高二数学选修2-1空间向量与立体几何单元测试题

东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题

一、选择题（本大题8 小题 , 每小题 5 分，共 40 分）

1、若a ,b , c是空间任意三个向量 ,R ,下列关系式中,不成立的是（）

A．a b b a B． a b a b

C．a b c a b c D．b a

2、给出下列命题

①已知 a b ,则 a b c c b a b c ;

②A、B、M 、N 为空间四点 ,若BA, BM , BN不构成空间的一个基底 ,则 A、B、M、N 共面 ;

③已知 a b ,则 a, b 与任何向量不构成空间的一个基底;

④已知a,b, c 是空间的一个基底,则基向量a, b可以与向量m a c 构成空

间另一个基底 .

正确命题个数是（）

A．1B．2C．3D．4

3、已知a, b均为单位向量 ,它们的夹角为 60 ,那么a3b 等于（）

A．7B．10C．13D．4

4、a1, b 2, c a b, 且 c a ,则向量 a与b 的夹角为（）

A．30B．60C．120D．150

5、已知a3,2,5 , b 1, x, 1 , 且 a b 2 ,则x的值是（）

A．3B．4C．5D．6

6、若直线 l 的方向向量为a ,平面的法向量为n,则能使l //的是（）

A．a1,0,0 , n2,0,0B．a1,3,5 , n 1,0,1

C．a0,2,1 , n1,0, 1D．a1, 1,3 , n0,3,1

7、在平面直角坐标系中 ,A( 2,3), B(3, 2) ,沿x轴把平面直角坐标系折成120

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的二面角后 ,则线段 AB 的长度为（）

A．2B．2 11C．3 2D．4 2

、正方体ABCD-AB

11C1D1的棱长为 1,E 是 A中点 ,则 E 到平面 ABC的距离

8 1 B11D1是（）

A．3

B．

2

C．

1

D．

3 2223

二、填空题（本大题共 6 小题，每空 5 分，共 30 分）

9、已知F1i 2 j3k， F22i 3 j k ， F33i 4 j5k ，若 F1 , F2 , F3共同作

用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到 N（ 3，1，2），则合力所作的功是.

10 、在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中 , 已知∠ BAD= ∠ A1AB= ∠

A1AD=60 ,AD=4,AB=3,AA1=5, AC1 =.

11、△ABC和△ DBC所在的平面互相垂

直,且 AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60,则 AD 与平面 BCD所成角的余弦值为.

12、若直线l 的方向向量为(4,2,m),平面的法向量为 (2,1,-1),且 l⊥ ,则 m =.

13、已知 A(-3,1,5),B(4,3,1),则线段 AB 的中点 M 的坐标为.

三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）

14、(本题满分 12分 )设空间两个不同的单位向量a x1, y1 ,0,b x2 , y2 ,0 与

向量 c1,1,1的夹角都等于 45 .

(1)求x1y1和 x1 y1的值;(2)求a,b的大小 .

15、(本题满分 12 分)已知四棱锥 P-ABCD的底面是边长为 a 的正

方形 ,侧棱 PA⊥底面 ABCD,E为 PC上的点且 CE：CP=1：4,

则在线段 AB上是否存在点 F 使 EF// 平面 PAD?

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17、(本题满分 14 分) 如图 ,四棱锥 S-ABCD的底面是矩形 ,AB=a,AD=2,SA=1,且

SA ⊥底面 ABCD,若边 BC上存在异于 B,C的一点 P,使得PS PD .

(1)求 a 的最大值 ;

(2)当 a 取最大值时 ,求异面直线 AP 与 SD所成角的大小 ;

(3)当 a 取最大值时 ,求平面 SCD的一个单位法向量n

及点 P 到平面 SCD的距离 .

18、 (本题满分14 分)已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直, AB2, AF=1,M是线段EF的中点.

