教案1.无穷级数概念与性质

高等数学教案1

第十一章 无穷级数

编写人:吴炯圻

I. 授课题目: 第一节 常数项级数的概念和性质

Ⅱ.教学目的与要求

1、了解常数项级数的概念及其产生的背景；

2、掌握收敛级数的基本性质；

3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性；

4、了解柯西审敛原理。 Ⅲ.教学重点与难点：

重点：级数收敛与发散的定义; 收敛级数的基本性质。

难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。 关键: 1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理;

2.熟悉数列的收敛与发散的判别.

Ⅳ.讲授内容：

第一节 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念及其产生的背景 1．古代人如何求圆的面积?

我国古代数学家刘徽已经利用无穷级数的思想来计算圆的面积.

在半径为1的圆内作内接正六边形, 其面积记 为1a , 它是圆面积A 的一个近似值. 再以这正六边 形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形 (图1-1) , 算出这六个等腰三角形的面积之 和2a . 那么21a a (即内接正十二边形的面积)也是

图1-1

A 的一个近似值, 其近似程度比正六边形的好. 同样

地, 在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a . 那么321a a a ++(即内接正二十四边形的面积)是A 的一个更好的近似值. 如此继续进行n 次, 当n 是较大的整数时，得到的正多边形的面积

n n a a a s +++= 21就很接近A 的值了.

2．常数项级数的概念

古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数n 上。

随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n 无限增大时，则

n n a a a s +++= 21的极限就是圆的面积A ，即

)(lim lim 21n n n n a a a s A ++==∞

→∞

→. (1.1)

这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。

一般地, 给定一个数列 ,,,,,321n u u u u , 则由这数列构成的表达式

+++++n u u u u 321 (1.2)

叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为

∑∞

=1

n n

u

, 即

∑∞

=1

n n

u

+++++=n u u u u 321,

其中第n 项u n 叫做级数的一般项或通项.

上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和S n 的极限来定义无穷多个数量相加的“和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？

这个思路是对的。

为此，我们把级数(1.2)的前n 项之和s n = u 1+u 2 +…+u n 称为级数(1.1)的部分和, n 依次取

1,2,

时得数列 s 1, u 2 ,…, u n … 称为级数的部分和数列.

在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（为什么？），并由此求得面积, 即求得无穷多个量之和12....n a a a A ++++=。

但是，能否由此推断, 所有级数的部分和数列收敛都收敛? (提问, 允许各种猜测.) 事实上, 正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+……=1

1(1)n n -∞

=-∑.

其部分和数列是：1，0，1，0，…….,它显然不收敛。

总之, 部分和数列}{n s 可能收敛, 也可能发散, 我们可据此定义级数收敛或发散. 定义 如果级数

∑∞

=1

n n

u

的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞

→lim , 则称级数

∑∞

=1

n n

u

收

敛, 这时极限s 叫做这个级数的和, 并写成

s = u 1+u 2 +…+u n +…; 如果}{n s 没有极限, 则称级数

∑∞

=1

n n

u

发散.

对于收敛级数, 其部分和n s 可作为级数的和s 的近似值, 它们之间的差 ++=-=++21n n n n u u s s r ∑∞

+==

1

n k k

u

叫做级数的余项. ||n r 表示n s 代替和s 时所产生的误差. 显然, 对于收敛级数有

0lim =∞

→n n r .

从上述定义可知, 级数与数列极限有着密切的联系. 给定级数

∑∞

=1

n n

u

, 就有相应的部分

和数列}{n s ; 反之, 给定数列}{n s , 就有以}{n s 为部分和数列的级数

+-++-+-+-)()()(123121n n s s s s s s s ∑∞

==1

n n u ,

其中 )2(,111≥-==-n s s u s u n n n . 按定义, 级数∑∞

=1

n n

u

与数列}{n s 同时收敛或同时发散,

且在收敛时, 有

∑∞

=1

n n

u

n n s ∞

→=lim , 即

∑∞

=1

n n

u

∞

→=n lim

∑=n

k k

u

1

.

例1 讨论如下公比为q 的等比级数(也称几何级数)的敛散性

∑∞

=0

n n

aq

+++++=n aq aq aq a 2 )0(≠a (1.3)

解 当1||≠q 时, 部分和

n s 1

2

-++++=n aq

aq aq a q

q a n --=1)1(,

如果 1||

→n

n q , 可得 q a s n n -=

∞

→1lim , 因此级数(1.2)收敛, 其和为 q

a -1; 如果1||>q , 则由∞=∞

→n

n q lim , 得 ∞=∞

→n n s lim , 这时级数(1.2)发散.

当1||=q 时, 如果1-=q , 部分和n s a a a a n 1

)

1(--+-+-= 随n 为奇数或偶数

而等于a 或0, 从而n n s ∞

→lim 不存在, 级数(1.3)发散; 如果1=q , 部分和

n s na a a a =+++= , 从而∞=∞

→n n s lim , 因此级数(1. 3)发散.

综上所述, 几何级数

∑∞

=0

n n aq , 当1||

q

a

-1; 当1||≥q 时发散. 例2 判别级数

∑∞

=+0)

1(1

n n n 的收敛性. 解 由于 1

11)1(1+-=+=

n n n n u n , 所以部分和

)

1(1321211+++?+?=

n n s n )11

1(

)3121()211(+-++-+-=n n

1

1

1+-=n 1→ )(∞→n ,

故所给级数收敛, 其和为1.

