大数定律及中心极限定理习题及答案

第 5 章大数定律与中心极限定理

一、

填空题：

1.设随机变量μξ=)(E ，方差2

σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9

1 . 2.设n

ξξξ,,,Λ21是

n 个相互独立同分布的随机变量，

),,,(,)(,)(n i D E i i Λ218===ξμξ对于∑==

i i

n 1

ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤

≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n

. 3. 设随机变量129,,,X X X L 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,

1(1,2,,9)i DX i ==L , 令9

i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式

直接可得{}

≥<-ε9X P 2

1ε-

. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2

()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有

22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2

2{||}1.P X σμεε

-<≥-

由于随机变量129,,,X X X L 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i ===L 所以

9111()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑

111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑

4. 设随机变量X 满足：2

(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1

≤

. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2

(),()E X D X μσ==, 则对任意

的0ε>, 有2

2{||}.P X σμεε

-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤

5、设随机变量2

σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 4

6、设n ξξξ,,,Λ21为相互独立的随机变量序列，且),,(Λ21=i i ξ服从参数为λ的泊松

分布，则

≤-∑=∞

→}{lim x n n P n

i i

n λ

∞

t dt e

2 .

7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的

概率，则≈≤<}{b a P n η

-----

)1()

1(2

221p np np b p np np a t dt e π

8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=L , 那么, 对于任一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞

-<= 0 .

9. 设12,,,n X X X L 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指 {}

=<->?+∞

>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}

=≥->?+∞

>-εεa X P n n lim ,0 0 。

10. 设供电站电网有100盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为. 假设每盏灯开关是相互独立的, 若随机变量X 为100盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X 落在75至85之间的概率不小于 25

9 .

解：()80,()16E X D X ==, 于是

169(7585)(|80|5)1.2525

P X P X <<=-<≥-

二．计算题：

1、在每次试验中，事件A 发生的概率为，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A 发生的次数在450至550次之间的概率.

解：设X 表示1000次独立试验中事件A 发生的次数，则250)(,500)(==X D X E

}50|500{|}550450{≤-=≤≤X P X P

9.02500250

150

)(1}50|)({|2

=-=-

≥≤-=X D X E X P

2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机. 在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为. 系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少45台. 求该通信系统能正常工作的概率. 解：

设X 表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数, 则

~(50,0.90).X B

由此 P(通信系统能正常工作)(4550)P X =≤≤

P =≤≤

(2.36)(0)0.99090.50.4909.ΦΦ≈-=-=

3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.

解：某时刻所使用的终端数~(120,0.05),6, 5.b np npq ξ==7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知

{10}11(1.67)0.0475.

P ξΦΦ≥=-≈-=

4、某校共有4900个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为, 问阅览室要准备多少个座位, 才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.

解：设去阅览室学习的人数为ξ, 要准备k 个座位.

~(,),4900,0.1,49000.1b n p n p np ξ===?=

21.==

4900490{0}2121k P k ξΦΦΦΦ????--????

≤≤≈-=- ? ?????

490490(23.23)0.99.

2121k k ΦΦΦ--????

=--≈= ? ?????

查(0,1)N 分布表可得490

2.3263,21 2.3263490538.8523

21k k -==?+=

539.≈

要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.

5．随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且

不超过33点的概率。

解：设 ?表示六颗骰子出现的点数总和。

?i ，表示第 i 颗骰子出现的点数，i = 1，2，…，6

?1， ?2， … ，?6 相互独立，显然 ηξ=

=∑i i 1

()()

235

2112

35449621612765432161

22=

-+++==+++++=

ηηξξD E D E i i Λ {}{}12339≤-=≤≤ηηηE p p {}131>--=ηηE p

()9.0338

11691≈-=-

≥ηD 6. 设随机变量n ξξξ,,,Λ21 相互独立，且均服从指数分布

()0000>??

?≤>=-λλλx x e x f x )( 为使 10095

101111

≥??????<-∑=λλξn k k n P ，问： n 的最小值应如何

解: E D k k ξλξλ

=11

2, ()21

211111,11λξξλξn D n n D n E n

k k n k k n k k ==??? ??=??? ??∑∑∑===

由切比雪夫不等式得

???? ?

<-∑=λλξ101111n

k k n P ,1009510111101112

211≥??

? ??-≥??

