2013MATLAB原理及应用实验报告第三章

《MATLAB原理及应用》实验报告

第三章MATLAB的符号运算

一．实验目的

1、掌握符号对象的命名方法

2、掌握符号表达式的基本运算

3、掌握符号级数的求法

二．实验设备

计算机、MATLAB软件

三．实验内容

1.确定符号表达式的变量

为了简化符号对象的操作和计算，MATLAB为用户提过了findsym命令。

r=findsym(S)确定符号表达式或者矩阵S中自由符号变量

r=findsym(S，n)确定符号表达式或者矩阵S中靠近x最近的n个独立符号变量。【实验3-1】使用MA TLAB的命令确定符号表达式的变量。

在MATLAB的命令窗口中输入下例内容：

>> syms a x y z t

确定下面简单符号表达式中的符号变量信息：

>>findsym(sin(pi*t))

ans =

t

确定下面简单符号表达式中的符号变量信息：

>>findsym(x+i*y-j*z)

ans =

x, y, z

确定下面简单符号表达式中的符号变量信息：

>>findsym(a+y,1)

ans =

y

2.符号表达式元算

1.符号表达式的四则运算

表达式的四则运算与数字运算一样，用+、-、/、运算符实现，其运算结果依然是一个符号表达式。

【实验3-2】

在MATLAB的命令窗口中输入下例内容：

>>f=sym('2*x^2+3*x-5');%定义符号表达式

g=sym('x^2-x+7');

f+g

ans =

3*x^2+2*x+2

ans =

3*x^2+2*x+2

>> f^g

ans =

(2*x^2+3*x-5)^(x^2-x+7)

3.符号表达式的提取分子和分母运算

如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可以可利用numden函数来提取符号表达式的分子或分母。期一般调用格式为[n,d]=numden函数来提取符号表达式

该函数提取的符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n和d中。

【实验3-3】

在MA TLAB的命令窗口中输入下例内容：

>> f= sym('a*x/(b+x)');

>> [n,d]=numden(f)

n =

a*x

d =

b+x

numden函数在提取各部分之前，将符号表达式有利化后返回所得分子和分母 >> g=sym('(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x+1)');

>> [n,d]=numden(g)

n =

x^3+7*x^2+3

d =

(2*x-1)*(x+1)

如果符号表达式是一个符号矩阵，numden返回两个新矩阵n和d，其中n 是分子矩阵，d是分母矩阵。

>> h=sym('[3/2,(2*x+1)/3;a/x+a/y,x+4]')

h =

[ 3/2, (2*x+1)/3]

[ a/x+a/y, x+4]

>> [n,d]=numden(h)

n =

[ 3, 2*x+1]

[ a*(y+x), x+4]

d =

[ 2, 3]

[ x*y, 1]

4.符号表达式的因式分解与展开

MATLAB提供了符号表达式分解与展开的函数，函数的调用格式为

①factor(s) :对符号表达式s分解因式。

②expand(s):对符号表达式s进行展开。

③collect(s):对符号表达式s进行合并同类型。

④collect(S，v) 将表达式S中相同次幂的合并，v的默认值是x

【实验3-4】

>> syms x y

下面简单符号表达式s1因式分解

>> s1=x^3-y^3;

>> factor(s1)

ans =

(x-y)*(x^2+x*y+y^2)

下面简单符号表达式s2进行展开

>> s2=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2);

>> expand(s2)

ans =

7*x^4-13*x^2*y^2-24*y^4

下面简单符号表达式s3按变量y合并同类型

>> s3=(x+y)*(x^2+y^2+1);

>> collect(s3,y)

ans =

y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1)

下面简单符号整数分解因式

>> factor(sym(630))

ans =

(2)*(3)^2*(5)*(7)

5.符号表达式的化简

MATLAB提供的对符号表达式化简的函数如下

Simplify(s) ；应用MuPAD简化规则对s进行化简。

Simple（s）：调用MA TLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。

【实验3-5】

在MATLAB的命令窗口中输入下例内容：

>> s=sym('(x^2+5*x+6)/(x+2)');

