2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(七)含答案

2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(七)

(时间:90分钟 满分:150分)

一、选择题(本大题共15小题.每小题6分,满分90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合M={-1,0,1,2},N={x|-1≤x<2},则M ∩N= ( ) A.{0,1,2} B.{-1,0,1} C.M D.N

2.对任意的正实数x ,y ,下列等式不成立的是 ( )

A.lg y-lg x=lg y

x B.lg (x+y )=lg x+lg y C.lg x 3=3lg x

D.lg x=lnx

ln10 3.已知函数f (x )={x 3-1,x ≥0

2x ,x <0

,设f (0)=a ,则f (a )=

( )

A.-2

B.-1

C.1

2 D.0

4.定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x=2对称,且f (x )在(-∞,2)上是增函数,则 ( ) A .f (-1)f (3) C .f (-1)=f (3) D .f (0)=f (3)

5.圆E 经过三点A (0,1),B (2,0),C (0,-1),且圆心在x 轴的正半轴上,则圆E 的标准方程为 ( ) A .(x -32)2

+y 2

=25

4 B .(x +34)2

+y 2=25

16 C .(x -34)2

+y 2

=25

16 D .(x -34)2

+y 2=25

4

6.已知向量a =(1,1),b =(0,2),则下列结论正确的是 ( ) A.a ∥b B.(2a -b )⊥b C.|a |=|b | D.a ·b =3

7.某校高一(1)班有男、女学生共50人,其中男生20人,用分层抽样的方法,从该班学生中随机选取15人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是 ( ) A.6和9 B.9和6 C.7和8 D.8和7

8.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形,则该几何体的体积为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8

9.若实数x ,y 满足{x -y +1≥0,

x +y ≥0,x ≤0,

则z=x-2y 的最小值为 ( )

A.0

B.-1

C.-3

2 D.-2

10.如图,O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点,则下列等式正确的是 ( )

A.DA ????? ?DC ????? =AC ?????

B.DA ????? +DC ????? =DO ??????

C.OA ????? ?OB ????? +AD ????? =DB ??????

D.AO ????? +OB ????? +BC ????? =AC

????? 11.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=√3,b=2,c=√13,则C= ( ) A.5π6 B.π6 C.2π3 D.π3 12.函数f (x )=4sin x cos x ,则f (x )的最大值和最小正周期分别为 ( )

A.2和π

B.4和π

C.2和2π

D.4和2π

13.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别为棱AA 1,B 1C 1,C 1D 1,DD 1的中点,则下列直线中与直线EF 相交的是 ( ) A .直线CC 1 B .直线C 1D 1 C .直线 HC 1 D .直线GH

14.设函数f (x )是定义在R 上的减函数,且f (x )为奇函数,若x 1<0,x 2>0,则下列结论不正确的是 ( ) A.f (0)=0 B.f (x 1)>0

C.f (x 2+1x 2

)≤f (2) D.f (x 1+1

x 1

)≤f (2)

15.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n+1-2,则a 1+a 2+…+a n =

( )

A.4(2n -1)2

B.4(2n -1+1)2

C.

4(4n -1)3

D.

4(4n -1+2)

3

二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,满分24分)

16.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地……”,则该人最后一天走的路程为 。

17.若sin (π

2

-θ)=2

3

,且0<θ<π,则tan θ= .

18.笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔,先从笔筒中随机取出一支笔,使用后放回笔筒,第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用,则两次使用的都是黑色笔的概率为 .

19.圆心为两直线x+y-2=0和-x+3y+10=0的交点,且与直线x+y-4=0相切的圆的标准方程是 . 三、解答题(本大题共3小题.每小题12分,满分36分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

20.若等差数列{a n }满足a 1+a 3=8,且a 6+a 12=36. (1)求{a n }的通项公式;

(2)设数列{b n}满足b1=2,b n+1=a n+1-2a n,求数列{b n}的前n项和S n.

