复变函数论试卷
《复变函数论》试卷一
一、填空（30分）
1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z
2.=+i e π3 ，()i
i +1的辐角的主值为
3. =z 0是()44sin z z z f =的 阶零点.
4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是
()
z f '1
的 阶极点. 5.已知()()2
3
2
3
cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数， 则___________________===c b a
6.方程0273=+z 的根为 ， ，
二、简要回答下列各题（15分）
1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？
2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？
3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的
任一简单闭曲线，问积分()()
dz z f z f c ?'是否等于零，为什么？
三、计算下列积分（16分）
1. c
zdz ?，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段
2. 20
2cos d πθ
θ
+?
四、（12分）
求函数
()
1
1z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式.
五、（12分）
证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解. 六、（15分）
求映射，把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <，且把
1z =映射成0w =，把2z =映射成1w =.
《复变函数》试卷二
一、填空题（20分）
1. －2是 的一个平方根
2. 设2
1i z --=
，则，=z Argz ＝ =z Im
3. 若2
2z z =，则θi re z =满足条件 4. =z
e e
，()
=z
e e Re
5. 设1≠=θi re z ，则()=-1ln Re z
6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为 变换，它是由 等三个变换复合而成.
7. 幂级数∑∞
=1
2n n
n z n 的收敛半径=R 8.函数
b
az +1
在0=z 处的幂级数展开式为 ，其收敛半径为
9.变换z e W =将区域π< 二、判断下列命题之真伪（20分） 1.()z e z F cos =在全平面上任意阶可微. 2. 若函数()z F 在有界区域D 内有解析，且在其中有无穷多个零点，则()z F 在D 内恒为零. （ ） 3. 设扩充复平面上的点a 时函数()z F 的可去奇点，则()Re 0z a sF z ==. 4. 若()W F z =是区域D 内的保形变换，则()W F z =在D 内单叶解析且保角. 5. 若函数()z F 在区域D 内解析，则()0c f z dz =?，其中c 是D 内的任 意一条围线. 6. 设()()(),,F z u x y iv x y =+在区域D 内可导，则在D 内， ()'y x F z v iv =+ 7. 设函数()z F 在点()a ≠∞解析，则总存在0R >，在z a R -<内()z F 能展成幂级数()0n n n c z a ∞ =-∑. 8. 非常数的整函数必为无界函数. 9. 设()f z 在区域D 内解析，则()f z 在D 内连续. 10. 若函数()f z 在a 点可导，则()f z 在a 点解析. 三、计算下列各题（24分） 1. 求极限0cos lim sin z z z z z z →-- 2. 求21 c I dz z =? ，其中是下半圆周，起点11z =-，终点21z = 3. 求i 的立方根 4. 求22 12cos d I p p πθ θ=-+? ()1p > 5. 求()1 1f z z = -在1z =及z =∞的残数 6. 求1sin z dz I z z ==? 四、（16分） 1. 叙述儒歇定理 2. 证明方程()01z n e e z λλ-=>在单位圆1z <内有n 根 五、求下列变换（20分） 1. 求将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换 2. 求出将圆42z i -<变为半平面v u >的保形变换，使得圆心变到－ 4，而圆周上的点2i 变到0w = 《复变函数》试卷三 一、填空题（45分） 1. ()1Arg i -＝ ，复数()1cos sin 0z i ???π=-+<≤的模为 2. 设()()3 2256f z z z =+-，则()'f z ＝ 3. 设()()cos sin x f z e y i y =+，则()'f z ＝ 4. z e 是周期函数，其基本周期为 5. 如果函数()w f z =在区域D 内满足条件： ，则称()f z 为区域 D 内的解析函数 6. 设c 是连接a 与b 的直线段，则c zdz ?＝ 7. 设圆周:3c z =，则3 c dz z ? ＝ 8. 级数21n n z n ∞ =∑的收敛半径为 ，级数2491z z z ++++???的收敛半径 为 9. 0z =为函数()sin f z z z =-的 级零点 10. 叙述最大模原理： 11. 设()()() 2 5121z f z z z = -+，则1z =为()f z 的 级极点，12 z =- 为()f z 的 级极点 12. 设()22f z z z =+，则在点12z i =-+处的旋转角()'arg 12f i -+＝ 二、判断下列命题之真伪（15分） 1. 函数()2 f z z =在z 平面上处处不解析 2.()z F z e =是整函数 3.