1.1 集合及其表示法

1.1

集合及其表示法

1.集合的概念

在现实生活和数学中，我们常常把一些对象放在一起，作为一个整体来研究.例如：（1）某校高中一年级全体学生；（2）某次足球联赛参赛队的全体；

（3）平面上到定点距离等于定长的点的全体；（4）所有的锐角三角形；

（5）一个正方形ABCD 内部的点的全体；（6）1,3,5,7,9；

（7）不等式320x +>的解的全体.

我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集.

集合中的各个对象叫做这个集合的元素.对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的.也就是说，任何一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一.

例如，王老师不是某校高中一年级全体学生组成的集合的元素.又如，一个等边三角形是所有锐角三角形组成的集合的一个元素.

对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的.也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象.集合中的元素不重复出现.

集合常用大写字母A 、B 、C 、…表示，集合中的元素用

小写字母a 、b 、c 、…表示.

如果a 是集合A 的元素，就记作a A ∈，读作“a 属于A

”；如果a 不是集合A 的元素，就记作a A ?，读作“a 不属于

A ”.例如，设由1,3,5,7,9组成的集合为A ，那么3A ∈，2A ?.

数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：

全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包括零

的自然数组成的集合，记作*N ；

全体整数组成的集合即整数集，记作Z ；

全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q ；

全体实数组成的集合即实数集，记作R .

我们还把正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为Z +

、Z -

、Q +

、Q -

、R +

、R -

.

数学家简介

康托尔（G.Cantor ，1845—1918）德国数学家、集合论创始

人.1871年他给集合的说明是：“把一定

的并且彼此可以明确识别的事物——这种事物可以是直观的对象，也可以是思维的对象——放在一起，叫做一个集合，这些事

物的每一个叫做该集合的一个元素”.集合的元素具有确定性，且具有互异性和无序性.

从上面7个例子可以看出，有些集合，如（1）、（2）、（6），它们都只含有有限个元素；而有些集合如（3）、（4）、（5）、（7），它们都含有无限个元素.我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集.

我们引进空集，规定空集不含元素，记作?.例如，方程2

10x +=的实数解所组成的集合是空集.又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集.

2.集合的表示方法

集合的表示方法常用列举法和描述法.

将集合中的元素一一列出来（在列举时不考虑元素的顺序），并且写在大括号内.这种表示集合的方法叫做列举法.例如，方程2

560x x -+=的解的集合，可表示为{}2,3，也可

表示为{}3,2；又如方程组5

1x y x y +=??-=-?

的解组成的集合可表示为{}(2,3).

在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即{

A x x =满足性质}p ，这种表示集合的方法叫做描述法.

例如，方程2

560x x -+=的解集可表示为{

}

2

560x x x -+=；又如直线1x y +=上的点组成的集合，可以表示为{}

(,)1x y x y +=.

【例1】用符号∈、?填空：（1）0{}0；

（2）0?；（3）0N ；（4）0Z ；（52

；

（6）2

-Z .

【解】（1）∈；（2）?；（3）∈；（4）∈；（5）?；（6）∈.

思考：再举出一些有限集与无限集的例子.

注意：{}2,3与{}(2,3)的区别.

注意：集合A 中元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中.

【例2】用适当的方法表示下列集合：

（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A ；（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B ；（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C .【解】（1）用列举法：{}2,4,6A =；

（2）用描述法：{}

32,B x x k k N ==+∈；

（3）用描述法：{

(,)0C x y x =<且}0,,y x R y R >∈∈.

【练习1.1】

1、判断下列各组对象能否构成集合.若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，请你说明理由.

（1）上海市各区县的名称；（2）末位数是3的自然数；

（3）我们班身高大于1.70米的同学.

【解】（1）能，有限集；（2）能，无限集；（1）能，有限集.2、用符号∈、?填空：（1）

12

*N ；（2）1Z -；（3）2-R ；（4）2N ；（53

；

（6）1

?.

【解】（1）?；（2）?；（3）∈；（4）∈；（5）?；（6）?.3、用列举法表示下列集合：

（1）组成中国国旗的颜色名称的集合；（2）绝对值小于4的整数组成的集合.

【解】（1）{},红色黄色；（2）{}01±±±，，2，3.

问题：哪些集合用列举法表示较适合？哪些集合用描述法表示较合适？

4、用描述法表示下列集合：（1）偶数组成的集合；

（2）平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合.

【解】（1）{}

2,x x k k Z =∈；（2）{

(,)0x y x >且}0,,y x R y R >∈∈.

【典型例题】

1、下列叙述语句能够组成集合的是（）

（A ）近似等于0的实数；（B ）我校全面发展的同学；（C ）所有相当大的实数；

（D ）方程2

210x x ++=的实数解.

【解】（A ）、（B ）、（C ）都不能构成集合，因为它们研究的对象都不确定，不符合集合的确定性.（D ）可以构成集合，每个满足这个方程的实数是这个集合的元素，而不满足这个方程的实数都不是这个集合的元素，综上选择（D ）.2、在直角坐标系中表示点(2,3)-和(2,4)的集合是（）

（A ）{}11222,3,2,4M x y x y ==-===；（B ）{}

12(,)2,3,4N x y x y y ====；（C ）{}

(,)(2,3),(2,4)S x y =-；（D ）{}2,3,2,4T =-.

