排在配电盘的上方位置。 （4）开关处理----安装在容易操作的面板上，而不是安装在配电盘上。 （5）指示灯处理----安装在容易观察的面板上。 （6）交直流元件区分处理----采用直流控制的元器件与采用交流控制的元器件分开安装。 电气接线图的识图步骤和方法 （1）分析清楚电气原理图中主电路和辅助电路所含有的元器件，弄清楚每个元器件的动作原理。 （2）弄清楚电气原理图和电气接线图中元器件的对应关系。 （3）弄清楚电气接线图中接线导线的根数和所用导线的具体规格。 （4）根据电气接线图中的线号研究主电路的线路走向。 （5）根据线号研究辅助电路的走向。
电气识图基础知识_识读电气图的基本方法和步骤
电气识图基础知识_识读电气图的基本方法和步骤电气识图基础知识_识读电气图的基本 方法和步骤 1. 识读电气图的基本方法有些电气图虽然不算太复杂，但如果不从电路原理上掌握其连线规律，诊断线路故障就比较困难，所以要顺利修好常用电气设备，就必须读懂和掌握电气图，尤其是初学者，更要学会识读电气图。对于各类电气图的识读，通常有以下几种基本识图方法。1)结合电工、电子技术基础知识看图在实际生产的各个领域中，所有电路(如输变配电、电力拖动、照明、电子电路、仪器仪表和家电产品等)都是建立在电工、电子技术理论基础之上的。因此，要想迅速、准确地看懂电气图，必须具备一定的电工、电子技术知识。例如三相笼型异步电动机的正转和反转控制，就利用了电动机的旋转方向由三相电源的相序来决定的原理，用倒顺开关或两个接触器进行切换，改变输入电动机的电源相序，从而改变电动机的旋转方向。2)结合电气元件的结构和工作原理看图在电路中有各种电气元件，如配电电路中的负荷开关、断路器、熔断器、互感器、电表等;电力拖动电路中常用的各种继电器、接触器和各种控制开关等;电子电路中，常用的各种晶体二极管、晶体三极管、晶闸管、电容器、电感器及各种集成电路等。因此在看电气图 时，首先应了解这些电气元件的性能、结构、工作原理、相互控制关系及在整个电路中的地位和作用。3)结合典型电路识图典型电路就是常见的基本电路，如电动机的启动、制动、正反转控制、过载保护、时间控制、顺序控制、行程控制电路;晶体管整流、振荡和放大电路;晶闸管触发电路;脉冲与数字电路等。不管多么复杂的电路，几乎都是由若干典型电路组成的。因此，熟悉各种典型电路，在看图时就迅速地分清主次，抓住主要矛盾，从而看懂较复杂的电路图。4)结合有关图纸
算法设计与分析多段图最短路径问题
关于多段图最短路径问题的探讨 摘要： 本文主要描述的是分别用动态规划法、贪心法和分支限界法来解决多段图最短路径问题时的情况，并在附录中附有实际问题的程序来辅助阐述观点。文章首先阐述了各个方法的原理，主要的思路是通过输入一组数据，比较三者的输出结果的准确性以及运行时间，以之为基础来分析、讨论三者的性能区别。另外，众所周知，多段图是有向图的一个简单的模型，它在有向图的基础上忽略了两点之间的线的双向性的问题，并且对点与点之间的线有很多的要求，从而把图简化为可分为几段的模式，文章最后讲述了若这几种方法运行到有向图中的情况，几种方法的对比和它们比较适应的使用情况的讨论，并给出了自己的建议。 关键字： 多段图最短路径问题动态规划法分支限界法多段图与有向图的关 系有向图最短路径算法 引言： 当前社会，关于最短路径的问题屡屡出现。例如在开车自驾游的一个过程中，排除其他影响因素，从一个地点到另一点，这个时候必然是希望有一条距离最短的路程来尽量减少消耗的时间以及花费的（它们在模型中被称为代价），市场上对该问题的解决有很大的需求，因此，这里我将讨论多段图的最短路径的问题。 在早些时间的课程中，我们学习过数据结构这门课程，其中就包括最短路径这方面的讨论。当时老师给我们介绍了分别面向单源（Dijkstra算法）与非单源（Floyd算法）两种问题的算法法---，这是我们最早的对最短路径方面的理解，也是我们接触的比较早的关于图的问题。在这学期的