若函数()F z 在区域D 内解析，c 是D 内任一条围线，则()0c F z dz =? 4.设函数()F z 在点()a ≠∞解析，则总存在0R >，在z a R -<内能展成幂级数()0n n n c z a ∞ =-∑ 2. 若函数()f z 在点a 可导，则()f z 在点a 解析 三、求解下列各题（20分） 1. 求积分()ln 1z r I z dz ==+? ()01r << 2. 求积分()() 2 2 9I d i ξξ ξξξ==-+? 3. 求积分() 2 2 52 1z z I dz z z =-=-? 4. 试将函数()2 z f z z =+按1z -的幂展开，并指出其收敛范围 5. 求将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换 四、证明题（20分） 1. ①叙述代数学基本定理 ②试用复分析方法证明代数学基本定理 2. 证明方程()00z n e e z λλ-=>在单位圆1z <内有n 根 《复变函数》试卷四 一、填空题（50分） 1. 已知1z i =-，则arg z ＝ ()arg z ππ-<≤，z ＝ ，z ＝ 2. 3. 设()()cos sin x f z e y i y =+，则()'f z ＝ 4. sin z 的零点为 ，cos z 的零点为 5. ()1Ln -＝ ， i i ＝ 6. 函数()f z ()(),,u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是 7. 1z dz z =?＝ 21z dz z =?＝ 8． 幂级数21n n z n ∞ =∑ 的收敛半径为 9． 0z =是函数()sin f z z z =-的 级零点 10. 叙述最大模原理： 11.函数()()() 1 12f z z z = --在z 平面内有 个奇点，它们是 12. 1z =为函数()()() 2 51 121z f z z z += -+的 级极点 13. 方程742520z z z -+-=在单位圆内有 个根 14. 设()22f z z z =+，则()f z 在12z i =-+处的旋转角为 伸缩率为 15. 线性变换()0az b w ad bc cz d += -≠+的逆变换为 16. 变换3w z =将z 平面上区域:0arg 3 D z π << 变换为w 平面上的区域 G ： 二、判断题（15分） 1. 设()f z 在区域D 内可导，则()f z 在D 内解析 2. 互为共轭的两复数具有相同的模 3. 复数0z =的充要条件是0z = 4. 设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一闭曲线，则()0c f z dz =? 5. sin z 和cos z 都是平面上的有界函数 三、计算下列各题（15分） 1. 设()()() 1 12f z z z = --，求()f z 在1z <内的泰勒展式 2. 求积分() 2 2 52 1z z I dz z z =-=-? 3.求将2,,2i -对应地变成1,,1i -的线性变换 四、证明题（20分） 1. 证明函数()2 f z z =在z 平面上处处不解析 2. 设a 为()f z 的n 级零点，证明：a 必为函数() () 'f z f z 的一级极点，并且 ()()'Re z a f z s n f z =??=???? 《复变函数》试卷五 一、填空题（18分） 1. 的所有值为： 2. ()cos 1i +＝ ()1Ln -＝ 3. 0 cos lim sin z z z z z z →--＝ 4. 设()()0n n f z c z r z +∞-∞ =≤<<+∞∑，则()Re z s f z =∞ ＝ 5． 令z x iy =+，2 z w e =，则w ＝ Im w ＝ 6. 线性变换()()0az b W L z ad bc cz d +== -≠+在扩充z 平面上有下列特性，请你完整地予以叙述 ⑴ 保形性： ⑵ 保交比性： ⑶ 保圆周性： ⑷ 保对称性： 7. 1 w z =将z 平面上的直线y x =变换为w 平面上的曲线 二、判断题（10分）下列断语如果正确则打“ √”，否则打“×” 1. 如果函数()f z 在点()a ≠∞处解析，则存在0R >，使()f z 在 z a R -<内可展成泰勒级数，且展式唯一 2. 设a 是z 平面上的一点，若a 为函数()f z 的可去奇点，则()Re 0 z a s f z ==（ ） 3. 如果函数()f z 在某有界区域D 内解析，且在D 内有一列零点， 则()f z 在D 内恒为零 4. sin z 和cos z 都是z 平面上的有界整函数 5. 若函数()f z 在区域D 内解析，则()0c f z dz =?.其中c 是内的任意一条 围线 三、解下列各题（24分） 1. 求1 c dz z ?的值，其中c 是上半单位圆周，起点为1z =-，终点为1z = 2. 求函数()11 z f z e -=在1,z =∞的留数 3. 计算积分()20sin 01x mx I dx m x +∞ =>+? 4. 将函数()1 1 z f z z -=+在1z =处展开成幂级数，并求其收敛半径 四、证明题（24分） 1. 试证：在原点解析，且在()1 1,2,z n n ==???处取下列值的函数()f z 是不 存在的： 111111 ,,,,,224466 ??? 2. 试证：73120z z -+=的根全在12z <<内 五、（12分）求将2,,2i -对应地变成1,,1i -的线性变换 六、（12分）求出将圆42z i -<变成半平面v u >的保形变换，使得圆心变到－4，而圆周上的点变到2i 变到0w = 《复变函数》试卷六 一、填空题（30分） 1．已知z=1－i ，则arg z= （－π 2．变换W=Z 3将Z 平面上区域D ：0< arg z < 3 π 变换为W 平面上的区域G ： 3．Ln （－1）= , i i = , Arctg(2i) = 4．函数f （z ）在区域D 内解析的充要条件是下列条件之一 （1） （2） （3） （4） 5．