函数测试题及答案

函数集初等函数试卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)

1．已知A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f是从A到B的映射，则满足f(0)>f(1)的映射有()

A．3个B．4个

C．5个D．2个

2．函数f(x)＝

1

1－x

＋lg(1＋x)的定义域是()

A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)

C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

3．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是() A．f(x)＝sin x B．f(x)＝－|x＋1|

C．f(x)＝1

2(a

x＋a－x) D．f(x)＝lg

2－x

2＋x

4．若函数f(x)＝log a(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，1

2)内恒有f(x)>0，则f(x)

的单调递增区间为()

A．(－∞，－1

4) B．(－

1

4，＋∞)

C．(0，＋∞) D．(－∞，－1 2)

5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，则不等式3f(－x)－2f(x)

5x≤0的解集为()

A．(－∞，－2]∪(0,2] B．[－2,0]∪[2，＋∞)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,0)∪(0,2]

6．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图像大致是()

7．(2012·重庆)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a ＝b

B ．a ＝b >c

C ．a

D ．a >b >c

8．函数f (x )＝1

x －6＋2x 的零点一定位于区间( ) A ．(3,4) B ．(2,3) C ．(1,2)

D ．(5,6)

9．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (1)＞c ＞f (－1) B ．f (1)＜c ＜f (－1) C ．f (1)＞f (－1)＞c

D ．f (1)＜f (－1)＜c

10．函数f (x )＝x 2＋|x －2|－1(x ∈R )的值域是( ) A ．[3

4，＋∞) B ．(3

4，＋∞) C ．[－13

4，＋∞)

D ．[3，＋∞)

11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )

A ．0

B ．0或－1

2 C ．－14或－12

D ．0或－1

4

12．奇函数f (x )、偶函数g (x )的图像分别如图1、2所示，方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b ＝( )

A. 14

B. 10

C. 7

D. 3

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线

上)

13．函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2，则实数a 的取值范围是_____．

15．已知偶函数y ＝f (x )满足条件f (x ＋1)＝f (x －1)，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝3x ＋4

9，则f (log 13

5)的值等于________．

16．对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点，且有如下零点存在定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．给出下列命题：

①若函数y ＝f (x )在[a ，b ]上是单调函数，则f (x )在[a ，b ]上有且仅有一个零点； ②函数f (x )＝2x 3－3x ＋1有3个零点；

③函数y ＝x 2

6和y ＝|log 2x |的图像的交点有且只有一个；

④设函数f (x )对x ∈R 都满足f (3＋x )＝f (3－x )，且函数f (x )恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为18；

其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上) 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

已知函数f (x )＝???

(x ＋2)2， x <0，

4， x ＝0，

(x －2)2， x >0.

(1)写出f (x )的单调区间； (2)若f (x )＝16，求相应x 的值． 18．(本小题满分12分)

已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体，存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )＝Tf (x )成立．

(1)函数f (x )＝x 是否属于集合M ？说明理由．

(2)设f (x )∈M ，且T ＝2，已知当1

求f(x)的解析式．

19．(本小题满分12分)

如图1是定义在R上的二次函数f(x)的部分图像，图2是函数f(x)＝log a(x ＋b)的部分图像．

(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式；

(2)如果函数y＝g[f(x)]在区间[1，m)上的单调递减，求m的取值范围．

20．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝lg(x＋1)．

(1)若0

(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，当x∈[1,2]时，求函数y＝g(x)的解析式．

21．(本小题满分12分)

某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2014年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，保健品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足：3－x与t＋2成反比例．如果不搞促销活动，保健品年销量只能是1万件．已知2014年生产保健品的固定费用为5万元，每生产1万件保健品需再投入40万元的生产费用，若将每件保健品的售价定为：“其生产成本的150%”与“平均每件促销费的80%”之和，则当年生产的保健品正好能销完．

(1)将2014年的年利润y(万元)表示为年促销费t(万元)的函数；

(2)将企业2014年的年促销费用投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 22．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝b·a x(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图像经过点A(1,6)，B(3,24)．

(1)求f(x)；

(2)若不等式(1a )x ＋(1b )x

－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．

答案：

1. 答案 A

解析 当f (0)＝－1时，f (1)可以是0或1，则有2个映射． 当f (0)＝0时，f (1)＝1，则有1个映射．

2. 答案 C

解析 由???

