《数值计算方法》课程教学大纲

A：《数值计算方法》课程教学大纲

授课专业：信息与计算科学、数学与应用数学、统计学

学时数：64+16学分数：5

一、课程的性质和目的

数值计算方法是综合性大学信息与计算科学专业的一门主要专业基础课程，同时也是许多理工科本科的专业课。“数值计算方法”，它是以各类数学问题的数值解法作为研究对象，并结合现代计算机科学与技术为解决科学与工程中遇到的各类数学问题提供算法，它是平行于理论分析和科学实验的重要科学研究手段。本课程的教学目的在于通过教与学，使学生系统掌握数值计算方法的基本概念和分析问题的基本方法，并通过上机实习为数值计算方法的进一步学习和解决科学与工程中的实际问题打好基础，使学生具备基本的算法分析、算法设计的能力和较强的编程能力。

二、课程教学的基本要求

本课程的教学环节包括课堂讲授，实验（包括上机实验），习题课，答疑和期末考试。通过上述基本教学步骤，要求学生理解并掌握数值计算中误差的概念、函数的数值逼近（多项式插值问题与函数的最佳逼近）、数值积分与数值微分、数值线性代数问题（线性方程组的数值解、数值求解矩阵的特征值与特征向量）、非线性方程的数值解法以及常微分方程（初、边值问题）的数值解法。并通过上机实习，深入理解和掌握各类数学问题数值算法及了解数值计算中应注意的问题，为后续课程的学习奠定良好的基础。

本课程以课堂讲授为主（总共授课64学时），每章后配有一定数量的习题，巩固课堂所学的知识。每一类算法应选做一定数量的实习题（全部安排16学时上机实习），以便深入理解数值算法的内容。考核方式为闭巻考试。

三、课程教学内容

第一章引论（3学时）

要求理解与熟练掌握的内容有：数值计算中误差的基本概念；算法的数值稳定性问题。

一般理解与掌握的内容有：计算机中数的浮点表示。

难点：算法的数值稳定性。

第二章函数基本逼近（一）----插值逼近（10学时）要求理解与熟练掌握的内容有：代数多项式插值；差商；牛顿插值多项式；埃尔米特插值。

要求一般理解与掌握的内容有：样条函数插值；

要求了解的内容有：B-样条及其性质。

难点：多项式插值理论，样条函数插值。

第三章函数基本逼近（二）----最佳逼近（9学时）要求理解与熟练掌握的内容有：最佳平方逼近；数据拟合的最小二乘法

要求一般理解与掌握的内容有：最佳一致逼近多项式；内积空间的最佳逼近；正交多项式。

难点：最佳平方逼近与最小二乘法

第四章数值积分方法与数值微分（9学时）

要求理解与熟练掌握的内容有：Newton—Cotes求积公式；复化求积公式；Gauss型求积公式；数值微分法。

要求一般理解与掌握的内容有：基于复化求积公式的高精度求积算法。

难点：数值积分方法与数值微分方法。

第五章线性方程组的解法（12学时）

要求理解与熟练掌握的内容有：Gauss消去法与矩阵的三角分解；向量与矩阵的范数；迭代方法（Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法及SOR迭代法的计算格式与收敛的充分条件）。

