第二章数据结构基础

第二章数据结构基础

2.1 基本概念

程序 = 算法 + 数据结构

也就是说，计算机按照程序所描述的算法对某种结构的数据进行加工处理。

1．数据结构

数据：在计算机领域，指能够被计算机输入、存储、处理和输出的一切信息。

数据项：是数据的最小单位，有时也称为域（field）。

数据记录：是数据处理领域组织数据的基本单位，它由数据项组成。

数据元素：是数据集合中相对独立的单位，也称结点。它和数据是相对而言的（如一条记录相对于所在文件被认为是数据元素，而它相对于所含的数据项又被认为是数据）。

数据结构：是描述一组数据元素及元素间的相互关系的。

逻辑结构：是指数据元素之间抽象化的相互关系。

存储结构：或称物理结构，是数据的逻辑结构在计算机存储器中的存储形式。

线性结构：每个结点有且只有一个前驱结点和一个后继结点（第一和最

后一个结点除外）

逻辑结构树型结构：每个结点有且只有一个前驱结点（树根结点除

非线性结构外），但可以有任意多个后继结点。

每个结点可以有任意多个前驱结点和任意多个后

继结点

数据结构顺序存储结构：将数据结构的数据元素按某中顺序存放在计算机存储器的连

续存储单元中。其结构简单，可节省存放指针的空间，但需要连续

的存储空间，当数据元素的数目不确定时，会造成存储空间的闲置。

链接存储结构：为数据结构的每个结点元素附加一个数据项，其中存放

一个与其相邻接的元素的地址（指针），通过指针找到下一个

相关元素的实际存储地址。每个结点由数据域和指针域组成。

存储结构其存储空间不必连续，在进行插入、删除操作时不必移动结点，

但结点指针要占用额外的存储空间。

索引存储结构：将全部记录分别存放在存储器的不同位置，系统为整个

记录建立一张索引表，表中登记了每条记录的长度、逻辑记录

号和在存储器中位置。通过索引表来访问记录。

散列存储结构：在记录的存储位置和它的关键字之间建立一个确定的对

应关系，使每个关键字和结构中一个唯一的存储位置相对应。

由关键字作某种运算后直接确定元素的地址。

在数据的逻辑结构中，树型结构（1:N）是图型结构（M:N）的特例（M=1），

线性结构（1:1）是树型结构（1:N）的特例（N=1）。

一种数据结构可以表示成一种或多种物理结构。在数据处理过程中，一个恰当的数据结构起着非常重要的作用。

2．算法

算法：即解决特定问题的方法。

数值算法：是解决数值问题的算法，主要进行算术运算，如：求解代数方程、求算法种类解数值积分等。早期的计算机主要用于数值计算。

非数值算法：是解决非数值问题的算法，主要进行比较和逻辑运算，如：排序、查

找、插入、删除等。随着计算机技术的发展，非数值计算的应用越来越

广。

有穷性：在执行有限步之后必须终止

确定性：所给出的每一计算步骤必须是精确定义的

算法准则可行性：要执行的每一计算步骤都可在有限时间内完成

输入：一般应具有0个或多个输入信息，它是算法所需的初始数据

输出：一般应具有0个或多个输出信息，它是算法对输入信息的运算结果

正确性：指在合理的数据输入下，能在有限的运行时间内得到正确的结果。

算法评价运行时间（时间复杂性）：指一个算法在计算机上运算所花费的时间

占用的存储空间（空间复杂性）：指一个算法在计算机存储器中所占用的存储空间

简单性：指容易验证其正确性，且便于编写、修改、阅读和调试

3．P ascal语言简介

整型 integer 一个整型数据占用2个字节的存储单元

实型 real 一个实型数据占用4个字节的存储单元

简单类型字符型 char 一个字符型数据占用1个字节的存储单元

布尔型 boolean 一个布尔型数据（false或true）占用1个字节的存储单元

数组：数组中的元素在位置上是顺序排列的，存储结构是顺序存储结构，逻辑

结构为线性结构。

（1）数据类型记录：记录中的成分在位置上是顺序排列的，存储结构是顺序存储结构，

