人教版最新高考数学复数习题及答案Word版

高考复习试卷(附参考答案)

一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1．(2013·)复数3－i

1－i

等于 ( )

A ．1＋2i

B ．1－2i

C ．2＋i

D ．2－i 答案：C

解析：3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i 2＝2＋i.故选C.

2．(2013·、)复数3＋2i 2－3i －3－2i

2＋3i

＝

( )

A ．0

B ．2

C ．－2i

D ．2i

答案：D

解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13－－13i 13＝i ＋i ＝2i.

3．(2013·)已知z 是纯虚数，z ＋2

1－i

是实数，那么z 等于

( )

A ．2i

B ．i

C ．－i

D ．－2i 答案：D

解析：由题意得z ＝a i.(a ∈R 且a ≠0)． ∴z ＋21－i ＝(2＋a i)(1＋i)(1－i)(1＋i)

＝2－a ＋(a ＋2)i 2，

则a ＋2＝0，∴a ＝－2.有z ＝－2i ，故选D.

4．(2013·市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( )

A ．2i

B ．0

C ．－2i

D ．－2 答案：B

解析：依题意，f (i)＝i 3－i 2＋i －1＝－i ＋1＋i －1＝0，选择B.

5．(2013·4月)复数z ＝2－i

1＋i

(i 是虚数单位)在复平面对应的点位于 ( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 答案：D

解析：z ＝2－i 1＋i ＝12－3

2

i ，它对应的点在第四象限，故选D.

6．(2013·东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b

a

的值为

( )

A ．－2

B ．－12

C ．2 D.1

2

答案：A

解析：2＋i i ＝1－2i ，把它表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a

的值为－2，故选A.

7．(2013·西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 答案：B

解析：z ＝tan45°－i·sin60°＝1－32i ，z 2＝1

4

－3i ，故选B.

8．(2013·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面对应的直线的倾斜角为 ( )

A.π

6 B ．－π6

C.2

3

π

D.56

π 答案：D

解析：3－i 对应的点为(3，－1)，所求直线的斜率为－33，则倾斜角为5

6π，故选D. 9．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b i

c ＋

d i

为实数，则

( )

A ．bc ＋ad ≠0

B ．bc －ad ≠0

C ．bc －ad ＝0

D ．bc ＋ad ＝0 答案：C

解析：因为a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ，所以由题意有bc －ad

c 2＋d

2＝0?bc －ad ＝0.

10．已知复数z ＝1－2i ，那么1

z ＝ ( )

A.

55＋255i B.

55－255i C.15＋25i

D.15－25i 答案：D 解析：由z ＝1－2i 知z ＝1＋2i ，于是1

z ＝1

1＋2i ＝1－2i 1＋4＝15－25i.故选D.

11．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1

z 2

是实数，则实数b 的值为

( )

A ．6

B ．－6

C ．0 D.1

6

答案：A

解析：z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝(3＋2b )＋(6－b )i 5是实数，则实数b 的值为6，故选A.

12．(2013·)设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝

( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：B

解析：α(i )表示i n ＝1的最小正整数n ，因i 4k ＝1(k ∈N *)，显然n ＝4，即α(i )＝4.故选B. 13．若z ＝12＋3

2i ，且(x －z )4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 2等于

( )

A ．－12＋3

2i B ．－3＋33i

C ．6＋33i

D ．－3－33i 答案：B

解析：∵T r ＋1＝C r 4x

4－r (－z )r ， 由4－r ＝2得r ＝2，

∴a 2＝C 24(－z )2＝6×(－12－32

i )2

＝－3＋33i .故选B.

14．若△ABC 是锐角三角形，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i (sin B －cos A )对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B

解析：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞90°，B ＞90°－A ， ∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，

∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0，

∴z 对应的点在第二象限．

15．如果复数2－bi

1＋2i

(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于

( )

A. 2

B.23 C ．－2

3

D ．2

答案：C

解析：2－bi 1＋2i ＝(2－bi )(1－2i )5

＝(2－2b )5＋(－4－b )

5i

由2－2b 5＝－－4－b 5得b ＝－23

.

16．设函数f (x )＝－x 5＋5x 4－10x 3＋10x 2－5x ＋1，则f (12＋3

2

i )的值为

( )

A ．－12＋32i B.32－12i

C.12＋32i D ．－32＋12i 答案：C

解析：∵f (x )＝－(x －1)5

∴f (12＋32i )＝－(12＋3

2

i －1)5

＝－ω5(其中ω＝－12＋3

2i )

＝－ω＝－(－12－32i )＝12＋3

2

i .

17．若i 是虚数单位，则满足(p ＋qi )2＝q ＋pi 的实数p ，q 一共有 ( )

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对 答案：D

解析：由(p ＋qi )2＝q ＋pi 得(p 2－q 2)＋2pqi ＝q ＋pi ，所以????? p 2－q 2＝q ，2pq ＝p .解得????? p ＝0，q ＝0，或?????

p ＝0，

q ＝－1，

或???

p ＝32，

q ＝1

2，

或???

p ＝－32，

q ＝1

2，

因此满足条件的实数p ，q 一共有4对．

总结评述：本题主要考查复数的基本运算，解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决，解答中要特

别注意不要出现漏解现象，如由2pq ＝p 应得到p ＝0或q ＝1

2

.

