创新设计高考数学二轮复习浙江专用习题 小题综合限时练三 含答案

(限时：40分钟)

一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5 B.－3 C.1＋4i

D.1－4i

解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A

2.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)

D.(2，＋∞)

解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点?b

a ＞3?e ＞2.故选D. 答案 D

3.设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋ f (－4)＝1，则a 等于( ) A.－1 B.1 C.2

D.4

解析 设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋a ，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2. 答案 C

4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝1

3，则△ABC 面积的最大值为( )

A.2

B. 2

C.12

D. 3

解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝4

3bc ， 所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×22

3＝ 2.故选B. 答案 B

5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.43π＋833

B.

43π

3＋8 3

C.43π＋83

3

D.43π＋8 3

解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：

V ＝1

3Sh ＝2π＋43×23＝43π＋833.

答案 A

6.设函数f (x )＝e x ＋1，g (x )＝ln(x －1).若点P 、Q 分别是f (x )和g (x )图象上的点，则|PQ |的最小值为( ) A.22

B. 2

C.322

D.2 2

解析 f (x )＝e x ＋1与g (x )＝ln(x －1)的图象关于直线y ＝x 对称，平移直线y ＝x 使其分别与这两个函数的图象相切.由f ′(x )＝e x ＝1得，x ＝0.切点坐标为(0，2)，其到直线y ＝x 的距离为2，故|PQ |的最小值为2 2.故选D. 答案 D

7.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若F A →

＝(2－1)AB →，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.2 2

D. 5

解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝b

a x ②，联立①②，

解得交点B ?

??

??ac c －a ，bc c －a ， 由F A →＝(2－1)AB

→，得c ＝(2－1)ac c －a ，c ＝2a ，e ＝ 2. 答案 A

8.已知函数f (x )＝?????1－|x |， （x ≤1），

x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是

( ) A.[－2，2] B.[－2，2]∪[4，＋∞) C.[－2，2＋2]

D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)

解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.

由x 2－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍). 由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.

再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.已知x ? ?

???x ＋a x 5展开式中的常数项为20，其中a ＞0，则a ＝________.

解析

T r ＋1＝C r 5x ·x

5－r ·? ??

??a x r ＝a r C r 5x 6－3

2r . 由???6－3

2r ＝0，a r C r 5＝20，得????

?r ＝4，a 4

＝4，因为a ＞0，所以a ＝

2.

答案 2

10.已知双曲线x 25－y 2

4＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝________；离心率e ＝________. 解析 依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝25，离心率e ＝c

a ＝1＋

b 2a 2＝355.

答案 25

355

11.已知函数f (x )＝???3x －1，x ≤1，

f （x －1），x >1，则f (f (2))＝________，值域为________.

解析 依题意，f (2)＝f (1)＝2，f [f (2)]＝f (2)＝2；因为f (x )＝f (x －1)，所以函数f (x )具有周期性，故函数f (x )的值域为(－1，2].

答案 2 (－1，2]

12.将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y ＝sin ? ????2x －π6，则φ＝________? ????0<φ<π2，再将函数y ＝sin ? ?

???2x －π6图象上各点

的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________. 解析 依题意，sin ??????2? ????x －π12＝sin ? ????2x －π6，故φ＝π12.将y ＝sin ? ????

2x －π6图象上各点

的横坐标伸长到原来的2倍后得到y ＝sin ? ????

x －π6的图象.

答案 π12 y ＝sin ?

????

x －π6

13.已知

????

??????f （n ）n 是等差数列，f (1)＝2，f (2)＝6，则f (n )＝________，数列{a n }满足

a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1，数列?

????????

?11＋a n 的前

n 项和为S n ，则S 2015＋1

a

2016

＝________.

解析 由题意可得f （1）1＝2，f （2）2＝3，又??

????

f （n ）n 是等差数列，则公差为1，所以f （n ）

n ＝2＋(n －1)＝n ＋1，f (n )＝n (n ＋1)＝n 2＋n ；a n ＋1＝f (a n )＝a n (a n ＋1)，则1a n ＋1＝1a n （a n ＋1）＝1a n －1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，S 2015＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…

＋1a 2015＋1＝? ????1a 1－1a 2＋? ????1a 2－1a 3＋…＋? ????1

a 2015－1a 2016＝1a 1－1a 2016，所以S 2015＋1a 2016＝1

a 1＝1.

答案 n 2＋n 1

14.设a 、b 是单位向量，其夹角为θ.若|t a ＋b |的最小值为1

2，其中t ∈R ，则θ＝________.

解析 因为t ∈R ，所以|t a ＋b |2＝t 2＋2t cos θ＋1＝(t ＋cos θ)2＋1－cos 2θ≥1－cos 2θ＝14.得cos θ＝±3

2?θ＝π6或5π6.

答案π

6或

5π

6

15.已知数列{a n}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n}满足x1＝3，x1＋x2＋x3＝39，xa nn＝xa n＋1n＋1＝xa n＋2n＋2，则x n＝________.

解析设xa nn＝xa n＋1n＋1＝xa n＋2n＋2＝k，则a n＝log x n k?1

a n

＝log k x n，同理1

a n＋1

＝

log k x n＋1，

1

a n＋2

＝log k x n＋2，因为数列{a n}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数

列，所以2log k x n＋1＝log k x n＋log k x n＋2?x2n＋1＝x n x n＋2，所以数列{x n}是等比数列，把x1＝3代入x1＋x2＋x3＝39得公比q＝3(负值舍去)，所以x n＝3×3n－1＝3n.

答案3n