逻辑结构为线性结构。

结构类型集合：集合与元素的位置无关，存储结构是顺序存储结构，逻辑结构是

关系为空（即不存在次序关系）的结构

文件：文件中的成分在位置上是顺序排列的，但逻辑结构和存储结构可

以有多种不同结构。

指针类型是以存储单元的地址作为其值的一种数据类型，它也是一种整体变量，

系统为指针变量分配一个固定的存储单元，一般为2个字节。指针类型

的定义为: ↑类型标识符

数组、记录、集合之间的区别

（2）语句

赋值语句：变量名：=表达式；

转向语句： goto 语句标号；

调用过程语句：过程名（参数表）；

退出循环语句： exit；

返回语句：return；

出错处理语句：error（字符串）；

复合语句： begin语句1；语句2；…；语句n end；

条件语句：if条件then语句1 [else语句2]；

情况语句：case变量名of

常量1：语句1；

常量2：语句2；

……

end；

for循环语句：for变量名：=初值to [downto]终值do语句；

while循环语句：while条件do语句；

repeat循环语句： repeat一组语句until条件；

2.2 线性表

1． 线性表的逻辑结构

线性表：是具有相同特征的数据元素的一个有限序列，除第一个和最后一个元素外，每个元素

都只有一个之间前驱和一个直接后驱。表示为：（a 1，a 2，… a i … a n ）

逻辑结构：

是线性结构。 2． 线性表的存储结构

线性表的存储结构有两种： 顺序存储结构 和 链接存储结构 。 顺序表：具有顺序存储结构的线性表 线性链表：具有链接存储结构的线性表

单链表：每个结点有一个指针域，有一个头指针h 而无尾指针，

表中最后一个结点的

指针域是空的。其结构简单，但查找效率不高（查某结点总要从头开始）

线性链表 循环链表：每个结点有一个指针域，有一个头指针h 和一个尾指针r ，表中最后一

个结点的指针域不是空的，尾指针指向表的第一个结点。它形成环行结构，可显著提高查找效率（从任何结点出发都能查到所需结点）。

双向链表：每个结点有两个指针域，一个指向直接前驱，一个指向直接后驱。它形

成双环行结构，可进一步提高查找效率（从某结点出发，既可以向前查又可以向后查）。

单链表

循环链表

双向链表

3． 线性表的运算

（1）

基本运算

插入：在表中任一位置插入一个结点 删除：删除表中任一结点 修改：修改表中给定结点的值 读值：读取表中给定结点的数据

求长：计算表中结点的个数

清表：清除表中结点，使其成为空表

检索：找出表中给定特征的结点

排序：按给定要求对表中元素重新排序

（2）常用算法举例

·顺序表的插入

例题： ** 向线性表中第i个元素位置插入一个新元素 **

算法步骤：

1）检查i值是否超出所允许的范围（1≤i≤n+1），若超出，则进行“超出范围”错误处理；

2）将线性表的第i个元素和它后面的所有元素均向后移动一个位置；

3）将新元素写入到空出的第I个位置上；

4）使线性表的长度增1。

PROCEDURE insertlist(v,n,i,x)

BEGIN

IF (i<1) OR (i>n+1) THEN

[FOR j:=n DOWNTO i DO

v[j+1]:=v[j];

v[i]:=x;

n:=n+1 ] 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7#8#

·顺序表的删除

例题： ** 删除线性表中第i个元素 **

算法步骤：

1）检查i值是否超出所允许的范围（1≤i≤n），若超出，则进行“超出范围”错误处理；2）将线性表的第i个元素后面的所有元素均向前移动一个位置；

3）使线性表的长度减1。1# 2# 3# 4# 5# 6# 7#

PROCEDURE deletelist(v,n,i)