>> simplify(s)

ans =

x+3

>> s=sym('[2*cos(x)^2-sin(x)^2,sqrt(16)]');

>> simplify(s)

ans =

[ 3*cos(x)^2-1, 4]

函数simple试用了几种不同的化简工具，然后选择在结果表达式中含有最少字符的那种形式。

下面是表达式cos(3arccos(x))的化简结果 >> s=sym('cos(3*acos(x))');

>> simple(s) %自动调用多种函数对s 化简，并显示每步结果 显示一系列化简过程后，最后显示化简结果 ans = 4*x^3-3*x

6.级数符号求和

求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum,其调用格式为 Symsum(s,v,,n,m)

其中s 表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v 是求和变量，v 省略时使用系统的默认变量。n 和m 是求和的开始项和末项。 【实验3-6】求 +++++

2

22131211k 在MA TLAB 的命令窗口中输入下例内容：

>> syms k

>> symsum(1/k^2,k,1,inf) ans = 1/6*pi^2 >> eval(ans) ans =

1.6449

7.符号微积分

1.符号的积分

符号积分由函数int 来实现，一般调用格式如下。 int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，

int(s,v): 义v 为自变量，对被积函数或符号表达式求不定积分。

int(s,v,a,b): 求定积分运算，a,b 分别表示定积分的上下限。求函数的定积分 【实验3-6】

（1）dx x ?

cos

在MA TLAB 的命令窗口中输入下例内容： >> f=sym('cos(x)'); >> int(f) ans = sin(x)

2.符号的微分

diff 函数用于对符号表达式求导数，一般调用格式如下。

diff(s) :按findsym 函数指示的默认变量对符号表达式s 求一阶导数。 diff(s ，’v ’) :以v 为自变量，对符号表达式s 求一阶导数。

diff(s ，n) ：按findsym 函数指示的默认变量对符号表达式s 求n 阶导数。

diff(s，’v’，n) ::以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。

【实验3-7】已知f(x)＝ax2+bx+c，求f(x)的微分。

在MA TLAB的命令窗口中输入下例内容：

>> f=sym('a*x^2+b*x+c');

>> diff(f)

ans =

2*a*x+b

8.符号方程的求解

在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可以用solve实现，其调用格式如下：

solve（s）：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。

solve（s，v）：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v

Solve (s1,s2…sn,v1,v2 …vn):求解符号表达式s1,s2…sn组成的代数方程，求解变量分别为v1,v2 …vn。

【实验3-8】求方程x2+2x+1=0的解

在MATLAB的命令窗口中输入下例内容：

>> f=sym('x^2+2*x+1=0');

>> solve(f)

ans =

-1

-1

9.课后练习题

1.提取符号表达式2

22m z u ar +++的自由变量

（当符号表达式中含有多余一个符号变量时，只有一个变量是独立变量，其余的符号当作常量。如果不指定那一个变量当作是自由变量，matlab 将基于一定原则选择一个自由变量。） 提示：findsym （s ，n ） >> syms a r u z m

>> findsym(a*r^2+u^2+z+m^2,1) ans = z

2.在MATLAB 中计算多项式2

35

2212-+++-x x x x 的父母和分子 （提示：使用[n ，d]=numden （A ）） >> f=sym('(x^2-1)/(x+2)+(2*x+5)/(3*x-2)'); [n,d]=numden(f) n =

3*x^3 + 6*x + 12 d =

3*x^2 + 4*x - 4

2.1、建立符号函数5

332232-+x x

（1）提取该表达式的分子和分母，并分别付给两个变量

>> s=sym('3/2*x^2+2/3*x-3/5'); [n,d]=numden(s) n =

45*x^2 + 20*x - 18

d =

30

（2）对这两个变量分别进行代数运算（加减乘除及乘方）

>> f=sym('45*x^2 + 20*x - 18');

>> g=30;

