中学数学中考复习2 实数的运算与大小比较(含答案)
基础知识回顾
1. 数的乘方 an
，其中 a 叫做
，n 叫做
.
2. a0
（其中 a 0 且 a 是
）ap
（其中 a 0）
3. 实数运算 先算
，再算
，最后算
；如果有括号，
先算
里面的，同一级运算按照从
到
的顺序依次进行.
4. 实数大小的比较
⑴ 数轴上两个点表示的数，
的点表示的数总比
的点表示的数大.
⑵ 正数
0，负数
0，正数
负数；两个负数比较大小，绝对值
大的
绝对值小的．
5．易错知识辨析
在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.如 5÷
1
×5.
5
知识结构梳理
运算法则
实数的运算
加、减、乘、除、乘方、开方
经典例题典拔
运算律
考点 1 大小比较
例 1 实数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示，则 a 与 b 的大小关系是（ ）
（A） a b
（B） a b （C） a b （D）无法确定
分析：因为数轴上右边点表示的数，总是比左边点表示的数大，所以 a b 。
解：C 抢分攻略：比较实数的大小通常有两种方法：①根据数轴上数的分布特点，即数轴上右 边点表示的数，总是比左边点表示的数大加以判断；②利用绝对值比较两个负数的大小：两 个负实数比较，绝对值大的反而小。
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变式练习 1：实数 a,b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. a b 0
C. ab>0 a0
B. a b 0 D． a 0
b 1b
考点 2 有理数的运算
例2
1 3
1
2
3 tan 45
(
2 1.41)0
分析：对于混合运算关键是要按照正确的运算顺序，先后进行，计算中要注意符号的变
化。
解：原式= 3 2 3 1
=3 (2 3) 1
=2 3
抢分攻略：掌握特殊角的三角函数值，理解负指数幂和零指数幂的意义，按照正确的运
算顺序进行计算，是解决此类问题的根保证。
变式练习 2：计算：
( 1)3 ( 2 5)2 2sin 450 ( 4 )0
2
2009
考点 3 数轴的功用
例 3：如图，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 1和 3 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C，
则点 C 所表示的数为（ ）
A． 2 3
B． 1 3
C AO B
C． 2 3
D．1 3
分析：AB 的长度为 1+ ，所以 AC 的长度也是 1+ ，则 C 点的坐标为－（1+1+ ）。 解：A 决战攻略：利用绝对值的几何意义，通过距离来求点的坐标。 变式练习 3：将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是 1cm），刻度尺上的
“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的 3.6 和 x ，则（ ）
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A．9< x <10
B．10< x <11
C．11< x <12
考点 4 规律探究
例 4：下面是按一定规律排列的一列数：
D．12< x <13
第
1
个数：
1 2
1
1 2
；
第
2
个数：
1 3
1
1 2
1
(1)2 3
1
(1)3 4
；
第
3
个数：
1 4
1
1 2
1
(1)2 3
1
(1)3 4
1
(1)4 5
1
(1)5 6
；
……
第
n
个数：
1 n 1
1
1 2
1
(1)2 3
1
(1)3 4
1
(1)2n1 2n
．
那么，在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中，最大的数是（ ）
A．第 10 个数
B．第 11 个数
C．第 12 个数
D．第 13 个数
分析：第一个数等于 1 1 ，第二个数为 1 1 ，第三个数为 1 1 ……以此为规律，
22
32
42
第 10 个数为 1 1 ，第 11 个数为 1 1 ，第 12 个数为 1 1 ，第 13 个数为 1 1 ，
11 2
12 2
13 2
14 2
所以这四个数中，最大的是第 10 个数。
解：A。
决战攻略：通过特殊到一般的数学思想来解决一些规律性问题是解决这一类问题的关键，
这实际也是数学归纳法的呈现。
变式练习 4：（2009·重庆綦江）观察下列等式：
1.42 12 35 ；
2.52 22 3 7 ；
3.62 32 39
4.72 42 311；
…………
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则第 2009 个等式为________ 课外练习巩固
1 计算： (5)0 （
）．
A．1
B．0
C．－1
D．－5
2．如果向东走 80 m 记为 80 m，那么向西走 60 m 记为（ ）
A．－60 m
B．︱－60︱m
C．－（－60）m
D． 1 m 60
3．计算 (3) 2 的结果是（
）．
A．－6
B．9
C．－9
D．6
4．估算 27 2 的值( )
A．在 1 到 2 之间 B．在 2 到 3 之间 C．在 3 到 4 之间 D．在 4 到 5 之间
5．设 a 20 ， b (3)2 ， c 3 9 ， d (1)1 ，则 a，b，c，d 按由小到大的顺序 2
排列正确的是（ ）
A． c a d b
B． b d a c
C． a c d b
D．b c a d
6．一个自然数的算术平方根为 a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）
A． a 1
B． a2 1
C． a2 1
7．已知一个正数的平方根是 3x 2 和 5x 6 ，则这个数是
D． a 1
．
8．请写出一个比 5 小的整数
.
