高三数学上学期 三角函数与解三角形 10三角变换在实际问题中的应用教学案(无答案)(1)

三角变换在实际问题中的应用

【教学目标】把实际生活中的与角相关的问题转化为三角函数的问题来求解，培养学生思维能力．

【教学重点】三角函数的模型在实际问题中的应用．

【教学难点】如何把实际问题转化为等价的三角函数问题．

【教学过程】

一、知识梳理：

1．建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤：

（1）阅读理解，审清题意； （2）创设变量，构建模型；

（3）计算推理，解决模型； （4）结合实际，检验作答．

2．三角函数模型的主要应用：

（1）在解决物理问题中的应用；

（2）在解决测量问题中的应用；

（3）在解决航海问题中的应用．

二、基础自测：

1．如下图左扇形AOB 的半径为1，中心角为60°，PQRS 是扇形的内接矩形，当点P 在 的位置时，矩形PQRS 的面积最大，最大值为 ．

2．如上图中扇形内切圆半径与扇形半径之比为1∶3，则内切圆面积与扇形面积之比为________．

3．如上图右半径是3 m 水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P 到水面的距离y （m)与时间x （s)满足函数关系)0,0(2)sin(>>++=A x A y ω?ω，则ω=______，A =_______．

4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h (ω>0,0<φ<π

2

)的图象如图所

示，

则f (x )＝___________________．

三、典型例题：

例1．一半径为4m水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点

P）开始计算时间.

P从水中浮现时（图中点

（1）将点P距离水面的高度()

t s的函数；

z m表示为时间()

（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？

例2．如图，开发商欲对边长为1 km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF(点E、F分别在BC、CD上)，根据规划要求△ECF的周长为2 km.

（1）试求∠EAF的大小；（2）欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．

【变式拓展】如图，现要在一块半径为1 m、圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M、N在OB上，设∠BOP＝θ，?MNPQ的面积为S.

（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值及相应的θ的值．