>> f+g

ans =

45*x^2 + 20*x + 12

>> f-g

ans =

45*x^2 + 20*x - 48

>> f*g

ans =

1350*x^2 + 600*x - 540

>> f/g

ans =

(3*x^2)/2 + (2*x)/3 - 3/5

>> f^g

ans =

类项。 对参数x ： >> syms x y

>> s=(x+exp(-y)*x^3-y)*((x^(1/2))*y+exp(-2*y)*x); >> collect(s,x) ans =

x^4/exp(3*y) + ((x^(1/2)*y)/exp(y))*x^3 + x^2/exp(2*y) + (x^(1/2)*y - y/exp(2*y))*x - x^(1/2)*y^2 对参数y ： syms x y

s=(x+exp(-y)*x^3-y)*((x^(1/2))*y+exp(-2*y)*x); collect(s,y) ans =

(-x^(1/2))*y^2 + (- x/exp(2*y) + x^(1/2)*(x^3/exp(y) + x))*y + (x*(x^3/exp(y) + x))/exp(2*y)

>> f=sym('(x+exp(-y)*x^3-y)*(aqrt(x)*y+exp(-2*y)*x)') f =

(x+exp(-y)*x^3-y)*(aqrt(x)*y+exp(-2*y)*x)

>> collect(f) ans =

exp(-y)*exp(-2*y)*x^4+exp(-y)*aqrt(x)*y*x^3+exp(-2*y)*x^2+(-y*exp(-2*y)+aqrt(x)*y)*x-y^2*aqrt(x)

3.1.按t e -来合并表达式

))(1(2t t e x xe x --+++的同类项。 >> syms t

>> s=(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t)); >> collect(s,exp(-t)) ans =

x/exp(2*t) + (2*x^2 + 1)/exp(t) + x*(x^2 + 1)

4、使用simple和simplify两个指令分别化简

3

2

3

8

12

6

1

+

+

+

=

x

x

x

f

，比较两个

结果有什么不同

用simplify：

>> s=sym('(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3)'); >> simplify(s)

结果为：

ans =

((2*x + 1)^3/x^3)^(1/3)

用simple：

>> s=sym('(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3)'); >> simple(s)

simplify:

((2*x + 1)^3/x^3)^(1/3)

radsimp:

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) simplify(100):

((2*x + 1)^3/x^3)^(1/3)

combine(sincos):

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) combine(sinhcosh):

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) combine(ln):

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) factor:

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) expand:

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) combine:

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3)

rewrite(exp):

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) rewrite(sincos):

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) rewrite(sinhcosh):

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) rewrite(tan):

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) mwcos2sin:

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) collect(x):

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) 结果为： ans =

((2*x + 1)^3/x^3)^(1/3)

1）>> syms x k >> symsum(x^k,k,0,inf) ans =

piecewise([1 <= x, Inf], [abs(x) < 1, -1/(x - 1)])

>>syms x k

>>symsum((x^k)/(factorial(k)),k,0,inf)

6.分别求下例积分 （1）

dx x ?+211 （2）dx x b a ?+2

11 （3）dx x ?+21211

>> s=sym('1/(1+x^2)'); >> int(s,x) ans =

atan(x)

>> syms a b; >> int(s,x,a,b)

ans =

atan(b)-atan(a)

>> int(s,x,1,2)

ans =

atan(2)-1/4*pi

7.

2

cos x

y 求'y、''y、'''y 'y:

>> f=sym('cos(x^2)')

f =

cos(x^2)

>> diff(f)

ans =

-2*x*sin(x^2)

''y：

>> f=sym('cos(x^2)');

>> diff(f,2)

ans =

- 2*sin(x^2) - 4*x^2*cos(x^2) '''y：

>> f=sym('cos(x^2)');

>> diff(f,3)

ans =

8*x^3*sin(x^2) - 12*x*cos(x^2)

8. 求三元非线性方程组 ??

?

??-=?=+=++1430122z y z

x x x 的解 >> syms x y z

[x y z]=solve('x^2+2*x+1=0','x+3*z=4','y*z=-1','x','y','z') x = -1 y = -3/5 z = 5/3