第3章 功和能
第3章功和能
思考题
3-1 人从静止开始步行，如鞋底在地面上不打滑，作用于鞋底的摩擦力是否做了功？人体的动能是从哪里来的？
答：作用于鞋底的摩擦力没有做功。人体的动能是内力做功的结果。
3-2 力的功是否与参考系有关？一对作用力与反作用力所做功的代数和是否与参考系有关？
答：力的功与参考系有关。因为力的功是力沿受力点位移方向上的分量和受力点位移大小的乘积，而受力点位移是与参考系的选取有关的。一对作用力与反作用力所做功的代数和是与参考系无关的。因为一对作用力与反作用力所做功的代数和是与相对位移有关的，而相对位移却是与参照系选取有关。
3-3 外力对质点不作功时，质点是否一定作匀速直线运动？
答：外力对质点不作功时，质点不一定作匀速直线运动，有两种情况：
（1）若合外力F=0，则质点将保持原来的运动状态不变。此即牛顿第一定律,原来静止的将仍然保持静止；原来作匀速直线运动的，将继续保持原有速度的大小和方向不变的匀速直线运动。
（2）若合外力F 与质点的位移d r始终垂直，则合外力对质点不作功。如:用细绳连接着的小球在光滑水平面内作圆周运动，拉力不作功。此时的质点所作的是匀速率圆周运动，其动能虽然不变，但速度方向不断改变。
3-4 物体组成的一个系统，在相同时间内，作用力所作的功与反作用力所作的功是否一定相等，二者的代数和是否一定等于零？
答：作用力与反作用力其位移不一定相等，所以作用力与反作用力的功大小不一定相等，二者代数和也不一定为零。
3-5 非保守力作功总是负的说法对吗？举例说明之．
答: 不对。一个物体放在水平传送带上，物体与传送带无相对滑动，当传送带作匀速运动时，静摩擦力对物体作功为零，当传送带作加速运动时，静摩擦力对物体作功为正，当传送带作减速运动时，静摩擦力对物体作功为负。
3-6 质点的动量和动能是否与惯性系的选择有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系的选择有关？
答：质点的位移、速度是相对的，其值与惯性系的选取有关，所以与之相关的动量和动能与惯性系的选择有关。虽在不同的惯性参考系中，动量和动能各有不同的值，但在每个惯性参考系中都存在各自的动量定理和动能定理，这就是说，质点的动量定理和动能定理的形式与惯性系的选择无关。
3-7 合力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中一个分力做的功，能否大于物体动能的增量？
答：可以。因为合外力所做的功是指所有外力对物体所做功的代数和。其中正功使动能增加，负功使动能减少，相互间有抵消，因而有可能存在某一个分力做的功大于合力做的功，即大于物体动能的增量。
3-8 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值?
答 对于势能而言，只有相对意义，因而其值与参考位置(即零点) 的选择有关。 为了方便，一般重力势能的零位置选在地面。这样，高于地面的物体其重力势能为正值，低于地面的物体其重力势能为负值。弹性势能的零位置选在没有形变时的平衡位置，其表示式为
2p 12
E kx =
，无论离平衡位置距离为正还是为弹屈性势能都为正。对于引力势能，如果其零 位置选在无穷远处，则其表示式为p Mm
E G r =-，显然为负。
3-9 在式(3-14) p p0P ()A E E E =--=-?中，我们已经知道保守力做的功等于质点势能增量的负值；若假定保守力做的功等于质点势能增量的正值，那又将如何呢？
答：势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的，因而它是属于系统的，当保守力做正功时，要消耗系统的势能。当保守力做负功时，系统的势能要增加。这就是式(3-14)
p p0P ()A E E E =--=-?中负号的含义。否则，保守力做正功时，不但不消耗势能，反而使
势能增加了，从而违背了自然界普遍遵循的基本定律——能量守恒和转换定律。
3-10 一物体可否只具有机械能而无动量？一物体可否只具有动量而无机械能？ 答：机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和。动能与物体相对参考系的运动速度
有关，势能则属于保守力系统，一物体所具有的势能，是相对势能零点而言的。
若为保守力系统，且物体相对参考系静止，那么物体的动能为零，动量也为零。该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能。所以，一物体可以有机械能而无动量。例如：一质量为 m 的物体（例如一气球）静止在相对地面为h 的高处，此时对于物体和地
球系统，具有的机械能为重力势能，其值为 mgh 。由于此时物体静止，故其动量为零。
在保守力系统中，若一物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动能，因而动量不为零。所以，一物体也可以有动量而无机械能。例如：物体自离地面高为h 处自由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点。初始时刻系统的机械能为零，下落之地面时，物 体具有的速度大小为υ，动能为
2
12
m υ，动量大小为m υ，系统的机械能为零。 3-11 以相同的动能从同一地点抛出两个物体，试问在下列两种情况下到达最高点时这两 物体的动能是否相同？势能是否相同？
答：（1）两物体的动能相同，势能相同。 （2）两物体的动能不相同，势能也不相同。 3-12 质量相等的小球，分别从两个高度相同、倾角不同的光滑斜面的顶端由静止滑到底部，它们的动量和动能是否相等？
答：动量和动能都是量度物体机械运动的的物理量。动量m =P υ是矢量，沿速度的方向；动能2
k 12
E m υ=
是正值标量，它们的量值都与参考系无关。小球从光滑斜面下滑时，速度方向沿斜面，因此，两球到达底部时的动量方向不同。两小球从高度h 相同的斜面滑下时，取小球、光滑斜面和地球为系统。因机械能守恒，所以两球的动能相同，动量值也相等。
3-13 质点系的机械能定理与动能定理的区别是什么？
答：机械能定理从动能定理导出，形式上是动能定理的变形，但这两者分析问题的思路是有区别的．⑴如果取单个质点为研究对象时，应该使用质点的动能定理，其中力所做的功指的是作用在物体上的所有力所做的总功，必须计算包括重力、弹性力等保守力在内的一切力所做的功．⑵当我们取系统为研究对象时，可以运用质点系的动能定理也可以运用质点系的机械能定理．在运用质点系的机械能定理时，由于应用了系统的势能这个概念，保守内力的功已经被系统的势能增量所取代，所以计算力做功时，应将保守内力所做的功除去．
3-14 用能量方法和用牛顿定律各自求解哪些力学问题较方便？哪些力学问题不方便？
答：牛顿定律是力的瞬时作用规律，在求解某一时刻对应的力、加速度及运动过程中的细节问题时，用牛顿定律较为直接。
若过程中物体间的相互作用关系复杂时，直接用牛顿定律处理会感到困难，但又制涉及始末状态就可以求解的问题，用能量的方法较容易，如求功、始末速度等和能量直接联系的量。很多情况两种方法结合使用，解决问题会更方便。
3-15 在完全弹性碰撞中，哪些量保持不变？在非完全弹性碰撞中哪些量保持不变？ 答：完全弹性碰撞中，动量守恒，动能守恒；在非完全弹性碰撞中只有动量守恒。
习题
3-1 作用在质点上的力为76=-F i j （SI 制），求：
⑴ 当一质点从原点运动到3416=++r i j k 时力F 所做的功； ⑵ 如果质点从原点运动到3416=++r i j k 处需0.6s ，试求平均功率． 解：⑴ 由题知，F 为恒力，
()() 76341645J A ?-++=-=F r =i j i j k
⑵ 根据平均功率的定义式，得
45
75W Δ0.6
A P t =
== 3-2 质点在外力24y F =i +j 的作用下在一平面内运动（SI 制），求下列情况下，质点从2x =-运动到3x =处该力做的功．
⑴ 质点的运动轨迹为抛物线 2
4x y =； ⑵ 质点的运动轨迹为直线 46y x =+． 解：由 d d d d b
b
x y z a
a
A F x F y F z ?=
++?
?
=F r ，得
(1) 质点的运动轨道为抛物线2
4x y =时该力做的功为
22221
1
1
1
9
2
3
4121
d d 2d 4d d 4d 10.8J 2x y x y x y x y x y x A F x F y y x y x y -+=+=+=????
??=
(2) 质点的运动轨道为抛物线46y x =+时该力做的功为
2
2
2
21
1
1
1
9
3
42216
d d 2d 4d d 4d 21.25J 2
x y x y x y x y x y x A F x F y y x y x y -++=+=+=????
??=
3-3 一物体在介质中按规律3
x ct =作直线运动（SI 制），c 为常量．设介质对物体的阻力正比于速度的平方．试求物体由00x =运动到x L =时，阻力所作的功(已知阻力系数为k )．
解：由3
x ct =，得2d 3d x
υct t
=
= ,所以介质对物体的阻力 42
4
3
2
24
2
33999x f k υkc t kc kc x c ??
