1989考研数三真题及解析
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点12
2,π
π??+
???处的切线方程是__ _ .
(2)
幂级数
n
n ∞
=的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组
1231231
230,0,0
x x x x x x x x x λλ++=??
++=??++=? 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为
()00sin 0212
,x ,F x A x,
x ,,x ,
π
π
?
?
=≤≤???>
??
则A =__________,6P X π?
?<=???
? .
(5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不
等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设()232x
x
f x ,=+-则当0x →时 ( )
(A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )
(A) ()()f x dx f x '=? (B) ()()df x f x =?
(C)
()()d
f x dx f x dx
=? (D) ()()d f x dx f x =? (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( )
(A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例
(B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A 中至少有一行(列)的元素全为0
(4) 设A 和B 均为n n ?矩阵,则必有 ( )
(A) A B A B +=+ (B)AB BA = (C) AB BA = (D) ()
1
11A B A B ---+=+
(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )
(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”
(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”
三、计算题(本题满分15分,每小题5分)
(1) 求极限1
1lim sin cos x
x .x x →∞??+ ??
?
(2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2z
x y
???.
(3) 求微分方程562x y y y e -'''++=的通解.
四、(本题满分9分)
设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为
2
()10x P P x e -
==,
且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.
(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)
(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分)
五、(本题满分9分)
已知函数
,
01,()2,1 2.x x f x x x ≤≤?=?
-≤≤?
试计算下列各题： (1) 2
00
();x
S f x e dx -=?
(4分) (2) 4
12
(2);x S f x e dx -=-?(2分)
(3) 22
2(2)(2,3,);n x
n n
S f x n e dx n +-=-=?
(1分) (4) 0
n n S S ∞
==∑.(2分)
六、(本题满分6分)
假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记
1
()(),x a
F x f t dt x a =-?
证明在(,)a b 内,()0F x '≤.
七、(本题满分5分)
已知X AX B,=+其中010111101A ,????=-????--??112053B ,-????=????-??
求矩阵X .
八、(本题满分6分)
设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===. (1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分) (2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)
(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)
九、(本题满分5分)
设12
2212221A .-????=--????--??
(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)
(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1
E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)
十 、(本题满分7分)
已知随机变量X 和Y 的联合密度为
(),,,
(,)0,
x y e x y f x y -+?<<+∞<<+∞=?
? 00其它. 试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)
十一、(本题满分8分)
设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】1y x =+
【解析】对函数2sin y x x =+两边对x 求导,得12cos y sin x x,'=+ 令2
x π
=
得2
12sin
cos
12
2x y .ππ
π
='=+=所以该曲线在点12
2,π
π??+ ???处的切线的斜率为1, 所以 切线方程是122
y x ,ππ
?
?
-+=- ??
?即1y x =+为所求. (2)【答案】[1,1)-
【解析】因系数1n n a a +=
=从而
1lim
1,n n n n a a +→∞
== 即幂级数的收敛半径1R =,当11x -<<时幂级数绝对收敛. 当1x =-
时得交错级数
n n ∞
=(条件收敛)；当1x =
时得正项级数0
n ∞
=(发散).
于是,幂级数的收敛域是[1,1)-. (3)【答案】1λ≠
【解析】n 个方程n 个未知数的齐次方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是0A =, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A 为方阵时,用0A =判定比较方便.
而 2111
001
1010(1),1
11
1
1
1
A λ
λλλλ-==-=-
所以当0A ≠时1λ≠.所以此题应填:1λ≠. (4)【答案】1,
1
2
【解析】由于任何随机变量X 的分布函数()F x 是右连续函数,因此对任何x ,有
()(0)F x F x =+.
对于2
x π
=
,有()sin
,(0) 1.2
22
F A A F ππ
π
==+= 令 ()2
F π=(
0)2
F π
+,得到1A =,其中0
(0)lim ()x F x F x +
→+=.又 66
6P X P X ,ππ
π????<=-<
因()F x 在6
x π
=
处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此06P X .π?
?
=
=???
?
所以 666P X P X πππ??
??<=-<≤?????
???66F F ππ????
=-- ? ?????
162sin .π==
(5)【答案】
1
9
【解析】由切比雪夫不等式2
{}DX
P X EX εε-≥≤
,有
221
{3}(3)9
P X σμσσ-≥≤=
.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)
【解析】由洛必达法则有
()0002322ln23ln3lim lim lim ln2ln31
x x x x x x x f x x x →→→+-+===+. 所以()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C)
【解析】由不定积分的概念和性质可知,
()()()
()d
f x dx f x dx f x .dx '
==?
?
()()()f x dx df x f x C,'==+??C 为常数.
()()d f x dx f x dx.=?
故应选(C). (3)【答案】(C)
【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.
因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了
||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.
以3阶矩阵为例,若 112123134A ?? ?
= ? ???