9．对于任意不相等的两个数 a，b，定义一种运算※如下：a※b= a b ，如 3※2= ab
3 2 5 ．那么 12※4= 32
10．计算：
1 2
3
2009
11．计算： 31 1 4,32 1 10,33 1 28,34 1 82,35 1 244, ，归纳噶计算
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结果中的个位数字的规律，猜测 32009 1的个位数字是（ ）
A．0
B．2
C．4
D．8
12．（正整数按图的规律排列．请写出第 20 行，第 21 列的数字
．
第一行
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
1
2
5
10
17 …
第二行
4
3
6
11
18 …
第三行
9
8
7
12
19 …
第四行
16
15
14
13
20 …
第五行
25
24
……
23
22
21 …
13．计算： (
3
2)0
1 3
1
4
cos
30°
|
12 | ．
14．计算：（－1） 3 ＋（2009－ 2 ） 0 － 1 2
15．若
a
2007 2008
，
b
2008 2009
，试不．用．将分数化小数的方法比较
a、b
的大小．
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参考答案： 变式训练 1：A
变式训练 2：原式=－8+5－ 2 + 2 +1=－2.
变式训练 3：C
变式训练 4：解，根据规律，第 2009 个式子可以写成（3+2009）2－20092=3×（2×2009+3）
1．A
2．A
3．B
4．C
5．A
6．B
49
7.
8. 1、2 等
1
9.
10．9 11．C 12．420
4
2
13. 解： (
3
2)0
1 3
1
4
cos
30°
|
12 | ．
1 3 4 3 12 2
42 32 3
4
14. 原式 11 1 1 22
15． a b 2007 2008 2007 2009 20082 (2008 1)(2008 1) 20082
2008 2009
2008 2009
2008 2009
20082 1 20082
1
=
=
2008 2009
2008 2009
∵ 1 ＜0， ∴a＜b. 2008 2009
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实数地运算与大小比较
专题2 实数的运算与大小比较 一、考纲要求 1.理解乘方、幂的有关概念； 2.掌握实数运算法则和运算顺序，能熟练地进行实数的加、减、乘、除、乘方和开方运算，以及简单的混合运算； 3.灵活运用运算律简化实数运算； 4. 会比较实数的大小. 二、知识梳理 1.有理数加、减、乘、除、乘方及其混合运算的运算法则 （1）有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互 为相反数的两个数相加得零. ③一个数同0相加，仍得这个数. （2）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. （3）有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0. ②几个不等于0的数相乘，积的符号由__负因数的个数_决定.当__负因数的个数为奇数时，积为负，当__ 负因数的个数为偶数时_，积为正. ③几个数相乘，有一个因数为0，积就为_0_. （4）有理数除法法则： ①除以一个数，等于_乘以这个数的倒数_._零_不能作除数. ②两数相除，同号得正_，异号得负_，并把_绝对值相除_. 0除以任何一个_非零 的数，都得0 （5） 乘方运算：①=n a a ·a ·a …·a (n 个a 相乘) ，其中a 叫做底数，n 叫做指数. ②正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；0的任何次幂都是0 ③=0a 1 （其中a ≠0 ）=-p a a p 1 （其中a ≠0 且p 是正整数） （6）实数的运算顺序： ①先算_乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减 ②同级运算从左到右，按顺序进行 ③如果有括号，就先做括号里面的，按小括号、中括号 、大括号 依次进行. 2.运算律 （1）加法交换律：a +b =b +a . (2)加法结合律： (a +b )+c=a +(b +c).