==== ???
阻力所作的功为
24272
7
333
333
3
27d 9d 97
7
L L L
A f x kc x x kc x
kc L =-=-=-=-??
3-4 质量为m 的木板B 静止在光滑桌面上，质量也为m 的物体A （A 可视为质点）放在木板B 的一端．现给物体A 一初始速度0υ使其在B 板上滑动，设A 、B 间的摩擦因数为μ，并设A 滑到B 的另一端时A 、B 恰好具有相同的速度．求B 板的长度L 及B 板走过的距离x ．
解：A 向右滑动时，B 给A 一向左的摩擦力，A 给B 一向右的摩擦力，摩擦力的大小为
μmg 。将A 、B 视为一系统，摩擦力是内力，因此系统水平方向动量守恒，设A 滑到B 的右
端时二者的共同速度为υ，则有
02m υm υ=
解得 0
2
υυ=
再对A 、B 系统应用质点系动能定理并注意到摩擦力的功是一对力的功，可设B 不动，A 相对B 移动了B 的长度为L ，摩擦力的功应为μmgL -，代入质点系动能定理
22
11222
μmgL m υm υ-=
- 可得 2
4υL μg
=
为了计算B 板走过的距离x ，再单独对B 板应用质点的动能定理，此时B 板受的摩擦
图3-20 习题3-6用图
力做正功μmgx
212
μmgx m υ=
得 20
8υx μg
=
3-5 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比．在铁锤击第一次时，能将铁钉击入木板内1cm ，问击第二次时能击入多深？假设每次锤击铁钉前的速度相等，且锤与钉的碰撞为完全非弹性碰撞．
解：以木板上界面为坐标原点，向木板内为y 坐标正向，则铁钉所受阻力为f ky =-，依题意每次锤击铁钉前的速度相等，故有动能定理有
2
2
110k 0
1100d d y
f E A ky y ky y --??-==-=-?
?
解得
210m y -=
所以第二次能击入的深度为
(
))
2222110m 110m =0.41410m y y ---=-?=
??
3-6 如图3-20所示，一个物体放在倾角为α的长斜面上，斜面与物体间的摩擦系数为μ，当我们沿斜面向上给物体以冲量时，使物体在P 点获得初速度υ，若物体可以返回至P 点．求物体返回至P 点时的速度υ的大小？
解：因物体在沿斜面上升过程中，压力不作功，而重力和摩擦力都作负功，所以，物体的动能一定是逐渐减少，直到为零，这时速度也为零，物体达到最高点。在这之后，它从最高点的静止状态能否下滑？这取决于斜面的倾角，只有tan α大于μ时，物体才能下滑。如果本题满足这一条件，就意味着αsin mg 大于αμcos mg ，作用于物体的合力沿斜面向下，在下滑过程中，合力的功大于零，即物体的动能将会由逐渐增加，物体的速度越来越大，物体也就一定能回到出发点P 。
设点P 到最高点沿斜面的距离为l ，根据动能定理，从P 到到最高点过程中，有
2
1sin cos 02
A mgl αμmgl αm υ=--=- 解得 20
2(sin cos )
υl g αμα=+
物体从P 至最高点，再回至P 点的整个运动过程中，运动路径为2l （它与摩擦力的功有关），位移为零（它说明重力所作总功为零）。根据动能定理，有
22
112cos 22
A μmgl αm υm υ=-=- 将l 代入上式，便可解得物体返至P 点时的速率为
υυ=3-7 一汽车的速度036km h υ=，驶至一斜率为0.010的斜坡时，关闭油门．设车与路面间的摩擦阻力为车重G 的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？
解：取汽车为研究对象。汽车上坡时，受到三个力的作用：一是沿斜坡方向向下的摩擦力f ，二是重力G ，方向竖直向下，三是斜坡对物体的支持力N 。设汽车能冲上斜坡的距离为s ，此时汽车的末速度为0。根据动能定理
2
1sin 02
f s Gs αm υ-?-=- 上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因1f =μN μG =，所以
2
101sin 2
μG s Gs αm υ+=
按题意斜坡与水平面的夹角很小，所以sin tan αα≈，1G G mg ≈=，上式可化成
2
012
μgs gstg αυ+= 即 20
2()
υs g μtg α=+
代入已知数据得
22
010m 85m 2()29.8(0.050.010)
υs g μtg α===+??+
3-8 质量为3.0 kg 的质点受沿x 正方向的力作用，已知质点的运动方程为23
34x t t t =-+（SI 制），求力在最初4.0 s 内做的功．
解：由动力学方程得质点的速度：
2d 383d x
υt t t
=
=-+ 则质点的动能为
()222k 11
3.038322
E m υt t ==??-+
根据动能定理，力在最初4.0 s 内做的功
()()()222k k k 1Δ 4.00 3.038 4.03 4.03J 528J 2
A E E E ??==-=??-?+?-=????
3-9 如图3-21所示，一质量为 M 的木块静止于光滑的水平面上，一质量为m 的子弹沿水平方向以速度0υ射入木块内一段距离d 后停止于木块内．假设木块对子弹的阻力是恒定不变的，求子弹与木块一起运动的速度υ及子弹相对于木块静止时，木块滑动的距离L ．
解：子弹与木块作为一个系统，水平方向不受力，其动量守恒。设子弹相对于木块静止时，一起运动的速度为υ，由动量守恒定律，得
()0m υm M υ=+
子弹与木块间的作用力为f ，此力为恒力，对木块应用动能定理，有
21
2
fL M υ=
对子弹应用动能定理，有
()22
1122
f d L m υm υ-+=- 联立求解
图3-21 习题3-9用图
0m υυm M =
+ m
L d m M
=+
3-10 有一保守力()
2Ax Bx -+F =i (SI 制)，沿Ox 轴作用于质点上，式中A 、B 为常量． ⑴ 取0x =时P 0E =，试计算与此力相应的势能； ⑵ 求质点从2m x =运动到3m x =时势能的变化． 解：⑴ 已知0x =时P 0E =，则x 处的势能为
()00
223
p 0d d 23
x x x
x
A B E A x Ax Bx x x x ===-+=
-??F i ⑵ 当质点从2m x =运动到3m x =时势能的增量为
p p
p
3
2
519Δ23
x x A B E E E ===-=
-
3-11 一双原子分子的势能函数为
126
00p 0()2r r E r E r r ??
????=-?? ? ????????
?
式中r 为两原子间的距离，试证明：
⑴ r 0为分子势能极小时的原子间距； ⑵ 分子势能的极小值为﹣E 0； ⑶ 当p ()0E r =时，原子间距离为6
2
r ；
⑷ 画出势能曲线简图．
证明：⑴ 当
2P P 2
d ()d ()
0,0d d E r E r r r =>时，有P min ()E r 1151260000P 00137()d
[()2()]12()0d r r r r dE r E E dr r r r r r
=-=-+= 即 50110)()(
r
r
r r =，而0r > 所以 0r r =
115200P 02148d ()12(137)d r r E r E r r r =-，当0r r =时，20P 0
2333
00072d ()137
12()0d E E r E r r r r =-=> ∴ 0r r =时，P ()E r 取最小值。 ⑵ 当0r r =时，060
012000min ])(2)[(
)(E r r
r r E r E P -=-= ⑶ 由12
6
00P 0()[()2()]0r
r E r E r
r
=-=，得 0)(2)(
60120=-r r r r ，即2)(60=r
r
所以
r =
（4）势能曲线简图如右图所示。
3-12 在图3-22中，一个质量2kg m =的物体从 静止开始，沿四分之一的圆周从A 滑到B ．已知圆 的半径4m R =，设物体在B 处的速度6m υ=， 求在下滑过程中，摩擦力所作的功．
解：下滑过程中，物体受重力G 、摩擦力f 和正压力N 的作用， f 与 N 都是变力，N 处处和物体运动方向相垂直，所以它不做功，但摩擦力做的功却因它是变力而使计算复杂起来。
采用功能原理进行计算较为简便，把物体和地球作为系统，则物体在A 点时系统的能量E A 是系统的势能mgR ，而在B 点时系统的能量E B 则是动能2
2m υ，它们的差值就是摩擦力 所做的功，因此
2211
2629.84J 42.4J 22
B A A E E m υmgR J =-=
-=??-??=- 负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功42.4 J
3-13 如图3-23所示，一劲度系数为k 的弹簧，其一端固定在A 点，另一端连一质量为m 的物体，靠在光滑的半径为a 的圆体表面上，弹簧原长为AB ，在变力F 作用下，物体极缓慢的沿表面从位置B 移到C ，求力F 做的功
解：选点B 处系统的重力势能、弹性势能为零，由题意知点B 处系统的机械能p 0B E =， 点C 处系统的机械能22
p 1sin 2
C E mga θka θ=+
，利用机械能定理，得力F 做的功为 221
sin 2
F A mga θka θ=+
3-14 如图3-24所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为1m ，从与水平面成倾角30α=斜面上的点A 由静止下滑．设斜面对车的阻力为车重的0.25倍，矿车下滑距离l 时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动．当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置A 再装贷．试问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大?