【解】集合M 中的元素是4个方程，集合N 中的元素是4个有序实数对，集合T 中的元素是4个实数，只有集合S 中的元素是符合题目要求的两个有序实数对，综上选择（C ）.3、已知{}

(,)5,*,*A x y x y x N y N =+=∈∈，试用列举法表示集合A .【解】{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)A =.

4、用适当的方法表示下列集合，然后说出它是有限集还是无限集.（1）所有小于10的合数所组成的集合；

（2）当1,0,1x =-时，函数2

21y x =+的值的集合；（3）所有被3除余1的数所组成的集合.【解】（1）用列举法：{}4,6,8,9，有限集；

（2）用列举法：{}1,3，有限集；

（3）用描述法：{}

31,x x k k Z =+∈，无限集.

5、用符号∈、?填空：

（1）若{

}

2

320A x x x =-+=，则1A ；（2）若{}

235B x x =-<，则2B ；

（3）若{}

(,)23C x y y x ==+，则(1,5)C ；（4）若{}{}{}{}1121,2,3D =

，，

，，则{}1D ，1D ；

（5）若{

}

2

40E x x x R =+=∈，，则0

E ；

【解】（1）∈；（2）∈；（3）∈；（4）∈，?；（5）?.

6、已知{}2

(1)0A x x p x q =+++=，{}

2

0B x x px q =-+=，当{}2A =-时，求B .

【解】由题意可知2

(1)0x p x q +++=有两个相等的根122x x ==-，

1212

(1)43

44x x p p x x q q +=-+=-=????

?===??，则2

0x px q -+=即为2

340x x -+=，方程无解，B ∴=?.

7、已知集合{

}

2

310,A x ax x x R =++=∈.（1）若A 中只有一个元素，求实数a 的值；

（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.【解】（1）①当0a =时，方程为310x +=，13x =-

，1A ??

=-????

，满足条件.②当0

a ≠时，原方程为一元二次方程，A 中只有一个元素，940a ∴?=-=，9

4

a ∴=

.综上所述，0a =或9

4

a =

.（2）由题意，A 中的元素情况为只有一个元素或没有元素两种情况.当A 中只有一个元素

时，由（1）得0a =或9

4a =.当A 中无元素时，由（1）得0a ≠，且此时一元二次方程无

解，940a ∴?=-<，即94a >.综上所述，0a =或9

4a ≥.

8、设数集A 满足：若x A ∈，则

1

1A x

∈-，且1x ≠，证明：（1）若2A ∈，则A 还有另外两个元素；（2）若x A ∈，则1

1A x

-

∈.【解】（1）由题意，若2A ∈，则

1112A =-∈-，由1A -∈，得11

1(1)2

A =∈--，

由12A ∈，得

1

2112A =∈-，往后结果重复出现，由集合元素的互异性知A 中只有1

2,1,2-三个元素，∴除了2以外还有另外两个元素；

（2）若x A ∈，则

11A x ∈-，则111111111x A x x x

-==-∈----，得证.

9、已知数集A 及定义在该数集上的某个运算（记为“*”）.如果对一切a A ∈，b A ∈，都有a b a b A *=?∈，那么就说集合A 对运算“*”是封闭的.

（1）设{}

2,,A x x p q p q Z ==+∈，判断A 对运算“*”是否封闭？（2）设{}

2,,,0B x x p q p q Z q ==+

∈≠，判断B 对运算“*”是否封闭？

【解】（1）任取,a b A ∈，则必存在,,,m n p q Z ∈，使得2a m n =+

，2b p q =+，

而(2)(2)22()a b m n p q mp nq np mq ?=+

?+=+++，,,,m n p q Z ∈ ，

2mp nq Z ∴+∈，np mq Z +∈，a b A ∴?∈，A ∴对运算“*”是封闭的；

（2）B 对运算“*”不是封闭的，举反例：若12a =，12b =-，则,a b B ∈，而

1a b B ?=-?，不满足定义.

【高考真题】

1、设{}3,P x x m m Z ==∈，{}31,Q x x m m Z ==+∈，{}

31,S x x m m Z ==-∈，且a P ∈，b Q ∈，c S ∈，设d a b c =+-，则有（）

（A ）d P ∈；

（B ）d Q ∈；

（C ）d S ∈；

（D ）d P ∈或d Q ∈.

【解】a P ∈ ，3a m ∴=，m Z ∈，b Q ∈ ，31b n ∴=+，n Z ∈，c S ∈ ，31c l ∴=-，l Z ∈，则3()23(1)1a b c m n l m n l +-=+-+=+-+-，,,m n l Z ∈ ，m n l Z ∴+-∈，1m n l Z ∴+-+∈，a b c S ∴+-∈，即d S ∈，∴选（C ）.

2、定义集合运算：{}

(),,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈ ，设{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B 的所有元素之和为（）

（A ）0；

（B ）6；

（C ）12；

（D ）18.

【解】0x =，2y =时，0z =；0x =，3y =时，0z =；1x =，2y =时，

23=6z =?；1x =，3y =时，34=12z =?；{}0,6,12A B ∴= ，∴选（D ）.