三元一次方程组解法练习题

8.4三元一次方程组解法举例

(一)、基础练习

1．在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，则z＝_______.

2．已知单项式－8a3x＋y－z b12 c x＋y＋z与2a4b2x－y＋3z c6，则x＝____，y＝____，z＝_____.

3．解方程组

x＝_____，y＝______，z＝_______.

4．已知代数式ax2＋bx＋c，当x

＝－1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝

3

时，其值为_______. 5．已知

，则x∶y∶z＝___________.

6．解方程组）

A、先消去x B

、先消去y C、先消去z D、以上说法都不对

7

解是（）

A B、

8．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（）

A、2

B、3

C、4

D、5

9．若方程组的解x与y相等，则a的值等于（）

A、4

B、10

C、11

D、12

10．已知∣x－8y∣＋2（4y－1）2＋3∣8z－3x∣＝0，求x＋y＋z的值.

11．解方程组

（1（2）

12．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的4x＋3y＝1

ax＋（a－1）y＝3

x－3y＋2z＝0

3x－3y－4z＝0

年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？

（二）拓展训练

13、解下列方程组：

(1) 323

2311

12

x y z

x y z

x y z

-+=

+-=

++=

(2)

|23|(2)20

11

x y z x y z

x y z

-+++-=

++=

（三）达标测试

14、已知方程组

16

20224

ax by

cx y

+=-

+=-

的解应该是

8

10

x

y

=

=-

，一个学生解题时，把c看错了，因此得到解为

12

13

x

y

=

=-

，

求a、b、c的值。

三、课后巩固

15.小明手里有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中，1元纸币的张数是2元纸币张

数的4倍，求1元、2元、5元的纸币各多少张？

例1 一个口袋装有5只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3只，以ξ表示取出最小的号码，求ξ的分布列。

例2 同时掷两颗质量均匀的骰子，观察上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大点数X 的概率分布，并求出X

大于2小于5的概率(25)P X <<。

例3 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中率为0.7，求他罚球一次的得

分的分布列。

例4 一批产品50件，其中有次品5件，正品45件，现从中随机抽取2件，求其中出现次品的概率。

练习：

1 一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的概率分布列。

2 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数，求X 的分布列。

3 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球

①求得分X 的概率分布列； ②求得分大于6分的概率。

4 从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布列为？

5 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数。 求：①ξ的分布列；

②所选3人中女生人数ξ1≤的概率。

6 2袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为

1

7

。现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，易后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即停止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的。

① 求袋中原有白球的个数；

② 用ξ表示取球终止时所需要的取球次数，求随机变量ξ的概率分布； ③ 求甲取到白球的概率。

7 盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意取出3张，每张卡片被取出的可能性都相等，求：

① 抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率； ② 抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率； ③ 抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率。

8 从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为？

9 某国科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，现从中随机选出两位作为成果发布人，

则此两人不属于同一国家的概率为？

10 将一颗质地均匀的六面骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是？

11 在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名

都是女同学的概率是？

12 在正方体上任取3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为？

13 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本，将它们任意地排成一排，左边4本恰

好属于同一部小说的概率是？

14 在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色完全相同，从中摸出3个球，至少摸到个黑球的概率

等于？

指数与指数幂的运算

1. 若n x a =，则x 叫做a 的n n >1，且n N *∈. n 次方根具有如下性质： （1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是

两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零. （2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式：

n a =,||,a n a n ?=??

为奇数

为偶数；，（a ≥0）.

2. 规定正数的分数指数幂：m

n

m

n

a a = （0,,,1a m n N n *

>∈>且）； 1m n

m n

m

n

a

a

a

-

=

=

.

¤例题精讲：

【例1】求下列各式的值：（1）3n n

π-（）（*1,n n N >∈且）； （2）2()x y -.

. 【例2】化简与求值：

（1）642642++-； （2）13

35

57

2121

n n +

+

+???+

+++-++.

指数函数及其性质

1. 定义：一般地，函数(0,1)x

y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .

2. 以函数2x y =与1()2

x y =的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：

定义域为R ，值域为(0,)+∞；当0x =时，1y =，即图象过定点(0,1)；当

01a <<时，在R 上是减函数，当1a >时，在R 上是增函数.

¤例题精讲：

【例1】求下列函数的定义域：（1）1

32

x

y -=； （2）51

()

3

x

y -=； （3）10100

10100

x x y +=-.

【例2】求下列函数的值域：（1）231

1()3

x y -=； （2）421x x y =++

. 【例3】已知21

()21

x

x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.

第3讲 §2.2.1 对数与对数运算（一）

1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log a a a M

M N N

=-，log log n a a M n M =，其中

0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈.

2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1

log log a b b a

=. 同样，

也可以推导出一些对数恒等式，如log log n

n a a N N =，log log m

n a a n

N N m

=

，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：

【例1】化简与求值：（1）221

(lg 2)lg2lg5(lg 2)lg212

++-+；（2）2log (4747)++-. 【例2】若2510a b ==，则11a b

+= .

. 【例3】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；

（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .

【例4】（1）化简：

532111

log 7log 7log 7

++

； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ???=，求实数m 的值.

对数函数及其性质

1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.