解：取沿斜面向上为x 轴正方向．弹簧被压缩到最大形变时弹簧的上端为坐标原点O ．矿车在下滑和上行的全过程中，按题意，摩擦力所作的功为
()()210.250.25f A m g m g l x =++ ○
1 式中1m 、2m 分别为矿车满载和空载时的质量，x 为弹簧最大被压缩量． 根据功能原理，在矿车运动的全过程中，摩擦力所作的功应等于系统机械能 增量的负值，故有
()k p ΔΔΔf A E E E =-=-+
由于矿车返回原位时速度为零，故k Δ0E =，而()()p 21Δsin E m m g l x α=-+，故有
()()21sin f A m m g l x α=--+ ○
2
图3-22 习题3-12用图
图3-23 习题3-13用图
○
1、○2两式联立，解得 211
3
m m = 3-15 如图3-25所示，一质量为1m 的物块放置在固定不动的斜面的最底端A 处，斜面的倾角为α，高度为h ，物块与斜面的动摩擦因数为μ，今有一质量为2m 的子弹以速度0υ沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小．
解：设碰后的共同速度为1υ，在子弹与物块的撞击过程中，在沿斜面的方向上，根据动量守恒有
()20121cos m υαm m υ=+
在物块上滑的过程中，若令物块刚滑出斜面顶端时的速度为2υ，并取A 点的重力势能为零．由系统的功能原理可得
()()()()2
2121221212111cos sin 22
h μm m g α
m m υm m gh m m υα-+=+++-+ 联立两式，可得
2υ=3-16 如图3-26所示，有一冰块从半径为R 的半球形光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下，若摩擦力略去不计，求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度．
图3-24 习题3-14用图
图3-25 习题3-15用图
解：由系统的机械能守恒，有
2
1cos 2
mgR m υmgR α=
+ ○
1 根据牛顿定律，冰块沿径向的动力学方程为
2
N cos m υmg αF R
-= ○2
冰块脱离球面时，支持力N 0F =，由式○1、○2可得冰块的角位置
2
arccos
48.23
α== 冰块此时的速率为
υ==
υ的方向与重力G 方向的夹角为
09041.8θα=-=
3-17 劲度系数为k 的弹簧上端固定在天花板上，下端竖直悬挂着质量分别为12m m 、的两个物体，如图3-27所示．开始两个物体都处于静止状态，若突然撤除2m ，求1m 运动的最大速率．
α
G
θ
图3-26 习题3-16用图
图3-27 习题3-17用图
解：取弹簧原长时其下端处为坐标原点，竖直向下为y 轴的正方向。取弹簧为原长时作为重力和弹性势能零点，突然撤除2m 后，1m 与弹簧一起运动的过程中，满足机械能守恒，速度最大时其动能最大，而势能最小。1m 与弹簧任意时刻的势能为
2p 11
2
E ky m gy =-
由上式可求得，势能最小时，1m 的位置为
1min m g
y k
=
○1 所以 2
pmin min 1min 12
E ky m gy =- 此时的机械能为
22
pmin kmax min 1min 1max
1122
E E E ky m gy m υ=+=
-+ ○2 撤除2m 后1m 与弹簧的初始时刻的机械能为
2
22
2
1212211122m m m m m m E k g m g g g k k k ++-????=-= ? ?????
○
3 联立○1、○2、○3式，得
max υ=
3-18 如图3-28所示，把0.2kg m =的小球放在A 处时，弹簧被压缩2
Δ7.510m l -=?．然后从A 处由静止被释放小球，在弹簧的弹性力作用下，小球沿轨道ABCD 运动．小球与轨道间的摩擦略去不计，已知BCD 为半径0.15m r =的半圆弧，AB 相距为2r ．求弹簧劲度系数的最小值． 解：小球要刚好通过最高点C 时，轨道对小球支持力
N 0F =，因此，有
2
c m υmg R
=
图3-28 习题3-18用图
取小球开始时所在位置A 为重力势能的零点，由系统的机械能守恒定律，有
()2
211Δ322
c k l mgr m υ=+ 由以上两式可得弹簧劲度系数的最小值 ()
2
7366N m Δmgr
k l =
=.
3-19 一质量为1m 的弹丸，穿过如图3-29所示的摆锤后，速率由υ减少到
2
υ
．已知摆锤的质量为2m ，摆线长度为l ，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少?
解：由水平方向的动量守恒定律，有
11
22
υ
m υm m υ'=+ 式中 υ'为摆锤在圆周最低点的运动速率
为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动，在最高点时，摆线中的张力T 0F =，则
2
22h
m υ'm g l
=
式中h υ'为摆锤在圆周最高点的运动速率．
又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中．满足机械能守恒定律，故有
2222211222
h m υ'm υ'm gl =+ 联立上述三个方程求解，可得弹丸所需速率的最小值为
1
υ=
3-20 如图3-30所示，质量为M 、速度为υ的钢球，射向质量为m 的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k 的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面内作无摩擦滑动．求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离．
图3-30 习题3-20用图
图3-29 习题3-19用图
解：设弹簧的最大压缩量为0x ．小球与靶共同运动的速度为1υ．由动量守恒定律，有
()1M υM m υ=+
又由机械能守恒定律，有
()222
10
111222
M υM m υkx =++ 由以上两式可得
0x =
3-21 地面上竖直安放着一个劲度系数为k 的弹簧，其顶端连接一静止的质量为M 的平板．有个质量为m 的物体，从距离顶端为h 处自由落下，并与M 作完全非弹性碰撞．试证弹簧对地面的最大压力
max ()f M m g =++
证明：第一过程：设质量为m 的物体，从距离顶端为h 处自由落下，与M 碰撞前的速度为υ，由机械能守恒，得
2
12
m υmgh = ○
1 第二过程：m 与M 作完全非弹性碰撞。设M 与m 的共同速度为V ，由动量守恒，得 ()m υm M V =+ ○
2 第三过程：m 与M 碰撞后至M 与m 的共同速度减为零。设当M 静止时，弹簧被压缩0x ，
则有0Mg kx =；当碰撞后，M 与m 速度减为零时，弹簧再压缩x'，则有
)'(0max x x k f += ○3
所以弹簧对地面的压力
)'(0max max x x k f N +== ○4
由机械能守恒，得
20202)'(2
1
21')()(21x x k kx gx M m V M m +=++++ ○
5 ○
1、○
2、○
3、○
4、○5式联立，得 (
)max 0'f kx kx M m g =+=++3-22 如图3-31所示，在光滑的水平面上有一轻质弹簧(其劲度系数为k )，它的一端固定，另一端系一质量为1m 的滑块．最初滑块静止时，弹簧呈自然长度0l ，今有一质量为2m 的子弹以速度0υ沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度l 时，求滑块速度的大小和方向．
解：子弹射入滑块瞬间．因属非弹性碰撞，根据动量守恒定律有
()2012m υm m υ'=+
在弹簧的弹力作用下，滑块与子弹一起运动的过程中，若将弹簧包括在系统内，则系统满足机械能守恒定律，有
()()()2
2212120111222
m m υ'm m υk l l +=+++ 又在滑块绕固定点作弧线运动中，系统满足角动量守恒定律，故有
()()12012sin m m υ'l m m υl θ+=+
式中θ为滑块速度方向与弹簧线之间的夹角．联立上述三式，可得
υ=()()1
222
020*********arcsin k l l m υl m θυm m l m m m m -????-????
??=-?? ?+++????????
??