????????

k k n

k k 即 110095

100

≥

n n , 从而 n ? 2000 ，故 n 的最小值是 2000

7．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品

率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到

解：∴ 设n 为至少应取的产品数，X 是其中的次品数，则)1.0,(~n b X ，

9.0}10{≥>X P ，而9.0}9

.01.01

.0109.01.01.0{

≥???->???-n n n n X P

所以1.0}09.01.0109.01.01.0{

≤-≤???-n

n n n X P

由中心极限定理知，当n 充分大时，有1.0)3.01.010(}09.01.0109.01.01.0{

=-Φ≈-≤??-n n

n n n n X P ，

∴ 由1.0)3.01.010(

=-Φn

查表得

28.13.01.010-=-n

147=∴n

8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为，

又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n 个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n 至少为多大时才能保证系统的可靠程度为解：(1)设X 表示正常工作的元件数，则)9.0,100(~b X ，

990

1009.01.01009.010099085{}85100{}85{-≤???-≤-=≥≥=≥X P X P X P

39035{≤-≤-=X P

由中心极限定理可知

))3

(1()310()35()310(

}85{Φ--Φ=-Φ-Φ=≥X P 95.0)35

(1)35()310(=Φ=-Φ+Φ=

(2)设X 表示正常工作的元件数，则)9.0,(~n b X

n n X n n P n X n P n X P 3.02.01.09.09.03.01.0{

)8.0()8.0(≤??-≤-=≤≤=≥

}3.09.03{}323.09.03{n

X n P n n n X n P -≤-=≤-≤-

= 95.0)3()3(1=Φ=-Φ-=n

3=∴n

25=∴n

9．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm ，均方差为 mm ，规定总长度为20 ? mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已知：Φ( ) = ；Φ( ) = 。

解：设每个部分的长度为 X i ( i = 1, 2, …, 10 ) E ( X i ) = 2 = ?, D( X i ) = ?2

= ( )

2 ,

依题意，得合格品的概率为

??????≤-≤-∑=102010101..i i X P ?

?????≤?-?≤-=∑=630210050183163010

1.)(...i i X P

==63

.00

263

.063

.0222

21221dt

e dt

e t t π

4714.017357.02121263

.022=-?=-?=?

∞

t π

10．计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是

相互独立的随机变量，并且都在区间[- ， ]上服从均匀分布，求1200个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。已知：Φ(1)=；Φ(2)=。

解：设 ?1 ， ?2 ，Λ ， ?n 表示取整误差, 因它们在 [-

， ] 上服从均匀分布，故有 E D i n i i ξξ===0112

12,

,,,,Λ

根据同分布的中心要极限定理，得

????

????????-

12001i i i i P P ξξ

???

????

???????

-<-=∑=112112*********

i i P ξ=Φ( 1 )-

Φ(- 1 ) = 2 Φ( 1 )- 1 = 2 ? - =

11．将一枚硬币连掷100次，试用隶莫佛--拉普拉斯定理计算出现正面的次数大于60的概率。已知：Φ(1) = ；Φ(2) = ；当 x > 4 , Φ(x) =1。

解：设 ? 为掷 100次中出现正面的次数，它服从二项分布B ( 100， 1

)

这里 np npq ====100

1250501

25, 由隶莫佛 -- 拉普拉斯定理，得

{}???

???-≤-<-=≤<2550100255025

506010060ξξP P

()()210105502P Φ-Φ=?

???≤-ξ<=

查 N ( 0， 1 ) 分布函数表，得 P{ 60 < ? ? 100 } = - = .

12 .有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯. 如果从中挑4杯, 能将甲种酒全部挑出来, 算是成功一次.

(1)某人随机地去猜, 问他成功一次的概率是多少

(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒. 他连续试验10次, 成功3次. 试推断他是猜对

的, 还是他确有区分的能力(各次试验是相互独立的).

解：(1)设A ={试验成功一次}, 则有444

8C 1

().C 70

P A == (2)设X ：试验10次成功的次数, 则1~10,.70X B ?

? ???

由于3

10169(3)C 3.163310.7070P X -????===? ? ?????

因此随机事件{}3=X 是一个小概率事件, 根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理, 随机事件{}3=X 是不大可能发生的, 但它却发生了, 因此我们要以断定此人确有区分酒的能力.

13. 保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为100元, 每被保险人出事赔付金额为2万元. 根据统计, 这类被保险人年出事概率为 5. 这个新保险品种预计需投入100万元的广告宣传费用. 在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参保, 才能使保险公司在该年度获利超过100万元的概率大于95%

(()d ,(1.29)0.9015,(1.65)0.9505,(3.09)0.9990,t x x t ΦΦΦΦ-====?