比较实数大小的八种方法
比较实数大小的八种方法 生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解：由于，且，所以。 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：。 例2 比较与的大小。 析解：由于，而，所以。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。 析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点 画出来，容易得到结论： 四、估算法
用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解：由于，故，所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、b有： 例5 比较与的大小 析解：因为， 又因为， 所以 所以 说明：对于两个形如（，且k是常数）的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有： 例6 比较与的大小。 析解：设，
实数大小比较的常用方法
实数大小比较的常用方法【初二数学】 添加时间：2012年11月23日浏览：53次 顿悟教育数学培优训练营来自：顿悟教育网 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本讲介绍几种比较实数大小的常用方法。 一【差值比较法】差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b﹥0时，得到a﹥b。当a－b﹤0时，得到a﹤b。当a－b＝0，得到a=b。 例1：（1）比较与的大小。（2）比较1－与1－的大小。 解∵－＝＜0 ，∴＜。 解∵（1－）－（1－）=＞0 ，∴1－＞1－。 二【商值比较法】商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。当＜1时，a＜b；当＞1时，a＞b；当=1时，a=b。来比较a与b的大小。 例2：比较与的大小。 解：∵÷=＜1 ∴＜ 三【倒数法】倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当＞时，a＜b。来比较a与b的大小。
例3：比较－与－的大小。 解∵=+，=+ 又∵+＜+ ∴－＞－ 四【平方法】平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由＞得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。 例5：比较与的大小 解：，=8+2。 又∵8+2＜8+2∴＜。 五【估算法】 估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例4：比较与的大小 解：∵3＜＜4 ∴－3＜1 ∴＜ 六【移动因式法】（穿墙术） 移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
实数大小比较
实数练习题 二、解答题 13、已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b 的平方根． 14、已知：x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x 2+y 2 的算术平方根． 15、求下列各式中的x ： （1）4x 2﹣25=0； （2）（x ﹣1）3=64． 16、求下列各式中x 的值： ①（x ﹣2）2=25； ②﹣8（1﹣x ）3=27． 17、求下列式子中x 的值． （1）x 2﹣25=0； （2）64（x+1）3=27． 一、运用方根定义法 例1、 比较5-m 和34m -的大小 二、添加根号法
3 三、取近似值法 例3、 比较3.23和15+的大小 四、放缩法 例4、 比较26+和257-的大小 五、作差法 例5、 比较21 5-和21 的大小 六、比较倒数法 例6、设32,23,52a b c =-=-=-，则,,a b c 的大小关系是: （ ） (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 七、平方法 例7、比较517-和715-的大小 1、比较m -3和35-m 的大小．
3 3、比较4.17和110+的大小． 4、比较25+和259-的大小． 5、比较5－3与3+3大小． 6、比较67-和32-的大小． 7、比较73+与25+ 的大小． 答案：1、m -3>35-m ．2、314<19．3、4.17>110+．4、25+<259-． 5、5－3<3+3．6、67-<32-．7、73+>25+ ．
中职数学：比较实数的大小教案
优质课教案 喻敏 课题：§2.1.1 比较实数的大小 课型：新授课 教学目标： 知识目标：1.了解作差法比较实数的大小； 2.会用作差法比较分数的大小； 3.能用作差法比较代数式的大小。 能力目标：1.通过观看视频获取数据信息，提高学生收集信息的能力； 2.通过讨论问题，培养学生团结协作的能力。 情感目标：学生分组讨论到得出结果这个过程，使学生感受集体的力量，进而培养她们热爱自己的班集体。 教学重点：用作差法比较实数的大小 教学难点：用作差法比较代数式的大小 教法：举例法、提问法、讲授法 学法：分组讨论法、归纳法、练习法 课时数：1课时 教学过程： 一、观看视频、引入新课 1.请同学们听经典儿歌《数鸭子》，通过这首歌，让你们体会一下儿童的乐趣。而我们本 节课的内容也和数有关，那就是-----比较实数的大小。 2.请同学们观看视频：（刘翔打破世界纪录的视频）然后回答下面的问题：
3. 问题1：同学们根据视频可以得到哪些信息？ 根据视频可以得到如下信息：刘翔跑得最快、刘翔跑的时间为12秒88、世界纪录为12秒91、刘翔比美国选手快0.03秒、…… 4.问题2：你怎么知道刘翔跑得最快？ 方法1：刘翔最先到达终点 方法2：在12.88秒内刘翔跑的距离最多 方法3：刘翔跑的速度最快 5.问题3：怎么比较12.88和12.91这两个数的大小？ 方法1：比较它们的差与零的大小 方法2：比较它们的商与1的打小 二、比较两个实数大小的方法 方法1：作差法 b a b a b a b a b a b a ?>-000 方法2：作商法（注意：a,b 不能为0） b a b a b a b a b a b a ?>111 三、运用新知 的大小。与：比较例85 32 1.1
实数的运算与大小比较
实数的运算与大小比较 ◆【课前热身】 1.计算：=-0 )5(（ ）． A ．1 B ．0 C ．-1 D ．-5 2. 3 (3)-等于（ ） A ．-9 B ．9 C ．-27 D ．27 3.下列各式正确的是（ ） A ．33--= B ．3 2 6-=- C ．(3)3--= D ．0 (π2)0-= 4.若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6， 4！＝4×3×2×1，…，则100! 98! 的值为（ ） A. 50 49 B. 99! C. 9900 D. 2！ 【参考答案】1.A 2.C 3.C 4.C ◆【考点聚焦】 知识点：有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效数字、计算器功能鍵及应用. 大纲要求： 1.了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算. 2.了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算法则，灵活运用运算律简化运算能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算. 3.了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算. 4.了解电子计算器使用基本过程。会用电子计算器进行四则运算. 考查重点： 1.考查实数的运算； 2.计算器的使用.