3-23 轻弹簧下端固定在地面，上端连接一静止的质量为M 的木板，如图3-32所示．一
1
m 2m 图3-31 习题3-22用图
质量为m 的弹性小球从距木板h 高度处以水平速度0υ平抛，落在木板上与木板弹性碰撞，设木板没有左右摆动，求碰后弹簧的最大压缩量是多少？
解：第一过程：m 的平抛。m 与M 碰撞前其速度的水平及竖直方向分量分别为
0x υυ= ○1
y υ=○
2 第二过程：小球与木板的弹性碰撞过程，将小球与木板视为一个系统，动量守恒。因碰后木板没有左右摆动，小球水平速度不变，故只需考虑竖直方向动量守恒即可。设碰后小球速度竖直分量为
y υ'，木板速度为V
y y m υm υ'MV =+ ○3
弹性碰撞，系统动能不变，即
()()22222
111222
x y x y m υυMV m υυ'+=++ ○
4 第三过程：碰后木板的振动过程。将木板、弹簧和地球视为一个系统，机械能守恒。取弹簧为原长时作为坐标原点和势能零点，并设木板静止时弹簧已有的压缩量为1x ，碰后弹簧的最大压缩量为2x ,见下图。由机械能守恒，得
222
1122111222
MV kx Mgx kx Mgx +-=- ○
5 1x 可由碰撞前弹簧木板平衡时的受力情况求出：
1Mg kx = ○6
M
m 0
υ?
图3-32 习题3-23用图
联立○1至○6式并求解，得
2Mg x k =
+3-24 如图3-33所示，一个轻弹簧上端固定，下端系一个金属圆盘，弹簧伸长为
110cm l =．一个质量和圆盘相同的泥球，从高于盘底30cm h =处由静止下落到盘上．求此
盘向下运动的最大距离2l ．
解：第一个过程为泥球自由下落过程。为从距离顶端为h 处自由落下，与盘碰撞前的速 度为υ，由机械能守恒，得
2
12
m υmgh = ○
1 第二个过程为泥球与盘碰撞过程。将盘和泥球看做一个系统，因二者之间的冲力远大于它们所受的外力(包括重力和弹簧的弹力)，而且作用时间很短，可以认为动量守恒。设它们的质量均为m ，它们碰撞后结合在—起以共同的速度V 运动。沿y 方向的动量守恒定律的分量式为
2m υmV = ○
2 第三过程为泥球和盘共同下降的过程。选弹簧、泥球、盘和地球为系统。以泥球与盘共同开始运动为系统的始态，二者到达最低点时为末态。在此过程中只有重力、弹性力(均为保守力)做功，系统机械能守恒。以弹簧的原长为弹性势能的零点，以盘到达最低位置为重力势能的零点。则系统的机械能守恒表达式为
()()()2
22211211122222
m V m gl kl k l l ++++ ○
3 依题意，又由
1kl mg = ○4
将式○1、○2、○3、○4联立，代人数据，可得
图3-33 习题3-24用图
230cm l = 或 210cm l =-（舍去）
所以，盘向下运动的最大距离为230cm l =
3-25 质量为23
7.210
kg -?，速率为76.010m ?的粒子A ，与另一个质量为其一半而静
止的粒子B 发生二维完全弹性碰撞，碰撞后粒子A 的速率为7
5.010m ?．求：
⑴ 粒子B 的速率及相对粒子A 原来速度方向的偏角β； ⑵ 粒子A 的偏转角α．
解：取如图所示的坐标，在碰撞平面内根据系统动量守恒定律可取两个分量式．有
A B A B A cos cos 2
0sin sin 2
m
m υυβm υ'αm
υβm υ'α=+=
+
又由机械能守恒定律，有
222
A B A
1112222
m m υυm υ'=+ 联立以上各式可得碰撞后B 粒子的速率为
7B 4.6910m s υ==?
各粒子相对原粒子方向的偏角分别为
22A A B A A A
332220,arccos 54644υυ'υα'β'υυ'υ+
====
大学物理答案第三章
第三章 功和能 3-1 汽车在平直路面上行驶，若车与地面间的摩擦力恒定，而空气阻力与速度的平方成正比．设对于一辆质量为1500kg 的汽车总的阻力281300v .+=F （其中F 以N 为单位，v 以m/s 为单位），求当车速为60 km/h ，加速度为1.0m/s 2时，汽车引擎所损耗的瞬时功率． 分析 作用力的瞬时功率等于该力与物体获得的速度的乘积． 解 当汽车的加速度为a 时，引擎牵引力为F 1，应用牛顿第二定律，运动方程为 ma F F =-1 则 2181300v .++=-=ma F ma F 根据瞬时功率的定义，汽车引擎所损耗的瞬时功率为 W 103.83 W 3600 100060360010006081300011500 813004221?=????++?=++==])(..().(v v v ma F P 3-2 如习题1-7所述，若海岸高h = 10 m ，而猛烈的大风使船受到与绳的牵引方向相反的恒定的作用力F = 5000 N ，如图3-2所示．当岸上的水手将缆绳由50 m 收到30 m 后，求缆绳中张力的改变量，以及在此过程中水手所作的功． 分析 水手拉缆绳的过程中，是通过缆绳将力作用在船上实现船体运动作的功．由于缆绳中的张力是变力，直接计算它的功比较困难．根据动能定理，合外力的功等于物体动能的增量，船在此过程中开始前和结束后都保持静止，船只在水平方向发生位移，水平方向只受缆绳张力水平分量和恒定阻力F 作用，则水手通过缆绳张力所作的功的量值 应等于恒力F 所作的负功． 解 缆绳长度由l 1=50 m 收到l 2=30 m 的过程中，位移为s ，水手作的功为 J 101.035J 103010505000 52222222221?=---?=---==() (h l h l F Fs W 设此过程中开始前缆绳张力为F T1、结束后为F T2，它们的水平方向分量都应与恒力F 等大而反向，因此有 F l h l F =-1221T1 F l h l F =-2222T2 则 图3-2
大学物理功和能
第四章 功和能 P88-92习题：3、4、5、12、13、14、19、23、27、30、36、 一. 选择题： 3．如图4-18所示，一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力 0()+F =F i j x y 作用在质点上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R ）位置过程中， 力F 对它所作的功为（ ）。 (A)2 0R F ．(B)2 02R F ． (C) 2 03R F ． (D) 2 04R F ． ［］ 4．如图4-19所示，，木块m 沿固定的光滑斜面下滑，当下降h 高度时，重力作功的瞬时功率是（ ）。 (A)21)2(gh mg ．(B)1)2(cos gh mg θ． (C)1()2 1/2mgsin θgh (D) (2)1/2 mgsin θgh ［］ 5．质量为m ＝0.5 kg 的质点，在Oxy 坐标平面内运动，其运动方程为x ＝5t ，y =0.5t 2（SI ），从t =2 s 到t =4 s 这段时间内，外力对质点作的功为（ ）。 (A) 1.5 J ． (B) 3 J ． (C) 4.5 J ． (D) -1.5 J ． ［］ 二. 填空题： 12 ．已知地球质量为M ，半径为R ．一质量为m 的火箭从地面上升到距地面高度为2R 处．在此过程中，地球引力对火箭作的功为_____________________． 13．某质点在力F ＝(4＋5x )i (SI)的作用下沿x 轴作直线运动，在从x ＝0移动到x ＝10 m 的过程中，力F 所做的功为__________． 图4－18 习题4-3图
14．二质点的质量各为m 1，m 2．当它们之间的距离由a 缩短到b 时，它们之间万有引力所做的功为___． 19．如图4-24所示，劲度系数为k 的弹簧，一端固定在墙壁上，另一端连一质量 为m 的物体，物体在坐标原点O 时弹簧长度为原长．物体与桌面间的摩擦系数为μ．若物体在不变的外力F 作用下向右移动，则物体到达最远位置时系统的弹性势能E P ＝_____． 23．如图4-27所示，劲度系数为k 的弹簧，上端固定，下端悬挂重物．当弹簧伸长 重物在O 处达到平衡，现取重物在O 系统的重力势能为_____；系统的弹性势能为；系统的总势能为．（答案用k 和x 0 三. 计算题： 27．如图4-28所示，质量m 为 0.1 kg 的木块，在一个水平面上和一个劲度系数k 为20 N/m 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x = 0.4 m ．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数μk 为0.25， 问在将要发生碰撞时木块的速率v 为多少？ 30．质量分别为m 和M 的两个粒子，最初处在静止状态，并且彼此相距无穷远．以后，由于万有引力的作用，它 图4－28 习题4-27图
大学物理第三章
班级： 姓名： 学号： ★说明：作业模板必须使用单张A4纸(21x29.7cm)正反面打印、复印或手抄；手写作答；若手抄题目请注意题目排版布局。 评 分 大学物理作业 第3章 刚体的定轴转动 一、计算题 1. 如图，一半径为R 质量为m 的定滑轮（可视为圆盘）挂在天花板上，可绕其轴自由转动。质量为1m 和2m （21m m >）的两个物体通过一轻绳挂在定滑轮两侧，由静止开始运动，假设绳与圆盘无相对滑动，试求： (1) 两物体的加速度；(2) 轻绳的张力。 2. 刚体由长为l 、 质量为m 的匀质细杆和一质量同为m 的小球牢固地连接在杆的一端而成，可绕过杆的另一端O 的水平轴转动，在忽略摩擦的情况下，使杆由水平位置自静止状态开始自由转下，试求： (1) 当杆与水平线成θ 角时，刚体的角加速度； (2) 当杆转到竖直线位置时，刚体的角速度。 θ O