1－x ≠0，

1＋x >0，得x >－1且x ≠1，即函数f (x )的定义域为(－1,1)∪(1，

＋∞)．

3. D

4.答案 D

解析 ∵x ∈(0，1

2)时，f (x )>0， ∴a ∈(0,1)，∴y ＝log a x 为减函数． 由2x 2＋x >0，得x >0或x <－1

2.

∴当x ∈(－∞，－1

2)时，2x 2＋x 单调递减． ∴f (x )＝log a (2x 2＋x )单调递增，故选D.

5. 答案 D

解析 本题主要考查函数的奇偶性、单调性及利用图像解不等式，根据已知条件可画出f (x )的草图如图所示．

不等式3f (－x )－2f (x )5x ≤0?－5f (x )5x ≤0?f (x )

x ≥0???? x >0，f (x )≥0或???

x <0，f (x )≤0.由图

可知不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．故选D.

6. 答案 C

解析 f (x )＝1＋log 2x 的图像可由f (x )＝log 2x 的图像上移1个单位得到，且过

点(12，0)，(1,1)，由指数函数性质可知g (x )＝21－

x 为减函数，且过点(0,2)，故选C.

7. 答案 B

解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233>log 22＝1，log 32c ，故选B 项．

8. 答案 B

解析 f (1)＝－3<0，f (2)＝－32<0，f (3)＝1

3>0，故选B.

9. 答案 B

解析 由f (－1)＝f (3)，得－b 2＝－1＋3

2＝1.

所以b ＝－2，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 在区间(－1,1)上单调递减，所以f (－1)＞f (0)＞f (1)，而f (0)＝c ，所以f (1)＜c ＜f (－1)．

10.B

11 答案 D

解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.

又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一个周期内的图像如图．

显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0,2]内恰有两不同的公共点．

另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个公共点，由题意知y ′＝(x 2)′＝2x ＝1，∴x ＝12.

∴A (12，14)，又A 点在y ＝x ＋a 上，∴a ＝－1

4，∴选D.

12. 答案 B

解析 (1)对于方程f (g (x ))＝0， 令t ＝g (x )，则由f (t )＝0可得t ＝－1,0,1. g (x )＝－1时，x ＝±1，有2个． g (x )＝0时，有3个解．

g(x)＝1时，x＝±2，有2个．

∴f(g(x))＝0的实根个数a＝7.

(2)对于方程g(f(x))＝0，

令t＝f(x)，由g(t)＝0，得

t1∈(－2，－1)，t2＝0，t3∈(1,2)．

f(x)＝t1，无解；f(x)＝t3，无解．

f(x)＝0,3个解，即b＝3.

∴a＋b＝10，选B.

13.答案－1≤a≤0

解析f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2，

若f(x)在[0,1]上最大值是a2，

则0≤－a≤1，即－1≤a≤0.

14.

15.答案 1

解析由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x＋2)＝f(x)，函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数．

因为log1

35∈(－2，－1)，log1

3

5＋2＝log1

3

5

9∈(0,1)，

又f(x)为偶函数且x∈[－1,0]，f(x)＝3x＋4 9，

所以当x∈[0,1]时，f(x)＝3－x＋4 9.