二、 常数项级数的基本性质

根据上一段的讨论, 当级数收敛时, 级数的和就存在, 即无穷个项(量)相加就有意义. 那么, 有限个量相加的运算律(回忆: 有限个量相加有什么运算律)是否也适用于无穷个量相加的情形? 无穷个量相加与有限个量相加有些什么不同之处么? 这自然是我们应该关心的重要问题.

我们首先要记住,考虑无穷个量之和时,首先要判断级数是收敛或发散. 而收敛或发散是根据部分和数列的收敛或发散来定义的. 因此,级数的运算律与数列的极限的运算律有关.

注意到这两个方面,我们不难得出收敛级数的如下基本性质.

性质1 如果常数0≠k , 则级数

∑∞

=1

n n

u

与

∑∞

=1n n

ku

有相同的敛散性. 且若级数

∑∞

=1

n n

u

收敛

于s , 则

∑∞

=1

n n

ku

收敛于ks , 即有

∑∞

=1

n n

ku

∑∞

==1

n n u k .(思考: k=0时,情况如何?)

证 设n s 与n σ分别为

∑∞

=1

n n

u

与

∑∞

=1

n n

ku

的部分和, 则

=σn n ku ku ku +++ 21n n ks u u u k =+++=)(21 . 由于0≠k , 所以可知}{n σ与}{n s 有相同的敛散性, 这表明级数

∑∞

=1

n n

u

与

∑∞

=1

n n

ku

有相同的

敛散性. 且当

∑∞

=1

n n

u

s =时,

n n σ∞

→lim k s k n n ==∞

→lim n n s ∞

→lim ks =,

即

∑∞

=1

n n

ku

收敛于ks . 证毕.

同样地, 按照定义, 可证得如下性质2、性质3和性质4, 请读者练习. 性质2 如果级数

∑∞

=1

n n

u

及

∑∞

=1

n n

v

分别收敛于s 及σ, 则

∑∞

=±1

)(n n n

v u

也收敛, 且其和为

σ±s , 即有

∑∞

=±1)(n n n

v u

±

=∑∞

=1

n n u ∑∞

=1

n n

v

.

推论 如果

∑∞

=1

n n

u

收敛, 而

∑∞

=1

n n

v

发散, 则

∑∞

=±1

)(n n n

v u

发散.

性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的敛散性.

性质 4 收敛级数加括号后所成的新级数仍然收敛, 且其和不变.(提问:这与有限个量求和的什么运算律相对应?)

推论 如果加括号后所成的级数发散, 则原级数也发散.

注意 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数

+-++-+-)11()11()11( 收敛于零, 但级数

+-++-+-111111 却是发散的. (与有限个量求和的什么运算律相比较)

性质5 (级数收敛的必要条件) 如果级数

∑∞

=1

n n

u

收敛, 则它的一般项n u 趋于零, 即

0lim =∞

→n n u .

证 设级数

∑∞

=1

n n

u

的部分和为n s , 且s s n n =∞

→lim , 则

=∞

→n n u lim =--∞

→)(lim 1n n n s s -∞

→n n s lim 0lim 1=-=-∞

→s s s n n . 证毕.

注意, 级数的一般项趋于零是级数收敛的必要条件而不是充分条件. 有些级数虽然一般项趋于零, 但仍然是发散的, 如下面的例 3. 其逆否命题，即 lim 0n n u →∞

≠，则级数

∑∞

=1

n n

u

必

发散. 可用它判断发散级数，如 13n n n ∞

=∑、2

1

sin n n ∞

=∑.

例3 试证调和级数

∑∞

=+++++=11312111n n n

发散. 证 利用第三章的微分中值定理可证得: 当0>x 时, 有)1ln(x x +>. 于是调和级数的部分和

n

s n 1

31211++++

= )1

1ln()311ln()211ln()11ln(n

++++++++>

)1ln()1

34232ln(+=+????=n n

n ,

所以 ∞=∞

→n n s lim , 故调和级数发散. 但当∞→n 时, 却有其一般项0→n u .

*三、柯西审敛准则

在第二小节我们已经看到，级数能参加运算，从而具有一系列性质的前提是收敛. 因此，如何判别一个级数的收敛与否，是一件重要的问题。

以下的柯西审敛准则, 给出了级数收敛的充分必要条件.

定理 (柯西审敛准则) 级数

∑∞

=1

n n

u

收敛的充分必要条件为: 对任意给定的正数ε, 总存

在自然数N , 使得当n >N 时, 对任意的自然数p , 都有 ε<++++++||21p n n n u u u 成立.

证明从略.

例：判别一个级数2

22

2

11111

123n n n ∞

==++++

+∑

的收敛性。

解：因为对任意自然数p ,

12|...|n n n p u u u ++++++=

21(1)n ++21(2)n ++ (2)

1()n p + <

1(1)n n ++1

(1)(2)

n n +++…+1(1)()n p n p +-+

= (11

1n n -+)+(1(1)n +-1(2)n +)+…+(1(1)n p +--1()n p +)

=11n n p -+<1

n

.

所以,对任意给定的正数ε, 取自然数N ≥ 1/ε, 则当n >N 时, 对任意自然数p , 都有

ε<++++++||21p n n n u u u

成立. 因此, 按柯西审敛准则, 级数2

11

n n

∞

=∑

收敛.

作业: P193 习题11-1

2(1),(2); 3(1),(2); 4(1)(2)(3)(5). 5(2).