最新2020届高三广州一模理科数学试题及参考答案
2020年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
理科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{|01,},{|2,}R R M x x x N x x x =<<∈=<∈,则( )
A .M
N M =
B .M N N =
C .M N M =
D .R M
N =
2.若复数z 满足方程2
20z +=,则3z =( ) A
.±
B
.-
C
.- D
.±
3.若直线10kx y -+=与圆2
2
2410x y x y ++-+=有公共点,则实数k 的取值范围是( ) A .[3,)-+∞
B .(,3]-∞-
C .(0,)+∞
D .(,)-∞+∞
4.已知:12p x +>,:23q x <<,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件
D .既不充分又不必要条件
5.设函数1
()2cos 2
3f x x π??=- ???,若对任意R x ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12x x -的最小
值为( ) A .
2
π
B .π
C .2π
D .4π
6.已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ,若,P Q 分别在11,AA CC 上,且1111
,33
AP AA CQ CC ==,则四棱锥B APQC -的体积为( ) A .1
6
V
B .29
V
C .13
V
D .79
V
A
B
C
C 1
B 1
A 1
P Q
7.为了让居民了解垃圾分类,养成垃圾分类的习惯,让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类:
可回收物,餐厨垃圾,有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组,其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学,有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学.现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动,则每个宣传小组至少选派1人的概率为( ) A .
514
B .
914
C .
37
D .
47
8.已知直线:2l y x =-与x 轴的交点为抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点,直线l 与抛物线C 交于,A B 两点,则AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为( ) A .8 B .6 C .5 D .4
9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1251
,43
a a a =+=,若48()N n n S a n *+∈≥,则n 的最小值为( ) A .8
B .9
C .10
D .11
10.已知点00(,)P x y 是曲线3
2
:1C y x x =-+上的点,曲线C 在点P 处的切线方程与直线811y x =-平行,则( ) A .02x = B .043
x =-
C .02x =或043
x =-
D .02x =-或043
x =
11.已知O 为坐标原点,设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点P 是双曲
线C 上位于第一象限上的点,过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线,垂足为A ,若122b F F OA =-,则双曲线C 的离心率为( ) A .
5
4
B .
43
C .
53
D .2
12.已知函数221,0
()1,0
x x x f x x x x ?--+=?-+??≥,若()()sin(2020)1F x f x x π=--在区间[1,1]-上有m 个零
点123,,,,m x x x x ,则123()()()()m f x f x f x f x ++++=( )
A .4042
B .4041
C .4040
D .4039
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.如图,如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1的圆及其圆心,则这个几何体的体积为 ,表面积为 .
14.在251(1)ax x x ??+
- ???
的展开式中,3
x 的系数是15,则实数a = . 15.已知单位向量1e 与2e 的夹角为3
π
,若向量122e e +与122e ke +的夹角为56π,则实数k 的值为
.
16.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知
1cos sin ()22
n n a a n n n n ππ
*++=-∈N ,且20191009m S +=-,10a m >,则
119
a m
+的最小值为 . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分)
ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
.已知c =
sin sin sin sin ab C
a A
b B
c C
=+-
(1)求角C 的大小; (2)求2b a +的最大值. 18.(本小题满分12分)
随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起,参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此,某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查,其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人,对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计,得到以下统计表:
(1)以这训练的天数位于该区间的概率.从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人,求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率;
(2)依据统计表,用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个,再从抽取的12个人中随机抽取3个,Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数,求Y 的分布列及数学期望()E Y . 19.(本小题满分12分)
如图1,在边长为2的等边ABC △中,,D E 分别为边,AC AB 的中点.将AED △沿DE 折起,使得
AB AD ⊥,AC AE ⊥,得到如图2的四棱锥A BCDE -,连结BD ,CE ,且BD 与CE 交于点H . (1)求证:AH ⊥平面BCDE ; (2)求二面角B AE D --的余弦值.
E C
H
B
D
A
图1
图2
20.(本小题满分12分) 已知
M
过点A
,且与22:(16N x y ++=内切,设M 的圆心M 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程;
(2)设直线l 不经过点(2,0)B 且与曲线C 相交于,P Q 两点.若直线PB 与直线QB 的斜率之积为1
2
-,判断直线l 是否过定点,若过定点,求出此定点坐标;若不过定点,请说明理由. 21.(本小题满分12分) 已知函数3
21()(4)6,()1ln 3x f x x e
x x g x a x x -?
?=-+-=--- ??
?.
(1)求函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间;
(2)用max{,}m n 表示,m n 中的最大值,()f x '为()f x 的导函数.设函数()max{(),()}h x f x g x '=,若()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围; (3)证明:
111
11
ln 3()12
313N n n n n n n
*++++
+>∈++-.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所作的第一题计分. 22.【选修4—4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy
中,曲线1C 的参数方程为31
2x t
y t
=+??
=+?(t 为参数),曲线2C 的参数方程为
x y θ
?=??
?=?
(θ为参数且3,22ππ
θ??∈ ???
). (1)求曲线1C 和2C 的普通方程;
(2)若,A B 分别为曲线12,C C 上的动点,求AB 的最小值. 23.【选修4—5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知函数()36,R f x x x a a =-+-∈.