幂级数z ＋z 4＋z 9＋…＋2 n z ＋…的收敛半径为 6．在原点解析，而在z= 1n （n=1，2，…）处取值为 f(1n )=211n +的函数为 7．函数f （z ）=z 2（2 1z e -）的零点是 ，它是 级的 二、判断题（10分） 1．设f （z ）在区域D 内可导，则f （z ）在D 内解析 （ ） 2．设f （z ）在区域D 内解析，C 是D 内任一闭曲线，则c ?f （z ）dz=0 3．Sinz 和cosz 都是z 平面上的有界函数 （ ） 4．f （z ）=u ＋iv 在区域D 内解析，则－u 是v 的共轭调和函数 5． f （z ）=| z |2在z 平面上处处不解析 三、求下列积分（15分） 1．I= z c ze dz ?，其中c 是连结o 到－1＋i 的直线段 2．I= 212 ln(1)z z z dz = +? 3．I=2 2 (8)()z z dz z z i =--? 四、（12分）已知u=x 3+6x 2y-3xy 2-2y 3,求解析函数f(z)=u+iv 使合条件f （0） ＝0 五、（12分）将函数f(z)= 1 az b +(a,b 为复数，ab ≠0)展开为z 的幂级数，并指出展式成立的范围 ， 六、（12分）叙述并证明代数学基本定理 七、（9分）设f （z ）=u(x ·y )+iv(x ·y )在区域内解析，试证在D 内，0f z ?=? 《复变函数》试卷七 一．填空题（20分） 1．已知z ＝1－I ，则argz ＝ (－π 2．变换W=Z 3将z 平面上的区域D 变换为W 平面上的区域G ： ，其中D ： 0< arg z < 3 π 3． sin 2z ＋cos 2z ＝1在直线z ＝x ，(y=0)上成立，则由 定理， sin 2z ＋cos 2z ＝1 在全平面上也成立 4．设f(z)=2z 4－z 3＋11z 2－1，f(z)在| z |<2内有 个零点，f(z)在 2 ≤| z |<3 内有 个零点，f(z)在3≤| z |<＋∞内有 零点，f(z)在z ＝1处的旋转角为 ，伸缩率为 。 5．幂级数z ＋z 4＋z 9＋…＋2 n z ＋…的收敛半径为 6．设z ＝x ＋ y ，w ＝2 z e ，则w ＝ ，Imz ＝ 7．设f(z)在z ＝0的去心邻域内的罗朗展式为f(z)＝n n n c z +∞ =-∞ ∑，则Re () z s f z =∞ ＝ 8．叙述解析函数的最大模原理 9．在原点解析，而在z ＝1n （n=1，2，…）处取值为 f(1n )=2 1 1n +的函 数为 二．判断题（20分） 1．设a 是z 平面上一点，a 为函数f(z)的可去奇点，则Re ()0z a s f z == （ ） 2．如果函数f(z)在某有界区域D 内解析，且在D 内有一列零点，则 f(z)在D 内恒为零 （ ） 3．如果f(z)＝=u(x ·y )+iv(x ·y )中的u(x ·y )与v(x ·y )在区域D 内 满足C －R 条件，则f(z)在区域D 内解析 （ ） 4．设f(z)在区域内解析，C 是D 内任一曲线，则c ?f （z ）dz=0 （ ） 5．设函数 f(z)在点a （≠∞）处解析，则总存在R>0，在|z －a| =-∑ （ ） 6．非常数的整函数必为无界函数 （ ） 7．设f(z)在区域D 内单线解析，则f(z)在D 内必保形 （ ） 8．sinz 和cosz 都是z 平面上的有界整函数 （ ） 9．若函数 f(z)在a 点可导，则f(z)在a 点解析 （ ） 10．设f(z)沿围线C 的积分为零，则C 所包围的区域D 为单连通区域 三．计算下列各题（20分） 1. 求极限2201cos lim z z z →- 2. 求积分I ＝Im c zdz ?，其中C 为0到1＋i 的直线段 3.求积分I ＝2 3(21)(1)c z dz z z +-? ，其中C ：| z | ＝2 4. 求积分I ＝20 sin 54cos d π θ θθ +? 四．（10分）叙述代数学基本定理并利用复变函数论的方法证明 五．（10分）试证明在线性变换下，四点的交比不变 六．（20分）1．求将上半z 平面保形变换成上半w 平面的线性变换w ＝ L(z) ，使合条件L(i)＝1＋i ，L(0)＝0 2．求将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换 《复变函数》试卷八 一．填空题（40分） 1．设z ＝2－2i ，则z ＝ | z |= arg z= 2 ＝ 3．设f(z)＝e x （cosy ＋isiny ），则f ’ (z)= 4．sinz 的零点为 ，cosz 的零点为 5. 叙述柯西积分定理 6. 幂级数21n n z n ∞ =∑的收敛半径R ＝ ，幂级数1＋z 2＋z 4＋z 9＋…的收 敛半径R ＝ 7. z ＝0为函数f(z)＝z －sinz 的 级零点， z ＝ 2 π 是函数f(z)＝sinz －1的 级零点 8. 方程z 8－5z 5－2z ＋1＝0在单位圆内有 个根，方程z 4－5z ＋1 ＝0在单位圆内有 个根 9. 设f(z)＝z 2＋2z ，则f(z)在z ＝－1＋2i 处的旋转角为 ，伸缩率为 10．线性变换w ＝az b cz d ++，ad －bc ≠0，可分解为下述两种简单类型变换的复合 （Ⅰ） （Ⅱ） 二．判断题（20分） 1．互为共轭的复数函数具有相同的模 （ ） 2． 复数z ＝0的充要条件是| z |=0 （ ） 3．复数函数 f(z)＝z 在z 平面上处处不可微 （ ） 4．复指数函数e z 是以2π为基本周期的周期函数， 在复数域内有|sinz| ≤1 （ ） 5．设f(z)在区域D 内解析，C 为D 内任一围线，则()c f z dz ?＝0 （ ） 6．有界整函数f(z)必为常数 （ ） 7．如果复函数级数1n n α∞ =∑收敛，则必有lim n n α→∞ ＝0 （ ） 8．设a 为函数f(z)的有限可去奇点，则Re ()z a s f z =＝0 （ ） 9．如果f(z)在z 0点可导，则f(z)在z 0点解析 （ ） 三．计算题（20分） 1．计算积分I ＝3 ()c dz z a -? ，其中C 表示以a 为心，ρ为半径的圆周 2．