18．已知(2x 2－x p )6的展开式中，不含x 的项是20

27

，那么正数p 的值是 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案：C

解析：由题意得：C 46·1p 4·22＝2027

，求得p ＝3.故选C. 总结评述：本题考查二项式定理的展开式，注意搭配展开式中不含x 的项，即找常数项．

19．复数z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－

x －1)i (x ∈R )在复平面对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C

解析：本题考查复数与复平面上的点之间的关系，复数与复平面上的点是一一对应的关系，即z ＝a ＋bi ，与复平面上的点Z (a ，b )对应，由z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )知：

∴－(2x ＋2－x －1)＜0，即b ＜0.∴(a ，b )应为第三象限的点，故选C.

20．设复数z ＋i (z ∈C )在映射f 下的象为复数z 的共轭复数与i 的积，若复数ω在映射f 下的象为－1＋2i ，则相应的ω为 ( )

A ．2

B ．2－2i

C ．－2＋i

D ．2＋i 答案：A

解析：令ω＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，则ω＝[a ＋(b －1)i ]＋i ， ∴映射f 下ω的象为[a －(b －1)i ]·i ＝(b －1)＋ai ＝－1＋2i .

∴????? b －1＝－1，a ＝2.解得?

????

b ＝0，a ＝2.∴ω＝2.

第Ⅱ卷(非选择题 共50分)

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上。) 21．(2013·崇文3月)已知z 是复数，i 是虚数单位，若(1－i)z ＝2i ，则z ＝________. 答案：－1＋i

解析：(1－i)z ＝2i ，z ＝2i

1－i ＝－1＋i.

22．(2013·)若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z ＝________. 答案：i

解析：z ＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－i ，

∴z ＝i.

23．(2013·)若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________． 答案：－20

解析：(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，故(z 1－z 2)i 的实部为－20.

24．(2013·海淀4月)在复平面，复数1＋a i

i

(a ∈R )对应的点位于虚轴上，则a ＝________.

答案：0

解析：1＋a i i

＝a －i ，由于它对应的点在虚轴上，则a ＝0.

25．(2013·二中模拟考三)i 是虚数单位，则1＋C 16i ＋C 26i 2＋C 36i 3＋C 46i 4＋C 56i 5＋C 66i 6

＝________. 答案：－8i

解析：1＋C 16i ＋C 26i 2＋C 36i 3＋C 46i 4＋C 56i 5＋C 66i 6＝(1＋i )6＝[(1＋i )2]3＝(2i )3

＝－8i .

三、解答题(本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。) 26．(本小题满分10分)计算下列问题： (1)(1＋i )71－i ＋(1－i )71＋i －(3－4i )(2＋2i )34＋3i

；

(2)(－32－1

2i )12＋(2＋2i 1－3i

)8.

分析：对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式是知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅速简捷、少出错的效果．比如(1±i )2＝±2i ，

1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i

＝－i ，a ＋bi i ＝b －ai ，(－12±32i )3＝1，(12±3

2i )3＝－1等等． 解析：(1)原式＝[(1＋i )2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i )2]3

·1－i 1＋i －8(3－4i )(1＋i )2(1－i )(3－4i )i

＝(2i )3·i ＋(－2i )3·(－i )－8·2i (1＋i )i

＝8＋8－16－16i ＝－16i . (2)(－32－12i )12

＋(2＋2i 1－3i

)8

＝i 12·(－12＋32i )12＋?????

?

??

1＋i 12＋32i 8 ＝[(－12＋3

2i )3]4＋[(1＋i )2]4(12－3

2i )

[(12－32

i )3]3

＝1－(2i )4(12－3

2

i )

＝1－8＋83i ＝－7＋83i .

27．(本小题满分10分)求同时满足下列两个条件的所有复数z ；

(1)1＜z ＋10

z

≤6；

(2)z 的实部和虚部都是整数． 解析：设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，

则z ＋10z ＝x (x 2＋y 2＋10)x 2＋y 2＋y (x 2＋y 2

－10)x 2＋y 2

i .

∵1＜z ＋10

z ≤6，∴?

???

?

y (x 2＋y 2－10)＝0， ①

1＜x (x 2＋y 2＋10)x 2＋y

2≤6. ②

由①得y ＝0或x 2＋y 2＝10，将y ＝0代入②得1＜10x ＋x ≤6，与10

x

＋x ≥210＞6(x ＞0)矛盾，

∴y ≠0.将x 2＋y 2＝10代入②得1

2

＜x ≤3.

又x ，y 为整数，∴????? x ＝1，y ＝±3.或?????

x ＝3，

y ＝±

1.

故z ＝1±3i 或z ＝3±i .

28．(本小题满分10分)已知z 1＝

32

a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33

b ＋(b ＋2)i (a ＞0、b ＞0)且3z 21＋z 2

2＝0，求z 1和z 2. 解析：∵3z 21＋z 2

2＝0， ∴(z 2z 1)2＝－3，即z 2

z 1

＝±3i . ∴z 2＝±3iz 1. 当z 2＝3iz 1时，得 －33b ＋(b ＋2)i ＝3i [32a ＋(a ＋1)i ]＝－3(a ＋1)＋3

2

ai . 由复数相等的条件，知

?

????

3b ＝a ＋1，b ＋2＝3

2a ，∴?????

a ＝2，

b ＝1. ∴z 1＝3＋3i ，z 2＝－33＋3i .

当z 2＝－3iz 1时，得－33b ＋(b ＋2)i ＝3(a ＋1)－3

2

ai ，

由复数相等的条件，知?????

－3b ＝a ＋1，

b ＋2＝－3

2a .

∴???

a ＝－107

，

b ＝1

7.

∵已知a ，b ∈(0，＋∞)， ∴此时适合条件的a ，b 不存在． ∴z 1＝3＋3i ，z 2＝－33＋3i .