八年级数学全册全套试卷综合测试卷(word含答案)

八年级数学全册全套试卷综合测试卷（word含答案）

一、八年级数学三角形填空题（难）

1．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）

A．144°B．84°C．74°D．54°

【答案】B

【解析】

正五边形的内角是∠ABC=()

52180

5

-?

=108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角

是∠ABE=∠E=()

62180

6

-?

=120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°–

120°–120°–36°=84°，故选B．

2．如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____．

【答案】92°．

【解析】

【分析】

由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．

【详解】

由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°，

根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'，

则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°，

则∠1﹣∠2=92°．

故答案为：92°．

【点睛】

考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

3．已知ABC 中，90A ∠=，角平分线BE 、CF 交于点O ，则BOC ∠= ______ ． 【答案】135 【解析】

解：∵∠A =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∵角平分线BE 、CF 交于点O ，∴∠OBC +∠OCB =45°，∴∠BOC =180°﹣45°=135°．故答案为：135°．

点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．

4．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=_____． 【答案】7 【解析】 【分析】

根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是奇数求出c 的值． 【详解】

∵a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0， ∴a ﹣7=0，b ﹣1=0， 解得a=7，b=1， ∵7﹣1=6，7+1=8， ∴68c <<， 又∵c 为奇数， ∴c=7， 故答案为7． 【点睛】

本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．

5．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC＝_____度．

【答案】35

【解析】

【分析】

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAC+∠ABC＝∠ACE，

∠BOC+∠OBC＝∠OCE，再根据角平分线的定义可得∠OBC＝1

2

∠ABC，∠OCE＝

1 2∠ACE，然后整理可得∠BOC＝

1

2

∠BAC．

【详解】

解：由三角形的外角性质，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，

∴∠OBC＝1

2

∠ABC，∠OCE＝

1

2

∠ACE，

∴1

2

（∠BAC+∠ABC）＝∠BOC+

1

2

∠ABC，

∴∠BOC＝1

2

∠BAC，

∵∠BAC＝70°，

∴∠BOC＝35°，

故答案为：35°．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，要注意整体思想的利用．

6．如图，AB∥CD，∠ABE=66°，∠D=54°，则∠E=____度．

【答案】12

【解析】

【分析】

利用三角形的外角与内角的关系及平行线的性质可直接解答．

【详解】

∵AB∥CD，∴∠BFC=∠ABE=66°.

在△EFD中，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠BFC=∠E+∠D,

∴∠E=∠BFC-∠D=12°．

故答案是：12.

【点睛】

本题考查了三角形外角与内角的关系及平行线的性质，比较简单．

二、八年级数学三角形选择题（难）

7．若△ABC内有一个点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，如图1，可构成3个互不重叠的小三角形；若△ABC内有两个点P1、P2，其它条件不变，如图2，可构成5个互不重叠的小三角形：……若△ABC内有n个点，其它条件不变，则构成若干个互不重叠的小三角形，这些小三角形的内角和为（）

A．n·180°B．（n+2）·180°C．（2n-1）·180°D．（2n+1）·180°【答案】D

【解析】

【分析】

当△ABC内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3；当△ABC内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5；依此类推得到当△ABC内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7；当△ABC内的点的个数是n 时，三角形内互不重叠的小三角形的个数2n+1，所以这些小三角形的内角和为

（2n+1）·180°

【详解】

】解：图1中，当△ABC内只有1个点时，可分割成3个互不重叠的小三角形；

图2中，当△ABC内只有2个点时，可分割成5个互不重叠的小三角形；

图3中，当△ABC内只有3个点时，可分割成7个互不重叠的小三角形；

根据以上规律，当△ABC内有n个点（P1，P2，…，P n）时，可以把△ABC分割成S=2n+1个互不重叠的三角形，所以这些小三角形的内角和为（2n+1）·180°.

【点睛】

此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．

8．如果线段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C两点的距离d的长度为（）

A．4cm B．2cm C．4cm或2cm D．小于或等于4cm，且大于或等于2cm

【答案】D

【解析】

试题分析：①当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论；

②当A，B，C三点不在一条直线上时，根据三角形三边关系讨论.

解：当点A、B、C在同一条直线上时，①点B在A、C之间时：AC=AB+BC=3+1=4；②点C 在A、B之间时：AC=AB-BC=3-1=2，

当点A、B、C不在同一条直线上时，A、B、C三点组成三角形，根据三角形的三边关系AB-BC＜AC＜AB+BC，即2＜AC＜4，综上所述，选D.

故选D.

