云南省昆明市北大博雅2020-2021学年高一年级上学期期中考试数学模拟测试卷 【精品解析版】
昆明北大博雅实验中学2020-2021学年度
第一学期期中模拟数学试卷
一?选择题(本大题共12小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 设集合2{|60}A x x x =--<，{|230}B x x =->，则A B =（ ）
A. 3
,32?? ???
B. 33,2??- ??
?
C. 31,2?? ???
D. 32,2?
?- ??
?
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求出集合A ，B ，再根据交集的定义求出A B ．
【详解】解：
集合2
{|60}{|23}A x x x x x =--<=-<<，
3{|230}|2B x x x x ?
?=->=>
???
?
， 3,32A
B ??∴= ???
．
故选：A ．
【点睛】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2. 函数[]2
2,0,3y x x x =-∈的值域为（ ）
A. []0,3
B. []1,3
C. []1,0-
D. []1,3-
【答案】D 【解析】 【分析】
利用二次函数的性质即可得出答案. 【详解】
()2
2211y x x x =-=--，
∴对称轴为1x =，抛物线开口向上，
03x ≤≤，
∴当1x =时，min 1y =-，
1-距离对称轴远，
∴当3x =时，max 3y =， ∴13y -≤≤.
故选：D.
【点睛】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论
3. 函数()1
2
f x x =-的定义域为（ ） A. [)0,2
B. ()2,+∞
C. ()1,22,2???+∞????
D. ()
(),22,-∞+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据被开方数是非负数，以及分母不为零，即可容易求得结果.
【详解】由21020
x x -≥??-≠?，解得x ≥1
2且x ≠2．
∴函数()12f x x =-的定义域为()1,22,2??
?+∞????
． 故选：C .
【点睛】本题考查具体函数定义域求解，属简单题. 4. 下列各组函数中，()f x 与()g x 相等的是（ ）
A. ()3
x f x x =，()()211
x x g x x -=-
B. ()1f x x =-，()21
1
x g x x -=+
C. ()f x =()g x =
D. ()1f x x x =+，()21
x g x x
+=
【答案】D 【解析】
【分析】
同一函数的判断先看定义域，再看化简后的解析式.
【详解】选项A ，B 的定义域不同，C 选项定义域都为R ，化简后的解析式是()f x x =
=，
()g x x ==，解析式不同，
选项D 定义域相同，化简后的解析式相同 故选：D
【点睛】本题考查了同一函数的判断，较简单. 5. 若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A.
11
a b
< B.
11
a b a
>- C. 33a b < D. 22a b >
【答案】AB 【解析】 【分析】
作差法判断AB ；利用幂函数的单调性判断CD ． 【详解】
11110b a a b ab a b
--=>?>，A 不成立； ()11110a b a a a b a b a b -=
x 在
,0递减，可得22a b >，故D 成立
故选：AB ．
6. 已知函数()21f x +的定义域为()2,0-，则()f x 的定义域是（ ） A. ()2,0- B. ()4,0- C. ()3,1-
D. 1,12??
-
???
【答案】C 【解析】 【分析】
由()2,0x ∈-计算出21x +的取值范围，由此可计算出函数()f x 的定义域. 【详解】对于函数()21f x +，20x -<<，可得3211x -<+<，
因此，函数()f x 的定义域是()3,1-. 故选：C.
7. 函数()1
3x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点（ ） A. ()1,4 B. ()3,1
C. ()0,3
D. ()1,0
【答案】A 【解析】 【分析】
令10x -=，解出x 的值，代入函数()f x 的解析式，计算可得出该函数的图象所过定点的坐标.
【详解】令10x -=，可得1x =，则()0
134f a =+=，
因此，函数()1
3x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点()1,4.
故选：A.
8. 若幂函数(
)
22
23
1m m y m m x --=--在区间(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值（ ）
A. 1m =-
B. 2m =
C. 1m =-或2
D. 2
m =-或1 【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据函数是幂函数得到211m m --=，求得m 的值，再代入验证. 【详解】因为函数是幂函数，所以211m m --=， 解得：1m =-或2m =，
当1m =-时，0
1y x ==，不满足函数在区间()0,∞+是减函数，
当2m =时，3
y x -=，满足条件， 故选：B.