◆【备考兵法】 实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.如5÷ 5 1 ×5. 实数大小的比较 （1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，?绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小． （2）利用数轴：在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数． （3）设a 、b 是任意的实数，a －b>0?a>b ；a －b=0?a=b ；a －b<0?a1?a>b ；a b =1?a=b ；a b <1?a2 实数的运算与大小比较中考试题
【2 实数的运算与大小比较中考试题】 一．选择题 1.（2009年，2分）3(1)-等于（ ） A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 2.（2010年，2分）计算3×(-2)的结果是（ ） A ．5 B ．-5 C ．6 D ．-6 3. 计算23-的结果是（ ） A. －9 B. 9 C.－6 4.（10巴中）下列各式正确的是（ ） A ．33--= B ．326-=- C ．(3)3--= D ．0(π2)0-= 5．下列计算中，正确的是 （ ） （A ） 33=-- （B ）725)(a a = （C ）02.02.02 2=-b a b a （D ）4)4(2-=- 6． “！”是一种数学运算符号，且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6， 4.＝4×3×2×1，…，则100! 98! 的值为（ ） A. 50 49 B. 99! C. 9900 D. 2！ 7.（2011广州市）四个数－5，－，１ ２ ，３中为无理数（ ） A. －5 B. －0.1 C. １ ２ D. ３ 8. （2011山东）在实数π、1 3 、sin30°，无理数的个数为( ) .2 C 9. （2011湖北）下列说法正确的是（ ） A.0)2 (π是无理数 B. 3 3 是有理数 C.4是无理数 D.38-是有理数 10．(20011江苏)在下列实数中,无理数是( ) B.0 C. D.1 3 11. （2011贵州）如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )
实数的运算和比较大小导学
实数的运算与大小比较 导学案 一、复习检测 1、0.030是_____个有效数字是_______精确到千分位；3.14×105是_____个有效数字；精 确到_____位.3.14万是_____个有效数字_____精确到_____位 2.计算：=-13_______. -21-2?? ??? =_____ 23-=____ 3.比较大小：2- 3. 4.下列各式正确的是（ ） A ．33--= B ．326-=- C ．(3)3--= D ．0(π2)0-= 二、课前预习 1. 数的乘方 =n a ，其中a 叫做 ，n 叫做 . 2. =0a （其中a 0 且a 是 ）=-p a （其中a 0） 3. 实数运算 先算 ，再算 ，最后算 ；如果有括号，先算 里面的，同一级运算按照从 到 的顺序依次进行. 4. 实数大小的比较 ⑴ 数轴上两个点表示的数， 的点表示的数总比 的点表示的数大. ⑵ 正数 0，负数 0，正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的 绝对值小的． 三、例题精讲 例1、比较大小： -2______-3 ______12 例2、下列运算正确的是（ ） A ．523=+ B ．623=? C ．13)13(2-=- D ．353522-=- 例3、计算： ⑴20080＋|-1|-3cos30°＋ ( 21)3 ⑵22(2)2sin 60--+o 例4 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2， 求2||4321 a b m cd m ++-+的值 四、课堂练习
1. 比较大小：73_____1010 --. 2.计算(－2)2－(－2) 3的结果是（ ） A. －4 B. 2 C. 4 D. 12 3.下列各式运算正确的是（ ） A ．2-1＝-2 1 B ．23＝6 C ．22·23＝26 D ．(23)2＝26 4.估计68的立方根的大小在( ) A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.计算： ⑴4245tan 21)1(10+-?+ -- (2)02200960cos 16)2 1()1(-+--- ⑶1301()20.1252009|1|2--?++-. (4)2008011(1)()3 π--+- 6、如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆 组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9 个图形由__________个圆组成. 7、有规律排列的一列数： 2，4，6 2n （n 是正整数）来表示．有规律排列的一列数：1 2345678----，，，，，，，，… （1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？ （2）它的第100个数是多少？ （3）2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？ 8、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ……
实数(实数的概念运算及大小比较)
