函数连续和可导性练习题
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;. 1. 讨论函数??
?<-≥-=1,11,1)(x x x x x f 在1=x 处的连续性。 2. 已知???>+≤=1
,1,2)(x b ax x x x f 在1=x 处的连续，试求a 值。 3. 设函数???≥+<=0
,0,)(x x a x e x f x 在0=x 处的连续，试求a 值。 4. 讨论函数???<-≥=0
,0,)(x x x x x f 在0=x 处的连续性和可导性。 5. 设函数???≥<=0
,0,sin )(x x x x x f ，求)0(f '。 6. 证明函数??
???=≠=0,00,1arctan )(x x x x x f 在0=x 处的连续但不可导。 7. 确定b a 与.的值，使?
??<-≥+++=0,10,2)sin 1)(x e x a x b x f ax （在0=x 处可导。 8. 已知函数???<-≥=0
,0,)(2x x x x x f ，求)0(+'f 及)0(-'f 又)0(f '是否存在？ 9. 设函数??
???<=>=0,0,0,)(2x x x A x x x f ，则A 为何值时)(x f 在0=x 处的连续，并讨论此时函数在0=x 处是否可导。
10. 确定b a 与.的值，使???>+≤=3
,3,)(2x b ax x x x f 在3=x 处可导。
(完整版)函数的单调性练习题及答案
函数的单调性练习题 一 选择题： 1. 函数f （x ）=x 2+2x-3的递增区间为 ( ) A ．（-∞，-3] B ．[-3，1] C ．（-∞，-1] D ．[-1，+∞） 2. 如果函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.[－3，＋∞) B.(－∞，－3] C.(－∞，5] D.[3，＋∞) 3. 函数111 y x =-- （ ） A ．在（-1，+∞）内是单调递增 B ．在（-1，+∞）内是单调递减 C ．在（1，+∞）内是单调递减 D ．在（1，+∞）内是单调递增 4. 如果函数()f x kx b =+在R 上单调递减，则（ ） A. 0k > B. 0k < C. 0b > D. 0b < 5. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ） A ．2y x =- B ．2y x = C ．||y x = D ．2y x =- 6. 函数2()2f x x x =-的最大值是（ ）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 函数y x =+ ）. A. 0 B. 2 C. 4 D. 二 填空题： 8. 函数f （x ）=2x 2一mx+3，在（一∞，一1）上是减函数，在[一1，+∞）上是增函数，则m=_______。 9.已知()x f 是定义在()2,2-上的减函数，并且()()0211>---m f m f ，则实数m 的取值范围______________。 三 解答题： 10. 利用单调函数的定义证明：函数)2,0(2)(在区间x x x f + =上是减函数.
11.已知定义在区间（0，+∞）上的函数()x f 满足()()2121x f x f x x f -=???? ??，且当1>x 时 ()0 高中数学函数的单调性与导数测试题（附答 案） 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是() A．b2－4ac0 B．b0，c0 C．b＝0，c D．b2－3ac0 [答案] D [解析]∵a0，f(x)为增函数， f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立， ＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0. 2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋) [答案] D [解析]考查导数的简单应用． f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex， 令f(x)0，解得x2，故选D. 3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k ＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为() A．[－1，＋) B．(－，2] C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋) [答案] B [解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]． 4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是() [答案] C [解析]当01时xf(x)0 f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数 当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C. 5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是() A.－，－2和0，2 B.－2，0和0，2 C.－，－2， D.－2，0和 [答案] A [解析]y＝xcosx，当－x2时， cosx0，y＝xcosx0， 当02时，cosx0，y＝xcosx0. 6．下列命题成立的是() A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0 1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式； 函数的性质单调性 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（） 222xxyxyyyx＋ 1 DC．．B．A．==2=3＋1 ＋=2＋1 x2mxxfx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间－2．函数((－∞，－)=42) 上是减函数，f(1)等于（则） B．1 C．17 A．－7 D．25 fxyfx＋5)的递增区间是 (（ (－2，3)上是增函数，则）=3．函数 ()在区间A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5) ax?1axf的取值范围是 )．函数上单调递增，则实数(()=－2，＋∞在区间（） 4x?211，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1) A．(0，B．( ，＋∞) 22fxabfafbfxab]内（， (）)=0]上单调，且在区间([) ()＜5．已 知函数0()在区间[，，则方程 A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没 有实根 D．必有唯一的实根 22gxxgxfxxxf) (．已知函数)=( ))=8＋2( 2－－，那么函数，如果 (（） 6 A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减函数 C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增函数 fxf(x|，1)是其图象上的两点，那么不等式上的增函数，A(0，－1)．已知函数7、(B(3)是R＋1)|＜1的解集的补集是 A．(－1，2) B．(1，4) C．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D．(－∞，－1)∪[2，＋∞） fxtftf(5＝，都有)(5R的函数＋(上单调递减，对任意实数)在区间(－∞，5)8．定 义域为tfff(13) ＜(9)(－1)－＜)，下列式子一定成立的是 A．fffffffff(9) ＜－(13)＜(－1) ＜1)B．(13)＜(13) D(9)＜．(－1) C．((9)＜f(x)?|x|和g(x)?x(2?x)的递增 区间依次是（．函数9 ） B． A． C． D )??[1,[0,????)),][0,,(??,0],(??1]??),(??,1[(??,0],1,??????a4?,?