设计与案例

第一讲习题

1.数学教学设计过程一般是怎样的？

答：通常有三个步骤。首先是要做大量的案头准备工作，比如，钻研课程标准等教学指导书籍，以明确教学要达到的具体目的，把握教学的重点和难点，与其他教师探讨教学经验或者广泛涉猎数学教育的杂志和网站，以了解与借鉴别人的教学经验和教学素材等等。然后，教师要针对实际教学对象和教学条件构思和酝酿适合自己班级的教学方案。最后，准备好所需的教具或计算机课件等辅助教学的材料，逐步完善并最终形成这堂课的设计方案。

2.数学教师的哪些知识对其教学设计有直接的影响？

答：主要有数学学科内容知识、学科教学知识、学科课程知识、学生知识、一般教学法知识和教育目的知识这六个方面。

3.“数学学科内容知识”与“学科教学知识”各指什么？区别在哪里？

答：“数学学科内容知识”指教师具备的数学知识，它是教师知识的核心，教师不仅要知道某学科的知识结构、知识组织的原则，还要知道这一学科探究知识的方法。教师要把握知识的来龙去脉，知其然，还要知其所以然，要通晓数学的难点、重点问题，应该对他所教的内容及其互相联系如数家珍，了如指掌。“学科教学知识”是教师所特有的知识，它是指根据学生的个体差异、根据特定的教学内容，对教学材料进行教学法加工，用易于学生学习的方式来呈现知识的一种特殊的知识，简单通俗地说就是如何把别人尽快教会的知识。显然，概念、公式、定理是“数学内容知识”，如何解释概念、公式、定理让学生容易明白或接受，这是“学科教学知识”。开展教学，首先要具备相应的“数学内容知识”，但还不够，为了使学生容易明白，教师要对学科内容进行教学法改造，为此，教师要懂得学习某一知识的关键是什么，有多少种不同的表达方式可以呈现这一知识，哪一种适合哪种层次、知识背景的学生等“学科教学知识”，以提高教学效果。

第二讲习题

数学内容的教学分析角度有哪些？读一读案例“三角形两边之和大于第三边”，从对学生学习的把握这个角度，分析一下该教师的教学设计。

答：对数学内容作教学分析可以从两个大的方面进行，一是从数学内容的角度去分析，二是对数学内容从学生学习的角度去分析。

对数学内容从学生学习的角度去分析具体来说有四项任务：区分学习结果类型（数学事实、概念、原理、问题解决、思想方法、技能、认知策略、态度）和学习形式类型（上位学习、下位学习、并列结合学习），分解学习任务，了解这一内容的一般认知过程、教学难点和突破困难的关键点。

这节课有两个教学任务：（1）得出三条线段能否围成三角形的判定法则；（2）已知三角形的三条边长如何画出三角形。这两个任务对于小学生不要求证明，但强调学生自己通过操作发现、归纳，辅以适当水平的说理。因此学习结果类型是数学原理或者说数学命题、问题解决、思想方法、技能、和态度，在案例中，我们可以看到，老师在上述各方面都有设计，如作图技能，教师没有直接告诉学生如何用圆规和直尺画出三角形，而是将其作为一个待解的问题抛给学生，让他们自己先通过试误的方法去尝试解决，发现这样效率低下，观察和反思那些不成功的尝试，学生容易发现图上有两个“隐形的圆”，加上老师的提示“用什么工具

可以很快地画好呢？”容易想到用圆规找出这两个圆的交点即为所求。其间涉及如何解决一个问题、用集合思想思考问题的方法、作图技能本身和学生积极投入学习的态度。学习是并列结合学习，将要学习的这两个新内容与认知结构中已有的三角形概念在从属关系上是并列的，所以，学习过程中虽然与三角形概念有关，但是可利用的成分不多，所以要针对本课新内容提供新的丰富的材料，如供判断的三条线段的各种长度搭配。关于分解学习任务，第一个任务能否围成比较直观，所以老师把教学设计的重点放在怎样让以为自己都会都懂的学生意识到自己知识的缺陷上，从而纠正、完善自己对新学命题的陈述。这也成为这节课的重点。第二个教学任务如何让学生想到使用交规法是一个难点，教师采用将学生试误结果实物投影的办法和教师适时提示选用什么工具的办法，克服这一难点，效果还是很好的。这节课还有一个难点是学生不容易想到在围成三角形的条件中要使用“任意”，该教师通过板书学生不合适的归纳，反问“你们都是这个意思吗？”，“将15，11，4中的4改为多长就可以围成了？”“这样的线段有多少条？你能用一句话表示所有这样的线段吗？”“是吗，你们大家都同意吗？”“现在你们还这样认为吗？为什么？”虽然只是为了得出“任意”二字，但是老师不惜花费很多时间通过质疑、提供材料，让学生自己纠正错误，想必学生印象一定深刻。