点睛：本题主要考查点与线段的位置关系..利用分类思想得出所有情况的图形是解题的关键，

9．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是四边形ABCD内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为7、9、10，则四边形DHOG的面积为（）

A．7B．8C．9D．10

【答案】B

【解析】

分析：连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，S△OAE=S△OBE，所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，所以可以求出S四边形DHOG．

详解：连接OC，OB，OA，OD，

∵E、F、G、H依次是各边中点，

∴△AOE和△BOE等底等高，

∴S△OAE=S△OBE，

同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，

∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，

∵S四边形AEOH=7，S四边形BFOE=9，S四边形CGOF=10，

∴7+10=9+S四边形DHOG，

解得，S四边形DHOG=8．

故选B.

点睛：本题考查了三角形的面积．解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论．

10．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )

A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【答案】D

【解析】

【详解】

A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；

B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；

C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；

D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．

故选D．

11．若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）

A．12 B．15 C．12或15 D．18

【答案】B

【解析】

【分析】

根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，根据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，根据三角形的周长公式，可得答案．

【详解】

由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．

则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，

周长为6+6+3＝15，

故选B．

【点睛】

本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．

12．在ΔABC中，AB3

=，AC5

=，第三边BC的取值范围是( )

A．10BC13

<

<

BC8

<

<<

【答案】D

【解析】

【分析】

已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边的边长的取值范围．

【详解】

∵AB=3，AC=5，

∴5-3

故选D.

【点睛】

考查了三角形三边关系，一个三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形的三边关系是解题关键.

三、八年级数学全等三角形填空题（难）

13．如图，AD⊥BC 于 D，且 DC＝AB＋BD，若∠BAC＝108°，则∠C 的度数是______度．

【答案】24

【解析】

【分析】

在DC上取DE=DB．连接AE，在Rt△ABD和Rt△AED中，BD=ED，AD=AD．证明

△ABD≌△AED即可求解．

【详解】

如图，在DC上取DE=DB，连接AE．

在Rt△ABD和Rt△AED中，

BD ED

ADB ADE

AD AD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△ABD≌△AED（SAS）．

∴AB=AE，∠B=∠AED．

又∵CD=AB+BD，CD=DE+EC

∴EC=AB

∴EC=AE，

∴∠C=∠CAE

∴∠B=∠AED=2∠C

又∵∠B+∠C=180°-∠BAC=72°

∴∠C=24°，

故答案为：24．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，属于基础图，关键是巧妙作出辅助线．

14．如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD的长为______.

【答案】34

【解析】

【分析】

将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，由全等三角形的性质可得

CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，结合等边三角形的性质可得出

∠ECP=60°，进而证明△ECP为等边三角形，由等边△ECP的性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°，最后利用勾股定理求出BD的长度即可.

【详解】

将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，

∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，

∵等边△ABC，

∴∠ACP+∠PCB=60°，

∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，

∴△ECP为等边三角形，

∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，

∴∠DEB=90°，

∵∠APC=150°，∠APD=30°，

∴∠DPC=120°，

∴∠DPE=180°，即D、P、E三点共线，

∴ED=3+7=10，

∴BD=22

DE BE

=234.

故答案为234.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三点共线的判定，运用旋转构造全等三角形是解题的关键.

15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若

∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，则图中阴影部分的面积等于__________．

【答案】4

【解析】

【分析】

作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，可证△DEG≌△CEF，可得DG=CF，则是S△BDE=S△AEC，由D 是BC中点可得S△BED=2，即可求得阴影部分面积.

【详解】

作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，

∴∠DGE=∠CFE=90°，

∵∠AEB=∠DEC=90°，

∴∠GED+∠DEF=90°，∠DEF+∠CEF=90°，

∴∠GED=∠CEF，

又∵DE=EC，

∴△GDE≌△FCE，

∴DG=CF，

∵S△BED=1

2BE?DG，S△BED=

1

2

AE?CF，AE=BE，

∴S△BED=S△BED，

∵D是BC的中点，

∴S△BDE=S△EDC=1

22

2

??=2，

∴S阴影=2+2=4，

故答案为4.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.

16．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm(指图上距离)，则图中工厂的位置应在_____.

【答案】∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方.