16.答案②④

解析易知①错，②对，对于④，由对称性知也对，对于③，在同一坐标系中，分别作出两函数的图像，在直线x＝1左侧的那个交点十分容易发现，在其右侧有无交点呢？

通过图像很难断定，下面我们利用存在零点的条件f(a)·f(b)<0来解决这个问

题，两函数图像的交点的横坐标就是函数f(x)＝x2

6－|log2x|的零点，其中f(1)＝

1

6>0，

f(2)＝－1

3<0，f(4)＝

2

3>0，所以在直线x＝1右侧，函数有两个零点，一个在(1,2)

内，一个在(2,4)内，故函数f(x)＝x2

6－|log2x|共有3个零点，即函数y＝

x2

6和y＝|log2x|

的图像有3个交点．

17.答案(1)f(x)的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]

(2)－6或6

解析(1)当x<0时，f(x)在(－∞，－2]上递减，在(－2,0)上递增；当x>0时，f(x)在(0,2]上递减，在(2，＋∞)上递增．

综上，f(x)的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]．

(2)当x<0时，f(x)＝16，即(x＋2)2＝16，解得x＝－6；

当x>0时，f(x)＝16，即(x－2)2＝16，解得x＝6.

故所求x的值为－6或6.

18.答案(1)f(x)?M

(2)f(x)＝1

4[x＋4＋ln(x＋4)]

解析(1)假设函数f(x)＝x属于集合M，则存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立，即x＋T＝Tx成立．令x＝0，得T＝0，与题目矛盾．故f(x)?M.

(2)f(x)∈M，且T＝2，则对任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)．

设－3

又f(x)＝1

2f(x＋2)＝

1

4f(x＋4)，

且当1

故当－3

4[x＋4＋ln(x＋4)]．

19. 答案 (1)f (x )＝－2x 2＋4x g (x )＝log 2(x ＋1) (2)1

2＋62

解析 (1)由题图1得，二次函数f (x )图像的顶点坐标为(1,2)，故可设函数f (x )＝a (x －1)2＋2，又函数f (x )的图像过点(0,0)，故a ＝－2，整理得f (x )＝－2x 2＋4x .

由题图2得，函数g (x )＝log a (x ＋b )的图像过点(0,0)和(1,1)，故有??? log a b ＝0，log a (1＋b )＝1，∴???

a ＝2，

b ＝1.

∴g (x )＝log 2(x ＋1)．

(2)由(1)得y ＝g [f (x )]＝log 2(－2x 2＋4x ＋1)是由y ＝log 2t 和t ＝－2x 2＋4x ＋1复合而成的函数，

而y ＝log 2t 在定义域上单调递增，要使函数y ＝g [f (x )]在区间[1，m )上单调递减，必须使t ＝－2x 2＋4x ＋1在区间[1，m )上单调递减，且有t >0恒成立．

又∵其对称轴x ＝44＝1，且由t ＝0，得x ＝2±6

2. 故1

2.

20.。答案 (1)－23

3 (2)y ＝l g (3－x ) 解析 (1)由???

2－2x >0，

x ＋1>0，得－1

由0

x ＋1

<1，

得1<2－2x x ＋1<10.因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23

由?????

－1

3，得－23

(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此

y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．

21.答案 (1)y ＝12×[5＋40×(3－4t ＋2)]－15t ＝1252－(80t ＋2＋t

5)(t ≥0)

(2)当年促销费用t ＝18万元时，年利润y 取得最大值549

10万元 所以当年促销费用t ＝18万元时，年利润y 取得最大值549

10 万元．

22. 答案 (1)f (x )＝3·2x

(2)m ≤5

6

解析 (1)∵f (x )＝b ·a x 图像过点A (1,6)，B (3,24)， ∴???

b ·a ＝6，b ·a 3＝24，又a >0且a ≠1，

∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .

(2)由(1)知不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0即为(12)x ＋(1

3)x －m ≥0. ∴问题转化成当x ∈(－∞，1]时m ≤(12)x ＋(1

3)x 恒成立． 令g (x )＝(12)x ＋(13)x

，易知g (x )在(－∞，1]上为减函数． ∴g (x )≥g (1)＝12＋13＝56.∴m ≤5

6.