实数(实数的概念、运算、及大小比较) 一.教学内容： 第一单元实数(实数的概念、运算、及大小比较) 二.教学目标： 1. 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念. (1)了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 (2)会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 (3)画数轴，了解实数与数轴上的点对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 2. 通过复习，使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数的有关应用等。 (1)了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幕的有关概念、掌握有理数运 算法则、运算律和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。 (2)了解有理数的运算律和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算 法则，灵活运用运算律简化运算，能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。 (3)了解近似数和准确数的概念，会根据指定的精确度或有效数字的个数，用四舍五 入法求有理数的近似值(在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值) ，会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。 (4)了解计算器使用的基本过程。 三.教学重点和难点： 1. 有理数、无理数、实数、非负数概念； 2. 相反数、倒数、数的绝对值概念； 3. 在已知中，以非负数a2、|a、(a>0)之和为零作为条件，解决有关问题。 4. 使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数 的有关应用等。 四.课堂教学： (一)知识要点：知识点1 :实数分类 有理数实数'正整数整 数零 负整数 正分数 戾分数 无理数方法(1) 正无理数负无理数
中考数学总复习教案课时2实数的运算与大小比较
中考数学总复习教案课时2实数的运算与大小 比较 【课前热身】 1.（08大连）某天的最高气温为6°C ，最低气温为－2°C ，同这天的最高气温比最低气温高__________°C ． 2.（07晋江）计算：=-13_______. 3.（07贵阳）比较大小：=-13 =-13.（填“=-13，=-13或=-13”符 号） 4. 计算=-13的结果是（ ） A. －9 B. 9 C.－6 D.6 5.（08巴中）下列各式正确的是（ ） A ．=-13 B ．=-13 C ．=-13 D ．=-13 6．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6， 4！＝4×3×2×1，…，则 =-13的值为（ ） A. =-13 B. 99! C. 9900 D. 2！ 【考点链接】 1. 数的乘方 =-13 ，其中=-13叫做 ，n 叫做 . 2. =-13 （其中=-13 0 且=-13是 ）=-13 （其中=-13 0） 3. 实数运算 先算 ，再算 ，最后算 ；如果有括号，先算 里面的，同一级运算按照从 到 的顺序依次进行. 4. 实数大小的比较
⑴ 数轴上两个点表示的数， 的点表示的数总比 的点表示的数大. ⑵ 正数 0，负数 0，正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的 绝对值小的． 5．易错知识辨析 在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误. 如5÷=-13×5. 【典例精析】 例1 计算： ⑴（08龙岩）20xx 0＋|-1|-=-13cos30°＋ ( =-13)3； ⑵ =-13. 例2 计算：=-13. ﹡例3 已知=-13、=-13互为相反数，=-13、=-13互为倒数，=-13的绝对值 是2， 求=-13的值． 【中考演练】 1. (07盐城)根据如图所示的程序计算， 若输入x 的值为1，则输出y 的值为 . 2. 比较大小：=-1 3. 3.（08江西）计算(－2)2－(－2) 3的结果是（ ） A. －4 B. 2 C. 4 D. 12 4. (08宁夏)下列各式运算正确的是（ ） A ．2-1＝-=-13 B ．23＝6 C ．22·23＝26 D ．(23)2＝26 5. －2，3，－4，－5，6这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是（ ）
中考典型例题精析 实数的运算及大小比较
中考典型例题精析二 考点一 实数的大小比较 例 1 (2015·潍坊)在|－2|, 20 ，2－1，2这四个数中，最大的数是( ) A ．|－2| B ．20 C ．2－1 D. 2 考点二 实数非负性的应用 例 2 (2015·绵阳)若a ＋b ＋5＋||2a －b ＋1＝0，则(b －a)2 015＝ ( ) A ．－1 B ．1 C ．52 015 D ．－5 2 015 考点三 实数的混合运算 例 3 (2015·安顺)计算：? ?? ??－12－2 －(3.14－π)0＋|1－2|－2sin 45°. 基础巩固训练： 1．在13，0，－1，2这四个实数中，最大的数是( ) A. 13 B ．0 C ．－1 D. 2 2．计算：3－2×(－1)＝( ) A ．5 B ．1 C ．－1 D ．6 3．下面计算错误的是( ) A ．(－2 015)0 ＝1 B.3 －9＝－3 C. ? ?? ??12－1 ＝2 D ．(32)2＝81 4．若(a －2)2＋||b ＋3＝0，则(a ＋b)2 016的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 016 D ．－2 016 5．若a ＝20 ，b ＝(－3)2 ，c ＝3 －9，d ＝? ?? ??12－1 ，则a ，b ，c ，d 按由小到大的顺序排 列正确的是( )A ．c ＜a ＜d ＜b B ．b ＜d ＜a ＜c C ．a ＜c ＜d ＜b D ．b ＜c ＜a ＜d 6．计算： 3－4 －? ?? ??12－2 ＝ . 7．实数m ，n 在数轴上的位置如图所示，则 |n －m|＝ . 8．计算：3 －27－(－3)÷ ? ?? ?? －13×3＝ . 9．