的取值范 围是（10．已知函数）在区间上是减函数，则实数221fx??xx?2a?aaaa≥．3 ．D≤≤3 B．5 ≥－3 C A．fxabab≤0，则下列不等式中正确的是（∈R且＋11．已知())在区间(－∞，＋∞上是增函数，）、 fafbfafbfafbfafb) ()(＋)≤A ．(()＋(≤－)－()＋B()］．－()＋ 三角函数的单调性（人教A版） 一、单选题(共13道，每道7分) 1.下列四个命题中，正确的个数是( )（1）在定义域内是增函数；（2） 在第一、第四象限是增函数；（3）与在第二象限都是减函数；（4） 在上是增函数． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正切函数的单调性 2.的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性 3.函数的一个单调递增区间为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 4.在上，使为增函数，为减函数的区间为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 5.在上，使为增函数，为减函数的区间为( ) A. B.或 C. D.或 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 6.的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正切函数的单调性 7.关于函数，下列说法正确的是( ) A.在上递减 B.在上递增 C.在上递减 D.在上递减答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 8.函数的最小正周期为，则( ) A.在上单调递减 B.在上单调递减 C.在上单调递增 D.在 上单调递增 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性 9.使函数为增函数的区间是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性 10.函数的单调递减区间为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 11.已知函数，则在区间上的最大值与最小值 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 第七节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作 x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量 x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数 ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值 )(x f 都满足不等式：ε <-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义） ，（2） )(lim 0 x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连 高一数学同步测试（6）—函数的单调性 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2 ＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0， 2 1) B ．( 2 1，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞） 8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5 －t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ C ．]1,(),,0[-∞+∞ D ),1[),,0[+∞+∞ 《判断函数在x=x。处可导性的步骤》 利用知识：左右导数。 本人正读高中，知能浅薄，自行探究，若有疏漏请见谅。 【第一步】~~将原函数化成当x ＜x。与x＞x。的"分段函数".（像y=x2这样，分段之后两个式子一样的也要写出来）； 【第二步】~~将这两个式字都化成两个等价的、可用公式方便地求导的式子.（若原本很完美就省略这步）； 【第三步】~~根据求导公式对每个式子进行求导。求导过程中，只着手式子，不用看定义域怎样。定义域照抄下来； 【第四步】 分类讨论···㈠若此时y′为常数，则比较y′左是否等于y′右······························?如果y′左=y′右=这个常数，则说y=f（x）在x=x。处可导····················?如果y′左≠y′右，则说y=f（x）在x=x。处不可导 ···㈡若此时y′为含x代数式，则看当把x=x。代入时有无意义··············?有意义，则代入x=x。后比较y′左与y′右·····①相同，可导②不相同，不可导···············?无意义，不可导。 【【例题演示】】 第一题 ··············判断y=｜X|在x=0处是否可导.·············· 【第一步】y=｜X|等价于y=-x x＜0 y=x x＞0 【第二步】省略 【第三步】y′=（｜X|）′等价于y′左= -1 x＜0 y′右= 1 x＞0 【第四步】 其为常数，又由于两个常数不等，即左右导数不等，所以y=｜X|在x=0处是否不可导。 第二题 ··············判断y=x2在x=0处是否可导····（X的平方）············ 【第一步】y=x2等价于 y=x2 x＜0 y=x2 x＞0 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝ )(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连 函数的单调性检测题 一、选择题 1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有 A ． ()()21x f x f < B ． ()()21x f x f = C ． ()()21x f x f > D ． ()()021>x f x f 2．函数()2 2-=x y 的单调递减区间为 A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞+ C ．),2[+∞ D ．]2,(-∞ 3．下列函数中，在区间(0，2)上递增的是 A ．x y 1 = B ．x y -= C ．1-=x y D ．122++=x x y 4. 若函数1 2)(-=x a x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是 A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()0,1- D ．()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 6. 函数2)1(2)(2 +-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是 A ．3≤a B ．3≥a C ．3-≥a D ．3-≤a 二、填空题 7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =、 )2 (π f b =、)2 3 (f c =的大小关系是 . 9．函数32)(2+--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10．若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞-上是增函数， 则f (1)=________. 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 第 6 次课 2 学时 §1.9 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，如气温的变化，物体速度的变化，动植物的生长等。这些现象在函数上的反映，就是函数的连续性问题。 1．