(3.72)0.9999,(4.27)0.99999)ΦΦ==

解：设参保人数为N 人, 则

11,1,2,,,~,,.0,i i i i i i N E p D pq q p i ξξξξ???

====?

???

?L 第人出事，第人不出事，

(2000010000001001000000)0.95.

i i P N ξ=+≤-≥∑

(/2002000000)0.95.

i i P N ξ=≤-≥∑

10020000000.95.N i N Np Np P ξ-??

-- ?≤

≥??∑

由

1002000000

1.65,

N Np

--≥

200002000.0005,0.9995,N Np p q --≥==

50.92000092103N N -≥-?≥ 2521081(36103300)4100,N pq N -?++?≥

245068.03493827160.490,N N --≥

63296.41,54182.22.N =≥

14、证明题 :设随机变量X 的密度函数为

e ,0,()!

0,0.n x

x x f x n x -?≥?

=??

求证： (02(1)).1n P X n n <<+≥

证：

110

0()()d e d (1)e d 1,

!(1)!n n x x

x x E X xf x x x n x n n n +++∞+∞+∞---∞

===+=++?

222

0()e d (1)(2)e d (1)(2),

!(2)!n n x x

x x E X x n n x n n n n +++∞+∞--==++=+++?

222()()[()](1)(2)(1) 1.D X E X E X n n n n =-=++-+=+

由切比雪夫不等式得 (02(1))(|(1)|1)P X n P X n n <<+=-+<+

(|()|1)P X E X n =-<+ 2()1(1)D X n ≥-

+211.(1)1

n n

n n +=-=++

概率论与数理统计：中心极限定理

中心极限定理无论随机变量12,,,, n X X X 服从什么分布，当n 充分大时，其和的极限分布是正态分布，这就是我们今天要讲的中心极限定理。定理 5.5（独立同分布中心极限定理）设随机变量12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2 (),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,则随机变量之和1 n i i X =∑的标准化变量 n i n X n Y μ -= ∑ 的分布函数()n F x 对于任意X 满足 2/2lim ()lim d ()n i x t n n n X n F x P x t x μΦ-→∞→∞ ?? -??? =≤==????? ∑? 定理 5.5表明,对于均值为,μ方差为2 0σ>的独立同分布的随机变量的和1 n i i X =∑的标准化随机变量,不论12,,,, n X X X 服从什么分布,当n 充分大时,都有 ~(0,1)n i n X n Y N μ-= ∑近似 , 从而,当n 充分大时 21 ~(,)n i i X N n n μσ=∑近似. 定理5.5′ 设随机变量列12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2, i =,令1 1n n i i X X n == ∑,则当n 充分大时 ~(0,1)N 近似 ,即2~(,/)n X N n μσ近似. 例5.3 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100 g,标准差是10 g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2 kg 的概率. 解设i X 为第i 个螺丝钉的重量,,100,,2,1 =i Y 为一盒螺丝钉的重量,则

大数定律与中心极限定理及其应用

重庆三峡学院毕业设计（论文）大数定律与中心极限定理及其应用分院数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）班级 10数本1班学号201006034109 姓名张永东指导教师陈飞翔 (讲师) 2014年5月10日

目录摘要.................................................................................................................................................. I ABSTRACT. ..................................................................................................................................II １大数定律的应用 .. (3) 1.1引言 (3) 1.2预备知识 (3) 1.2.1相关定义 (3) 1.2.2切比雪夫不等式及其应用 (4) 1.3几类重要的大数定律的应用 (4) 1.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 (4) 1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 (6) 1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 (6) 1.4大数定律的意义 (8) 2 中心极限定理的应用 (8) 2.1前言 (8) 2.2几类重要的中心极限定理的应用 (9) 2.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用 (9) 2.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用 (10) 2.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 (11) 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 (14) 3 大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 3.1大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)

中心极限定理及其应用论文

青岛农业大学本科生课程论文题目：中心极限定理及其应用姓名：学院：专业：班级：学号：指导教师： 2012 年06 月27 日

青岛农业大学课程论文任务书论文题目中心极限定理及其应用要求完成时间 2012年 07 月 02 日论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。指导教师签名：年月日

中心极限定理及其应用信息与计算科学专业（学生姓名）指导教师（老师姓名）摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量

Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable

实验十三二项分布的计算与中心极限定.