Ver 1.0 二、填空题 1. 一长为l 质量为m 的均匀细杆的一端，牢固的粘在另一条同样规格的细杆中点，构成一T 字形结构的刚体。则该刚体 对过其结合处且与两杆所在平面垂直的转轴的转动惯量 =J 。 2. 如图所示，一轻绳绕于半径为r 的飞轮边缘，质量为m 的物体挂在绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动 惯量为I ，若不计摩擦力，飞轮的角加速度=α 。 3. 花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为0J ，角速度为0ω；然后她将两臂收回，使转动惯量减少为30J ，这时她转动的角速度=ω 。 4. 设飞轮的转动惯量为J ，在0=t 时角速度为0ω，此后飞轮经历制动过程，阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为正的常数k 。当0ωω=时，经历的时间=t ，此时飞轮的角加速度=α 。 5. 一飞轮以0ω的角速度转动，转动惯量为J ，现施加一恒定的制动力矩，使飞轮在2s 内停止转动，则该恒定制动力矩的大小=M 。 6. 如图所示，A 和B 两飞轮的轴杆 在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为A J 和B J 。开始时A 轮转速为0ω，B 轮静止。C 为摩擦合器，其转动惯量可 以忽略不计，A 、B 分别与C 的左右两个 组件相连，当C 的左右组件啮合时，B 轮得到加速而A 轮减速，直到两轮的转 速相等为止，设轴光滑，那么两轮啮合后共同的转速=ω 。 三、单项选择题 1. 有AB 两个半径相同、质量也相同的细圆环。其中A 环的质量分布均匀，而B 环的质量分布不均匀。若两环对过环心且与环面垂直轴的转动惯量分别记为为A J 和B J ，则有（ ） (A) B A J J > (B) B A J J < (C)B A J J = (D)不能确定 2. 一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑轴O 转动，如图所示，射来两个质量相同、速度大小相同、方向相反并 在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子 弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω将（ ） (A) 变大 (B) 变小 (C) 不变 (D) 不能确定 m O r C A B
03功和能题
第三章 功和能 3-1一质点在几个力同时作用下的位移为Δr =5i +8j -9k (m)，其中某个力为恒力f =2i +3j -2k (N)，求这个力在过程中所作的功. 解：()()52985232=-+?-+=??=k j i k j i r f A J 3-2如图所示，一质点在坐标平面内作圆运动，所受外力中某一力f =y 2i +(x -R )2j （SI ），问当该质点自原点o 运动到a 点的过程中f 所作的功是多少? 解：在质点位移 j i r y x d d d += 的微过程中，力f 所作的元功d A 为 ()y R x x y A d d d 2 2 -+=??=r f 因为质点在由方程 ()x R y R -+=2 22 决定的圆周上运动，所以 ()[] () y y R x R x R A d d d 222 2-+--= 质点自o 点运动到a 点的过程中所作的功为 ()[] () 30 2220 2 2 3 4R y y R x R x R A A R = -+--= =???d d d 3-3一物体按规律x =At 2在空气中作直线运动，式中A (＞0)为常量，t 为时间，若空气对物体的阻力正比于物体的速度，阻力系数为k ，求物体由x =0运动到x =L 的过程中，阻力所作的功. 解：按题意物体所受阻力可写为 f kv k dx dt kAt k Ax x =-=-=-=-22 阻力所作的功为 x x A k x f A L L x d 2d 0 ? ?-===23 213 4 kA - 3-4一地下蓄水池，面积为50m 2，贮水深度为1.5m.假定水平面低于地面的高度是5.0m.问要将这池水全部吸到地面，需作多少功?若抽水机的效率为80%，输入功率为35kW ，则需要多少时间可以抽完? 解：将示意图中离地面h 深d h 厚的一层水吸到地面，外力需作的功d A 为 ()()h S m h Sgh gh m A d d d d d ρρ=== ()610211023.422 1 d 1 00 ?=+= = ∴?+h h h Sg h Sgh A h h h ρρ J N A t N 出出入 = =η 23 6 1051.110 3580.0102.4?=???==∴入出N A t η s y o x a R 图3-2
大学物理第三章部分答案
大学物理部分课后题参考答案 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 选择题：3.15—3.19 A A D D C 计算题： 3.24 A 、B 两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg 的重物，结果是A 船停了下来，而B 船以3.4m/s 的速度继续向前驶去。A 、 B 两船原有质量分别为0.5?103kg 和1.0?103kg ，求在传递重物前两船的速度。（忽略水对船 的阻力） 解： （1）对于A 船及抛出的重物和B 船抛来的重物组成的系统，因无外力（水对船的阻力已忽略），系统动量守恒 设A 船抛出重物前的速度大小为v A 、B 船抛出重物前的速度大小为v B ， 两船抛出的重物的质量均为m ．则动量守恒式为， 0B A A A =+-mv mv v m （1） （2）对于B 船及抛出的重物和A 船抛来的重物组成的系统，因无外力（水对船的阻力已忽略），系统动量守恒 设B 船抛出重物后的速度大小为V B ，则动量守恒式为， B B A B B B V m mv mv v m =+- （2） 联立（1）、（2）式并代入kg 105.03A ?=m 、kg 100.13B ?=m 、kg 50=m 、 m/s 4.3B =V 可得 m/s 4.0))((2 B A B B A -=----=m m m m m mV m v 3.38用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把钉子钉入木板m 1000.12-?，第二次敲击时，保持第一次敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？ 解：因阻力与深度成正比，则有F = kx （k 为阻力系数）。现令x 0 = 1.00?10－2 m ，第二次钉 入的深度为x ?，由于钉子两次所作功相等，可得 ???+=x x x x x kx x kx 000 d d 0 m 1041.02-?=?x
第三章 功与能
第三章 功 与 能 一.选择题 1.一个质点同时在几个力作用下的位移为：)(654SI k j i r +-=?，其中一个力为恒力 )(953SI k j i F +--=，则此力在该位移过程中所作的功为[ ] （A ）67J. （B ）91J. （C ）17J. （D ）-67J. 2.一辆汽车从静止出发在平直公路上加速前进，如果发动机的功率一定，下面哪一种说法是正确的？[ ] （A ）汽车的加速度是不变的。 （B ）汽车的加速度随时间减小。 （C ）汽车的加速度与它的速度成正比。 （D ）汽车的速度与它通过的路程成正比。 （E ）汽车的动能与它通过的路程成正比。 3. 将一重物匀速地推上一个斜坡，因其动能不变，所以 [ ] （A ）推力不做功。 （B ）推力功与摩擦力的功等值反号。 （C ）推力功与重力功等值反号。 （D ）此重物所受的外力的功之和为零。 4、有一倔强系数为k 的轻弹簧，原长为l 0，将它吊在天花板上。当它下端挂一托盘平衡时，其长度变为l 1。然后在托盘中放一重物，弹簧长度变为l 2，则由l 1伸长至l 2的过程中，弹性力所作的功为[ ] （A ）? - 2 1 l l k x d x. （B ）? 2 1l l k x d x. （C ）? --- 20 1l l l l k x d x. （D ） ? --0 20 1l l l l k x d x. 5. 如图，一质量为m 的物体，位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度为h 处，该物体从静止开始落向弹簧，若弹簧的倔强系数为k ，不考虑空气阻力，则物体可能获得的最大动能是[ ] （A ）mgh. （B ）k g m mgh 22 2-. （C ）k g m mgh 222+. （D ）k g m mgh 2 2+. 6. 质量为m=0.5kg 的质点，在XOY 坐标平面内运动，其运动方程为x=5t ，y=0.5t 2(SI)，从t=2s 到t=4s 这段时间内，外力对质点作的功为[ ] （A ）1.5J. （B ）3J. （C ）4.5J. （D ）-1.5J.