BEGIN

IF (i<1) OR (i>n+1) THEN

[FOR j:=i TO n-1

v[j]:=v[j+1];

n:=n-1

END;

·单链表的插入

例题： ** 向单链表中第i 个结点(i ≥0)之后插入一个元素为b 的结点 ** 算法步骤：

1）为待插入元素b 分配一个结点(假定是由s 指针变量所指向的结点,即s ↑结点) ,并把b 赋给s ↑结点的值域;

2） 如果i=0,则将s ↑结点插入表头后返回； 3） 从单链表中查找第i 个结点；

4）若查找成功,则在第i 个结点后插入s ↑结点,。否则表明值超出单链表的长度,应进行

错误处理。

插入前

head

插入后 head

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8

插入前

插入后

PROCEDURE insert(head,i,b) BEGIN

； S ↑.data:=b ；

i=0 THEN [s ↑.next:= head ； head:=s ； RETURN ]； ； j:=1 ； {用指针P 指向单链表中第j 个结点}

While (p< > nil) and (j

p< >nil THEN { 若条件成立，则表明查找成功 }

s ↑.next:=p ↑.next ； {使s ↑结点的指针域指向p ↑结点的后继 } p ↑.next:=s ； {使p ↑结点的指针域指向s ↑结点} ELSE error ('error') END;

· 单链表的删除

例题： ** 在单链表中删除结点d ** 算法步骤：

1） 如果单链表为空，则进行出错处理；

data next

2） 如果表头结点是被删除结点，则删除该结点后返回；

3） 从单链表中查找其值等于d 的结点，直到查找结束（成功或失败）为止； 4）若查找成功,则删除被查找到的结点后，否则进行错误处理。

删除前

head

删除后 head

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

删除前

删除后

PROCEDURE delete(head,d) BEGIN

IF head=nil THEN error （'this is a empty list'）； head ↑.data =d THEN

p:=head ； {把表头指针赋给P ，以便删除表头结点后收回该结点} head:=head ↑.next ； {删除表头结点}

dispose(p)； {系统回收由p 所指向的结点，即原表头结点} RETURN ； {返回}

； p:=q ↑.next ；{ P 指向待比较的结点,q 指向p 的前驱结点}

While p< > nil do

IF p ↑.data=d THEN exit ELSE [q:=p; p:=p ↑.next]；

p< >nil THEN

q ↑.next:=p ↑.next ； {删除p ↑结点,即值为d 的结点} dispose(p)； {回收p 结点} ELSE error('error') END;