【解析】

【分析】

由已知条件及要求满足的条件，根据角平分线的性质作答，注意距A1cm处．

【详解】

工厂的位置应在∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方；

理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．

【点睛】

此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．作图题一定要找到相关的知识为依托，同时满足多个要求时，要逐个满足．

17．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_____个．

【答案】7

【解析】

只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．

解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，

所以一共能作出7个． 故答案为7

18．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

【答案】45? 【解析】 【分析】

根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+ 由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠=

根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? 易得∠M 的度数。 【详解】

在ABM 中，2∠是ABM 的外角 ∴2M MAB ∠∠∠=+

由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? ∵BOA 90∠=? ∴OBA OAB 90∠∠+=? ∵MA 平分BAO ∠ ∴BAO 2MAB ∠∠=

由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=?+ ∵12∠∠=

∴2290BAO ∠∠=?+ 又∵2M MAB ∠∠∠=+

∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+

∴90BAO 2M BAO ∠∠∠?+=+

2M 90∠=?

M 45∠=?

【点睛】

本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。

四、八年级数学全等三角形选择题（难）

19．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）

A ．150°

B ．180°

C ．210°

D ．225°

【答案】B 【解析】 【分析】

根据SAS 可证得ABC ≌EDC ，可得出BAC DEC ∠∠=，继而可得出答案，再根据邻补角的定义求解. 【详解】

由题意得：AB ED =，BC DC =，D B 90∠∠==，

ABC ∴≌EDC ， BAC DEC ∠∠∴=，

12180∠∠+=． 故选B ．

【点睛】

本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出ABC ≌EDC ．.

20．如图，Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线BE 和∠BAC 的外角平分线AD 相交于点P ，分别交AC 和BC 的延长线于E ，D ，过P 作PF ⊥AD 交AC 的延长线于点H ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 交DH 于点G ，则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA ；③BD ﹣AH=AB ；④DG=AP+GH ，其中正确的是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出

∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP=1

2

∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可

得解；

②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，AP=PF；

③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH；

④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出本小题错误.

【详解】

解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，

∴∠ABP=1

2

∠ABC，

∠CAP=1

2（90°+∠ABC）=45°+1

2

∠ABC，

在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP，

=180°-（45°+1

2

∠ABC+90°-∠ABC）-1

2

∠ABC，

=180°-45°- 1

2

∠ABC-90°+∠ABC-1

2

∠ABC，

=45°，故本小题正确；

②∵PF⊥AD，∠APB=45°（已证），∴∠APB=∠FPB=45°，

∵∵PB为∠ABC的角平分线，

∴∠ABP=∠FBP，

在△ABP 和△FBP 中，

APB FPB PB PB

ABP FBP ∠=∠??

=??∠=∠?

， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ）， ∴AB=BF ，AP=PF ；故②正确； ③∵∠ACB=90°，PF ⊥AD ，

∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°， ∴∠AHP=∠FDP ， ∵PF ⊥AD ， ∴∠APH=∠FPD=90°， 在△AHP 与△FDP 中，

90AHP FDP APH FPD AP PF ∠=∠??

∠=∠=???=?

∴△AHP ≌△FDP （AAS ）， ∴DF=AH ， ∵BD=DF+BF ， ∴BD=AH+AB ，

∴BD-AH=AB ，故③小题正确； ④∵PF ⊥AD ，∠ACB=90°， ∴AG ⊥DH ， ∵AP=PF ，PF ⊥AD ， ∴∠PAF=45°， ∴∠ADG=∠DAG=45°， ∴DG=AG ，

∵∠PAF=45°，AG ⊥DH ，

∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形， ∴DG=AG ，GH=GF ， ∴DG=GH+AF ， ∵AF ＞AP ，

∴DG=AP+GH 不成立，故本小题错误， 综上所述①②③正确． 故选:C. 【点睛】

本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系.

21．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△AB C≌Rt△A′B′C′的是( )

A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3

B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°

C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3

D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°

【答案】B

【解析】

∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°

A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，

符合直角三角形全等的判定条件HL，

∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；

B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，

不符合符合直角三角形全等的判定条件，

∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；

C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；

∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；

D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，

∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；

故选：B．

点睛：此题主要考查学生对直角三角全等的判定的理解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等的判定，还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法，才能尽快选出此题的正确答案．

22．在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，ED⊥AB,∠DAE=∠CAE，则∠CAB＝（）

A．30°B．60°C．80 °D．50°

【答案】B

【解析】

试题解析：∵D为AB的中点，ED⊥AB，

∴DE为线段AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴∠DAE=∠DBE，

∴∠DAE =∠DBE =∠CAE ， 在Rt △ABC 中， ∵∠CAB +∠DBE =90°， ∴∠CAE +∠DAE +∠DBE =90°， ∴3∠DBE =90°， ∴∠DBE =30°，

∴∠CAB =90°-∠DBE =90°-30°=60°． 故选B ．

23．如图，已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，AB=AC=4，∠BAC=∠EAD=90°，D 是射线BC