大学物理学(第三版)第三章课后答案(主编)赵近芳
习题3 3.1选择题 (1) 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转 动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台 中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 (A)02ωmR J J + (B) 02)(ωR m J J + (C) 02ωmR J (D) 0ω [答案： (A)] (2) 如题3.1（2）图所示，一光滑的内表面半径为10cm 的半球形碗，以匀角 速度ω绕其对称轴OC 旋转，已知放在碗内表面上的一个小球P 相对于碗静止， 其位置高于碗底4cm ，则由此可推知碗旋转的角速度约为 (A)13rad/s (B)17rad/s (C)10rad/s (D)18rad/s (a) (b) 题3.1（2）图 [答案： (A)] (3)如3.1(3)图所示，有一小块物体，置于光滑的水平桌面上，有一绳其一端 连结此物体，；另一端穿过桌面的小孔，该物体原以角速度w 在距孔为R 的圆周 上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体 （A ）动能不变，动量改变。 （B ）动量不变，动能改变。 （C ）角动量不变，动量不变。 （D ）角动量改变，动量改变。 （E ）角动量不变，动能、动量都改变。 [答案： (E)] 3.2填空题 (1) 半径为30cm 的飞轮，从静止开始以0.5rad ·s -2的匀角加速转动，则飞轮边缘 上一点在飞轮转过240?时的切向加速度a τ= ，法向加速度
a n= 。 [答案：0.15; 1.256] (2) 如题3.2（2）图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O转动，今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的守恒，原因是。木球被击中后棒和球升高的过程中，对木球、子弹、细棒、地球系统的守恒。 题3.2（2）图 [答案：对o轴的角动量守恒，因为在子弹击中木球过程中系统所受外力对o 轴的合外力矩为零，机械能守恒] (3) 两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为ρA和ρB (ρA>ρB)，且两圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 和J B，则有J A J B 。（填>、<或=） [答案： <] 3.3刚体平动的特点是什么？平动时刚体上的质元是否可以作曲线运动？ 解：刚体平动的特点是：在运动过程中，内部任意两质元间的连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行。平动时刚体上的质元可以作曲线运动。 3.4刚体定轴转动的特点是什么？刚体定轴转动时各质元的角速度、线速度、向心加速度、切向加速度是否相同？ 解：刚体定轴转动的特点是：轴上所有各点都保持不动，轴外所有各点都在作圆周运动，且在同一时间间隔内转过的角度都一样；刚体上各质元的角量相同，而各质元的线量大小与质元到转轴的距离成正比。因此各质元的角速度相同，而线速度、向心加速度、切向加速度不一定相同。 3.5刚体的转动惯量与哪些因素有关？请举例说明。 解：刚体的转动惯量与刚体的质量、质量的分布、转轴的位置等有关。如对过圆心且与盘面垂直的轴的转动惯量而言，形状大小完全相同的木质圆盘和铁质圆盘中铁质的要大一些，质量相同的木质圆盘和木质圆环则是木质圆环的转动惯量要大。
第三章 功和能习题解答
大物上册第三章习题答案 习题 3-1 在下列几种情况中，机械能守恒的系统是： （1）当物体在空气中下落时，以物体和地球为系统。 （2）当地球表面物体匀速上升时，以物体和地球为系统（不计空气阻力）。 （3）子弹水平射入放在光滑水平桌面上的木块内，以子弹和木块为系统。 （4）当一球沿光滑的固定斜面向下滑动时，以小球和地球为系统。 答案：(1)机械能不守恒，因为并没有说忽略空气阻力的作用，而空气阻力为非保守力; （2）物体匀速上升，一定有合外力克服重力做功，所以机械能不守恒; （3）机械能不守恒，子弹射入木块时，受到的摩擦力为非保守力; （4）机械能守恒. 3-2 质量为2m kg =的物体沿 x 轴做直线运动，所受合外力 2106()F x SI =+。如果在00=x 处时的速度00=v ，试求该物体运动到 04x m =处时速度的大小。 解：根据动能定理可得 22 01122 t A Fdx mv mv ==-? 初始条件为00=x ，00=v ，代入求解得 4 4 23 00 106102168 x dx x x ??+=+=??? （）t v 12.96m/s ∴== 3-3 倔强系数为k 、原长为l 的弹簧，一端固定在圆周上的A 点，圆周的半径 R l =，弹簧的另一端从距A 点2l 的B 点沿圆周移动4 1 周长到C 点，如附图所 示。求弹性力在此过程中所做的功。
解：弹簧的弹性力为保守力，整个过程中，只有弹性力做功，所以机械能守恒。 ()) () ) 2 2 2 22 A ()12112221 1212 1pB pB pC B E E E E kx k l l k l kl kl =--=-=-=---?? =--+??= -弹 3-4 在光滑的水平桌面上，平放有如附图所示的固定半圆形屏障。质量为m 的滑块以初速度0v 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ。证明 当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所做的功为 2201(1)2 A mv e πμ -=-。 分析：求解摩擦力做功的定理只有动能定理和功能原理，即 21 k k 21A E E A A E E =-+=-外外非保内 对运动过程进行受力分析可知，滑块受重力、桌面对其的支持力，这两个力在运
第四章功与能(答案)
第四章 功与能 一．选择题 ［ B ］1、（基础训练1）一质点在如图4-5所示的坐标平面内 作圆周运动，有一力)(0j y i x F F +=作用在质点上．在该质点从坐标 原点运动到(0，2R ）位置过程中，力F 对它所作的功为 (A) 2 0R F ． (B) 202R F ． (C) 203R F ． (D) 2 04R F ． 【提示】0220000 d 2R A F r F xdx F ydy F R =?=+ =??? ［ C ］2、（基础训练3）如图4-6，一质量为m 的物体，位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度为h 处，该物体从静止开始落向弹簧，若弹簧的 劲度系数为k ，不考虑空气阻力，则物体下降过程中可能获得的最大动能是 (A) mgh ． (B) k g m mgh 22 2-． (C) k g m mgh 222+． (D) k g m mgh 2 2+． 【提示】 物体下降过程中合力为零时获得最大动能km E ，此时00, mg mg kx x k ==； 根据机械能守恒，有：2001()2 km mg h x E kx +=+ ［ B ］3、（基础训练6）一质点由原点从静止出发沿x 轴运动，它在运动过程中受到指向原点的力作用，此力的大小正比于它与原点的距离，比例系数为k ．那么当质点离开原点为x 时，它相对原点的势能值是 (A) 221kx -． (B) 22 1 kx ． (C) 2kx -． (D) 2kx ． 【提示】0 2 1()2p x E kx dx kx =-=? ［ C ］4、（自测提高1）一个质点同时在几个力作用下的位移为： k j i r 654+-=? (SI) 其中一个力为恒力k j i F 953+--= (SI)，则此力在该位移过程中所作的功为 (A) 67 J ． (B) 17 J ． (C) 67 J ． (D) 91 J ． 【提示】x y z A F r F x F y F z =??=?+?+?恒力 x y R O 图4-5 h m 图4-6
交大大物第三章习题答案
习题 3-1. 如图，一质点在几个力作用下沿半径为R =20m 的圆周运动，其中有一恒力F =0.6iN ，求质点从A 开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B 的过程中，力F 所做的功。 解：j i 2020+-=-=?A B r r r 由做功的定义可知：J W 12)2020(6.0-=+-?=??=j i i r F 3-2. 质量为m=0.5kg 的质点，在x O y 坐标平面内运动，其运动方程为x=5t 2,y=0.5(SI),从t =2s 到t =4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？ i j i j i 60)5.020()5.080(=+-+=-=?24r r r 22//10d dt d dt ===i a v r 105m m ==?=i i F a 由做功的定义可知：560300W J =??=?=i i F r 3-3.劲度系数为k 的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m ，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。 根据小球是被缓慢提起的，刚脱离地面时所受的力为F=mg ，mg x k =? 可得此时弹簧的伸长量为：k mg x = ? 由做功的定义可知：k g m kx kxdx W k mg x 22 1 2 20 2 ===? ? 3-4.如图，一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力数值为N ，求质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其做的功。 分析：W f 直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。
