高等数学预备知识

高等数学 预备知识

1．不同三角函数间的关系

αααcos sin tan =

αααsin cos cot = ααcos 1sec = α

αsin 1

csc = 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα

2．加法公式（注意“±”与“ ”） βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±

`

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± α

ββαβαcot cot 1

cot cot )cot(±=±

3．和差化积

2

cos

2sin

2sin sin β

αβ

αβα-+=+

2sin

2cos 2sin sin β

αβαβα-+=- 2cos

2cos 2cos cos β

αβαβα-+=+ 2

sin

2sin 2cos cos β

αβαβα-+-=- βαβαβαcos cos )sin(tan tan ±=

±

β

αβαβαsin sin )

sin(cot cot ±±

=±

·

β

αβαβαsin cos )

cos(cot tan ±=± （注意符号）

4．积化和差

)]cos()[cos(

21sin sin βαβαβα--+-= )]cos()[cos(21

cos cos βαβαβα-++= )]sin()[sin(2

1

cos sin βαβαβα-++=

5．倍角公式

α

α

ααα2tan 1tan 2cos sin 22sin +=

=

α

α

ααααα222

2

2

2

tan 1tan 1sin 211cos 2sin cos 2cos +-=-=-=-=

'

α

α

α2

tan 1tan 22tan -= αααcot 21cos 2cot 2-=

6．半角公式 2cos 12

sin

αα

-±

= 2cos 12cos α

α+±= αα

ααααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

tan

+=-=+-±

=

α

α

ααααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

cot

-=+=-+±

=

7．降幂公式 )2cos 1(21sin

2

αα-= )2cos 1(2

1cos 2αα+=

8．反三角函数 ?

（2）图像

（

（附加）三角函数的图像

1

-1

y=sinx

-3π

2

-5π

2

-7π

2

7π

2

5π

2

3π

2

π

2

-

π

2

-4π-3π-2π4π

3π

2π

π

-π

o

y

x

1

-1

y=cosx

-3π

2

-5π

2

-7π

2

7π

2

5π

2

3π

2

π

2

-

π

2

-4π

-3π

-2π4π

3π

2π

π

-π

o

y

x y=tanx

3π

2

π

π

2

-

3π

2

-π-

π

2

o

y

x

y=cotx

3π

2

π

π

2

2π

-π-π

2

o

y

x （3）反三角函数的相互关系

2

1

arctan

arccos

2

)

arcsin(

arcsin

x

x

x

x

x

-

=

-

=

-

-

=

π

2

1

arctan

arcsin

2

)

arccos(

arccos

x

x

x

x

x

-

=

-

=

-

-

=

π

π

,

2

1

arcsin

cot

2

3

)

arctan(

arctan

x

x

x

arc

x

x

+

=

-

=

-

-

=

π

2

1arccos

arctan 2

)cot(cot x

x x x arc x arc +=-=--=π

π

9．数列

（1）等差数列

通项公式：d n a a n )1(1-+= 前n 项和：d n n na n a a S n n 2

)

1(2)(11-+=+= （2）等比数列

通项公式：1

1-=n n q a a

$

前n 项和：q

q

a a q q a S n n n --=--=11)1(11

（3）某些数列的和

)1(2

1

321+=

++++n n n )1(2642+=++++n n n 2)12(531n n =-++++

)12)(1(6

1

3212222++=

++++n n n n 23333)321(321n n ++++=++++

10．乘法与因式分解

—

2222)(b ab a b a +±=± 3223333)(b ab b a a b a ++±=±

))((2

2

b a b a b a +-=- ))((2

2

3

3

b ab a b a b a +±=±

))((122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为正整数) ))((122321------+-+-+=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为偶数) ))((122321-----+--+-+=+n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为奇数)

11．不等式

（1）有关绝对值的不等式

||||||b a b a +≤± ||||||||||b a b a b a +≤-≤-

。

||||||||k b a k b a +++≤±±± （

（2）有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式

)2

0(tan sin π

<

<<

x x )0(1sin cos π<<<<

x x

x

x

)0(1≠+>x x

e x )0,1(11≠<-<

x x x

e x )0(1ln >-≤x x x )0,1(1)1ln(≠<-<

--

x x x

)0,1(1)1(>>+>+x x x αα

α

（3）某些重要不等式

① 222a b ab +≥，221

()2

ab a b ≤+；

}

②1

()2a b +≥，12121

()n n n

a a a a a a n

+++≥???；

（0,0,0,1,2,

,i a b a i n ≥≥≥=）

③ ||||||||||a b a b a b -≤±≤+，

11221122|()()()||||()||||()||||()|n n n n a f x a f x a f x a f x a f x a f x ++

+≤+++

n a a a n a a a n

n 2

222121+++≤+++

n

a a a a a a n

n

n ++≤

2121

))(()(1

21

22

1

∑∑∑===≤n

i i n

i i

n

i i i b a b a （柯西不等式）

12．阶乘、排列、组合 （1）阶乘 &

n n ????= 321! )12(531!