计算积分I ＝ 22 52 (1)z z dz z z =--? 3．试将函数f(z)＝ 2 z z +按z －1的幂展开，并指出其收敛范围 4．求将2，i ，－2对应的变成－1，i ，－1的线性变换 四．证明题（20分） 1．设z 1z 2是两个复数，试证明，|z 1+z 2|2=| z 1|2+| z 2|2+2Re(12z z ) 2．设f(z)＝（z －1）2(2)z -（z －4），C ：| z |=3，试验证辐角定理 《复变函数》试卷九 一、填空题：（30分）（共15个空格，每格2分） 1. 设2 1i z --= ，则=||z ________ ，=z Arg ______ _ ，=z Im ________ ． 2. z sin 的零点为 ________ ,z cos 的零点为________ ． 3. =-)1( Ln ________ ,=i i ________ ． ４. =?=1||z z dz ________ , =?=1||2z z dz ________ ． 5. 幂级数∑∞ =12n n n z 的收敛半径为 ________ ． 6. 函数 b az +1 在0=z 的幂级数展开式为 ________ ,其收敛半径为________ ． 7. 变换z e w =将区域π< 8.变换z z w 22 +=在i z 21+-=处的旋转角为________ ,伸缩率为________． 二、判断下列命题之真伪：(15分) （共5小题，每小题3分） 1．函数2 )(z z f =在z 平面上处处不解析．( ) 2．设)(z f 在区域D 内解析，C 是D 内任一围线,则 0 )(C =?dz z f ． ( ) 3．若函数)(z f 在点a 可导，则)(z f 在点a 解析． ( ) 4．设a 是z 平面上的一点，若a 为)(z f 的可去奇点,则()0Re ==z f s a z ．( ) 5．z sin 和z cos 都是z 平面上的有界整函数．( ) 三、解下列各题：(20分) １．求函数11 )(-=z e z f 在1=z ，∞的留数． ２．计算积分)0( 1sin 0 2>+= ? ∞ +m dx x mx x I ． ３．求dz z C 1 ? 的值,其中C 是上半单位圆周，起点为1-=z ，终点为z=1． ４．将函数1 1 )(+-=z z z f 在1=z 处展开成幂级数，并求其收敛半径． 四、证明题：(20分) 1．试证：在原点解析，且在） ，ΛΛ2,1(1 == n n z 处取下列值的函数)(z f 是不存在的：Λ, 6 1 , 61 , 41 , 41 , 21 , 21 2．试证：0123 7 =+-z z 的根全在21< arg 6 π π < <- z 变换成单位圆1 《复变函数》试卷十 一、填空题（30分）（共15个空格，每格2分） 1. －2是 的一个平方根 2. 设2 1i z --= ，则，=z Argz ＝ =z Im _____,z =______. 3. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为 变换，它是由 __________________等三个变换复合而成. 4. 幂级数∑∞ =12 n n n z n 的收敛半径=R 5.函数 b az +1 在0=z 处的幂级数展开式为 ，其收敛半径为 6.变换z e W =将区域π< 1.()z e z F cos =在全平面上任意阶可微. ( ) 2. 若函数()z F 在有界区域D 内解析且在其中有无穷多个零点，则()z F 在 D 内恒为零.( ) 3. 设扩充复平面上的点a 是函数()z F 的可去奇点，则()Re 0z a sF z ==. ( ) 4. 若()W F z =是区域D 内的保形变换，则()W F z =在D 内单叶解析且保角. ( ) 5.若函数()z F 在区域D 内解析，则()0c f z dz =?，其中c 是D 内的任 意一条围线. ( ) 6. 设()()(),,F z u x y iv x y =+在区域D 内可导，则在D 内， ()'y x F z v iv =+. ( ) 7. 设函数()z F 在点()a ≠∞解析，则总存在0R >，在z a R -<内()z F 能展成幂级数()0n n n c z a ∞ =-∑. ( ) 8. 非常数的整函数必为无界函数. ( ) 9. 设()f z 在区域D 内解析，则()f z 在D 内连续. ( ) 10. 若函数()f z 在a 点可导，则()f z 在a 点解析. ( ) 三、计算下列各题（24分）（共4小题，每题6分） 1. 求极限0 cos lim sin z z z z z z →--. 2. 求2 1 c I dz z =? ，其中c 是下半圆周，起点11z =-，终点21z =. 3. 求i 的立方根. 4. 求22 12cos d I p p π θ θ=-+? . ()1p > 四、（16分）（共2小题，每题8分） 1. 叙述儒歇定理 2. 证明方程()01z n e e z λλ-=>在单位圆1z <内有n 根 五、求下列变换:（10分） 将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换. 《复变函数》试卷十一 一、填空题（32分）（共16个空格，每格2分） 1. 已知1z i =-，则arg z ＝ ()arg z ππ-<≤，z ＝ ，z ＝ . 2. sin z 的零点为 ，cos z 的零点为 . 3. ()1Ln -＝ ， i i ＝ . 4． 幂级数21n n z n ∞ =∑ 的收敛半径为 . 5． 0z =是函数()sin f z z z =-的 级零点. 6.函数()()() 1 12f z z z = --在z 平面内有 个奇点，它们是 . 7. 1z =为函数()()() 2 51 121z f z z z += -+的 级极点. 8. 设()22f z z z =+，则()f z 在12z i =-+处的旋转角为 伸缩率为 . 9. 线性变换()0az b w ad bc cz d += -≠+的逆变换为 . 