计算：(1)(1－2)0 ＋(－1) 2 016 －3tan 30°＋? ?? ??13－2 ； (2) (－1) 2 016 ＋(1－π)0 ×3 －27－? ?? ??17－1 ＋|－2|. 考点训练 一、选择题 1．(2015·山西)计算－3＋(－1)的结果是( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 2．杨梅开始采摘了！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图．则这4筐杨梅的总质量是( ) A ．19.7千克 B ．19.9千克 C ．20.1千克 D ．20.3千克 3．在实数－1,0，1 2，－3，2 0160中，最小的数是( ) A ．－3 B ．－1 C. 1 2 D ．0 4．(2015·衡阳)计算()－10＋||－2的结果是( ) A ．－ 3 B ．1 C ．－1 D ．3 5．(2015·北海)计算2－1＋12的结果是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．212 6．下列计算错误的是( ) A ．4÷(－2)＝－2 B ．4－5＝－1 C ．(－2)－2＝4 D ．2 0140＝1 7．(2015·常州)已知a ＝22，b ＝33，c ＝55，则下列大小关系正确的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞c D ．a ＞c ＞b 8．(2015·六盘水)下列运算结果正确的是( )A ．－87×(－83)＝7 221 B ．－2.68－7.42＝－10 C ．3.77－7.11＝－4.66 D.－101102＜－102103 9．计算9－2 0160 ×? ?? ??12－1 的结果为( )A ．4 B ．1 C. 12 D ．0
人教版数学七年级下册-实数比较大小的方法
实数比较大小的方法 一、平方法 当a ＞0，b ＞0时，a ＞b b a . 例1：比较515 与713 的大小. 分析：从表面上看，好象无从下手，但仔细观察发现，它们的被开方数之间存在关系15+5=13+7，因此可用“平方法”. 解: 752205152 ）（,912207132 ） （. ∴515 ＜713 说明:此种方法一般适用于四个无理数两两之和(或差)之间比较大小,且其中两个被开方数的和等于另两个被开方数的和. 二、移动因式法 利用）（02 a a a ,将根号外的因数移到根号内,再比较被开方数的大小. 例2：比较53 和34 的大小. 分析:负无理数之间比较大小,先比较它们绝对值的大小,因此可将根号外的因数移到根号内,也可以用“平方法”. 解: |53 |=4553 ,|34 |=4834 . 53 ＞34 . 三、求差法 000 例3：比较34与63的大小. 分析：此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求差法”. ∵34-630 ∴34＜63. 四、求商法 111
例4：比较53 4与11的大小. 分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求商法” 解:∵534÷111 ∴534＜11. 五、分母有理化法 0,0,0)m a b 例5：比较5 13与210的大小. 分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”或“求商法”，还可以用分母有理化法. 解:，102601065256555513513 10 25010105210 . ∵1010 , ∴1010 5 13＞210. 六、倒数法 例6：比较13 n n a 与n n b 2的大小. 分析：观察发现，a,b 都是两个无理数的差，被开方数的差相同，因此可取这两个数的倒数，再进行分母有理化. 2131311 n n n n a ,2 2211n n n n b . ∴ 11a b ∴a ＜ b. 七、不等式的传递性 ,m m 例7：比较23和32大小. 解：∵4,4 ∴23＞32. 八、根指数不同的无理数大小的比较，可先化为同次根式，再比较被开方数的大小
初三中考数学实数的运算与大小比较
课时2. 实数的运算与大小比较 【课前热身】 1.某天的最高气温为6°C ，最低气温为－2°C ，同这天的最高气温比最低气温 高__________°C ． 2.计算：=-13_______. 3.比较大小：2- 3.（填“>，<或=”符号） 4. 计算23-的结果是（ ） A. －9 B. 9 C.－6 D.6 5.下列各式正确的是（ ） A ．33--= B ．326-=- C ．(3)3--= D ．0(π2)0-= 6．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1 ＝6， 4！＝4×3×2×1，…，则 100!98!的值为（ ） A. 5049 B. 99! C. 9900 D. 2！ 【考点链接】 1. 数的乘方 =n a ，其中a 叫做 ，n 叫做 . 2. =0a （其中a 0 且a 是 ）=-p a （其中a 0） 3. 实数运算 先算 ，再算 ，最后算 ；如果有括号，先算 里面的，同一级运算按照从 到 的顺序依次进行. 4. 实数大小的比较 ⑴ 数轴上两个点表示的数， 的点表示的数总比 的点表示的数大. ⑵ 正数 0，负数 0，正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的 绝对值小的． 5．易错知识辨析 在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误. 如5÷5 1×5.
【典例精析】 例1 计算： ⑴ 20080＋|-1| -3cos30°＋ (21)3； ⑵22(2)2sin 60---+o . 例2 计算：1301 ()20.1252009|1|2 --?++-. ﹡例3 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2， 求2||4321 a b m cd m ++-+的值． 【中考演练】 1.根据如图所示的程序计算， 若输入x 的值为1，则输出y 的值为 . 2. 比较大小：73_____1010 --. 3. 计算(－2)2－(－2) 3的结果是（ ） A. －4. 下列各式运算正确的是（ ） A ．2-1＝-2 1 B ．23＝6 C ．22·23＝26 D ．(23)2＝26 5. －2，3，－4，－5，6这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是（ ） A. 10 B ．20 C ．－30 D ．18 6. 计算： ⑴ 4245tan 2 1)1(10+-?+--；