【点睛】本题考查幂函数，重点考查函数定义，计算，属于基础题型.
9. 已知集合{}25A x x =-≤≤，{}
121B x m x m =+≤≤-，若B A ?，则实数m 的取值
范围是（ ） A. 3m <
B. 23m ≤≤
C. 3m ≤
D.
23m <<
【答案】C 【解析】 【分析】
由B A ?，分B =?和B ≠?两种情况讨论，利用相应的不等式（组），即可求解. 【详解】由题意，集合{}
25A x x =-≤≤，{}
121B x m x m =+≤≤-，因为B A ?， （1）当B =?时，可得121m m +>-，即2m <，此时B A ?，符合题意；
（2）当B ≠?时，由B A ?，则满足121
21215m m m m +≤-??
-≤+??-≤?
，解得23m ≤≤，
综上所述，实数m 的取值范围是3m ≤. 故选：C.
【点睛】本题主要考查了了集合的包含关系求解参数的取值范围问题，其中解答中熟记集合件的基本关系，合理分类讨论列出方程组是解答的根据，着重考查分类讨论思想，以及运算能力.
10. 已知不等式20x bx c +-<的解集为{}
36x x <<，则不等式()2
120bx c x -++->的解
集为（ ） A. 1
9x x ?<
??
或}2x > B. 129x
x ??
<
x x ?<-??
或}2x >
D. 1
29x x ??-
<
?
【答案】C 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解集可得对应的一元二次方程的两根，再根据韦达定理求出,b c ，代入一元二次不等式可解得结果. 【详解】由题意，20
x bx c +-=两根为3，6，
则3636b c +=-???=-?，解得9,18.b c =-??=-?
则不等式()2
120bx c x -++->可化为291720x x -->，
解得1
9
x <-，或2x >． 故选：C ．
【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
11. “关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”的一个必要不充分条件是（ ） A. 02a << B. 103
a <<
C. 1a >或0a <
D. 01a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
利用一元二次不等式在实数集上恒成立的解法求解. 【详解】因为220x ax a -+>的解集为R ， 所以2440a a ?=-<， 解得01a <<，
所以一个必要不充分条件可以是02a <<， 故选：A
【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.
12. 已知函数2,0
()21,0
x x f x x x ?=?->?，若()1f x ，则x
取值范围是 （ ）
A. (-∞，1]-
B. [1，)+∞
C. (-∞，0][1，)+∞
D. (-∞，1][1-，)+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
根据每一段函数函数解析式，分类讨论转化()1f x ≥，即可容易求得结果.
【详解】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得()1f x 成立，
所以将原不等式转化为：0211x x >??-?或20
1
x x ???，
从而得1x 或1x -． 故选：D ．
【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，属简单题.
二?填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13. 若函数()f x 满足()2132f x x +=-，则()1f =________. 【答案】3 【解析】 【分析】
在函数()2132f x x +=-中，令211x +=，解出x 的值，代入计算可求得()1f 的值. 【详解】在函数()2132f x x +=-中，令211x +=，可得0x =， 因此，()13203f =-?=. 故答案为：3. 14. 若1a >，则1
1
a a +-的最小值是_________ 【答案】3 【解析】 【分析】
配凑目标式，再利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】1a >则10a ->，()1111311
a a a a +=-++≥--， 当2a =时取“=”
故答案为：3.
【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，属简单题.
15. 含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ??
????
，又可表示成{}
2,,0a a b +，则
20192020a b +=______________.
【答案】1- 【解析】 【分析】
根据集合相等，结合集合的互异性，即可求得,a b ，则问题得解.
【详解】要使得
b a 有意义，则0a ≠，由集合{}2
,,1,,0b a a a b a ??=+????