,
条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.
若123124125A ??
?
= ? ???
,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.
这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C) 【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.
因此,若要拆开n 阶行列式A B +,则应当是2n
个n 阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.
若1010,0102A B ????
==?
???
????
,则 ()1
1
11
1
1
02
0020102,1310301000
223A B A B ----??
??????????????+==+=+=????
?????????????
???
???
?
. 而且()1
A B -+存在时,不一定11,A B --都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式AB A B B A BA =?=?=知(C)正确.
注意,行列式是数,故恒有A B B A ?=?.而矩阵则不行,故(B)不正确.
(5)【答案】D
【解析】设事件B =“甲种产品畅销”,事件C =“乙种产品滞销”,则 A 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为A BC,=则
_____
A BC
B
C ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).
三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞
型未定式求极限.
设1
u x
=
,则当x →∞时,0u →.于是 1
011lim(sin cos )lim(sin cos )x
u x u u u x x
→∞→+=+ 1sin cos 1
sin cos 10
lim(1sin cos 1)
u u u u u
u u u +-?
+-→=++-,
令sin cos 1u u t +-=,则0u →时0t →, 所以 1
1sin cos 1
lim(1sin cos 1)
lim(1)u u t
u t u u t e +-→→++-=+=,
所以 01sin cos 1
sin cos 1
sin cos 1lim
sin cos 10
lim(1sin cos 1)
lim u u u u u u u u u u
u
u u u u u e
e
→+-+-+-?
+-→→++-==,
由洛必达法则得
00sin cos 1cos sin lim
lim 11
u u u u u u
u →→+--==,
所以 1
11lim(sin cos )x x e e x x
→∞+==.
(2)【解析】方法一：先求z x ??,再求2z
x y
???.由复合函数求导法则,
z f u f v f f
y ,x u x v x u v
???????=+=+??????? 故 2()z f f
y x y y u v
????=+?????
22222
2f u f v f
f u f v y u y u v y v v u y v y ???????????=++++ ??????????????
22222
2f f f f f x y xy u u v v u v v ?????=++++??????? 22222()f f f f
x y xy u u v v v
????=++++?????. 方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得
1212()()()()dz f d x y f d xy f dx dy f ydx xdy ''''=++=+++
1212()()f yf dx f xf dy ''''=+++.
于是有 12x z f yf '''=+. 再对y 外求偏导数,即得
122111221222()()()xy y y z f y f f f xf y f xf f ''''''''''''''''=++=++++
11
12222()f x y f xyf f '''''''=++++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点
(,)x y 处的偏导数存在,且
,z f u f v z f u f v
x u x v x y u y v y
??????????=+=+??????????. (3)【解析】微分方程562x y y y e -'''++=对应的齐次方程560y y y '''++=的特征方程为
2560r r ++=,
特征根为122,3r r =-=-,故对应齐次微分方程的通解为2312x
x C e
C e --+. 设所给非齐次方程的特解为*()x y x Ae -=,代入方程562x y y y e -'''++=,比较系数,得1A =,故所求方程的通解为
231212,,x x x y C e C e e C C ---=++ 为常数.
【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()x m f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性
微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如 *()k x m y x Q x e λ=
的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按
λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.
四、(本题满分9分) 【解析】(1)收益函数
2
()10,06x R x xP xe x -
==≤≤.
边际收益函数
25(2)x dR
MR x e dx
-==-.
(2)由 25(2)0x dR
x e dx
-=-=,得2x =.
又
22
2
2
2
55
(4)02
x x x d R
x e dx e
-===-=-<.
因此()R x 在2x =取极大值.
又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为20(2)R e
=. 所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为
20e .而相应的价格为10e
. (3)
五、(本题满分9分)
【解析】(1)()f x 为分段函数,由定积分的性质, 2
12
00
1
()()()x x x S f x e dx f x e dx f x e dx ---==+?
??
1
20
1
(2)x
x xe dx x e dx --=+-?
?
1
2
1
(2)x
x xde
x de --=
-+-??
1
2
1
201
1
(2)x x x x
xe e dx x e e dx ----????=-+
+--?????
?
1
2
201111
01()x x
e e e e e --????=+---=-+--+????
2
12
1e e
=
-+. (2)用定积分换元法,
令2x t -=,则2,x t dx dt =+=,所以 4
22
(2)2120
(2)()()x t t S f x e dx f t e dt e f t e dt --+--=-==??
??,
而 2
02
12
()1x S f x e dx e e
-=
=
-+?
, 故 2
2
22102
12
()(
1)t S e f t e dt S e e e e
----=?
==-+?
. (3) 用定积分换元法,
令2x n t -=,则2,x t n dx dt =+=,所以 22
22
(2)220
(2)()()n x t n n t n n S f x n e dx f t e dt e f t e dt +--+--=-==??
??