大学物理第三章题目答案
第三章 平板中央开一小孔，质量为m 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为1M 的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为0r 时重物达到平衡．今在1M 的下方再挂一质量为2M 的物体，如题图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度ω'和半径r '为多少 题图 解: 在只挂重物时1M ，小球作圆周运动的向心力为g M 1，即 2 01ωmr g M = ① 挂上2M 后，则有 221)(ω' '=+r m g M M ② 重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即 v m r mv r ''=00 ωω''=?2020r r ③ 联立①、②、③得 100 2 1123 01 1121 30 212 ()()M g mr M g M M mr M M M M r g r m M M ωωω= +'=+'==?'+ 计算题图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M ，半径为r ，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设1m ＝50 kg ，2m ＝
200 kg,M ＝15 kg, r ＝0.1 m 解: 分别以1m ,2m 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对1m ,2m 运用牛顿定律，有 a m T g m 222=- ① a m T 11= ② 对滑轮运用转动定律，有 β)2 1 (2 12Mr r T r T =- ③ 又， βr a = ④ 联立以上4个方程，得 2212s m 6.72 15 20058 .92002 -?=+ +?= + += M m m g m a 题(a)图 题(b)图 如题图所示，质量为M ，长为l 的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O 无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为m 的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度=θ 30°处． (1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速0v 的值； (2)相撞时小球受到多大的冲量 题图 解: (1)设小球的初速度为0v ，棒经小球碰撞后得到的初角速度
大学物理第三章部分答案
大学物理部分课后题参考答案 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 选择题：3.15—3.19 A A D D C 计算题： 3.24 A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg的重物，结果是A船停了下来，而B船以3.4m/s的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量分别为0.5103kg和1.0103kg，求在传递重物前两船的速度。（忽略水对船的阻力） 解： （1）对于A船及抛出的重物和B船抛来的重物组成的系统，因无外力（水对船的阻力已忽略），系统动量守恒设A船抛出重物前的速度大小为v A、B船抛出重物前的速度大小为v B， AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 两船抛出的重物的质量均为m ．则动量守恒式为， 0B A A A =+-mv mv v m （1） （2）对于B 船及抛出的重物和A 船抛来的重物组成的 系统，因无外力（水对船的阻力已忽略），系统动量守恒 设B 船抛出重物后的速度大小为V B ，则动量守恒式为， B B A B B B V m mv mv v m =+- （2） 联立（1）、（2）式并代入kg 105.03A ?=m 、kg 100.13B ?=m 、 kg 50=m 、m /s 4.3B =V 可得 m/s 4.0))((2B A B B A -=----= m m m m m mV m v 3.38用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻力与钉 子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把钉子钉入木 板m 1000.12-?， 第二次敲击时，保持第一次敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？ 解：因阻力与深度成正比，则有F = kx （k 为阻力系数）。
大学物理第三章部分课后习题答案
大学物理第三章 课后习题答案 3-1 半径为R 、质量为M 的均匀薄圆盘上，挖去一个直径为R 的圆孔，孔的中心在12 R 处，求所剩部分对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量。 分析：用补偿法（负质量法）求解，由平行轴定理求其挖去部分的转动惯量，用原圆盘转动惯量减去挖去部分的转动惯量即得。注意对同一轴而言。 解：没挖去前大圆对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量为： 211 2 J MR = ① 由平行轴定理得被挖去部分对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量为： 2222213 ()()2424232 c M R M R J J m d MR =+=??+?= ② 由①②式得所剩部分对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量为： 21213 32 J J J MR =-= 3-2 如题图3-2所示，一根均匀细铁丝，质量为M ，长度为L ，在其中点O 处弯成120θ=?角，放在xOy 平面内，求铁丝对Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的转动惯量。 分析：取微元，由转动惯量的定义求积分可得
解：（1）对x 轴的转动惯量为： 2 02 220 1(sin 60)32 L x M J r dm l dl ML L ===?? （2）对y 轴的转动惯量为： 20222015()(sin 30)32296 L y M L M J l dl ML L =??+=? （3）对Z 轴的转动惯量为： 2211 2()32212 z M L J ML =???= 3-3 电风扇开启电源后经过5s 达到额定转速，此时角速度为每秒5转，关闭电源后经过16s 风扇停止转动，已知风扇转动惯量为20.5kg m ?，且摩擦力矩f M 和电磁力矩M 均为常量，求电机的电磁力矩M 。 分析：f M ，M 为常量，开启电源5s 内是匀加速转动，关闭电源16s 内是匀减速转动，可得相应加速度，由转动定律求得电磁力矩M 。 解：由定轴转动定律得：1f M M J β-=，即 11252520.50.5 4.12516 f M J M J J N m ππ βββ??=+=+=? +?=? 3-4 飞轮的质量为60kg ，直径为0.5m ，转速为1000/min r ，现要求在5s 内使其制动，求制动力F ，假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数0.4μ=，飞轮的质量全部分布在轮的外周上，尺寸如题图3-4所示。 分析：分别考虑两个研究对象：闸瓦和杆。对象闸瓦对飞轮的摩擦力f 对O 点的力矩使飞轮逐渐停止转动，对飞由轮转动定律列方程，因摩擦系数是定值，则飞轮做匀角加速度运动，由转速求角加速度。对象杆受的合力矩为零。 题图3-2
大学物理第三章
第3章 习题 一、填空题 3.1.1 跨过定滑轮的细绳下端系质量为m 的物体，在物体以4/g 的恒定加速度下落一段距离h 的 过程中，绳的拉力对物体做的功为 考察物体以 4 g 的恒定加速度下落一段距离h 的过程。设初速率为P v ，末速率Q v 满足 22 224Q P g v v a s h -=?= （3-1） 物体受到重力mg r 和绳子的拉力T r 的作用，合外力F r 做功为 Q Q Q mg T P P P A F dr mg dr T dr A A =?=?+?=+???r r r r r r （3-2） 注意到重力是保守力，其做功为 ()()()mg pQ pP Q P P Q A E E mgh mgh mg h h mgh =--=--=-= （3-3） 对物体使用动能定理，有 ()2222 111222 kQ kP Q P Q P A E E mv mv m v v =-=-=- （3-4） 联立（3-1）～（3-4），可求出绳的拉力对物体所做的功为 3 4 T A mgh =- 3.1.2 高m 100的瀑布每秒钟下落3 1200m 水，假设水下落过程中动能的75％由水力发电机转换成 电能，则此发电机的输出功率为 。 依题设，每秒钟有质量为 33361.0101200 1.210m V kg m m kg ρ-==???=? 的瀑布水下落。取水和地球为系统，在水从瀑布最高点下落h 的过程中，系统机械能守恒，有 k E mgh = 经水力发电机转换后的电能为 6875% 1.2109.810075%8.8210()E mgh J =?=????=?