要求一般理解与掌握的内容有：共轭梯度方法。

难点：直接方法和迭代解法。

第六章矩阵特征值问题的数值解法（8学时）

要求理解与熟练掌握的内容有：求矩阵特征值的乘幂方法；反乘幂法；矩阵的约化；求对称矩阵特征值的二分法。

要求一般理解与掌握的内容有：QR方法。

难点：矩阵特征值及其特征向量的数值求解方法的基本原理。

第七章非线性方程数值解法（4学时）

要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有：简单迭代法；牛顿迭代法；

非线性方程组的牛顿迭代法。

要求一般理解与掌握的内容有：求根的闭区间套方法；割线法；高次代数方程求根。

难点：牛顿迭代法；非线性方程组的牛顿迭代法。

第八章常微分方程数值解法（9学时）

要求一般理解与掌握的内容有：Euler方法、线性多步法、Runge-Kutta 方法，边值问题的数值方法。

难点：方法构造的基本思想及收敛性和稳定性理论。

四、建议教材与教学参考书

[1]黄云清、舒适、陈艳萍、金继承、文立平主编，《数值计算方法》，科学出版社，2009年。

[2] 王能超，《数值分析简明教程》，高等教育教育出版社，1991。

[3] 关治，陈景良，《数值计算方法》，北京：清华大学出版社，1990。

[4] 王德人，杨忠华，《数值逼近引论》，高等教育出版社，1990。

[5] 冯果忱，刘经伦，《数值代数基础》，吉林大学出版社，1991。

[6] 李荣华，冯果忱，《微分方程数值解法》，人民教育出版社，1980。

B: 数值计算方法实验

一、大纲说明

本大纲根据2006年信息与计算数学专业教学计划制定。

1、适用专业：信息与计算科学、应用数学、基础数学

2、课程性质：必修课

3、学时学分：2周、1学分

4、主要先修课程与后续课程

先修课程：数学分析、高等代数、常微分方程以及算法语言（Fortran 语言或C语言）后续课程：最优化方法、偏微分方程数值解法以及小波分析等

二、实验的目的

实验课是数值计算方法课程中的重要的实践环节，目的是使学生得到选择算法、编写程序、分析数值结果、写数值试验报告、课堂讨论等环节的综合训练，巩固课堂教学的内容，培养使用电子计算机进行科学计算和解决实际问题的能力。

四、实验方式

1、由指导教师讲清数值试验的基本内容与要求、实验目的和注意事项。

2、实验分小组进行，每组上机计算同一题目，上机时间每次四小时，由学生事先编好程序，独立操作计算机完成。

3、数值实验除验证典型的计算方法外，还要求学生掌握数值试验的方法和程序设计的基本技能。

五、实验时间安排

实验时间应安排在学完相应章节的课程内容后进行，时间为16学时，具体时间分配见上表表格。

六、实验习题（下面仅做参考，可自选题目）

1、函数逼近

目的：通过数值实验，掌握函数逼近的基本方法.

题目：求下列各离散函数的插值多项式：

（1）

（2） 算法：利用Lagrange 插值公式或Newton 插值公式。

2、数值积分

目的：通过数值实验，掌握基本的数值积分方法.

题目：近似计算2ln 和圆周率π.

算法描述：计算下式右端积分的近似值.

,12ln 2

1dx x

?= ?+=102

14x dx π 算法：分别利用自适应复化Simpson 求积公式与Romberg 方法求上面两个积分的近似值，要求绝对误差限不超过：7

1021-?=ε.

3、求解线性代数方程组的直接方法.

目的：了解并熟悉用Gauss 消元法及基于三角分解的直接方法（Dolittle 分解、Crout

分解）解线性代数方程组.

题目：求解下面二个84阶三对角线性方程组：

?????????? ??=?????????? ???????????? ??14151515768

1681681

68168483321M M O O O x x x x x 1238384819681

1568115681156814x x x x x ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????

??M O O O M

算法：利用“追赶法”解上述线性代数方程组，并将结果与方程组的精确解进行比较.

4、求解线性代数方程组的迭代方法.

目的：通过数值实验，了解并掌握基本的迭代方法.

题目：求解线性代数方程组：

b Ax =

其中：

)

1010(4114114114????????? ??------=O O O A

T x x x x ),,,(1021Λ=

T b )5.45,0.37,0.30,0.27,0.24,0.21,0.18,0.15,0.11,0.4(=

算法：要求分别使用Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法解方程组，并比较他们的收

敛的快慢.（当1610()()||||k k x x --∞-≤则停机）.

5、求三对角矩阵的特征值.

目的：通过数值实验，了解并掌握用二分法计算对称三对角矩阵的特征值. 题目：试应用二分法于三对角矩阵

)

5050(4114114

114????????? ??=O O O A 求出其最大和最小特征值及相应的特征向量.

算法：首先利用二分法求上面的50×50阶矩阵的最大与最小特征值，再用幂法和反

幂法计算与以上最大特征值和最小特征值相应的特征向量。

6、求解非线性方程组.

目的：通过数值实验，了解并掌握求解非线性方程组的迭代解法

题目：求解非线性方程组

0)sin(),(,044),(22=--+==-+=y x y x y x g y x y x f .

算法：要求使用Newton 迭代法解非线性方程组。（当

1610()()||||,(,),k k T X X X x y --∞-≤=则停机）.

七、实习报告的内容与要求

实验完成后，要求学生提供实验结果并写出报告，分析计算结果是否符合问题的要求，并找出计算成功的原因或计算失败的教训。

八、实习考核与成绩评定

数值计算方法实验课程是学习数值计算方法课程的一个重要环节，实验课程的成绩可占数值计算方法课程总成绩的20%。指导教师对学生的实验报告进行批改，并通过上机运行其编制的程序来考查学生的实际操作能力。

九、实习教材及主要参考书

[1]黄云清、舒适、陈艳萍、金继承、文立平主编，《数值计算方法》，科学出版社，

2009年。