算法课程中，我们学习了许多了方法，包括贪心法、动态规划法等算法， 它们把以前学习的许多方法都命名并归纳分类起来，其中有许多算法都是可以用来解决这个最短路径的问题的，并且该问题作为一个图的问题，对该问题的继续探讨优化的需求很大，本文将就不同算法在解决该最短路径问题时的不同方法进行对比并给出该问题在不同基础上不同的最终解决 方案。由于时间的限制，本文将重点分析动态规划法下的情况，并会对图的情况加以简化、限制，最后会对其他的图做一些拓展。 首先，对多段图最短路径问题进行介绍，设图G=(V, E)是一个带权有 向连通图，如果把顶点集合V划分成k个互不相交的子集V i （2≤k≤n, 1 ≤i≤k），使得E中的任何一条边(u, v)，必有u∈V i ，v∈V i+m （1≤i＜k, 1 ＜i+m≤k），则称图G为多段图，称s∈V 1为源点，t∈V k 为终点。多段图 的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径。由于多段图将顶点划分为k个互不相交的子集，所以，多段图划分为k段，每一段包含顶点的一个子集。不失一般性，将多段图的顶点按照段的顺序进行编号，同一段内顶点的相互顺序无关紧要。假设图中的顶点个数为n，则源点s的编号为0，终点t的编号为n-1，并且，对图中的任何一条边(u, v)，顶点u 的编号小于顶点v的编号。 这里我们讨论的多段图是可以分段的，各段之间的关系最好是单向的，即对该有向图来说，图中是没有环的存在的。 1.贪心法 贪心法在解决问题的策略上目光短浅，只根据当前已有的信息就做出选择，而且一旦做出了选择，不管将来有什么结果，这个选择都不会改变。换言之，贪心法并不是从整体最优考虑，它所做出的选择只是在某种意义
有向赋权图
图论基本概念 重要定义： 有向图：每条边都是有向边的图。 无向图：每条边都是无向边的图。 混合图：既有有向边又有无向边的图。 自回路：一条边的两端重合。 重数：两顶点间若有几条边，称这些边为平行边，两顶点a,b间平行边的条数成为（a,b）的重数。 多重图：含有平行边的图。 简单图：不含平行边和自回路的图。 注意！一条无向边可以用一对方向相反的有向边代替，因此一个无向图可以用这种方法转化为一个有向图。 定向图：如果对无向图G的每条无向边指定一个方向由此得到的有向图D。称为的G定向图. 底图：如果把一个有向图的每一条有向边的方向都去掉，得无向图G称为的D 底图。 逆图：把一个有向图D的每条边都反向由此得到的图称为D的逆图。 赋权图：每条边都赋上了值。 出度：与顶点相连的边数称为该定点的度数，以该定点为始边的边数为出度。入度：以该定点为终边的边数为入度。 特殊！度数为零的定点称为孤立点。度数为一的点为悬挂点。 无向完全图：在阶无向图中如果任何两点都有一条边关连则称此图是无向完全图。Kn 完全有向图：在阶有向图中如果任意两点都有方向相反的有向边相连则称此图为完全有向图。 竟赛图：阶图中如果其底图是无向完全图，则程此有向完全图是竟塞图。 注意！n阶有向完全图的边数为n的平方；无向完全图的边数为n(n-1)/2。 下面介召图两种操作：①删边：删去图中的某一条边但仍保留边的端点。 ②删点：删去图中某一点以及与这点相连的所有边。 子图：删去一条边或一点剩下的图。 生成子图：只删边不删点。 主子图：图中删去一点所得的子图称的主子图。 补图：设为阶间单无向图，在中添加一些边后，可使成为阶完全图；由这些添加边和的个顶点构成的图称为的补图。 重要定理： 定理5.1.1 设图G是具有n个顶点m条边的有向图，其中点集V={v,v, (v) deg+(vi)=deg-(vi)=m 定理5.1.2 设图G是具有n个顶点m条边的无向图，其中点集V={v,v,v, (v) deg(vi)=2m 推论在无向图中，度数为积数的顶点个数为偶数。 通路和富权图的最短通路 1通路和回路 基本概念： 通路的长度：通路中边的条数。