海门中学中考自主招生考试数学试卷(含答案)
２0XX 年江苏省海门中学中考自主招生考试
数学试题
一、选择题（本大题共7小题，每小题５分，满分35分) 1、下列计算正确的是( ）
A 、5
3
2
)(2)()(a a a -=-+- Ｂ、6
32)()()(a a a -=-?-
C 、6
2
3)(a a -=- D 、3
3
6
)()()(a a a -=-÷- 答案:Ｄ
2输入 … 1 2 3 ４ 5
… 输出
…
21
52 103 174 265
…
A 、
618 B 、638 Ｃ、658 Ｄ、67
8 答案：C
3、下面是某同学在一次测验中解答的填空题:
(１)若22a x =
，则a x =
(２)方程1)1(2-=-x x x 的解为0=x .
（3）若直角三角形有两边长分别为３和4，则第三边的长为5． 其中答案完全正确的题目个数为( )．
A ．0个
B ．１个 C.2个 Ｄ.３个 答案：A
４、如图,已知直线l 的解析式是43
4
-=
x y ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点。一个半径为1.5的⊙Ｃ,圆心C 从点(０,1.5）开始以每秒０.5个单位的速度沿着y 轴向下运动,当⊙C 与直线l 相切时,则该圆运动的时间为( )
A.3秒或6秒
B.６秒 Ｃ.3秒 D.6秒或16秒 答案: Ｄ 5、已知
11=-x x ，则x x
+1
的值为( ）. 注意事项
1. 本试卷共9页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和
答题卡一并交回。
2. 答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号用0.5
毫米黑色水笔填写在试卷及答题卡指定的位置。
3. 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上, 在试卷或草稿纸上答题一律无效。
A ．5±
B ．5 Ｃ．3± D.5或1 答案：Ｂ
6、如图，ABC ?是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 边的中点D ,且
AB EF //,若⊙O 的半径为
3
3
4,则DE 的长为( ) A.
13- B.
215+ C.15- D.2
1
3+ 答案：C
７、已知函数c x x y +-=22
（c 为常数)的图象上有两点),(11y x A ,),(22y x B 。若211x x <<且
221>+x x ,则1y 与2y 的大小关系是( )
Ａ.21y y > B. 21y y < C ． 21y y = D. 1y 与2y 的大小不确定 答案：Ｂ
二、填空题(本大题共7小题,每小题5分，满分35分） 8、计算:
1
212
222--
-+＝
答案：22+
９、已知关于x 的不等式组?
??>--≥-01
25a x x 无解，则a 的取值范围是 ____ 。
答案：3≥a
1０、一个密码箱的密码,每个数位上的数字都是从０到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于2012
1
，则密码的位数至少需要____＿______位. 答案：4 1１、定义：bc ad d
c b a -=。现有
02
1
1=-x
x ，则=x __＿_＿_____ 答案:4
1２、在平面直角坐标系中,直线834+-
=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把直线83
4
+-=x y 沿过点A 的直线翻折,使B 与x 轴上的点C 重合,折痕与y 轴交于点D ,则直线CD 的解析式为__＿__＿__ 答案:343+=
x y ,124
3
-=x y １３、已知方程01063
=--x x 有一根0x 满足10+< 答案：3 14、如图3= ===AD CA BC AB ,CD AH ⊥于H ，BC CP ⊥交AH 于点P ，2=AP ，则 =BD ____＿___＿_______＿_＿_ 答案: 2 2 3 三、解答题（本大题共8题，共80分) 15、(本题满分１０分） (１)在ABC Rt ?中,0 90=∠C ,A ∠的正弦、余弦之间有什么关系?请给出证明过程。（2)已知锐角α满足：x -=1sin α，x 21cos -=α,求αtan 的值。 