， 故可得0b =，此时{
}
2
{,0,1},,0a a a =， 故只需1a =或21a =，
若1a =，则集合{
}
2
,,0{1,1,0}a a =不满足互异性，故舍去. 则只能为1,0a b =-=. 则201920201a b +=-. 故答案为：1-.
【点睛】本题考查集合相等求参数，以及集合的互异性，属综合基础题. 16. 已知(31)4,1(){,1
x a x a x f x a x -+<=≥是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是
__________． 【答案】11[,)63
【解析】
由题设可得不等式组01
{310314a a a a a
<<-<-+≥，解之得1163a ≤<，应填答案11
[,)63
．
点睛：解答本题的关键是借助题设条件，建立不等式（组），容易出错的是忽视第三个不等式的建立，因为函数的单调递减很容易想到不等式组中第一与第二个，但第三个不等式更为必要，尤其是其中的等号也会考虑不到而致错．
三?解答题(本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题应写出必要的解答或证明过程)
17. 计算：（1
）1132
3
027102)20.25
927π-
-????-+ ? ????
-?. （2）2
13
2
111136
251546a b
a b a b -
--????-- ? ?????
. 【答案】（1）11
712
；（2）1624b 【解析】 【分析】 （1）利用公式()
n
m
mn a a =化简，求值；
（2）根据分数指数幂的运算公式化简. 【详解】（1）原式1
1
32
3
2
2564119274-
-
??????=--+ ? ?
???
????
11
32
32
2
3
2
5411332--
??????
????
??=--+?????? ? ? ???
??
??????????????
53
1834=--+ 11712
= ；
（2）原式()()111211226336545a b
??
------- ?????=?-?- ???
110
66
2424a b b ==
18. 设集合U 为全体实数集，{ 2 5}M x x x =|≤-≥或，121{|}N x a x a =+≤≤-. （1）若3a =，求U M
C N ；
（2）若N M ?，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）{|2x x ≤-或5}x >.； （2）(,2)[4,)-∞+∞.
【解析】 【分析】
（1）当3a =，求得集合2{|M x x =≤-或5}x ，45{|}N x x =≤≤，根据集合的运算，
即可求解；
（2）根据N M ?，分类讨论，列出不等式（组），即可求解. 【详解】（1）当3a =，集合2{|M x x =≤-或5}x ，45{|}N x x =≤≤，
可得{|4U C N x x =<或5}x >， 所以{2U x x M
C N =|≤-或5}x >.
（2）因为N M ?，
当N φ=时，可得121a a +>-，解得2a <，此时满足N M ?； 当N φ≠时，要使得N M ?，则满足121212a a a +≤-??-≤-?或121
15a a a +≤-??+≥?
，
解得φ或4a ≥，即4a ≥， 综上可得，实数a 的取值范围(,2)
[4,)-∞+∞.
【点睛】根据集合的运算结果求参数的取值范围的分法：
1、将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系，若集合中的运算能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
2、将集合之间的关系转化为解方程（组）或不等式（组）问题求解；
3、根据求解结果来确定参数的值或取值范围. 19. 已知函数()21
1
x f x x -=
+ （1）求函数的定义域；
（2）试判断函数在(1,)-+∞上的单调性，并给予证明； （3）求函数在[3x ∈，5]的最大值和最小值．
【答案】（1）{|1}x x ≠-；（2）函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数，证明见解析；（3）最大值是()352
f =，最小值是()5
34f =.