而 2
020
12
()1x S f x e dx e e
-=
=
-+?
, 故 222202
12
()(
1)n
t n n n S e
f t e dt S e e e e
----=?==-+?. (4)利用以上结果,有
20020
01n
n
n n n n S S S e
S e ∞∞
∞
-===??=== ???
∑∑∑
()2
2
0022211
1
11
1
1e S e S
e e e e e
--=
==
=
--+-.
六、(本题满分6分) 【解析】对1()()x
a F x f t dt x a
=
-?两边对x 求导,得 2
2
()()()()()
()()
()
x
x
a
a f t dt
x a f x f t dt
f x F x x a x a
x a ---'=
+
=---??.
证法一：由积分中值定理知,在(,)a x 内存在一点ξ使得
()()()x
a
f t dt f x a ξ=-?
,
所以 2
2()()()()()()()()()
()()
()x
a x a f x f t dt
x a f x f x a f x f F x x a x a x a
ξξ------'=
=
=
---?. 又因为()0,f x a x ξ'≤<<,故有()()0f x f ξ-≤,所以()0F x '≤. 证法二：令()()()()x
a
g x x a f x f t dt =--
?
,则
()()()()()()()g x f x x a f x f x x a f x '''=+--=-.
因为,()0x a f x '>≤,所以()0g x '≤, 即()()()()x
a
g x x a f x f t dt =--?
在(,)a b 上为减函数,所以()()0g x g a ≤=,
所以 2
()
()0()
g x F x x a '=
≤-.
七、(本题满分5分)
【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下：
由X AX B,=+得()E A X B.-=
因为 ()1
111002111013213102011E A ,---????
????-=-=-???
?????-???? 所以 ()102111311321202030115311X E A B .---??????
??????=-=-=?????????
???---?????? 方法二：本题还可用由()E A X B -=作初等行变换()()E A B E X -→,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.
()11011101
2010253E A B --??
??-=-????-??
, 第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以()1-加到第三行上,得
110
110111100333--??
??-????-??
第三行自乘13
,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有100
3101020001
11-??
??????-??
, 所以312011X .-??
??=????-??
八、(本题满分6分) 【解析】m 个n 维向量12m ,,
,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组.
()1212
0m m x x x ααα????
??=??????
有非零解.
特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.
由于
123111
,,123513t t
ααα==-,
故当5t ≠时,向量组123,,ααα线性无关；5t =时向量组123,,ααα线性相关. 当5t =时,设11223x x ααα+=将坐标代入有
12121
21,23,3 5.
x x x x x x +=??
+=??+=?解出121, 2.x x =-=即3122ααα=-+.
九、(本题满分5分)
【解析】(1) 矩阵A 的特征方程为
1
222
1
22
2
1E A λλλλ+---=-+-+, 经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有
12
21
2
211
203
40
2
1
2
1
E A λλλλλλλλ-------=-+=+++ ()
()()2
3
4115021
λλλλλ+=-=-+=+, 故矩阵A 的特征值为：115,,-.
(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1
A αλα-=.
因为0α≠,故0λ≠,于是有1
1
A ααλ
-=
.按特征值定义知
1
λ
是1
A -的特征值.
由A 的特征值是115,,,-可知1
A -的特征值为1115
,,.-又因为
()
1
1(1)E A ααλ
-+=+, 那么1
E A -+的特征值是4225
,,.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.
十 、(本题满分7分)
【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分
()0
{}(,)y
x y x y
P X Y f x y dxdy dy e dx +∞
-+<<=
=???
?
y
y x e dy e dx +∞
--=??0
()
x y y x x e e dy +∞=--==-?
20
1(1)2y y y y e e dy e e +∞
+∞
----??
=-=-+ ????
1.2=
(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得
()0
()(,)x y E XY xyf x y dxdy xye dxdy +∞
+∞
+∞
+∞
-+-∞-∞
==?
?
?
?
x
y xe dx ye dy +∞
+∞--=?
?
.
因为由分部积分法有
00
y y y
y
ye dy yde ye e dy +∞
+∞
+∞----+∞=-=-+?
?
? 00
y
y ye e
--+∞+∞=--, 由洛必达法则,对
∞∞
型极限,有1lim lim 0y
y y y ye e -→∞→∞==.所以有() 1.E XY =
十一、(本题满分8分)
【解析】以A 表示事件“对X 的观测值大于3”,依题意,X 的概率密度函数为
1
,25,
()3
0,
x f x ?≤≤?=???其它. 因此 5
3
12(){3}.33
P A P X dx p =>==?
设随机变量Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件A 出
现的次数).显然, Y 服从参数2
3,3
n p ==
的二项分布,因此,所求概率为 {2}{2}{3}P Y P Y P Y ≥==+=223321220
()()()33327
C =+=.
【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则
{}(1)k k
n k n P Y k C p p -==-, 0,1,
,k n =.