比较实数大小的八种方法
比较实数大小的八种方法 生活中,我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则就是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解:由于,且,所以。 说明:利用法则比较实数的大小就是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据就是:对任意正实数a、b有:。 例2 比较与的大小。 析解:由于,而,所以。 说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的就是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据就是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。 析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画 出来,容易得到结论: 四、估算法
用估算法比较实数的大小的基本思路就是:对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解:由于,故,所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据就是:对任意正实数a、b有: 例5 比较与的大小 析解:因为, 又因为, 所以 所以 说明:对于两个形如(,且k就是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据就是:对任意实数a、b 有: 例6 比较与的大小。 析解:设,
1不等式的性质--比较实数大小的方法
课 题：2.1不等式的性质--比较实数大小的方法 教学目的：1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 教学过程： 一、引入： 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a= b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?x 从而22)1(+x >124++x x 引伸：在例2中，如果没有x ≠0这个条件，那么两式的大小关系如何? 若没有 0≠x 这一条件,则20x ≥,从而 22)1(+x 大于或等于 124++x x
实数大小进行比较的常用方法全
实数大小进行比较的常用方法 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。 方法一.运用方根定义法 例1、 比较5-m 和34m -的大小 解：根据平方根的定义可知：m －5≥0，即m ≥5，则4-m <0，34m -<0，又因为5-m ≥0，由此可得：5-m >34m -． 小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较． 方法二：差值比较法 差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a-b ＝0，得到a=b 。 例1：（1）比较513-与5 1的大小。 （2）比较1-2与1-3的大小。 解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜5 1。 解 ∵（1-2）-（1-3）=23- ＞0 ， ∴1-2＞1-3。 方法三：商值比较法 商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。当 b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当b a =1时，a= b 。来比较a 与b 的大小。 例2：比较513-与51的大小。 解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜5 1 方法四：倒数法 倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当 a 1＞b 1时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。
例3：比较2004-2003与2005-2004的大小。 解∵200320041 -=2004+2003 ， 200420051 -=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004 方法五：平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。 例5：比较62+与53+的大小 解：1228)62(2+=+， 2)53(+=8+215。 又∵8+212＜8+215 ∴62+＜53+。 方法六：估算法 估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例4：比较83 13-与8 1的大小 解：∵3＜13＜4 ∴13-3＜1 ∴ 8313-＜81 方法七：移动因式法 移动因式法的基本是思路是，当a ＞0，b ＞0，若要比较形如a d b c 与的大小，可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。 例6：比较27与33的大小 解：∵27=722?=28，33=332?=27。 又∵28＞27， ∴27＞33。 方法八：取特值验证法 比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。 例7：当10 x 时，2x ，x ，x 1的大小顺序是______________。
[初中数学]实数的运算及大小比较教案 人教版
