平面向量及三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心

已知O 是ABC ?内的一点，AOB AOC BOC ???,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：

0=++???OC S OB S OA S C B A

如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则

COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===???????

图1

OD BC DC OB +BC

=C B B

S S

S +OB +C

B C S S S +OC

B A

COA BOA COD BOD COA COD BOA

BOD S S S S S S S S S S

S OA OD +=++==

= 图2

∴C

B A S S S OD +-

=OA

∴C

B A S S S +-

OA =

C B B

S S S +OB +C

B C S S S +OC

∴0=++???OC S OB S OA S C B A

推论O 是ABC ?内的一点，且

0=++???OC OB OA z y x ，则

z y x S S S AOB COA BOC ::::=???

A B

有此定理可得三角形四心向量式

O 是ABC ?的重心

?1:1:1::=???AOB COA BOC S S S ?0=++OC OB OA

O 是ABC ?的内心

?c b a S S S AOB COA BOC ::::=????0=++???OC OB OA c b a

O 是ABC ?的外心

?C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=??? ?02sin 2sin 2sin =++???OC

C OB B OA A

O 是ABC ?的垂心

?C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? ?0tan tan tan =++???OC C OB B OA A

证明：如图O 为三角形的垂心，DB

B AD CD A ==

tan ,tan ?AD DB B A :tan :tan = =??COA BOC S S :AD DB :

∴B A S S COA BOC tan :tan :=??

同理得C B S S AOB COA tan :tan :=??，C A S S AOB BOC tan :tan

:=??

∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=???

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

4.2三角形“四心”的相关向量问题

一．知识梳理：

四心的概念介绍：

(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；

(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。与“重心”有关的向量问题

1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

如图⑴.

2已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，

时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.

3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足（λ

图⑴

图⑵

∈（0，+∞）），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（） A ．内心

B ．重心

C ．外心

D ．垂心

解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，

∴

由加法法则知，P 在三角形的中线上故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心故选：B ．

与“垂心”有关的向量问题

3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则P 是ABC △的( )

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由PA PB PB PC ?=?，得()0PB PA PC ?-=，即0PB CA ?=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.

4已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ?? ?=++ ???

，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC

△的( )．

图⑶

图⑷

H F

M A

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ??

?=+ ???，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ??

?+?= ???

，即

0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B

AC C

??+

=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点

在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.

5若H 为ABC △所在平面内一点，且2

HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的( )

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

证明:

2222

HA HB CA BC -=-

()()HA HB BA CA CB BA ∴+?=+?

得()0HA HB CA CB BA +--?= 即()0HC HC BA +?=AB HC ∴⊥ 同理,AC HB BC HA ⊥⊥，故H 是△ABC 的垂心与“内心”有关的向量问题

6已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若

0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的( )

．A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心

【解析】∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，

∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ??

?+=?+?=??+ ???

， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ?? ?=

+ ?++??

．∵AB AB 与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．

同理可证：BI 平分

ABC ∠，CI

平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.

7已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足 =OP OA +λ

?，(0)λ∈+∞，

，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )． A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ??

?=+ ???

，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.

8若O 在△ABC 所在的平面内：

图⑸

图⑹

，则O 是△ABC

的（） A ．垂心 B ．重心

C ．内心

D ．外心

解：∵向量

的模等于1，因而向量

是单位向量

∴向量、和等都是单位向量

∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，

∵

可得AO 在∠BAC 的平分线上

同理可得OB 平分∠ABC ，OA 平分∠ACB ， ∴O 是△ABC 的内心．故选：C ．

与“外心”有关的向量问题

8已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的( )．

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

M O

B C

【解析】若2

OA OB OC ==，则2

OA OB OC ==，∴OA OB OC ==，则O 是

ABC △的外心，如图⑺。

9 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足

2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ??+ ?=++ ???

，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过

ABC △的( )。 A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由于2

OB OC +过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ??

?+ ???

表示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻

四心的相互关系

1.三角形外心与垂心的向量关系及应用

设ABC △的外心为O ，则点H 为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++。 2.三角形外心与重心的向量关系及应用

设ABC △的外心为O ，则点G 为ABC △的重心的充要条件是1()3

OG OA OB OC =++

3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用

设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ，则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线），且1

OG GH =。