10. 变换3w z =将z 平面上区域:0arg 3 D z π << 变换为w 平面上的区域 G ： . 二、判断题（12分）（共4小题，每题3分） 1. 设()f z 在区域D 内可导，则()f z 在D 内解析. ( ) 2. 复数0z =的充要条件是0z =. ( ) 3. 设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一闭曲线，则()0c f z dz =?. 4. sin z 和cos z 都是平面上的有界函数 . 三、计算下列各题（32分）（共4小题，每题8分） 1. 设()()() 1 12f z z z = --，求()f z 在1z <内的泰勒展式. 2. 求积分() 2 2 52 1z z I dz z z =-=-?. 3．求22 12cos d I p p π θ θ=-+? ()1p > 4．求将2,,2i -对应地变成1,,1i -的线性变换. 四、证明题（24分）（共2小题，每题12分） 1. 证明函数()2 f z z =在z 平面上处处不解析. 2. 设a 为()f z 的n 级零点，证明：a 必为函数() () 'f z f z 的一级极点，并且 ()()'Re z a f z s n f z =??=???? . 《复变函数》试卷十二 一、 填空题（20分）（共10个空格，每格2分） 1．已知i z -=1，则argz ＝ (－π ≤| z |<3 内有 ____个零点， f(z)在3≤| z |<＋∞内有 个零点. 3．幂级数z ＋z 4＋z 9＋…＋2 n z ＋…的收敛半径为 4．设iy x z +=，w ＝2 z e ，则w ＝ . 5．设f(z)在z ＝0的去心邻域内的罗朗展式为f(z)＝n n n c z +∞ =-∞ ∑，则Re () z s f z =∞ ＝ . 6．在原点解析，而在z ＝1n （n=1，2，…）处取值为 f(1n )=2 1 1n +的函数为 . 二．判断题（16分）(共8小题，每题2分) 1．设a 是z 平面上一点，a 为函数f(z)的可去奇点，则Re ()0z a s f z ==. （ ） 2．如果函数f(z)在某有界区域D内解析，且在D内有一列零点，则f(z)在D内恒为零. （）3．如果f(z)＝=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)与v(x,y)在区域D内满足C－R条件，则f(z)在区域D内解析. （） 4．设f(z)在区域D内解析，C是D内任一曲线，则 c ?f（z）dz=0 . （） 5．设函数f(z)在点a（≠∞）处解析，则总存在R>0，在|z－a| f(z)能展幂级数 ()n n n c z a ∞ =- ∑. （）6．非常数的整函数必为无界函数. （）7．设f(z)在区域D内单叶落归根解析，则f(z)在D内必保形. （） 8．sinz和cosz都是z平面上的有界整函数. （）三．计算下列各题（32分）(共4小题，每题8分) 1. 求极限 2 2 1cos lim z z z → - . 2.求积分I＝Im c zdz ?，其中C为0到1＋i的直线段. 3.求积分I＝ 2 3 (21)(1) c z dz z z +- ?，其中C：| z | ＝2. 4.求积分I＝2 sin 54cos d πθθ θ + ?. 四．（10分）试证明在线性变换下，四点的交比不变. 五．求下列变换（22分）(共2小题,每题11分) 1. 求将上半z平面保形变换成上半w平面的线性变换w＝L(z) ，使合条 件0 )0( , 1 )(= + =L i i L. 2. 求将2,,2 i-对应变成1,,1i -的线性变换. 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 习题1 第一章 复数与复变函数 1.12z = =求|z|，Argz 解：123212 2 =??? ? ??+??? ??=z Argz=arctan 212-+2k π=23k π π+-, ,2,1,0±±=k 2．已知2 11i z += ,=2z i -3,试用指数形式表示2 1 21z z z z 及 解：2 11i z += i e 4 π = =2z i -3i e 6 2π -= 所以21z z =i e 6 2π -i e 4 πi e 12 2π - = 2 1z z i i i i e e e e 125)64(64 21212π π ππ π ===+- 3． 解二项方程440z a += )0(>a 解 由440z a +=得44z a =- 则二次方程的根为 k w a = （k=0,1,2,3） =24k i e a ππ+? （k=0,1,2,3） 0w =4 i e a π? =234 4 1(1)2 i i a w e a e a i ππ π+?===-+ 54 2(1)2i a w e a i π==-- 74 3(1)2 i a w e a i π==- 4 .设1z 、2z 是两个复数，求证： ),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=- 证明：()() 21212 21z z z z z z --=- () 2 12 22 121212 2211 2212 221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---= 5． 设123z ,z ,z 三点适合条件： 1230z z z ++=及1231z z z === 试证明123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点。 