解：(1）1cos sin 2 2 =+A A …………………………………………5分 （2)由1cos sin 22 =+αα，得1)21()1(22=-+-x x 所以可解得5 1 =x 或1=x (舍），易得 4 3 tan = α…………5分 1６、(1)图（1)是正方体木块,把它切去一块，可能得到形如图(2)、(3)、(４)、（5)的木块。 我们知道,图（１)的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面,请你将图(2)，(3)，（4），(5)中木块的图 顶点数 棱数 面数 （１) 8 12 6 (2） (３） (4) (5) (2)观察上表,请你归纳上述各种木块的顶点数，棱数,面数之间的数量关系，这种数量关系是：＿_____＿__． 图 顶点数 棱 数 面 数 （2) 6 9 5 (3) 8 １２ 6 （4) 8 1３ ７ (5) 1Ｏ 15 7 （2)顶点数＋面数＝棱数＋2. 17、(本题满分10分) 阳光公司生产某种产品，每件成本3元，售价4元，年销售量为20万件,为获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验,每年投入的广告费是x (万元）时，产品的销量是原销量的y 倍,且y 与x 之间满足: ???? ?????>≤<++-≤<+=)31019)31(10710710 1 )10(1 103 2x x x x x x y （ 如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。 （1） 试求出年利润S （万元）与广告费x (万元）的函数关系式,并注明x 的取值范围； （2） 若 52 1 ≤≤x ，要使利润S 随广告费x 的增大而增大,求x 的取值范围。 解：(1)?? ???>-≤<++-≤<+=)3(38)31(14132)10(2052 x x x x x x x S (2)在)10(205≤<+=x x S 中,S 随x 的增大而增大。 )31(8 281 )413(21413222≤<+- -=++-=x x x x S 31≤<∴x 当时,S 随x 的增大而增大。 ∴若521≤≤x ，要使利润S 随广告费x 的增大而增大，则x 的取值范围为32 1 ≤≤x 。 18、（本题满分１0分） 已知AB 是半径为１的圆O 的一条弦，且1<=a AB ,以AB 为一边在圆O 内作正三角形ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且a AB DB ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，求AE 的长。 解：如图，连接OE,OA ，O Ｂ。设∠CDB = x°，则∵ＣD = ＡB = ＤＢ， ∴∠BCD = x°。 ∵∠ACB = 60°,∴∠ECＡ = １20°－ ｘ°。?∵∠ABＯ ＝ ∠ABD / 2 =(∠ABＣ +∠CＢD)/2 = （60°+1８0°- 2x ）/2=1２0° - x°， ∴△ＡCE ≌ △ABO ,AE= OＡ = 1. 19、已知n 为正整数，二次方程0)12(2 2 =+++n x n x 的两根为n n βα,，求下式的值: ) 1)(1(1 )1)(1(1)1)(1(120204433+++++++++βαβαβα 解:由韦达定理,有)12(+-=+n n n βα，2 n n n =βα。于是，对正整数3≥n ,有 )121(21)2(11 )12(1 11)1)(1(12 n n n n n n n n n n n n --=-=++-=+++=++βαβαβα 原式=)201181(21)4121(21)311(21-++-+- 760 531)201191211(21= --+= 2０、(本题满分8分） 解方程：}{2][2x x x +=)0(≥x （注：][x 表示实数x 的整数部分,}{x 表示x 的小数部分，如13.0}13.2{,2]13.2[==） 解:原方程可变为}{2}{][][2x x x x ++= 即][}{3x x = 因1}{0<≤x ,故3][0<≤x ，于是][x 只可能为0，1,2，且][3 4 }{][x x x x =+= 当0][=x 时,0=x ;当1][=x 时,34= x ;当2][=x 时，3 8=x 。 2１、(本题满分10分） 设绝对值小于1的全体实数的集合为S,在S 中定义一种运算“*”， 使得ab b a b a ++= *1 (1) 证明:结合律)()(c b a c b a **=**成立． (2) 证明:如果a 与b 在S 中，那么b a *也在Ｓ中．