黄金分割同步练习及答案 (4)

黄金分割同步练习

（典型题汇总）

五星红旗将会在今年更加熠熠闪光。不知道同学们是否仔细观察过“五角星 ”

这个图案，度量点C 到点A 、B 的距离，AC BC

AB AC

与

相等吗？比值大约是多少？

1、首先阅读教材P112的“读一读”，了解黄金分割的历史。

2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的。

黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。

其实有关"黄金分割"，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。

2、我们常常听说有“黄金分割”这个词，“黄金分割”当然不是指的怎样分割黄金，这是一个比喻的说法，就是说分割的比例像黄金一样珍贵。那么这个比例是多少呢？是0.618。人们把这个比例的分割点，叫做黄金分割点，把0.618叫做黄金数。并且人们认为如果符合这一比例的话，就会显得更美、更好看、

预习导学背景介绍

在分割一条线段时．在长度为全长的约0.618处进行分割．就叫作黄金分割．这个分割点就叫做黄金分割点。

你知道吗？

认真读一读，你会对“黄金分割”更感兴趣！

更协调。在生活中，对“黄金分割”有着很多的应用，诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。

（1）五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为

2Sin18度。

（2）最完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618

（3）最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618

（4）做馒头时放的发酵粉的量与面粉的比值是0.618那做的馒头最好吃。

（5）人在环境气温22℃－24℃下生活感到最适宜.因为人体的正常体温是36℃－37℃，这个体温与0.618的乘积恰好是22.4℃－22.8℃,而且在这一环境温度中，人体的生理功能、生活节奏等新陈代谢水平均处于最佳状态。

(6) 营养学中强调，一餐主食中要有六成粗粮和四成细粮的搭配进食，有益于肠胃的消化与吸收，避免肠胃病。这也可纳入饮食的0.618规律之列。

（7）人体的消化道长9米。它的61.8％约为5.5米，是承担消化吸收任务的小肠的长度。人类是杂食动物，最适合消化以素食为主的混合膳食。

(8)研究证明，生理上的抗衰为四，而心理上的抗衰为六，也符合黄金分割律。

(9)一天合理的生活作息也符合0.618的分割，24小时中，2/3时间是工作与生活，1/3

时间是休息与睡眠

（10）从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的关系同一天休息与工作的比例一样，动四分，静六分，才是最佳的保健之道. 动静：从辩证观点看，动和静是一个0.618比例关系，大致四分动六分静才是较佳养生之法。

（11）你从电视中见过碧水轻流的安大略湖畔的加拿大名城多伦多吗?这个高楼大厦鳞次栉比的现代化城市中，最醒目的建筑就是高耸的多伦多电视塔，它器宇轩昂，直冲云霄。有趣的是嵌在塔中上部的扁圆的空中楼阁，恰好位于塔身全长的0.618倍处，即在塔高的黄金分割点上。它使瘦削的电视塔显得和谐、典雅、别具一格。多伦多电视塔被称为“高塔之王”，这个奇妙的“0.618”起了决定性作用。与此类似，举世闻名的法兰西国土上的“高塔之祖”——埃菲尔铁塔，它的第二层平台正好坐落在塔高的黄金分割点上，给铁塔增添了无穷的魅力。

（12）气势雄伟的建筑物少不了“0.618”，艺术上更是如此。舞台上，演员既不是站在正中间，也不会站在台边上，而是站在舞台全长的0.618倍处，站在这一点上，观众看上去才惬意。我们所熟悉的米洛

斯的“维纳斯”、“雅典娜”女神像及“海姑娘”阿曼达等一些名垂千古的雕像中，都可以找到“黄金比值”——0.618，因而作品达到了美的奇境。

（13）达·芬奇的《蒙娜丽莎》、拉斐尔笔下温和俊秀的圣母像，都有意无意地用上了这个比值。因为人体的很多部位，都遵循着黄金分割比例。人们公认的最完美的脸型——“鹅蛋”形，脸宽与脸长的比值约为0.618，如果计算一下翩翩欲仙的芭蕾演员的优美身段，可以得知，他们的腿长与身长的比值也大约是0.618，组成了人体的美。

我国一位二胡演奏家在漫长的演奏生涯中发现，如果把二胡的“千斤”放在琴弦某处，音色会无与伦比的美妙。经过数学家验证，这一点恰恰是琴弦的黄金分割点0.618!黄金比值，在创造着奇迹!偶然吗?不，在人们身边，到处都有0.618的“杰作”：人们总是把桌面、门窗等做成长方形、宽与长比值为0.618。在数学上，0.618更是大显神通。0.618，美的比值、美的色彩、美的旋律，广泛地体现在人们的日常生活中，与人们关系甚密。0.618，奇妙的数字!它创造了无数的美，统一着人们的审美观。