实验十三二项分布的计算与中心极限定 [实验目的] 1.研究用Poisson逼近与正态逼近进行二项分布近似计算的条件 2.检验中心极限定理 §1 引言二项分布在概率论中占有很重要的地位。N次Bernoulli实验中正好出现K次成功的概率有下式给出b k;n,p C n k p k1p n k ,k=0,1,2,……..n.二项分布的值有现成的表可查，这种表对不同的n及p给出了b(k;n.p)的数值。在实际应用中。通常可用二项的Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。在本实验中，，我们来具体地研究在什么条件下，可用Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。在概率论中，中心极限定理是一个很重要的内容，在本实验中，我们用随即模拟的方法来检验一个重要的中心极限定理——Liderberg-Levi中心极限定理。 §2 实验内容与练习 1．1二项分布的Poisson逼近用Mathematica软件可以比较方便地求出二项分布的数值。例如n=20;p=0,1;Table[Binomial[n,k]*p^k*(1-p)(n-k),{k,0,20}]给出了b(k;20,0.1)(k=0,1,2,…..,20)的值。联系 1 用Mathematica软件给出了b(k;20,0.1),b(k;20,0.3)与 b (k;20,0.5)(k=0,1,2,…..,20)的值。我们可用Mathematica软件画出上述数据的散点图，下面的语句给出了b(k;20.0.1)的（连线）散点图（图13。1）： LISTpOLT[table[Binomi al[20,k]*0.1^k*0.9^(20-k), {k,0,20}],PlotJoined->True] 图13.1 b(k;20,0.1) b k;n,p C n k p k1p n k (k=1,1,2,……,20)的散点图练习2绘出b(l;20,0.3)与b(k;20,0.5)(k=0,1,2,…,20)的散点图根据下面的定理，二项分布可用Poisson分布来进行近似计算。定理13。1 在Bernoulli实验中，以P n 代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数有关. 如果np n→→λ，则当n→∞时，b k;n,p k k e 。由定理13，1在n很大，p很小，而λ=np大小适中时，有 b k;n.p c k n p k1p n k k k e

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的内涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1）证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

中心极限定理

中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μ n是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n 无限大时，频率设μ n / n趋于服从参数为的正态分布。即：

该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。中心极限定理案例分析案例一：中心极限定理在商业管理中的应用水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假

中心极限定理及其应用

中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。一、两个常用的中心极限定理根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理）设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量的分布函数Fn（x）对于任意x满足（5.7）从定理1的结论可知，当n充分大时，有或者说，当n充分大时，有如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理）设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则

中心极限定理

中心极限定理从总体中抽取容量为n的一个样本时，当样本容量足够大时，样本均值x的抽样分布近似服从于正态分布。 eg:用R从0-10的均匀分布中产生100个样本量为n=2的随机样本，对每个样本计算，并画出100个的频数分布，对于n=5,10,30,50,重复这一个过程。 a=matrix(rep(0,200),nrow=100,byrow=T) set.seed(200) for(i in 1:100) a[i,]=runif(2,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100 个样本量n=2的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,1000),nrow=100,byrow=T) set.seed(1000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(10,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=10的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,3000),nrow=100,byrow=T) set.seed(3000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(30,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=30的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,5000),nrow=100,byrow=T) set.seed(3000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(50,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=50的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2)

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1）证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

数理统计作业二__用数学实验的方法验证大数定理和中心极限定理

验证大数定理： 1、实验原理：证明大数定理即证明样本均值趋近于总体均值。 2、实验步骤： ①在excel中，用公式 =RAND( )*9+1 生成2000个1到10之间的随机数。 ②选择样本的前50个，前100个，前150个…前2000个，分别求出均值。 ③利用excel作出上述求出值的样本均值折线图（图一）和总体均值折线图（图二）：图一图二从图一和图二中可以看出样本均值最终趋于水平，即趋于总体均值，大数定理得证。

验证中心极限定理： 1、实验原理：证明中心极限定理即证明N个独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布。本次实验采用独立同分布于0-1分布B(1,0.5)的随机变量序列E k，k=1,2,3······来验证中心极限定理。因为E k， k=1,2,3······之间是独立同分布，所以 )5.0, ( ~ E n 1 k k n B ∑ =。由中心极限定理可知，当n的取值足够大时，∑ = n 1 k k E 这一随机变量的分布与正太分布具有很好的近似，下面用MATLAB软件分别画出n取不同值时∑ = n 1 k k E 的分布及对应的正太分布的图像，通过对比这两条曲线的相似度来验证中心极限定理。 2、实验步骤： ①当n=10时，对应正态分布为N（5，2.5）。 MATLAB结果图：