2)!

12(!)!12(+????=+=

+n n n n n

（规定）1!0= 0!!0= )2(42!2!)!2(n n n n

???== （2）排列 )1()2)(1()!

(!

+---=-=

k n n n n k n n A k

n

123)2)(1(!??--=== n n n n A P n

n n

（3）组合

!)!(!!k k n n k A C k n k

n

-== （k

n C 也记作???

? ??k n ） 13．二项式定理与多项式定理

/

二项式定理：

∑=-----=+++++=+n

k k

k n k n n

n

n

n n n

n n

n n

n

n

n

b a C b C ab

C

b a

C b a

C a C b a 0

1

12

2

21

10)(

多项式定理：s q p n

s q p n

k b a s q p n k b a ∑

=++=+++!

!!!

)(

14．指数运算

n

m n m a

a a +=? n m n m a a

a -= mn n m a a =)( m

m m b a ab =)(

m m m

b a b a =??

? ?? m n

n m n m

a a a )(== m m a a 1=- )0(10≠=a a

15．对数运算

01log =a 1log =a a y x xy a a a log log log +=

@

y x y

x

a a a

log log log -= x b x a b a log log = 对数恒等式：x a x

a =log x a

x

a =log

换底公式：a

y

y b b a log log log =

1log log =?a b b a

数学中常见基本初等函数和初等函数：

①基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数称为基本初等函数。

（ⅰ）幂函数： ()R a x y a

∈=

它的定义域和值域依a 的取值不同而不同，但是无论a 取何值，幂函数在()+∞∈,0x 内总有定义。当N a ∈或

N n n a ∈-=

，1

21

时，定义域为R 。 常见的幂函数的图形如图1-1所示。

（ⅱ）指数函数： ()10≠>=a a a y x

，

它的定义域为()∞+∞-，

，值域为()∞+，0。 指数函数的图形如图1-2所示． （ⅲ）对数函数 ()10log ≠>=a a x

y a ，

定义域为()∞+，

0，值域为()∞+∞-，。对数 函数x y a log =和指数函数x

a y =互为反函数。 其图形见图1-3。

,

在工程中，常以无理数e ＝…作为指数函数和对数函数的底，并且记

x x x e e x ln log ex p ==，，而后者称为自然对数函数。

对数运算：01log =a ， 1log =a a ，y x xy a a a log log log +=，

y x y

x

a a a

log log log -=，x b x a b a log log =。 对数恒等式：x a x

a =log ，x a

x

a =log 。

换底公式：a

y

y b b a log log log =

，1log log =?a b b a 。

￥

（ⅳ）三角函数：

三角函数有正弦函数x y sin =、余弦函数x y cos =、正切函数x y tan =、余切函数

x y cot =、正割函数x y sec =和余割函数x y csc =。其中正弦、余弦、正切和余切函数

的图形见图1-4。

图1-2

@

'

）

（ⅴ）反三角函数

反三角函数主要包括反正弦函数x y arcsin =、反余弦函数x y arccos =、反正切函数

x y arctan =和反余切函数x arc y cot =等．它们的图形如图1-5所示。

/

《

*

图1-4

?

（ⅵ）常量函数为常数 c y =（c 为常数）

定义域为()∞+∞-，

，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。

②初等函数：通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。

例如，()()3

2sin 13sin 4sin ln x y x e y x y x

=+=+=，，，…都是初等函数。初等函

数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数

x y sgn =，取整函数[]x y =等分段函数就是非初等函数。

在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的。

（Vii ）分段函数：若一个函数在其定义域的不同部分，其对应法则f 有着不同的初等函数表达式，则称此函数为分段函数。

常见函数大家庭中主要成员：（常见的几种分段函数）

①绝对值函数：0

||000x x y x x x x >??

===??-

②符号函数：10sgn 0010x y x x x >??

===??-

；

③取整函数：[],1y x n n x n ==≤<+，n Z ∈；

图1-6

④最大（小）值函数：例如

2

23

3

1

{1,,}111

1

x x

y max x x x

x x

?<-

?

==-≤≤

?

?>

?

；

⑤狄利克雷函数：

1

()

x

y D x

x

?

==?

?

为有理数

为无理数

。狄利克雷函数无法描绘出图像。