证明：设111z x iy =+，222z x iy =+，333z x iy =+ 因为1230z z z ++= ∴1230x x x ++=，1230y y y ++= ∴123x x x =--，123y y y =-- 又因为1231z z z === ∴三点123z ,z ,z 在单位圆周上，且有222222112233x y x y x y +=+=+ 而()()2 2 22112323x y x x y y +=+=+ ()()2 223231x x y y ∴+++= ()232321x x y y ∴+=- 同理=+)(22121y y x x ()()131********x x y y x x y y +=+=- 可知()()()()()()2 2 2 2 2 2 121223231313x x y y x x y y x x y y -+-=-+-=-+- 第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z 《复变函数论》试卷一 一、填空（30分） 1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z 2.=+i e π3 ，()i i +1的辐角的主值为 3. =z 0是()44sin z z z f =的 阶零点. 4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是 () z f '1 的 阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数， 则___________________===c b a 6.方程0273=+z 的根为 ， ， 二、简要回答下列各题（15分） 1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？ 2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？ 3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的任一简 单闭曲线，问积分()() dz z f z f c ? '是否等于零，为什么？ 三、计算下列积分（16分） 1. c zdz ?，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段 2. 20 2cos d πθ θ +? 四、（12分） 求函数() 1 1z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式. 五、（12分） 证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解. 六、（15分） 求映射，把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <，且把1z =映 射成0w =，把2z =映射成1w =. 《复变函数》试卷二 一、填空题（20分） 1. －2是 的一个平方根 2. 设2 1i z --= ，则，=z Argz ＝ =z Im 3. 若2 2z z =，则θi re z =满足条件 4. =z e e ，() =z e e Re 5. 设1≠=θi re z ，则()=-1ln Re z 6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为 变换，它是由 等三个变换复合而成. 7. 幂级数∑∞ =1 2n n n z n 的收敛半径=R 8.函数 b az +1 在0=z 处的幂级数展开式为 ，其收敛半径为 9.变换z e W =将区域π< 1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2 黄冈师范学院 2009—2010学年度第二学期期末试卷 考试课程：复变函数论 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师： 考试专业：数信学院数教 考试班级：数教200701-02班 一、 选择题（每小题4分，共20分） 1、复数i z 45-=，则=2Re z （ ） A 、40 B 、9 C 、-40 D 、-9 2、关于复数z ，下列不正确的是（ ） A 、||2z z z = B 、)Im()Re(iz z = C 、z Argz arg = D 、z z sin )sin(-=- 3、已知xy i y x z f 2)(22+-=，则)(z f ''是（ ） A 、2 B 、y x 22- C 、2z D 、0 4、下列等式中不正确的是（ ） A 、?==0cos 111z dz z B 、02111=?=dz e z z z C 、??=dz z f k dz z kf )()( D 、? =z z e dz e 5、下列级数收敛的是（ ） A 、∑∞ =+1)21(n n i n B 、∑∞=??????+-12)1(n n n i n C 、∑∞=02cos n n in D 、∑∞=+o n n i )251( A 卷 【第 1 页 共 2 页】 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、=-)22(i Arg ____________； 2、函数z e z f =)(是以 _______为基本周期； 3、幂级数∑∞ =12n n n z 的收敛半径R=____________； 4、函数()z z f cos =在0=z 处的泰勒级数是_________ ； 5、计算积分?==1||1 2 z z dz e 二、 判断题（每小题2分，共10分） 1、在几何上，θi re z =与)2(πθk i re z +=表示同一个复角.（ ） 2、当复数z=0时，则有0=z 和0arg =z .（ ） 3、可导函数一定处处连续，连续函数不一定处处可导.（ ） 4、若)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内存在无穷阶导数.（ ） 5、收敛级数的各项必是有界的.（ ） 三、 计算及证明题（8+8+10+12+12，共50分） 1、若0321=z z z ，则复数321,,z z z 中至少有一个为零（8分） 2、已知解析函数iv u z f +=)(的虚部为222121y x v +- =，且0)0(=f ，求)(z f （8分） 3、已知c 为从z =0到z =2+i 的直线段，求?dz z c 2（10分） 4、将z e z -1在0=z 处展成幂级数（12分） 5、将函数2 )(+=z z z f 按1-z 的幂展开，并指出它的收敛范围.