(1)求证： AM// 平面 BDE；

(2)求证： AM⊥平面 BDF．

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19、(本题满分14 分)如图所示 ,矩形 ABCD 的边 AB=a,BC=2,PA⊥平面 ABCD,PA=2,现有数据 :

① a 3

;②a 1;③a 3 ;④ a 2 ;⑤ a 4 ; 2

(1)当在 BC边上存在点

⊥

QD 时,a 可能取所给数据中的哪些值 ?请说明理由 ; Q,使 PQ

(2)在满足 (1)的条件下 ,a 取所给数据中的最大值时,求直线 PQ与平面 ADP所成角的正切

值 ;

(3)记满足 (1)的条件下的Q 点为 Q n(n=1,2,3, ? ),若 a 取所给数据的最小值时,这样的点

Q n有几个 ?试求二面角Q n-PA-Q n+1的大小 ;

20、 (本题满分14 分 )如图所示,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD中,∠

ABC=60 ,PA=AC=a,

PB=PD= 2a,点E在PD上,且PE：ED=2：1.

(1)证明： PA⊥平面ABCD；

(2)求以 AC 为棱 ,EAC与 DAC为面的二面角θ的大小；

(3)棱 PC上是否存在一点F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论 .

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参考答案： 一、选择题

题号 1 2

3 4 5 6 7 8 答案 D

C

C

C

C

D

B

B

二、 填空题

题号 9 10

11 12

13

14

答案

14

97

30

2

-2

1

2

, 2,3

2

三、 解答题

x 12 y 12

1

x

2

y 2

1

x y

6

1

1

1

1

2 ；

15、解：（ 1）依题意，

x 1 y 1

2 x 1 y 1

6

3

2

2

x 1 y 1

1

4

(2)∵单位向量 a

x 1, y 1 ,0 ,b

x 2 , y 2 ,0

与向量 c 1,1,1 的夹角都等

于45.

x y 6

x 1

6

2

x 1

6

2

1

1

2 4 或

4 , ∴由

x 1 y 1

1

y 1

6

2 y 1

6

2

4

4

4

∴ a

6

2 ,

6 2

,0 ,b

6

2 ,

6 2

,0

4

4

4

4

x 1x 2

y 1 y 2

6 2 6

2

6

2 6 2 1

由 cos a, b a b

4

4

4

4

2

∴ a, b

.

3

16、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 PA=b ，

则 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b),

则 CP

a, a, b ,

∵E 为 PC 上的点且 CE ： CP=1： 3,

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∴ CE1CP1a, a, b a , a , b

44444

∴由 CE AE AC AE CE AC3a , 3a , b,

444

设点 F 的坐标为 (x,0,0,) (0≤x≤a),

则 EFx3a ,3a ,b,

444

又平面 PAD的一个法向量为AB a,0,0,

依题意 , EF AB x3a a0 x3a ,

44

3∴在线段 AB 上存在点 F,满足条件 ,点 F 在线段 AB 的处.

17、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:

A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设 P(a,x,0). (0

(1) ∵PS a, x,1 , PD a, 2x,0

∴由 PS PD 得: a2x(2 x)0

即:a2x(2 x) (0 x 2)

∴当且仅当 x=1 时,a 有最大值为 1.此时 P 为 BC中点 ;

(2)由(1)知 : AP (1,1,0), SD (0,2, 1),

AP SD210

,

∴ cos AP, SD

2 55

AP SD

∴异面直线 AP 与 SD所成角的大小为arc cos10 .

5

(3) 设n1x, y, z 是平面SCD的一个法向量,∵DC (1,0,0), SD(0, 2,1),

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∴由n

1DC n1DC0

x0x0

2 y z 0y 1 得 n1 (0,1, 2),

n1SD n1SD0取 y

1z2

n11

∴平面 SCD的一个单位法向量 n0,1,2

n15

5又 CP CP n5

(0, 1,0), 在 n 方向上的投影为

1

n

∴点 P 到平面 SCD的距离为 5 .

5

18、解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：

O(0,0,0),A(0,1,0),B(-1,0,0),C(0,-1,0,),D(1,0,0,),

E(0,-1,1),F(0,1,1),M(0,0,1).

(1) ∵AM(0, 1,1),OE (0,1,1)

∴ AM OE ,即AM//OE,

又∵ AM平面BDE, OE平面BDE,

∴A M// 平面 BDE;

(2) ∵BD(2,0,0), DF(1,1,1),

∴ AM BD 0, AM DF0,

∴AM⊥BD,AM⊥DF,∴AM⊥平面BDF.