(1)当1a =时,解不等式()3f x <;
(2)若不等式()114f x x <-对任意34,2
x ??∈--???
?
成立,求实数a 的取值范围.
2020年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
理科数学参考答案
1.答案:A
解析:{|01,},{|2,}{|22,},M x x x N x x x x x x M N ?≠=<<∈=<∈=-<<∈∴R R R ,
M N M ∴=.
2.答案:D
解析:2233
20,2,(z z z z +=∴=-===±.
3.答案:D
解析:圆的标准方程为2
2
(1)(2)4x y ++-=,圆心为(1,2)C -,半径2r =,直线10kx y -+=过定点
(0,1)P
,因为CP r =<,所以直线与圆恒有公共点,所以实数k 的取值范围是(,)-∞+∞.
4.答案:B
解析:由12x +>,得12x +<-或12x +>,解得3x <-或1x >, 因为{|23}{|3x x x x ?≠<<<-或1}x >,所以p 是q 的必要不充分条件. 5.答案:C
解析:由题可知1x 是函数()f x 的最小值点,2x 是函数()f x 的最大值点.所以12x x -的最小值为函数
()f x 半个周期,1
4,22
T T ππ==.
6.答案:B
解析:设底面正三角形的边长为a ,直三棱柱的高为h
,则2
4
V a h =
,
所以2112332189
B APQ
C V ah a a h V -??=??== ???. 7.答案:
C
解析:从10位同学中选取5人,共有5
10252C =种不同的选法,若每个宣传小组至少选派1人,则共有 2111112122332233223672108C C C C C C C C +=+=种不同的选法,则所求概率为
1083
2527
=. 8.答案:A
解析:依题可知抛物线的焦点坐标为(2,0)F ,所以4p =,将2y x =-代入2
8y x =,得
21240x x -+=,设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 中点00(,)M x y ,则1212x x +=,12
062
x x x +=
=, 则点M 到准线2x =-的距离为6(2)8--=. 9.答案:C
解析:设等差数列{}n a 的公差为d ,则251225543a a a d d +=+=
+=,解得23d =. 所以112(1)21
(1)333n n n a a n d --=+-=+=,21()123
n n n a a S n +==,由48n n S a +≥,化简得:
28200n n --≥,(2)(10)0n n +-≥,10n ≥,即n 的最小值为10.
10.答案:B
解析:令2
328y x x '=-=,得2
3280x x --=,(34)(2)0x x +-=,解得4
x =-
或2x =, 当2x =时,5y =,此时(2,5)M 11.答案:C
解析:延长2F A 交1PF 于点B ,因为
PA 是12F PF ∠的平分线且2PA F B ⊥,
可得2PB PF =,且2AB AF =, 所以OA 是12F BF △的中位线, 所以()11111
222
OA BF PF PB =
=-=又由122b F F OA =-,可得22b c =-所以223850c ac a -+=,2
385e e -+=12.答案:B
解析:()1f x x x x =-+,所以()()sin(2020)1sin(2020)F x f x x x x x x ππ=--=--为奇函数,
所以
1
0m
i
i x
==∑,显然(1)(0)(1)0F F F -===,当01x ≤≤时,由2()sin(2020)0F x x x x π=--=,
得2
sin(2020)x x x π-=,在同一坐标系中作出2
(01)y x x x =-<≤和sin(2020)(01)y x x π=<≤的
图象,sin(2020)y x π=的最小正周期1
1010
T =, 在每个区间112100910100,
,,,,10101010101010101010?
?????
???????
??
内各有2个零点, 所以两函数在区间(0,1]内共有2020个交点,即()F x 在(0,1]内共有2020个零点,由对称性,()F x 在[1,0)-内也有2020个零点,
又(0)0F =,所以4041m =,所以4041
1231
()()()()(1)4041m i f
x f x f x f x x x x =+++
+=-+=∑.
13
.答案:
3,3π(第1个空2
分,第二个空3分)
解析:该几何体是一个圆锥,其底面半径1r =,高h =
母线长2l =,体积2133
V r h π==,表面积2
3S r rl πππ=+=. 14.答案:5 解析:252525
11(1)(1)(1)ax x ax x x x x
?
?+
-=?-+?- ???, 而25(1)x -的展开式中含2x 的项为42425(1)5C x x -=,含4
x 的项为322345()(1)10C x x -=-,
所以251(1)ax x x ??+
- ??
?
的展开式中,3
x 的系数是51015a -=,解得5a =. 15.答案:10-
解析:不妨取121(1,0),,
2e e ?==
?
?,设122(2,a e e =+=,12222k b e ke ??
=+=+ ?
???
, 则3
4cos ,k k
a b a b a b
++?=
=
=?,两边平方,并整理得2
219100k k +-=, (10)(21)0k k +-=,解得10k =-或12k =
,又因为5
402
k +<,所以10k =-. 16.答案:16 解析:当2n =时,得
23231,22a a a a +=-∴+=-;当4n =时,得45451,44
a
a
a a +=+=, 23452a a a a ∴+++=,