我们要首先感受并体会到数学学习中的美。数学美不同于其它的美，这种美是独特的、内在的。这种美，正如英国著名哲学家、数理逻辑学家罗素所说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美，正象雕刻的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那样华丽的服饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有伟大的艺术能显示的那种完满的境界。”课堂上老师经常给我们讲数学美，通过高等数学的学习，我渐渐地领略到数学美的真正含义，这种感觉是奇异的、微妙的，是可以神会而难以言传的，数学，对我来说，是那样的富有魅力……在生活中只要我们善于观察，善于思考，将所学的知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣。生活中处处都应用着数学的知识。

学习目标

1、通过建筑、艺术等方面的实例了解黄金分割，体会其中的文化价值。

2、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容。在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的时间已是和自信心。

3、会用尺规作图找到一条线段的黄金分割点，会做出黄金矩形，提高作图能力

合作探究一已知一条线段，怎样用尺规作图作出它的黄金分割点呢？

已知：线段AB

求作：线段AB 的黄金分割点C 。作法：如图1所示，（1）过B 点作BD ⊥AB ，使

；

（2）连结AD ，在AD 上截取DE=BD ；（3）在AB 上截取AC=AE 。则点C 就是所求的黄金分割点。证明：

∴C 点是线段AB 的黄金分割点。黄金分割点的近似求法已知：线段AB

求作：线段AB 的黄金分割点。

分析：若不限于尺规作图，用量角器可以作以线段AB 为一腰，顶角A=36°的等腰三角形ABC ，如图2所示，然后

作

ACB 的平分线CD 交AB 于点D 。则点D 就是线段AB 的黄金分割点。证明：在△ABC 中 ∵AB=AC ，

A=36°

亲自动手做一做，感受一下黄金分割点的位置！

图1

122AB AC AB AB ??

∴=

+- ?

2512AB AB AB

--=图2

结束下一章相似三

角形的学习后你就可以理解这个过程

18036722

12363172ACB B CD ACB

A BC CD AD

-∴∠=∠==∠∴∠=∠=∠=∠+∠=∴==°°

又平分°，°22CDB ABC DB BC BC AC BC AC DB AD AB DB D AB ?~?∴===∴·，即·点是线段的黄金分割点。

由于作顶角为36°的等腰三角形的底角平分线后，仍可得到另一个顶角为36°的等腰三角形，周而复始，永无止境，所以这类等腰三角形也被称为“黄金三角形”

1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC 51AB -=，或者51

AC AB -=，则点C 是线段AB 的那么 B C = A B

2、若点C 把线段AB 的黄金分割，且A C ＞B C ，A B = 1则A C = B C =

做一做

观察下面一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55。。。。。。你发现了什么规律？请你试着写出接下来的两个数，。利用计算器，依次用后面的数去除它前面的数，所得的结果有什么规律？你知道吗？这个数列的名字叫做 " 菲波那契数列 " 。

3、采用下面的方法也可以得到黄金分割点，

你是否可以说出这种做法的道理吗？

设AB 是已知线段，以AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点E ，连接BE ，延长DA 到点F ，使EF=EB ，以线段AF 为边作正方形AFGH ，则点H 就是线段AB 的黄金分割点。

新发现

E F

如右图，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形ADFE,如果

BC AB

BE BC

，那么，点E 就是线段 AB 的黄金分割点，矩形的宽与长的比就是黄金比，这样的矩形叫做黄金矩形。

黄金分割同步练习

（典型题汇总）

一、选择题:

1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果

AC BC

AB AC

,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点

C.AB 与AC 的比叫做黄金比;

D.AC 与AB 的比叫做黄金比

2.如图的五角星中,

AC AB 与BC

AC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB

; D.不能确定

3.一条线段的黄金分割点有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.无数个 4.黄金分割比是( ) A.

512+ B.512- C.51

± D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么

AC AB 与AC

的值分别是( ) A.

512+,512- B. 512-,512+; C. 512-,512-; D. 512+,51

+ 6.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( ) A.

51- B.51+ C.51- D.51+ 二、填空题:

1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C?黄金分割,点C 叫做线段AB

合作探究二

有一种矩形叫做黄金矩形，你知道这种矩形特殊在哪里吗？

C B

的________,AC 与AB 的比叫做_________.

2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.

3.已知点C 是AB 的黄金分割点,

即AC AB =12,那么AC

=________.

4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2

=________.

5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.

6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:

1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.

2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.

3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.

四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,?那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.

五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.

六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.

D C

七、已知C 、D 是线段

AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?

答案:

一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C

二、1.

AC BC

AB AC

;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-

黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,

所以

AP PB AB AP

=12,

AP=

12×AB=1

2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=

AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E

(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料

四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形

五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得

AC AB

=12,

因为AB=1,所以AC=

12BC=AB-AC=1-12= 32

-,?

所以

六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得

AB ,BD AB

因为AB=1,所以,

所以AD=AB-BD=1-

12=32

因此CD=AC-AD=

12-32

-七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.