MATLAB源程序： MATLAB结果图：

MATLAB源程序： ⑤观察得出，当N足够大时，其密度函数服从正态分布，即满足中心极限定理。

中心极限定理的发展

中心极限定理的创立和发展 1141010113 万帅关键词：中心极限定理，创立，严格证明，新的发展，三阶段。引言：这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 “中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。中心极限定理的发展主要分为三个阶段。创立阶段：1733-----1853年人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理” 法国数学家拉普拉斯写了很多论文，想推广棣莫弗的工作。他意识到需要一种新的数学技巧，并在1785年成功地发明了这个技巧：特征函数的简单形式和反演公式。拉普拉斯把他的两个主要研究方向结合起来得到了这个方法-----母函数和积分的监禁展开。通过把母函数中的t换成it e ，就得到了特征函数。然而，直到1810年他才发表了特征函数与反演公示的一般理论，并证明了中心极限定理。他之所以推迟到1810年，有一种解释是，从1786年开始，他就专注于《天体力学》的写作，这本书1805年才完成。1810年，拉普拉斯证明了中心极限定理，先是服从均匀发布的连续随机变量的情形，接着是服从任意分布的随机变量。拉普拉斯的证明显然对独立有界的随机变量和成立，证明过程使用了现在所谓的特征函数，或傅里叶变换，即itXEe(t为实数）。在1812年，他先后考虑了对称的、离散的均匀分布，对称的连续分布，任意分布情形。最后，拉普拉斯在他的名著《概率的分析理论》中对任意的p证明了如下中心极限定理：【1】泊松完善和推广了拉普拉斯关于中心极限定理的证明。在所有考虑的情况里，都假设随机变量是独立的。泊松证明了服从相同分布的随机变量的情况，还推广到服从不同分布的随机变量的情况。1824年，泊松证明了连续随机变量的中心极限定理，并给出了三个反例，其中包括服从柯西分布的随机变量和，这时中心极限定理不成立。受当时传统的影响，泊松没有明确阐明中心极限定理成立的条件。但是，从他的证明和例子中，可以看到，他假设每个变量的方差都是有界的，且不等于零。其他数学家也做了这方面工作，比如贝塞尔和柯西。拉普拉斯等人给出证明的前提假设是，和的分布是有限的，因此所有的矩都存在。他们把结果推广到无限情形，但没有给出证明，并隐含假定了矩的存在。以现在的观点来看，只要沿着拉普拉斯的方向继续下去，法国数学家们是可以给出中心极限定理的严格证明的，比如柯西，他知道特征函数和稳定率。从当时环境来看，大约1870年代，概率学家还处于心理上的劣势，苦于自己的研究领

中心极限定理及其意义

题目：中心极限定理及意义课程名称：概率论与数理统计专业班级：成员组成：联系方式： 2012年5月25日摘要：本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。

关键词：随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理引言：在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，

大数定律及中心极限定理应用题

大数定律与中心极限定理应用题 1．设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差为0.1kg, 问（1）5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975？解设第i 只零件重为i X ，500,...,2,1=i ，则5.0=i EX ，21.0=i DX 设 ∑==500 1i i X X ，则X 是这些零件的总重量 250050005.0=?=EX ，5050001.02=?=DX 由中心极限定理 )1,0(~50 2500N X a - （1）)2510(≥X P =)50 25002510502500(-≥-X P )2(10Φ-≈=9213.01-=0.0787 (2) 设汽车载重量为a 吨 )(a X P ≤=)502500502500(-≤-a X P 95.0)50 2500(0≥-Φ≈a 查表得 64.150 2500≥-a 计算得 59.2511≥a 因此汽车载重量不能低于2512公斤 2．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，先从这批木柱中随机的取100根，求其中至少有30根短于3m 的概率？解设X 是长度小于3m 的木柱根数，则)2.0,100(~b X 由中心极限定理 )16,20(~N X a )30(≥X P =)16 20301620(-≥-X P )5.2(10Φ-≈=9938.01-=0.0062 3．一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种蛋糕的价格是随机变量，它取1元，1.2元，1.5元的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率（2）售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。

