矩阵相关性质

等价：存在可逆矩阵Q P ,，使B PAQ =，则A 与B 等价；

相似：存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1，则A 与B 相似；

合同：存在可逆矩阵C ，使B AC C T =，则A 与B 合同.

一、相似矩阵的定义及性质

定义1 设B A ,都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵P ，使B AP P

=-1，则称B 是A 的相似矩阵，或说矩阵

A 与

B 相似，记为B A ~.对A 进行运算AP P 1-称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵.

注 矩阵相似是一种等价关系.

（1）反身性：A A ~.

（2）对称性：若B A ~，则A B ~.

（3）传递性：若B A ~，C B ~，则C A ~.

性质1 若B A ~，则

（1）T T B A ~；

（2）11~--B A

； （3）

E B E A λλ-=-； （4）B A =；

（5）)()(B R A R =.

推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵??????? ?

?=Λn λλλ 21相似，则n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值.

性质2 若1-=

PBP A ，则A 的多项式1)()(-=P B P A φφ. 推论 若A 与对角矩阵Λ相似，则

1211)()()()()(--??????

? ??=Λ=P P P P A n λφλφλφφφ . 注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身；

（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似.

二、矩阵可对角化的条件

对n 阶方阵

A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵，就称为把方阵A 对角化。

定理1 n 阶矩阵

A 可对角化（与对角阵相似）A ?有n 个线性无关的特征向量。

推论 如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似.（逆命题不成立） 注：（1）若A ～Λ，则Λ的主对角元素即为A 的特征值，如果不计i λ的排列顺序，则Λ唯一，

称之为矩阵

A 的相似标准形。

（2）可逆矩阵P 由A 的n 个线性无关的向量构成。 把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。 可对角化的矩阵主要有以下几种应用：

三、实对称矩阵的相似矩阵

实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化.即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P

1.更可找到正交可逆矩阵T ，使和Λ=-AT T 1

定理2 实对称矩阵的特征值为实数。

定理2的意义：因为对称矩阵A 的特征值1λ为实数，所以齐次线性方程组0)(=-x E A i λ是实系数方程组。又因为0=-E A i λ，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。

定理3：实对称矩阵

A 的对应于不同特征值的特征向量正交。

定理4：A 为n 阶实对称矩阵，0λ是A 的k 重特征值，则对应于0λ的特征向量中，线性无关的个数为k ，即0)(0=-X E A λ的基础解系所含向量个数为k 。

定理5：（实对称矩阵必可对角化）

对于任一n 阶实对称矩阵A ，一定存在n 阶正交矩阵T ，使得Λ=-AT T 1。其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角阵。

定义 2 若二次型Ax x f T =，则对称矩阵

A 叫做二次型f 的矩阵，也把f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵

A 的秩就叫做二次型f 的秩. 推理 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正.

定理3 对称矩阵A 正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正，即

011>a ，

022211211>a a a a ，0,1111>nn

n n a a a a ； 对称矩阵A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正 1.设A 为正定阵，则*1,,A A A T -均为正定矩阵；

2.设B A ,均为正定矩阵，则B A +也是正定矩阵.

四、如果n 阶矩阵A 与B 相似，那么A 与B 的特征值相同吗？

答 一定相同。因为它们有相同的特征多项式。 证明 A 与B 相似，即存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1，

E A E A P P E A P P E P AP P E B λλλλλ-=-=-=-=-∴----1111)()(

但务必注意：

1. 即使A 与B 的特征值都相同，A 与B 也未必相同。

2. 虽然相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。

五、判断矩阵

A 是否可对角化的基本方法有哪些？ 答 常有如下四种方法。 （1）判断A 是不是实对称矩阵，若是一定可对角化。

（2）求A 的特征值，若n 个特征值互异，则A 一定可对角化。

（3）求A 的特征向量，若有n 个线性无关的特征向量，则A 可对角化，否则不可对角化。

（4）方阵A 可对角化的充要条件是A 的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。

一般来说，常用方法（2）和（4），且（2）中的条件仅仅是充分的。

六、已知n 阶方阵

A 可对角化，如何求可逆矩阵P ，使得?),,,(diag 211n AP P λλλ =- 答 若n 阶方阵

A 可对角化时，则求可逆矩阵P 的具体步骤为： （1）求出A 的全部特征值s λλλ,,,21 ；

（2）对每个)1(s i i ≤≤λ，求齐次方程组0)(=-x E A i λ的基础解系，得n 个线性无关的特征向量n ααα ,,21；

（3）令),,,(21n P ααα =，则),,,(211

n diag AP P λλλ =Λ=-，其中 n λλλ,,,21 为n ααα,,,21 对应的特征值。

七、对于实对称矩阵

A ，如何求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角阵？ 答 若A 为n 阶实对称矩阵，则一定存在正交阵P ，使AP P 1-为对角阵。可按以下步骤求出正交矩阵P 。

（1）求出方阵A 的全部特征值s λλλ,,,21 ，其中重根数分别为s k k k ,,,21 。

（2）对每一个i λ求出齐次线性方程组0)(=-x E A i λ的基础解系s i ik i i ,,2,1,,,,21 =ααα。

（3）将s i ik i i ,,2,1,,,,21 =ααα正交化（若1=i k ，则只须单位化）得正交单位特征向量组：n p p p ,,21。

令),,,(21n p p p P =

（4）??????

? ??=-n AP P λλλ 211 ，其中λ是特征向量i p 所对应的特征值。 九、如何判断一个二次型Ax x f T =是正定的？

答 判别二次型Ax x f T =正定性的方法通常有

（1）用定义，

（2）f 的标准形中的n 个系数全为正，

（3）对称矩阵A 的特征值全大于0，

（4）正惯性指数n p =，

（5）计算矩阵A 的各阶顺序主子式，各阶顺序主子式均大于0。

十三、什么叫矩阵的合同？矩阵合同与矩阵相似有什么区别与联系？

答 如果存在可逆矩阵P ，使，则称矩阵A 与B 合同。

合同关系是一种等价关系，矩阵合同在证明矩阵正定性和化二次型为标准型中有很广泛的应用，在此给出一个非常有用的结论：

如果矩阵A 与矩阵E 合同，则A 为正定矩阵。

合同与矩阵相似是有区别的，矩阵

A 与

B 相似，则存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1。显然，若P 为正交矩阵，则1-=P P

T ，矩阵合同与矩阵相似就有联系了，由此我们可得出： 如果A 为n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P ，使Λ=-AP P 1，此时A 与Λ相似，A 与Λ合同。