第三章 功和能
第三章 大学物理辅导 功与能 ～16～ 第三章 功与能 一、教材系统的安排和教学目的 1、教材内容的安排：在牛顿运动定律的基础上，进一步讲授力对空间累积作用的规律，即功、能、动能定理、功能原理、机械能守恒及其应用。 2、教学目的：使学生理解功、保守力、动能、势能等概念，掌握动能原理、功能原理及机械能转换与守恒定律 二、教学要求 1、理解功的概念（它的定义、量值、单位、物理意义），会计算恒力做功和变力做功。要明确是哪个力对物体做功 2、理解势能与保守力的概念。明确势能是一种状态量，每种势能都和一种保守力相对应。势能表示物质具有潜在的做功本领 3、理解动能的概念，掌握动能原理 4、掌握功能原理和机械能转换与守恒定律，并能比较熟练地运用。 三、内容提要 1、功 定义 W F S F S =?=??? cos α为恒力做功 W F dS S =??? 为变力做功 力、位移、力与位移之间夹角的余弦三者称为做功的三要素。 功的正负：力对物体做正功，是表明施力者消耗了本身的能量，反之，力对物体做负功，实际上是表明物体克服该力做功。 意义：功是物体能量变化的一种量度，是力对空间的累积作用，是个过程量。 2、保守力：凡做功与路径无关，而只与起点及终点位置有关的力，均称作保守力。它 的性质可表为 f dS S ?=?0，即保守力的环流为零。 3、耗散力：凡做功不仅与起点及终点位置有关，而且与路径也有关的力，称之为耗散 力（也叫非保守力）。耗散力的环流不等于零，即： f dS S ?≠?0。 4、势能 定义： E mgh P =?重力势能，一般取地面为势能零点。 E kx P = ?12 2 弹性势能，一般取弹簧原长为势能零点。 意义：势能是描写物体系统内物体间相对位置（即状态）的物理量。它表明系统具有潜在的做功本领，是个状态量。 说明：势能是个相对量，为系统所具有，随零点势能选取的不同而不同，势能有正负。引进势能的前提条件是系统内存在有保守力。 5、动能原理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。我们也把它叫做质点的动
第4章 功和能习题解答
第4章 功和能 4-1 如图，质量为m 的小球由长为l 的轻质细绳悬挂在天花板上O 点，求小球沿圆弧从最低位置 a 运动到细绳与竖直方向夹角为0θ的过程中重力mg 所做的功。（不考虑空气阻力）。 解 方法一，建立如解用图1所示的直角坐标系，重力G mgj =- ,位移d d d r xi yj =+ d d ()(d d )d W G r mgj xi yj mg y =?=-?+=- 细绳与竖直方向夹角为0θ 00 d d (1cos )y W W mg y mgy mgl θ==-=-=--?? * 方法二，如解用图2 ，设质点位置与竖直方向夹角为θ，重力G 与位移d r 的夹角为（ π 2 θ+） π d d cos()d sin d 2 W G r mg s mg s θθ=?=+=- 式中d s 是位移d r 所对应的圆弧，d d s l θ=，细绳与竖直方向夹角为0θ 00 d sin d =(1cos )W W mgl mgl θθθθ==---?? 4-2 如图，一根长为l ，质量为M 的匀质木杆，其一端挂在一个光滑的水平轴上而静止在竖直位置。现将细杆在拉力F 的作用下，缓慢地从竖直位置拉到木杆与竖直方向成0θ角的位置。求在此过程中重力矩所作的功（不考虑空气阻力）。 解 如图，设刚体与竖直方向夹角为θ，此时重力矩 sin 2 l M mg θ=- 重力矩做的功 00000d sin d (1cos )22 l l W M mg mg θθθθθθ==-=--?? 习题4-1图 习题4-1解用图1 习题4-1解用图2 θ
4-3 质量为5kg 的质点在变力F 的作用下沿空间曲线运动，其位矢 3422 (2)(3+8)12m r t t i t t j t k ??=++--?? 。求力F 的功率。 解 23 d =(61)(122)24m/s d r t i t t j tk t υ??=++--?? 2 d 60(18010)120N d F ma m ti t j k t υ??===+--? ? 532160-120+2960W P F (t t t )υ =?= 4-4 质量 2 kg m =的质点在力作用下沿x 轴运动，其运动方程为() 3m x t t =+，求力在最初2.0秒内所做的功。 解 方法一 d d d W P t F t υ== ()2d 13m/s d x t t υ==+ 22 2d 6 m /s d x a t t == 12 N F ma t == 力在最初2.0秒内所做的功 2 20 d 12(13)d 168J W F t t t t υ==+=?? 方法二 ()2d 13m/s d x t t υ==+，(1) 1 m/s υ=，(2)13 m/s υ= 应用动能定理 22(2)(1)11168J 22 W m m υυ= -= 4-5 质量为10kg m =的物体沿x 轴无摩擦地运动，设0t =时，物体位于原点，速率为零。如 果物体在沿着x 轴方向的作用力()34N F x =+的作用下运动了3米， 计算物体处于3米处的速度和加速度各为多少？ 习题4-2图 习题4-2解用图
大学物理 第三章练习及答案
一、判断题 1. 刚体是质点与质点之间的相对位置保持不变的质点系。 ………………………………[√] 2. 刚体中任意质点都遵循质点力学规律。 …………………………………………………[√] 3. 定轴转动的刚体上的每一个质点都在作圆周运动，都具有相同的角速度。 …………[√] 4. 刚体对轴的转动惯量越大，改变其对轴的运动状态就越困难。 ………………………[√] 5. 刚体质量一定，其转动惯量也就一定。 …………………………………………………[×] 6. 当作用在刚体上的两个力合力矩为零时，则它们的合力也一定为零。 ………………[×] 7. 当作用在刚体上的两个力合力为零时，则它们的合力矩也一定为零。 ………………[×] 8. 平行于转轴的力对刚体定轴转动没有贡献。 ……………………………………………[√] 9. 刚体所受合外力矩为零时，刚体总角动量守恒。 ………………………………………[√] 10. 刚体对某一轴的角动量守恒，刚体的所受合外力矩为零。 ……………………………[×] 二、填空题 11. 质量为m 的质点沿半径为r 的圆周以速率v 运动，质点对过圆心的中心轴转动惯量J = 2mr ，角动量L =；质量为m 的质点沿着直线以速率v 运动，它相对于直线外距离为d 的一点的角动量为L =mdv 。 12. 长度为l 的均匀细棒放在Oxy 平面内，其一端固定在坐标原点O 位置，另一端可在平面内 自由转动，当其转动到与x 轴正方向重合时，在细棒的自由端受到了一个34F i j =+牛顿的力，则此力对转轴的力矩M =4l 。 13. 在Oxy 平面内有一个由3个质点组成的质点系，其质量分别为1m 、2m 、3m ，坐标分别为 () 11,x y 、 () 22,x y 、 () 33,x y ，则此质点系对z 轴的转动惯量 J =()()()2222 22111222333m x y m x y m x y +++++。 14. 质量为m 半径为r 的均匀圆盘绕垂直于盘面的中心轴转动，转动惯量J =2 12mr ； 质量为m 长度为l 的细棒，对于经过细棒一端且垂直于棒的轴的转动惯量J =2 13 ml ； 质量为m 长度为l 的细棒，对于与细棒中心轴平行、相距为4l 的轴的转动惯量J =27 48 ml ； 15. 如图1，一长为l 的轻质细杆，两端分别固定质量为m 和2m 的 小球，此系统在竖直平面内可绕过其中心点O 且与杆垂直的水平固定轴转动。开始时，杆与水平成60角，处于静止状态，无初速度地释放，杆球系统绕O 转动，杆与两小球为一刚体，绕O
03功和能测试题汇总
第三章 功和能 测试题 一、选择题 1、对功的概念有一下几种说法： (1)保守力做功时，系统内相应的势能增加 (2)质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零 (3)作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必 为零，在上述说法中： ( ) (A) (1)、(2)正确 (B) (2)、(3)正确 (C) 只有(2)正确 (D) 只有(3)正确 2、 一物体在外力N 54）（+= x f 的作用下,从0=x 移到m 5=x 的位置时,外力对物体所做的功为 ( ) (A)25J (B)50J (C)75J (D)100J 3、以初速度0V 竖直向上抛出质量为m 的小球，小球在上升过程中受到的 阻力为f ，上升高度为h 。人在抛出过程中对小球做功是 ( ) (A) 2021mV (B) mgh (C) 2021mV fh + (D) 202 1mV mgh + 4、有一人造地球卫星，质量为m ，在地球表面上空2倍于地球半径R 的 高度沿圆轨道运行，用R m 、、引力常数G 和地球的质量M 表示，则卫 星的动能和势能分别为 ( ) (A) R GMm 6 ，R GMm 6 (B) R GMm 6，R GMm 3- (C) R GMm 6，R GMm 3 (D) R GMm 3， R GMm 6- 5、一木块静止在地面上，一子弹水平地射穿木块，若木块与地面的摩擦 力可忽略，则在子弹射穿木块过程中 ( ) (A) 子弹的动量守恒 (B) 子弹、木块系统的动量守恒 (C) 子弹速度的减少等于木块速度的增加
(D) 子弹、木块系统的动量和机械能都守恒 6、质点系动能增量等于 ( ) (A) 一切外力做的功与一切内力做的功的代数和 (B) 一切外力所做的功 (C) 一切外力所做的功与一切非保守内力所做的功的代数和 (D) 一切外力所做的功与一切保守内力所做的功的代数和 7、如图所示，一光滑的圆弧形槽M 置于光滑水平面上，一滑块m 自槽 的顶部由静止释放后沿槽滑下，不计空气阻力，对于这一过程，以下哪 种分析是对的？ ( ) (A) 由m 和M 组成的系统动量守恒； (B) 由m 和M 组成的系统机械能守恒； (C) M 对m 的正压力恒不做功。 (D) 由m 、 M 和地球组成的系统机械能守恒； 8、一特殊的弹簧，弹性力3kx f -=， k 为劲度系数，x 为形变量。现将 弹簧水平放置于光滑的水平面上，一端固定，一端与质量为m 的滑块相 连而处于自然状态。今沿弹簧长度方向给滑块一个冲量，使其获得一速 度v ，从而压缩弹簧，则弹簧被压缩的最大长度为 ( ) (A) 422k m v (B) 3223k m v (C) k m 2v (D) k m 2v 9．质点在恒力F 的作用下由静止开始作直线运动，如图所示。已知在时 间1t ?内，速率由0增加到v ；在时间2t ?内，由v 增加到2v 。设该力在1 t ?内，冲量大小1I 为，所作的功为1A ；在2t ?内，冲量大小为2I ，所作的功 为2A ，则 ( ) （A ）2121,I I A A <= （B ）2121,I I A A >= （C ）2121,I I A A => （D ）2121,I I A A =<