中心极限定理及其意义

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大数定理与中心极限定理的关系及应用

本科生毕业论文（设计）题目大数定律与中心极限定理的关系及应用姓名学号院系数学科学学院专业数学与应用数学指导教师职称 2013年4 月16 日曲阜师范大学教务处制

目录摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key words (3) 引言 (3) 1 大数定律与中心极限定理的关系 (4) 1.1预备知识 (4) 1.1.1大数定律 (4) 1.1.2中心极限定理 (5) 1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6) 1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7) 1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8) 1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9) 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10) 2.1 在误差分析中的应用 (10) 2.2 在数学分析中的应用 (11) 2.3 在近似计算中的应用 (13) 2.4 在保险业中的应用 (14) 2.5 在企业管理方面的应用 (15) 结论 (16) 致谢 (16) 参考文献 (17)

大数定律与中心极限定理的关系及应用摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用 Relationship and Applications between the Law of Large Number and Central Limit Theorem Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei Tutor Liu Li Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value. Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分

中心极限定理和概率统计

若{}n X 的分布函数序列{()}n F x 与X 的分布函数()F x 有，在任意连续点x ， lim ()()n n F x F x →∞ =。依概率收敛若0ε?>，有()0n n P X X ε→∞ ->???→。准确的表述是，0ε?>，0δ?>， ,N n N ?>，有()n P X X εδ-><成立（3）几乎必然收敛如果有(lim )1n n P X X →∞ ==。准确的表述是，除掉一个0概率集A ，对所有的\A ω∈Ω，有lim ()()n n X X ωω→∞ =成立。这是概率空间上的点收敛。定理1。（切贝雪夫大数律）{}n X 相互独立，且有相同的期望和方差，（不一定同分布） ()n E X u =2 ()n D X σ=，,n ? 记1 1n n i i Y X n ==∑，则P n Y u ??→。统计发生——事物某方面的定量记录事前是不确定的，发生后的数据由真值和误差两部分构成，εμ+=X 。X 是数据，μ是真值，ε是误差。导致误差的原因有： 1．系统性误差：偏离真值的本质性错误，有内在原因所致； 2．随机性误差：偏离真值的偶然性错误，没有内在原因，是纯偶然因素所致。总体就是一个特定的随机变量通过抽样，获得样本，构造样本统计量，由此推断总体中某些未知的信息从总体中抽样是自由的，且当总体数量足够大，有放回与无放回抽样区别不大，有理由认为，取得的抽样观察值是没有关系的。所以，样本在未抽取前它们是与总体X 同分布的随机变量，且是相互独立的，称此为随机样本。定义2。设1,,n x x 是取自总体X 的一组样本值， 1(,,)n g x x 是Borel 可测函数，则称随机变量1(,,)n g X X 是一个样本统计量。

抽样技术上机实验_中心极限定理验证

均匀分布中心极限定律的实现： clc clear n=200000; %/* ???′′?êy*/ k=100; %/* ?ù±???êy*/ mu=0; u=0; sigma=1/12; population=0:0.001:1; for i=1:n y = randsample(population,k,1); mu=[mu,mean(y)]; end mu=(mu-0.5)/(sqrt(sigma)/sqrt(k)); %hist(mu(2:end),1000) [f, x1] = ksdensity(mu(2:end)); plot(x1, f) hold on plot(x1,normpdf(x1,0,1),'r') hold off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 两点分布的实现： clc clear n=10000; %/* ???′′?êy*/ k=100; %/* ?ù±???êy*/ mu=0; u=0; p=0.5; sigma=p*(1-p); population=0:1; for i=1:n y = randsample(population,k,1); mu=[mu,mean(y)]; end mu=(mu-p)/(sqrt(sigma)/sqrt(k)); %hist(mu(2:end),1000) [f, x1] = ksdensity(mu(2:end)); plot(x1, f) hold on plot(x1,normpdf(x1,0,1),'r') hold off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 两点分布1以概率0.4发生

中心极限定理的应用

毕业论文题目中心极限定理的应用学生姓名张世军学号1109014148 所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静 2015 年 5 月 25 日

中心极限定理的应用张世军（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中 723000）指导教师：程小静 [摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。 [关键词]随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算 Central Limit Theorem of Application Zhang Shijun (Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics and computer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi) Tutor: Cheng Xiaojing Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application. Keywords：Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation

大数定律及中心极限定理习题及答案

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实验十三 二项分布的计算与中心极限定.

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