21.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PB=BC,F为BC的中点,DE垂直平分PC,且DE分别交AC,PC于点D,E.

(1)证明:EF∥平面ABP;

(2)证明:BD⊥AC.

22.某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学,对其每月平均课外阅读时间(单位:小时)进行调查,茎叶图如图:

若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.

(1)将频率视为概率,估计该校900名学生中“读书迷”有多少人?

(2)从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人,参加读书日宣传活动.

①共有多少种不同的抽取方法?

②求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.

答案：

1.B 【解析】M ∩N={-1,0,1},故选B.

2.B 【解析】对于B 项,令x=y=1,则lg (x+y )=lg 2>lg 1=0,而lg x+lg y=0,显然不成立,

故选B.

3.C 【解析】∵a=f (0)=03-1=-1,

∴f (a )=f (-1)=2-1=1

2,故选C.

4.A 【解析】依题意得f (3)=f (1),由-1<1<2,及函数f (x )在(-∞,2)上是增函数得

f (-1)

5.C 【解析】根据题意,设圆E 的圆心坐标为(a ,0)(a>0),半径为r ,

则{a 2+(0-1)2=r 2,(a -2)2=r 2,a 2+(0+1)2=r 2,

解得a=34,r 2=25

16,

∴圆E

的标准方程为(x -34)2+y 2=25

16.

6.B 【解析】对于A 项,1×2-0×1≠0,错误;

对于B 项,2a -b =(2,0),b =(0,2),则2×0+0×2=0?(2a -b )⊥b ,正确; 对于C 项,|a |=√2,|b |=2,错误; 对于D 项,a ·b =1×0+1×2=2,错误.故选B.

7.A 【解析】抽样比为k=15

50=3

10,则应抽取的男生人数为20×3

10=6(人),应抽取的女生人数为(50-20)×3

10=9(人),故选A.

8.C 【解析】由三视图可知,该几何体为长方体,长为2,宽为2,高为1,则体积为V=2×2×1=4,故选C.

9.D 【解析】(快速验证法)交点为(0,1),(0,0),(-12,1

2),则z=x-2y 分别为-2,0,-3

2,所以z 的最小值为-2,故选D.

10.D 【解析】对于A 项,DA ????? ?DC ????? =CA

????? ,错误; 对于B 项,DA ????? +DC ????? =2DO

?????? ,错误; 对于C 项,OA ????? ?OB ????? +AD ????? =BA ????? +AD ????? =BD

?????? ,错误; 对于D 项,AO ????? +OB ????? +BC ????? =AB ????? +BC ????? =AC ????? ,正确.故选D. 11.A 【解析】由余弦定理,得cos C=a 2+b 2-c 2

2ab

=

√3)22√13)22×√3×2

=-√3

2,

又∵0

6,故选A.

12.A 【解析】∵f (x )=2sin 2x ,∴f (x )max =2,最小正周期为T=2π

=π,故选A.

13.C 【解析】连接EH ,HC 1,可知EH ∥A 1D 1,又FC 1∥A 1D 1,∴EH ∥FC 1.又EH ≠FC 1,∴直线EF 与HC 1相交.故选C .

14.D 【解析】对于A 项,∵f (x )为R 上的奇函数,∴f (0)=0,正确; 对于B 项,∵f (x )为R 上的减函数,∴x 1<0?f (x 1)>f (0)=0,正确;

对于C 项,∵x 2>0∴x 2+1x 2

≥2√x 2·1x 2

=2(当且仅当x 2=1

x 2

,即x 2=1时等号成立)

∴f (x 2+1

x 2

)≤f (2),正确;

对于D 项,∵x 1<0,∴x 1+1x 1

=-(-x 1+1-x 1

)≤-2√-x 1·1

-x 1

=-2,

∴f (x 1+1

x 1

)≥f (-2)=-f (2),错误.故选

D.