函数的增量 一个变量u 由初值1u 变到终值2u ，终值与初值之差称为u 的增量( 或改变量)，记作 1,u u ??-2即 u=u 对于函数()y f x =，设它在0x 及0x 的某个邻域内有定义，在0x 处给自变量 x 一个增量x ?，则函数有相应的增量00((y y f x f x ??=?， +x)- ) （几何解释） 21()2 1.f x x =-??例设分别求： (1) x 由１变到1.2时， （2) x 由１变到0.8时， 的增量x 和y . 解：（略） 2．函数的连续性 如果自变量 x 的增量 x ?很小时，函数y 的增量y ? 也很小，则说明函数是随着自变量的渐变而渐变的，这时称函数是连续的。 定义 1：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，如果当自变量x 在0x 的增量0x ?→时，相应函数的增量00()()0y f x x f x ?=+?-→，就称函数)(x f y =在0x 点处连续。 注 ：)(x f 在0x 点连续0lim 0x y ?→??=。 例2 ：证明函数2 ()21f x x =-在x=1 处连续。 证明：函数的定义域为(),-∞+∞，在x=1 的邻域内有定义。 ()()()()2222002:1112*1142lim lim 420()211x x x x x x y x x f x x x ?→?→→+?→??????---=?+??? ???=?+?=? ?=-= ， f(x): f(1)f(1+x) y=f(1+x)-f(1)=21+x 故 在 处连续 ． （类似可证该函数在其定义域内的任意一点处都连续。） 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是() A．b2－4ac>0B．b>0，c>0 C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0 [答案] D [解析]∵a>0，f(x)为增函数， ∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立， ∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0. 2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是() A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) [答案] D [解析]考查导数的简单应用． f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x， 令f′(x)>0，解得x>2，故选D. 3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为() A．[－1，＋∞) B．(－∞，2] C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞) [答案] B [解析]令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]． 4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x) 的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( ) [答案] C [解析] 当0 一、函数的连续性 变量的增量: 设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差 u 2u 1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u 2u 1. 设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量 x 在这邻域内从x 0变到x 0x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到 f (x 0 x ), 因此函数y 的对应增量为 y f (x 0 x ) f (x 0). 函数连续的定义 设函数y f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量 x x x 0 趋于零时, 对应的函数的增量 y f (x 0x ) f (x 0 )也趋于零, 即 lim 0 =?→?y x 或)()(lim 00 x f x f x x =→, 那么就称函数y f (x )在点x 0 处连续. 注 ①0)]()([lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x ②设x x 0+x , 则当 x 0时, x x 0, 因此 lim 0 =?→?y x 0 )]()([lim 00 =-→x f x f x x )()(lim 00 x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义 的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式 |x x 0|< 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式 |f (x )f (x 0)|< , 那么就称函数y f (x )在点x 0处连续. 左右连续性: 如果)()(lim 00x f x f x x =- →, 则称y f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+ →, 则称y f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系: 函数y f (x )在点x 0处连续?函数y f (x )在点x 0处左连续且 右连续. 函数在区间上的连续性: 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例: 1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(￥, ￥) 内是连续的. 这是因为, f (x )在( ￥, ￥)内任意一点x 0处有定义, 且 ) ()(lim 00 x P x P x x =→ 2. 函数 x x f =)(在区间[0, ￥)内是连续的. 3. 函数y sin x 在区间( ￥, ￥)内是连续的. 证明 设x 为区间( ￥, ￥)内任意一点. 则有 函数的单调性 一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 三、教学过程： （一）主要知识： 1、函数单调性的定义； 2、判断函数单调性（求单调区间）的方法： （1）从定义入手（2）从导数入手（3）从图象入手（4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域 3、函数单调性的证明：定义法；导数法。 4、一般规律 （1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数； （3）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （4）设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是 减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。 （二）主要方法： 1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数． 3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用． （三）例题分析： 例1．（1）求函数2 0.7log (32)y x x =-+的单调区间； （2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞， （2）2 2 2 ()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3 ()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-． 例2．