19、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:

A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设 Q(a,x,0).(0≤ x≤2)

(1) ∵PQ a, x, 2 ,QD a,2x,0 ,

∴由 PQ⊥QD 得

PQ QD a2x(2x)0a2x(2 x)

∵ x0, 2 , a2x(2x)0,1

525 (0,,),

55

5,

5

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∴在所给数据中 ,a 可取 3

1两个值 .

a

和 a

2

(2) 由 (1)知 a 1,此时 x=1,即 Q 为 BC 中点 , ∴点 Q 的坐标为 (1,1,0)

从而 PQ

1,1, 2 , 又 AB 1,0,0

为平面 ADP 的一个法向量 ,

∴ cos PQ, AB

PQ AB 1 6

PQ

AB

6 1

,

6

∴ 直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正切值为

5 .

5

(3) 由(1)知 a

3

1 或 x

3

,此时 x

,,即满足条件的点 Q 有两个 ,

2

2

2

其坐标为 3 1

3 3

Q 1

, ,0 和Q 2 , ,0

2 2

2 2

∵PA ⊥平面 ABCD,∴ PA ⊥AQ ⊥

1,PA AQ 2,

∴∠ Q 1AQ 2 就是二面角 Q 1-PA-Q 2 的平面角 .

AQ 1 AQ 2

3 3 3

由 cos AQ 1 , AQ 2 4 4

AQ 1

AQ 2 1

3

,得∠Q 1AQ 2=30 ,

2

∴二面角 Q 1

2 的大小为 30 .

-PA-Q

20、解：（ 1） ∵PA=AC=a ，PB=PD= 2a

∴ PA 2 AB 2 PB 2 , PA 2 AD 2 PD 2,

∴ PA ⊥AB 且 PA ⊥AD ， ∴ PA ⊥平面 ABCD ，

（ 2）∵底面 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，设 AC ∩ BD=O ，

∴以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：

A 0, a

,0 , B

3a ,0,0 , C 0, a ,0 , D 3a

,0,0 ,P 0,

a

, a ,

2

2 2

2

2

∵ 点 E 在 PD 上,且 PE ：ED=2：1.

∴ DP

3DE ，即： DP

3 OE

OD

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∴ OE

3

a, a , a ，即点 E 的坐标为 E 3

a, a , a

3 6 3

3 6

3

又平面 DAC 的一个法向量为 n 1

0,0,1

EAC 个 法 向 量 为 n 2

x, y, z , OC

0,

a 设 平 面

的 一 ,0 ，

2

3 a a

OE

a,

,

3

6 3

a

y 0

2

x 1

n 2

OC

n 2 OC

3

a a

由

y

， 得

ax

y

z 0

n 2

OE

n 2 OE

3 6

3

z

3

取x=1

n 2 1 , 0 , 3 ,

n 1 n 2 3 3 ,n 2

∴

cos n 1, n 2

n 2

1 2

n 1 6

n 1 2

∴由图可知二面角 E-AC-D 的大小为

.

6

（ 3）设在 CP 上存在点 F ，满足题设条件，

由 CF

CP (0

1) ，得 OF OC

CP0,

1

2 a, a

2 ∴ BF

0,

1

2 a, a 3a

,0,0

3 a,1 2 a, a

2

2

2

2

依题意，则有 BF

n 2

∴

3 a,1 2

a, a 1,0, 3 0

3 a 3 a 0

1

2

2

2

2

∴点 F 为 PC 中点时 ,满足题设条件 .

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一 . 选择题： (10 小题共 40 分 )

1. 已知 A、B、C 三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点 A、B、

C 一

定共面的是( )

A. OM OA OB OC

B. OM2OA OB OC

C. OM OA 1

OB

1

OC D. OM

1

OA

1

OB

1

OC 23333

2. 直三棱柱 ABC— A1B1C1中，若 CA a,CB b,CC1C,则 A1 B

( )

A. a b c

B. a b c

C. a b c

D. a b c

3. 若向量m垂直向量 a和 b,向量 na b( ,R

且、0)则

()

A. m// n

B. m n

C.m不平行于 n, m也不垂直于 n

D. 以上三种情况都

可能

4.以下四个命题中,正确的是

( )