结论：在表很长时，采用顺序方式时插入和删除元素的效率很低，只有在很少进行插入和删除

运算的情况下，采用顺序表才是合适的。而线性链表的插入和删除运算效率总是很高，与表长无关。

4. 线性表的应用

data next

线性表是应用最广的数据结构。常见的有：

（1）高级语言中的数组

（2）操作系统中的文件系统、目录系统

（3）事务管理中的表格

2.3 数组

1.数组的概念

数组：按一定格式排列起来的一列同一属性的项目。有一维数组、二维数组、三维数组等。

二维数组：每一行都是一个线性表，每一个数据元素既在一个行表中，又在一个列表中。

2.数组的存储结构

计算机中的存储单元是一维结构，数组是多维结构，用一维的连续单元存放数组时，按存放次序的不同有下列不同的存放形式：

·按行优先顺序存放

元素a ij的存储地址为：

Loc（a ij）= Loc（a11）+（i-1）x n +（j-1）（1≤i≤m， 1≤j≤n）

(式中：m为二维数组的总行数，n为总列数，a ij代表其中第i行、第j列的那个元素) ·按列优先顺序存放

元素a ij的存储地址为：

Loc（a ij）= Loc（a11）+（j-1）x m +（i-1）（1≤i≤m， 1≤j≤n）

·压缩存储结构

适用于数组中含有大量零元素的特殊数组，如下三角阵、三对角阵、稀疏矩阵，它只存储非零元素，这样可以节省大量存储空间。

2.4 栈与队

1．栈

(1) 基本概念

栈(或称堆栈):是一种仅允许在一端进行插入和删除运算的线性表, 遵循后进先出的原则。

栈顶：栈中可以进行插入和删除的那一端。

栈底：栈中不可以进行插入和删除的那一端。

进栈（或称入栈、压栈）：向一个栈插入新元素，即把新元素放到栈顶元素的上面，使其

成为新的栈顶元素。

出栈（或称退栈）：一个栈删除元素，即把栈顶元素删除掉，使其下面相邻的元素成为新

的栈顶元素。

（2）存储结构

有顺序存储和链接存储两种结构，链接存储的栈叫链栈。

顺序存储的栈：

链栈：

（3）运算

（4）应用

·过程的嵌套和递归

·表达式求值

·程序编译过程中的语法检查

·地图四染色问题

2．队

(1) 基本概念

队:是一种限定在一端进行插入而在另一端进行删除的线性表, 遵循先进先出的原则。

进队：从队尾插入一个新的队尾元素。

出队：将一个队中的队头元素删除。

（2）存储结构

有顺序存储和链接存储两种结构，链接存储的队叫链队。

队可以用一维数组表示q（1：m），m表示队列的最大容量，front表示头指针，rear表示尾指针，入队时，尾指针增1，出队时，头指针增1，当rear-front=m时，队满。

顺序存储的队：

链队：

front data next

（3）运算

·插入一个新的队尾元素，即进队;

·删除队头元素，即出队;

·设置一个空队列;

（4）应用

·划分子集问题

·离散事件仿真

2.5 树

1．树的概念

树：是由一个或多个结点组成的有限集T，其中有且仅有一个结点称为根结点，其余结点可以分为m（m≥0）个互不相交的有限集T1，T2，…，Tm，其中每个集合本身又是一棵树

（叫子树）。是一个递归定义。

结点：表示树中的元素，包含数据项及若干指向其子树的分支。

结点的度：结点拥有的子树数。

叶子：度为0的结点，又称端结点。

孩子：结点子树的根称为该结点的孩子结点。

双亲：孩子结点的上层结点。

兄弟：同一双亲的孩子。

结点的层次：从根结点开始算起，根为第一层。

深度：树中结点的最大层次数。

森林：是m棵互不相交的树的集合。

有序树：树中结点同层间从左至右有次序排列，不能互换的树。能互换的树称为无序树。

二叉树：是n（n≥0）个结点的有限集，它或为空树（n=0），或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成。也是一个递归定义。

满二叉树：深度为h且含有2h-1个结点的二叉树，即树中每一层的结点数是满的二叉树。

完全二叉树：在一棵二叉树中，除最后一层外，若其余层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是右边缺少连续若干个结点的二叉树。满足关系式：2h-1 -1

2．二叉树的存储结构

可以有顺序存储和链接存储两种。顺序存储只适合完全二叉树，能够充分利用存储空间，但对一般二叉树不合适，会造成许多存储单元空闲。

一般的二叉树通常用具有两个指针域的链表作为二叉树的存储结构。其中每个结点由数据域、左指针域和右指针域组成。

二叉树的基本性质：

1）二叉树的第i层上至多有2i-1（i≥1）个结点；

2）深度为h的二叉树中至多含有2h-1个结点。

3）若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子结点，有n2个度为2的结点，则必有：n0=n2+1