15.C 【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n+1-2-(2n -2)=2×2n -2n =2n ;

当n=1时,a 1=S 1=22-2=2适合上式. ∴a n =2n (n ∈N *)?a n 2=(2n )2=4n ,

∴{a n 2}是首项为4,公比为4的等比数列,

∴a 12+a 22+…+a n 2

=

4(1-4n )1-4

=

4(4n -1)

3

,故选C.

16.6里 【解析】由题意知,该人每天行走的里数构成一个等比数列{a n }(n ∈N *),q=1

2,则S 6=

a 1(1-

126

)1-12

=378,∴a 1=192,∴a 6=a 1q 5=192×125=6.故该人最后一天走的路程为6里. 17.√5

2 【解析】∵sin (π2-θ)=cos θ=2

3,且

0<θ<π,∴sin θ=√1-cos 2θ

=√1-(23)2

=√5

3,

∴tan θ=sinθcosθ=√53×32=√5

2. 18.49 【解析】P=2×23×3=49

. 19.(x-4)2+(y+2)2=2 【解析】联立{x +y -2=0,-x +3y +10=0,

得{x =4,

y =-2,?圆心为(4,-2),则圆心

(4,-2)到直线x+y-4=0的距离为d=√1+1=√2,故圆的半径为√2,∴圆的标准方程为

(x-4)2+(y+2)2=2.

20.【解】(1)设等差数列{a n }的公差为d. ∴{a 1+a 3=8,a 6+a 12=36?{a 1+a 1+2d =8,a 1+5d +a 1+11d =36?{a 1=2,d =2, ∴a n =2+(n-1)×2=2n ,

∴数列{a n }的通项公式为a n =2n. (2)由(1)知,a n =2n ,

∴b n+1=a n+1-2a n =2(n+1)-2×2n=-2n+2, ∴b n =-2(n-1)+2=-2n+4,

又∵b 1=2适合上式,∴b n =-2n+4(n ∈N *), ∴b n+1-b n =-2n+2-(-2n+4)=-2.

∴数列{b n }是首项为2,公差为-2的等差数列.

∴S n =2n+

n (n -1)2

×(-2)=2n-n 2+n=-n 2

+3n.

21.【解】(1)证明:∵DE 垂直平分PC ,∴E 为PC 的中点. 又∵F 为BC 的中点, ∴EF 为△BCP 的中位线, ∴EF ∥BP.

又∵EF ?平面ABP ,BP ?平面ABP ,∴EF ∥平面ABP. (2)证明:连接BE ,

∵PB=BC ,E 为PC 的中点,∴PC ⊥BE. ∵DE 垂直平分PC ,∴PC ⊥DE. 又∵BE ∩DE=E ,BE ,DE ?平面BDE , ∴PC ⊥平面BDE.

又∵BD ?平面BDE ,∴PC ⊥BD.

∵PA ⊥平面ABC ,BD ?平面ABC ,∴PA ⊥BD.

又∵PC∩PA=P,PC,PA?平面PAC,

∴BD⊥平面PAC.

又∵AC?平面PAC,∴BD⊥AC.

22.【解】(1)设该校900名学生中“读书迷”有x人,

则7

30=x

900

,解得x=210.

所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.

(2)①设抽取的男“读书迷”为a35,a38,a41,抽取的女“读书迷”为b34,b36,b38,b40(其中下角标表示该生月平均课外阅读时间),

则从7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人的所有基本事件为

(a35,b34),(a35,b36),(a35,b38),(a35,b40),(a38,b34),(a38,b36),(a38,b38),(a38,b40),(a41,b34),(a41,b36),(a41,b38) ,(a41,b40),

所以共有12种不同的抽取方法.

②设A表示事件“抽取的男、女两位‘读书迷’月均读书时间相差不超过2小时”,

则事件A包含(a35,b34),(a35,b36),(a38,b36),(a38,b38),(a38,b40),(a41,b40)共6个基本事件,

所以所求概率P(A)=6

12=1

2

.