实变函数第三章复习题及解答

第三章 复习题

一、判断题

1、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，如果对任意实数a ，都有[()]E x f x a >为可测集，则()f x 为E 上的可测函数。（√ ）

2、设()f x 是定义在可测集n

E R ?上的实函数，如果对某个实数a ，有[()]E x f x a >不是可测集，则()f x 不是E 上的可测函数。（√ ）

3、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a ， [()]E x f x a ≥为可测集。（× ）

4、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a =为可测集。（× ）

5、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a ≤为可测集。（√ ）

6、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a 和b （a b <）， [()]E x a f x b ≤<为可测集。（× ）

7、设E 是零测集，()f x 是E 上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数。（√ ）

8、若可测集E 上的可测函数列{()n f x }在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x ，则{()n f x }在E 上“基本上”一致收敛于()f x 。（× ）

9、设()f x 为可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则()f x 在E 上“基本上”连续。（√ ）

10、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x ?（x E ∈），则{()n f x }的任何子列都在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x 。（× ）

11、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x →..a e 于E ，则()()n f x f x ?（x E ∈）。（× ）

二、填空题

1、[]E f a > 等于 11[]n E f a n ∞

-≥+，[]E f a ≥ 等于 11[]n E f a n ∞->-。

2、[]E a f b << 包含于 []E f a >，[]E a f b << 包含于 []E f b <；

[]E a f b << 等于 [][]E f a E f b ><，[]E a f b << 等于 [][]E f a E f b >-≥。 3、设1n n E E ∞==

，则[]E f a < 等于 1[]n n E f a ∞=<。 4、设1n n E E ∞

==，则[]E f a ≥ 等于 1[]n n E f a ∞

=≥。

5、由于区间I 上的单调函数()f x 的不连续点所成的集为 至多可数 集，则()f x 为I 上的 几乎处处 连续函数，从而()f x 为I 上的 可测 函数。

6、叙述可测函数的四则运算性 可测函数经过四则运算所得的函数（只要有意义）仍可测 。

7、叙述可测函数与简单函数的关系 简单函数是可测函数；在几乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限 。

8、叙述可测函数与连续函数的关系 连续函数必为可测函数；可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数 。

9、叙述叶果洛夫定理 设E 是测度有限的可测集，则E 上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛 。

10、叙述鲁津定理 设E 是可测集，则E 上的可测函数“基本上”是连续函数 。

11、若()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈），则()f x 等于 ()g x 几乎处处于 E 。

三、证明题

1、证明：1

R 上的连续函数必为可测函数。

证明：设()f x 是1R 上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数a ，11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈是开集，从而是可测集。所以，()f x 是1R 上的可测函数。

2、证明：1

R 上的单调函数必为可测函数。

证明：不妨设()f x 是1R 上的单调递增函数，对任意实数a ，记inf{()}A x f x a =>，由单调函数的特点得，当{()}A x f x a ∈>时，{()}[,)x f x a A >=+∞，显然是可测集；当{()}A x f x a ?>时，{()}(,)x f x a A >=+∞，也显然是可测集。故()f x 是1R 上的可测函数。

3、证明：若()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈），则()()f x g x =..a e 于E 。 证明：由于11[()()][]n E x f x g x E x f g n ∞=≠=-≥，而 111[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k

-≥?-≥?-≥， 所以，

111[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k

-≥≤-≥+-≥， 由()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈）得

1lim []02n n mE x f f k →∞-≥=，1lim []02n n mE x f g k →∞-≥=。 所以，1[]0mE x f g k

-≥

=，从而[()()]0mE x f x g x ≠=，即()()f x g x =..a e 于E 。 4、证明：若()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈），则()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）。 证明：对任意0σ>，由于

()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-，

所以，由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得，

1()()2n f x f x σ-≥和1()()2

n g x g x σ-≥至少有一个成立。 从而

11[[]][][]22

n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥?-≥?-≥， 所以，

11[[]][][]22

n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥。 又由()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈）得，

1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=，1lim []02

n n mE x g g σ→∞-≥=。

所以，

lim [[]]0n n n mE x f g f g σ→∞

±-±≥=，即()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）。

5、若()()n f x f x ?（x E ∈），则()()n f x f x ?（x E ∈）。

证明：因为()()()()n n f x f x f x f x -≥-，所以，对任意0σ>，有

[][]n n E x f f E x f f σσ-≥?-≥，

[][]n n mE x f f mE x f f σσ-≥≤-≥。

又由()()n f x f x ?（x E ∈）得，lim []0n n mE x f f σ→∞

-≥=。所以，

lim []0n n mE x f f σ→∞

-≥=，即()()n f x f x ?（x E ∈）。