上任意一点，连接EC ．下列结论：①△AEC △ADB ；② EC ⊥BC ； ③以A 、C 、D 、E 为顶

点的四边形面积为8；④当BD=时，四边形AECB 的周长为10524++;⑤ 当

BD=

3

2

B 时,ED=5AB ；其中正确的有（ ）

A ．5个

B ．4个

C ．3 个

D ．2个 【答案】B 【解析】解：

∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴△AEC ≌△ADB ，故①正确； ∵△AEC ≌△ADB ，∴∠ACE =∠ABD =45°，∵∠ACB =45°，∴J IAO ECB =90°，∴EC ⊥BC ，故②正确；

∵四边形ADCE 的面积=△ADC 的面积+△ACE 的面积=△ADC 的面积+△ABD 的面积=△ABC 的面积=4×4÷2=8．故③正确； ∵BD =2，∴EC =

2，DC =BC -BD =422=32，∴DE 2=DC 2+EC 2，

=(2

2

2

2

+=20，∴DE =25，∴AD =AE =

25

2

=10.∴AECB 的周长

=AB +DC +CE +AE =442210+45210+，故④正确；

当BD =32BC 时，CD =12BC ，∴DE 22

1322BC BC ????

+ ? ?????

102BC =52AB ．故⑤错误．

故选B ．

点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．

24．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC与BD相交于点E，若不再添加任何字母与辅助线，要使△ABC≌

△DCB，则还需增加的一个条件是（）

A．AC=BD B．AC=BC C．BE=CE D．AE=DE

【答案】A

【解析】

由AB=DC，BC是公共边，即可得要证△ABC≌△DCB，可利用SSS，即再增加AC=DB即可.

故选A.

点睛：此题主要考查了全等三角形的判定，解题时利用全等三角形的判定：

SSS，SAS，ASA，AAS，HL，确定条件即可，此题为开放题，只要答案符合判定定理即可.

五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

25．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限

内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，1

2

），且

△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____．

【答案】-8

3

．

【解析】

【分析】

先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的

面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝13

2

，故可得出a的值．

【详解】

∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2，

∴22

3+213

AB＝＝

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，

∴

1113

?1313

222 ABC

S AB AC

＝＝＝，

作PE⊥x轴于E，连接OP，

此时BE＝2﹣a，

∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，

∴

111

???

222 ABP POA AOB BOP

S S S S OA OE OB OA OB PE ++

＝﹣＝﹣，

111113

3322

22222

a

??+????

＝（﹣）﹣＝，

解得a＝﹣8

3

．

故答案为﹣8

3

．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S△ABP=S△POA+S△AOB-S△BOP列出关于a的方程．

26．如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC（AB>BC）为边,在直线AC的同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN. 以下结论：

①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.

【答案】①②④⑤

【解析】

【分析】

①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；

②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由

∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；

③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；

④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.

【详解】

①∵等边△ABD和等边△BCE，

∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠ABE=∠DBC=120°，

在△ABE和△DBC中，

∵

AB DB

ABE DBC BE BC

?

∠

?

?

∠

?

?

＝

＝

＝

，

∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=DC，

故①正确；

∵△ABE≌△DBC，

∴∠AEB=∠DCB，

又∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，

在△MBE和△NBC中，

∵

AEB DCB EB CB

MBE NBC ∠∠

∠

?

?

?

?∠

?

＝

＝

＝

，

∴△MBE≌△NBC（ASA），

∴BM=BN，∠MBE=60°，

则△BMN为等边三角形，

故⑤正确；

∵△BMN为等边三角形，

∴∠BMN=60°,

∵∠ABD=60°,

∴∠BMN=∠ABD，

∴MN//AB，

故②正确；

③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；

④由①得∠EAB=∠CDB，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，

∵∠DPM =∠PAC+∠PCA

∴∠DPM =60°，故④正确， 故答案为：①②④⑤. 【点睛】

此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

27．如图，己知30MON ∠=?，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ?，223A B A ?，334A B A ?，…均为等边三角形，若12OA =，则

556A B A ?的边长为________.

【答案】32 【解析】 【分析】

根据底边三角形的性质求出130∠=?以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ，以及

22122A B B A =，得出332212244A B A B B A ===，441288A B B A ==，551216A B B A =?进

而得出答案． 【详解】 解：

△112A B A 是等边三角形，

1121

A B A B ∴=

，341260∠=∠=∠=?，

2120∴∠=? ，

30MON ∠=? ，

11801203030∴∠=?-?-?=?