第2课时实数的运算及大小比较 1．了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、绝对值的意义；(重点) 2．理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较．(重点、难点) 一、情境导入 如图所示，小明家有一正方形厨房ABCD和一正方形卧室CEFG，其中正方形厨房ABCD 的面积为10平方米，正方形卧室CEFG的面积为15平方米，他想知道这两个正方形的边长之和BG的长是多少米，你能帮他计算出来吗？ 二、合作探究 探究点一：实数与数轴的关系 【类型一】求数轴上的点对应的实数 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是－1和3，点B关于点A的对称点 为C，求点C所表示的实数． 解析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数． 解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和3，∴点B到点A的距离为1＋ 3.则点C到点A的距离也为1＋ 3.设点C表示的实数为x.则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋3，∴x＝－2－ 3.∴点C所表示的实数为－2－ 3. 方法总结：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】利用数轴进行估算 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是2和5.1，则A，B两点之间表示整 数的点共有()
A．6个B．5个C．4个D．3个 解析：∵2≈1.414，∴2和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C. 方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型三】结合数轴进行化简 实数在数轴上的对应点如图所示，化简：a2－|b－a|－（b＋c）2 . 解析：由于a2＝|a|，（b＋c）2＝|b＋c|，所以解题时应先确定a，b－a，b＋c的符号，再根据绝对值的意义化简． 解：由图可知a<0，b－a>0，b＋c<0. 所以，原式＝|a|－|b－a|－|b＋c|＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c. 方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：|a|＝?? ? ??a（a＞0）， 0（a＝0）， －a（a＜0）. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 探究点二：实数的性质 求下列各数的相反数和绝对值： (1)5；(2)2－3；(3)－1＋ 3. 解析：根据相反数、绝对值的定义求解． 解：(1)5的相反数是－5，绝对值是5； (2)2－3的相反数是－2＋3，绝对值是－2＋3； (3)－1＋3的相反数是1－3，绝对值是－1＋ 3. 方法总结：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数时，只需在这个数的前面加上“－”号再去括号即可．求一个数的绝对值，需要分清这个数是正数、0还是负数．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 探究点三：实数的运算 计算下列各式的值：
初中数学实数大小进行比较的10种方法大全解析
实数比较大小常见10中方法大全讲解 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。 模块一：比较大小会用到的一些基本事实和方法： 模块二：方法讲解与举例 方法一.运用方根定义法 例1、 比较5-m 和34m -的大小 解：根据平方根的定义可知：m －5≥0，即m ≥5，则4-m <0，34m -<0，又因为5-m ≥0， 由此可得：5-m >34m -．（注：实质上此题是运用了一个基本事实，即正数>负数） 小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较，解答时要注意二次根式中的隐含条件． 方法二：差值比较法 差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a-b ＝0，得到a=b 。
例2：（1）比较513-与5 1的大小。 （2）比较1-2与1-3的大小。 解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜5 1。 解 ∵（1-2）-（1-3）=23- ＞0 ， ∴1-2＞1-3。 方法三：商值比较法 商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。当 b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当b a =1时，a= b 。来比较a 与b 的大小。 例3：比较 513-与51的大小。 解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜5 1 方法四：倒数法 倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a 1＞b 1时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。 例4：比较2004-2003与2005-2004的大小。 解∵200320041 -=2004+2003 ， 200420051 -=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004 方法五：中间值法： 基本思路是：要比较的两个数都接近于一个中间数，其中一个数大于中间数，另一个数小于中间数，就可以比较出两个数的大小 例5： 比较 456998和7481084的大小 解：456998＜12 ， 7481084＞12 所以：456998＜7481084