第三讲习题

阅读潘小明案例“分数除以整数”，你认为文中案例1与案例2的两位教师教学前在设定教学目标方面有着怎样的区别？

答：案例1的老师实际上是把教学的目标定在“会计算分数除以整数”这个技能上，所以，当个别学生会了，其他学生经过示范也知道了运算法则后，该教师就认为除了让学生进一步熟练巩固外没什么可教了。即课前该教师很有可能未对能力目标和情感目标认真思考设计。正因为他自己没有很好准备，所以只好凭借教师权威，安排学生练习了事。

案例2的老师不满足于教会学生分数除以整数的技能，从他在课上至始至终强调学生不拘一格说出自己的算理可以看出，该教师课前就在知识技能、能力培养和情感熏陶三方面都有思考设计。通过引导学生说出各自不同的算法，分数除以整数的各种计算方法得以展示，接着是进一步在师生集体对话中说明、弄清各种算法的算理。之后，再进一步，讨论各种算法的适用性，让学生之间通过提出问题和回答问题加深对各种算法的认识，在比较中鉴别方法适用的场合。从对课堂教学的描述来看，这样的集体交流既锻炼了学生的语言表达能力、说理能力，也了解到了不同于自己的其他同学的思维，开拓了学生解决问题的思路，更增强了一些学生学习数学的信心。由于期间的对话主要在学生之间进行，所以这样的教学过程会更加贴近学生的认知水平和使用的语言，辅之以教师的点拨、追问，会启发和引领学生的思维。让学生成为学习的主体在案例二中有生动的示范。

第四讲习题

在用概念形成方法进行概念教学时，从具体事例中抽取概念的本质属性非常重要。请以一个数学概念教学为例，说明如何突出与概念本质属性相关的信息，克服无关信息的干扰。

答：我们把某一概念反映的所有对象的共同本质属性的总和叫做这个概念的内涵，把适合于该概念的所有对象的范围称为这个概念的外延。通常说，给概念下定义，就是揭示其内涵或外延。用概念形成方法教学概念关键是要呈现体现内涵的丰富实例，在这些实例中，本质属性反复出现，但非本质的属性只在个别实

例中出现，这样便于学生从实例中概括出概念的本质属性（内涵）。

这里举一个同位角、内错角、同旁内角的概念课作为例子。这位老师一上课，先复习对顶角与邻补角，并复习对顶角与邻补角的共同特点（有公共顶点）。再添加一直线，形成“三线八角”图。

然后介绍截线和被截线，说明今天将要研究的是“三线八角”中没有公共顶点的角的位置关系。教师让学生观察图中“两角”和“三线”的位置关系，将六幅图分组，并说明为什么这么分？

学生将六幅图分为3组，并归纳出每组两幅图中两角的共同特点，形成“同位角”、“内错角”、“同旁内角”概念。

接着，练习如何找截线：

强调找截线的方法是找两角的公共边所在直线。

接下来，老师要求学生运用概念在基本图形和更难的变式图形中判别（找）三类角，并要先指出截线。

师生一起归纳找“同位角”、“内错角”、“同旁内角”的步骤：（1）先找截线

（2）再看位置特征。

再在较复杂的背景中辨析、寻找“同位角”、“内错角”、“同旁内角”，如探

究：三角形ABC中，AB、AC被直线DE所截，图中共有多少对内错角？

该教师给出六幅图，让学生把有共同特征的角分在同一组，再归纳它们的共

同特征，得出同位角、内错角和同旁内角的概念。虽然概念的内涵在给出概念之

前已观察得到，但在概念给出之后继续通过变式训练逐渐明晰化。教师选择的从

简单到复杂，从标准图形到非标准图形，从直线组成的图形到有射线到有线段组

成的图形，突出了与概念本质属性相关的信息，克服无关信息的干扰，对学生概

念形成是有益的。

第五讲习题

阅读潘小明案例“比公式更重要的是数学方法------“长方形和正方形周长”，这里既有概念教学也有公式教学，体会为什么他说比公式更重要的是数学方法？他又是如何落实到教学中的？

答：这节课，周长概念与长方形和正方形周长计算公式是两个主要教学内容。3个设计的确比较专注于计算公式的获得与理解，但在为什么要学周长，一般平面图形有没有周长，如何求周长这些更为基本的问题上没有涉及，感觉教学还是比较看重学习和继承知识本身，对于学生学习这一内容在数学方法和情感态度上的发展考虑不够。其实，学生离开学校，将来在他们的工作和生活中直接使用的在中小学学到的数学知识是很少的，大量使用的是数学学习给他们带来的思考解决问题的方法、数学思想和应用数学的意识，所以，公式背后的思想方法，公式的价值在哪里等等都是重要的学习内容。重新设计教学方案的话，既要注意到学生

主动学习知识，又要将学生的学习放在一个开阔的背景下，不脱离知识本身但又不拘泥于知识本身，把周长概念的本质和计算周长的通法突显出来。我们还是要防范数学知识教学的常见病：（1）没有形成基础，强加于人；（2）对使用的条件印象模糊，不会应用；（3）死背概念和定理的表述，不抓实质，理解不深，无法对付变化。

第六讲习题

联系马明“从解题引出的思索”，谈谈解题设计的注意点

第七讲习题

请撰写与分析一个案例，说明教师创设的情境对学生学习的正面或负面影响。