（12分） A 卷 【第 2 页 共 2 页】 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 2 3 ∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A） 1．1 -i 一．填空题（每小题3 分，共计15 分） 的幅角是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1 ）；3.f (z) =1 +z 2 ， z - sin z f (5)(0) =（）； f (z) = 1 ， 4．z = 0 是 z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）； 二．选择题（每小题3 分，共计15 分） 1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）； （A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y； （C） f '(z) =u x +iv y ； （D） f '(z) =u y +iv x. 2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ． 3 ；（B）3(z -1) ；（C） 3(z -1) ；（D） 3 . （A） z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2 3.如果级数∑c n z n 在z = 2 点收敛，则级数在 n=1 （A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛； （C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点一定发散．４．下列结论正确的是( ) （A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点一定解析； 得分 e (B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ? C f (z )dz = 0 （C ） 如果 ? C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析； （D ） 函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是 u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) ∞为sin 1 的可去奇点 z (B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤立奇点; ∞ 1 (C) sin 1 z (D) 为 的孤立奇点. sin z 三．按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分） （1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求 a , b , c , d . z （2）．计算 ? C z (z - 1)2 d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ； 得分 … 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==． ??????????????????????精品自学考 料推荐?????????????????? 全国 2018 年 4 月高等教育自学考试 复变函数与积分变换试题 课程代码： 02199 一、单项选择题 (本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分 ) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．设 z=3+4i, ，则 Re z 2=( ) A ．-7 B ． 9 C ． 16 D ．25 2．下列复数中，使等式 1 =-z 成立的是 ( ) z A ． z=e 2 i B ． z=e i i 3 i D ． z= e 4 C ． z= e 2 3．设 0 1 浙江省2018年4月自考复变函数试题 课程代码：10019 一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共16分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.设z =x +iy ，则|e i-2z |=________； 2.方程z =(1+i )t （t 是实参数）给出的曲线是________； 3.关系式11 z 1-z <+所表示的z 点的轨迹是________； 4.z a z c n d )(1? -=________，其中C 表示以a 为圆心，ρ为半径的圆周，而n 为整数； 5.设区域D 的边界是周线C ，f （z ）在D 内解析，在D =D +C 上连续，则有柯西积分公式f (z )=________(z ∈D )； 6.当|z |＜1时，幂级数1+z +z 2+…+z n -1+…的和函数为________； 7.设在圆环K ：r ＜|z -a |＜R （0＜r ＜R ＜+∞）上有表示式f (z )= ∑+∞-∞=-n n n a z c )(，则 c m =________(m =0,±1,…)； 8.如果f (z )________，则称f (z )在点z 0解析。 二、判断题（本大题共7小题，每小题2分，共14分） 判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 1.z =0是函数2 cos 1z z -的二级极点.