设0a >，()x x e a f x a e = + 是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数． 例3．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ?<的解集为 (,2)(2,) -∞-+∞ ． 例4．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有 1 21 2()()()f x x f x f x ?=+，且当 1x >时()0,(2)1f x f >=， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2 (21)2f x -<． 解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-?=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则221111 ()()()()x f x f x f x f x x -=? -22111 1 ()( )()( )x x f x f f x f x x =+-= 函数的极限及函数的连续 性典型例题 Last revision on 21 December 2020 函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ②要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。 ④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。 ⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。 二、典型例题 例1．求下列极限 ①② ③④ 解析：①。 ②。 ③。 ④。例2．已知，求m,n。 解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式， ∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根， ∴ m=3代入求得n=-1。 例3．讨论函数的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的， 又， ∴，∴ f(x)在x=1处连续。 由， 从而f(x)在点x=-1处不连续。 ∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。 例4．已知函数, (a,b为常数)。 试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。 解析：∵且， ∴，∴ a=1, b=0。 例5．求下列函数极限 ①② 解析：①。②。 例6．设，问常数k为何值时，有存在 解析：∵，。 要使存在，只需， ∴ 2k=1，故时，存在。 例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限 解析：由，，∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。 三、训练题： 1．已知，则 2．的值是_______。 3. 已知，则=______。 4．已知，2a+b=0，求a与b的值。 5．已知，求a的值。 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 2.2.1 导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数 f(x)= ax 1 在区间（ -2， +∞）上为增函数，那么实数 a 的取值范围为（ ） x 2 A.0 第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说,连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义, 并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x) = f ( x0), (1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续, 因为 又如, 函数lim x →2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5= f (2 ). f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0, x =0 在点x = 0 连续, 因为 lim x →0 f ( x) = lim x →0 x sin 1 x =0= f ( 0). 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x-x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为Δy= f ( x) - f ( x0) = f ( x0 + Δx)- f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx 或函数的增量Δy 可以是正数, 也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y= f( x)在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx →0 70 第四章 函数的连续性 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的, 因而也可直接用ε- δ方 式来叙述, 即: 若对任给的ε>0 , 存在δ> 0 , 使得当|x - x 0 | <δ时有 | f (x)- f ( x 0 ) |<ε, (2) 则称函数 f 在点 x 0 连续 . 由上述定义, 我们可得出函数 f 在点 x 0 有极限与 f 在 x 0 连续这两个概念 之间的联系.首先, f 在点x 0 有极限是f 在x 0 连续的必要条件;进一步说“, f 在 点x 0 连续”不仅要求f 在点x 0 有极限,而且其极限值应等于f 在x 0 的函数值 f( x 0) .其次,在讨论极限时,我们假定f 在点x 0 的某空心邻域U °( x 0 )内有定 义( f 在点x 0 可以没有定义),而“f 在点x 0 连续”则要求f 在某U( x 0 )内(包括 点x 0)有定义,此时由于(2)式当x = x 0 时总是成立的,所以在极限定义中的“0 <|x - x 0 |<δ”换成了在连续定义中的“|x - x 0 |<δ”.最后,(1)式又可表示为 lim x → x f (x)= f lim x , x → x 可见“f 在点x 0 连续”意味着极限运算lim x → x 与对应法则 f 的可交换性 . 例1证明函数 f (x ) = x D( x ) 在点 x = 0 连续, 其中 D ( x ) 为狄利克雷 函数 . 证 由 f (0 ) = 0 及| D( x ) | ?1 , 对任给的ε>0 , 为使 | f ( x) - f ( 0) | = | xD( x ) | ? | x | <ε, 只要取δ=ε,即可按ε-δ定义推得f 在x =0连续. □ 相应于f 在点x 0 的左、右极限的概念,我们给出左、右连续的定义如下: 定义 2 设函数 f 在某 U + ( x 0 ) ( U - ( x 0 ) ) 内有定义.若 lim x → x + f (x)= f (x 0) lim - x → x f (x)= f (x 0) , 则称 f 在点 x 0 右( 左) 连续 . 根据上述定义1 与定义2 , 不难推出如下定理 . 定理4.1 函数 f 在点x 0 连续的充要条件是:f 在点 x 0 既是右连续, 又是 左连续 . 例 2 讨论函数 在点 x = 0 的连续性 . 解 因为 f ( x ) = x + 2 , x ? 0 , x - 2 , x <0 lim x → 0 + lim x → 0 - f ( x ) = lim x → 0 + f (x)= lim x → 0 - ( x + 2 ) = 2 , ( x - 2) = - 2, 而 f (0 ) = 2 , 所以 f 在点 x = 0 右连续, 但不左连续, 从而它在 x = 0 不连续( 见 ●高中数学函数的单调性与导数测试题(附答案)
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