3．将树转换成二叉树的方法：

1）在兄弟间加一连线

2）对每个结点，除了其左孩子外，去除其与右孩子之间的联系

3）以树的根结点为轴心，将整树顺时针转45°。

3．二叉树的运算

二叉树的运算包括: 二叉树的遍历、求二叉树的深度、输出二叉树、二叉树的线索化和利用

线索进行遍历等。

（1）二叉树的遍历

这是二叉树中其它所有运算的基础。它是指按照一定次序访问树中所有结点，并且每个结点仅被访问一次的过程。

遍历一棵非空二叉树的问题可分解为三个子问题：访问根结点、遍历左子树、遍历右子树。

相应的二叉树的遍历方案有六种：DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD。

（2）求二叉树的深度

若一棵二叉树为空，则深度为0；否则求二叉树深度的递归定义为：它等于左子树和右子

树中的最大深度加1。即：depth=max（depL，depR）+1

求二叉树深度的递归算法：

function depth（bt）：integer；

begin

if bt=nil then depth：=0

else depL：= depth（bt↑.Left）；

depR：= depth（bt↑.right）；

if depL>=depR then depth:=depL+1

else depth:=depR+1

end;

5．二叉树的应用

1）判定树是用一系列判定构成的树，用于判定。

2）哈夫曼树是一类带权路径最短的树，用于信息检索。

3）二叉排序树是一种特殊结构的树，可作为一种表的组织手段，用于排序和检索。2.6 图

1.图的概念

图的概念：是一种比线性表和树结构复杂的数据结构，数据元素之间的关系可以是任意的，图中任意两个元素之间可以相联结。

图的定义：图G是由两个集合V（G）和E（G）组成的，记为：G =（V，E）

其中V（G）是顶点的非空有限集合

E（G）是边的有限集合，边是顶点的无序对或有序对。

有向图G：即在图G中，E（G）是有向边，边是顶点的有序对，记为。

无向图G：即在图G中，E（G）是无向边，边是顶点的无序对, 记为(V,W)或(W,V)。

2.图的存储结构

（1）关联矩阵

关联矩阵表示边与顶点的关联关系，它的每行对应图的一个顶点，每列对应图的一条边。

具有n个顶点和e条边的图就是一个（n x e）阶矩阵，当某边连到某顶点时，与该边和该顶点对应的矩阵元素为1，否则为0。用关联矩阵表示的图比较简单，用一个二维数组即可存储。但这种关联矩阵是个“稀疏”矩阵，因为每列只有两个非0元素，浪费内存。

（2） 邻接矩阵

邻接矩阵表示各顶点间的邻接关系，是一个（n ｘｎ）阶方阵，n 为图的顶点数。每行和每列都分别对应图的各个顶点，两顶点有边相连就称两点相邻接。

1 对无向图存在（V i ，V j ）边，对有向图存在边; a ij =

0 反之

对无向图，其邻接矩阵是对称的，只输入和存储上三角矩阵元素即可得到整个邻接矩阵。 当图的顶点较多而边数较少时，邻接矩阵也是“稀疏”矩阵，浪费存储空间。

（3） 邻接表

邻接表是图的一种链式存储结构，由邻接矩阵改进而来，只考虑非0元素，节省存储空间。在邻接表中对每个顶点建立一个单链表，链表中的每个结点对应着该行的一个非0元素。

（4） 十字链表

十字链表有向图的一种链式存储结构。 3. 图的遍历

遍历图：从图中某一顶点出发，访问图中其余顶点，且使每一顶点仅被访问一次。 深度优先搜索：类似于树的先根遍历，是一个递归过程。

遍历顺序 广度优先搜索：类似于树的按层次遍历的过程，不是一个递归过程。

2.7 检索

1. 基本概念

检索：也称查找，是根据给定的某个值，在表中确定一个关键字等于给定值的记录或数据元

素。它不是一种数据结构，而是一种辅助性运算。

平均查找长度ASL ：为确定记录在表中的位置所进行的和关键字比较的次数的期望值，是衡量

n i 个元素的概率， Ci 为找到第i 个元素所需的比较次数。 2. 常用检索方法

2.8 排序

1．基本概念

排序：是将一组记录按其关键字的递增或递减的次序排列起来。它也是一种运算。2．常用排序方法