A.若 OP 1 OA 1OB,则P、Ａ、Ｂ三点共线

2 3

B.设向量 { a,b, c} 是空间一个基底，则{ a +b ， b +c ， c + a }构成空间的另一个基底

C. (a b) c a b c

D. △ ABC是直角三角形的充要条件是AB AC0

5. 对空间任意两个向量a,b(b o), a // b 的充要条件是

( )

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A. a b

B. a b

C. b a

D. a b

6.已知向量 a(0,2,1), b(1,1,2),则 a与 b 的夹角为

()

A.0 °

B.45°

C.90°

D.180 °

7.

在平行六面体

ABCDA1B1C1D1中，M为 AC与 BD的交点，若A1 B1 a, A1D1b, A1 A c ，

则下列向量中与B1M相等的是()

A. 1 a 1 b

1

c B. 1 a 1 b

1

c C. 1 a

1

b c D.- 1 a

1

b c

2222222222

8.已知a(1,0,2), b(6,21,2), 若 a // b, 则与的值分

()

A.11

B.5 ，2

C. 1 ,1

D.-5 ， -2 5

,

252

9.已知 a3i 2 j k, b i j2k, 则5a与 3b的数量积等于

()

A.-15

B.-5

C.-3

D.-1

10. 在棱长为1 的正方体 ABCD— A1B1C1D1中， M和 N 分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直

线AM

与CN

所成角的余弦值是

()

A.2

B.2

C. 3

D.10

55510

二. 填空题 : (4 小题共 16 分)

11. 若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n=.

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12. 已知 A（0，2，3），B（ -2 ，1，6），C（ 1，-1 ，5），若| a |3,且 a AB, a AC ,则向量 a

的坐标为.

13.已知a,b是空间二向量，若| a |3, | b | 2, | a b |7,则 a与b 的夹角

为.

14. 已知点G 是△ ABC 的重心， O 是空间任一点，若OA OB OC OG ,则的值

为.

三. 解答题 :(10+8+12+14=44 分 )

15.如图： ABCD为矩形， PA⊥平面 ABCD， PA=AD， M、 N 分别是 PC、AB中点，

(1)求证： MN⊥平面 PCD；(2) 求 NM与平面 ABCD所成的角的大小 .

16. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与

这个二面角的棱所成的角的大小.

17. 正四棱锥S— ABCD中，所有棱长都是2， P 为 SA的中点，如图.

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(1)求二面角 B— SC— D 的大小； (2) 求 DP与 SC所成的角的大小 .

18.如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1，底面△ ABC中， CA=CB=1，∠ BCA=90°，棱 AA1=2，M、 N

分别是 A1B1， A1A 的中点；

(1)求 BN的长 ;

(2)求 cos BA1 , CB1的值 ;

(3)求证 : A1B C1M .

(4)求 CB1与平面 A1ABB1所成的角的余弦值 .

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高中数学选修2-1 测试题 (10)—空间向量 (1) 参考答案DDBB DCDA AB 11.012.(1， 1，1)13.60014.3

15.(1)略016.45017.(1)1

(2)45(2)

3

18.(1)3(2)30

(3)略

310 10

(4)

10

18.如图，建立空间直角坐标系O— xyz. （ 1）依题意得 B（ 0， 1，0）、 N（ 1，0， 1）

∴| BN |=(1 0)2(0 1)2(1 0)23.

（ 2）依题意得 A （ 1，0， 2）、B（ 0， 1，0）、 C（ 0， 0， 0）、 B （ 0，1， 2）

11

∴ BA ={－1，－1，2}， CB ={0，1，2，}， BA · CB =3，| BA |= 6 ，11111

| CB1 |= 5 ∴cos< BA1， CB1>=

BA1 CB11

|BA1 | |CB1 |30 .

10

图第14页共15页

1,1， C1M ={1,1

（ 3）证明：依题意，得 C（ 0，0，2）、M（，2），A1B ={ －1，1，2}，

1

2222

11⊥ C

1M ，∴AB⊥CM.

0}. ∴A1B·C1M =－+0=0，∴A1B

2211

评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识. 考查空间两向量垂直的充要条件.

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