( ) 2.设z 是复数，δ＞0,若|z -z 0|＜δ，则|z 0|-δ＜|z |＜|z 0|+δ.( ) 3.若解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )，则f ′(z )=u x +iv x .( ) 4.以指数形式表示的两个复数r e i θ和ρe i φ相等的充要条件是r =ρ，θ=φ.( ) 5.e z 以2πi 为基本周期的周期函数。( ) 6.若z 0是f (z )的本性奇点，则z 0也是) (1z f 的本性奇点.( ) 7.f (z )的孤立奇点a 为可去奇点的充要条件是函数f (z )在点a 的某个去心邻域内有界.( ) 三、完成下列各题（本大题共6小题,每小题5分，共30分） 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 }{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 第一篇 第1章 1.已知1313 222 z i -= =-，求||z ，Argz 。 2.已知112 i z += ，23z i =-，求12z z 及12z z 。 3.设1z 、2z 是两个复数。求证：222121212|||||2Re()z z z z =+-|z -z 。 4.证明：函数22 (0)()0(0)xy z x y f z z ?=?+=??≠? 在原点不连续。 5.证明：z 平面上的直线方程可以写成az az c +=（a 是非零复常数，c 是常数） 第2章 1.试判断函数3223()3(3)f z x xy i x y y =-+-的可微性和解析性。 2.解方程13z e i =+ 3.求cos(1)i - 4.设3w z =确定在从原点z=0起沿负实轴割破了的z 平面上，并且3(2)2w -=-（这是边界上岸点对应的函数值） ，试求()w z 的值。 5.设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。 第3章 1.计算256 z c e dz z z ++?其中C 为单位圆周|z|=1 2.求积分220(281)a z z dz π++? 3.已知：22u x xy y =+-，()1f i i =-+求解析函数()f z u iv =+ 4.计算积分331 (1)(1)C dz z z -+? ,其中积分路径C 为 (1)中心位于点1z =,半径为2R <的正向圆周 (2) 中心位于点1z =-,半径为2R <的正向圆周 第4章 1．将函数) 2()1(1 )(--= z z z f 在0z =点展开为洛朗(Laurent)级数． 2．讨论级数10 ()n n n z z ∞ +=-∑的敛散性 3．求下列级数的和函数. (1)1 1(1) n n n nz ∞ -=-?∑ (2)20 (1)(2)!n n n z n ∞ =-? ∑ 4．用直接法将函数ln(1e )z -+在0z =点处展开为泰勒级数,(到4z 项),并指出其收敛半径. 第5章 1. 计算积分2 ||252(1)z z dz z z =--? 2．求出z z e z f 1)(+ =在所有孤立奇点处的留数 3． z z z z z d ) 1(sin 2 ||2 2? =- 4． ()()() 10 c d i 13z z z z +--? c :|z |=2取正向． . .. . . 资料. 习题一答案 1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1）1 32i +（2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i --（4）821 4i i i -+- 解：（1）1323213i z i -== +， 因此：32 Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310 i i i z i i i -+=== ---， 因此，31 Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122 i i i z i i i --=-=-+= -， 因此，35 Re , Im 32z z ==-， （4）821 41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=， 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+（3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ .. .. 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+--（4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）2 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3) i i ????+- （5 = （6 ） =4． 设12 ,z z i = =-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1 2cos sin , 2[cos()sin()]4 466 z i z i π π ππ =+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212 i i ππππππ =-+-=+， 5． 解下列方程： （1）5 () 1z i +=（2）440 (0)z a a +=> 解：（1 ）z i +=由此 25 k i z i e i π=-=-，(0,1,2,3,4)k = （2 ）z ==复变函数试题与答案
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