2. 由2log y x =与12

log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1

x =

时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.

【例1】求下列函数的定义域：（1）2log (35)y x =-；（2）0.5log (4)3y x =-.

【例2】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围.

【例3】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.

对数函数及其性质

1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.

2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.

3. 复合函数(())y f x ?=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ?==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.

幂函数

.

1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求

掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.

3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.

¤例题精讲：

【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.

【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．

【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）.

A ．101n m -<<<<

B ．1,01n m <-<<

C ．10,1n m -<<>

D ．1,1n m <->

解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.

基本初等函数

¤例题精讲：

【例1】

若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()

(

)22

x x f x f x f ++≤

. （注：此性质为函数的凹凸性）

【例2】已知函数2

()(0,0)1

bx

f x b a ax =

≠>+.

（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422

f a b =-=，求a ，b 的值.

【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()x x e a

f x a e

=+是R 上的偶函数.

（1）求a 的值； （2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．

函数测试卷

1已知集合{}{}

20,40≤≤=≤≤=y y B x x A ，下列不表示从A 到B 的映射的是（ ) A ．x y x f 21:=

→ B ．x y x f 4

1

:=→ C ．x y x f 2:=→ D ．x y x f =→: 2．设,32)(+=x x g )()2(x f x g =+，则)(x f 等于（ ）

（A ）72+x （B ）12-x （C ） 32-x （D ）12+-x

3、设f(x)＝x x -+22lg

，则)2

()2(x

f x f +的定义域为( ) A. ）

，（），（－4004 B.(－4,－1) (1，4) C. (－2,－1) (1，2) D. (－4,－2) (2，4) 4.设)(,

1,,

1,)(2x g x x x x x f ??

?<≥=是二次函数，若))((x g f 的值域是),0[+∞，则)(x g 的值域是 A. ），，（－∞+-∞1[]1 B. ），，（－∞+-∞0[]1 C. ），∞+0[ D. ），∞+1[ 5.在同一平面直角坐标系中，函数1

2

)(+=x x f 的图像与x

x g -=12

)(的图像关于（ ）

A. 原点对称

B. x 轴对称

C. y 轴对称

D. 直线x y =对称 6.函数2

22

++-=x x y 的单调递增区间为（ ）

A. ]21

1[，－ B. ]1-∞，（－ C. ）

，∞+2[ D. ]22

1[， 7.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有

2121()(()())0x x f x f x -->.则当*n N ∈时,有 ( )

(A)()(1)(1)f n f n f n -<-<+ (B) (1)()(1)f n f n f n -<-<+ (C) (1)()(1)f n f n f n +<-<- (D) (1)(1)()f n f n f n +<-<-

8．已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，()x x x f 22

-=,则()x f y =在R 上的解析式为( )

A ．()()2+-=x x x f

B ．()()2-=x x x f

C ．()()2-=x x x f

D ．()()

2-=x x x f

9．若函数)1lg()(2

+=x x f 的定义域为[]b a ,、值域为[0，1]，则b a +的取值范围为( )

（A ）[]3,3- （B ）[]0,3- （C ）[]3,0 （D ）[]9,9- 10.已知??

?≥<+-=1,log 1

,4)13()(x x x a x a x f a

是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是

（A ）(0,1) （B ）1

(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)7

11.设)(x f = 12

32,2,

log (1),2,

x e x x x -?x f 的解集为( ) (A)（1，2）?（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）? （10 ，+∞） (D)（1，2） 12.设?

??

???-∈3,21,

1,1a ，则使函数a x y =为R 上的奇函数的a 的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

13.已知集合M={}1,1-N=?

??

???∈<<+Z x x x ,4221|

1则N M =__________. 14.已知函数a x a ax x f +-+=)31()(2

在区间),1(+∞上递增，则a 的取值范围是_. 15.设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若当),0(+∞∈x 时，)(x f =x lg ，则满足

)(x f 0≥的x 的取值范围__________.

16.函数)2(log log 2x x y x +=的值域为____________.

17.函数6)1(3)1()(22+-+-=

x a x a x f

（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. （2）若)(x f 的定义域为[-2,1]，求实数a 的取值范围.

18.函数3)(2

++=ax x x f

（1）当R x ∈时，a x f ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围. (2)当[]2,2-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围.

19.已知定义域为R 的函数1

22)(++-=x x

a b x f 是奇函数.

(1)求b a 、的值；

（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2

2

<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的范围.

20.若函数)10(log 2log 2

<<+-=a b x x y a a 的定义域为[2,4],值域为[8,4

25

],求b a 、的值.

21．已知函数x px x f 32)(2-+=的图象经过点??? ?

?

-35,2，.

（1）求p 值，并写出函数()x f 的解析式；（2）判断函数()x f 在(]1,0上是单调性，并用定义法证明；（3）求函数

()x f 在??

?

???t ,21上的最大值.

22.设函数)(x f 的定义域为R ，对任意实数y x ,都有)()()(y f x f y x f +=+，当0>x 时0)(>x f 且6)2(=f . (1) 求证：函数)(x f 为奇函数；（2）证明：函数)(x f 为R 上的增函数； （3）在区间[-4,4]上，求)(x f 的最值.