【解析】 【分析】
（1）由分母0≠求出函数的定义域；
（2）判定函数的单调性并用定义证明出来；
（3）由函数()f x 的单调性求出()f x 在[3，5]上的最值． 【详解】解：（1）函数()21
1
x f x x -=
+，10x +≠； 1x ∴≠-，
∴函数的定义域是{|1}x x ≠-；
（2）
213
()211
x y f x x x -==
=-++， ∴函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数，
证明：任取1x ，2(1,)x ∈-+∞，且12x x <， 则121233
()()(2)(2)11
f x f x x x -=-
--++ 2133
11
x x =
-++ 12123()
(1)(1)
x x x x -=
++，
121x x -<<，
120x x ∴-<，12(1)(1)0x x ++>，
12()()0f x f x ∴-<，
即12()()f x f x <，
()f x ∴在(1,)-+∞上是增函数；
（3）
()f x 在(1,)-+∞上是增函数，
()f x ∴在[3，5]上单调递增，
它的最大值是()2513
5512f ?-=
=+， 最小值是()2315
3314
f ?-=
=+． 【点睛】本题考查了求函数的定义域以及判定函数的单调性、求函数的最值问题，属于基础题．
20. 某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，
且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k ，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元. （1）求k 的值；
（2）请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应最少费用. 【答案】（1）0.05k =；（2）每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元. 【解析】 【分析】
（1）根据每批购入400台的需要支付运费和保管费共43600元可求k 的值； （2）先求解关于进货量的所支付的费用之和，结合解析式的特点求解最值即可. 【详解】（1）由题意，当每批购入400台时，全年的运费为3600
4003600400
?
=， 每批购入的电视机的总价值为4002000800000?=（元），所以保管费为800000k ?（元） 因为全年需要支付运费和保管费共43600元，所以360080000043600k +?=，解得0.05k =. （2）设每批进货x 台，则运费为36001440000
400x x
?=，保管费为0.052000100x x ?=， 所以支付运费与保管费的和为
1440000
100x x
+，
因为
144000010024000x x +≥=，当且仅当
1440000100x x =，即120x =时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000
元.
【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，构建数学模型是求解的关键，注意不等式求解最值时的条件，侧重考查数学建模的核心素养.
21. 已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==. （1）求()f x 的解析式；
（2）若()f x 在区间[]2,1a a +上不单调，求实数a 的取值范围；
（3）若()f x 在区间[1,]m -上的最小值为1，最大值为9，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）2
()243f x x x =-+；（2）1
02
a <<
；（3）13m ≤≤. 【解析】
【分析】
（1）用顶点式先设函数()f x 的解析式，再利用(0)3f =求解未知量即可； （2）只需保证对称轴落在区间内部即可；
（3）分三种情况讨论，结合二次函数的单调性，分别求出最值，再判断是否符合条件即可. 【详解】（1）
()f x 是二次函数，且(0)f f =（2）
∴对称轴为1x =，
又由函数最小值为1， 设2
()(1)1f x a x =-+， 又(0)3f =
2a ∴=
22()2(1)1243f x x x x ∴=-+=-+
（2）要使()f x 在区间[2a ，1]a +上不单调，则211a a <<+
1
02
a ∴<<
； （3）因为2
()243f x x x =-+，
所以()(1)(3)9,11f f f -===，且()f x 的对称轴为1x =，
若11m -<<，()f x 在区间[1-，]m 递减，()()()()max min ()19,11f x f f x f m f =-==>=，不合题意；
若13m ≤≤，()f x 在区间[1-，1]递减，在区间[1，]m 递增，()()min 11f x f ==，因为
()()()31f m f f ≤=-，所以()max ()19,f x f =-=符合题意；
若3m >，()f x 在区间[1-，1]递减，在区间[1，]m 递增，()()min 11f x f ==，因为
()()39f m f >=，所以()max ()9,f x f m =>不合题意； 综上，13m ≤≤.
【点睛】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论
22. 已知f(x)＝
2
4+x
x ，x∈(－2，2)． (1) 判断f(x)的奇偶性并说明理由； (2) 求证：函数f(x)在(－2，2)上是增函数； (3) 若f(2＋a)＋f(1－2a)>0，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) 见解析：(2) 见解析：(3)1,02a ??
∈- ???
【解析】
【详解】试题分析：（1）定义域 关于原点对称，同时满足f(x)=-f(-x )，所以是奇函数．（2）由定义法证明函数的单调性，按假设，作差，变形，判断，下结论过程完成．（3）由奇函数，原不等式变形为f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a －1)，再由函数单调性及定义域可知，解
不等式组可解．
试题解析：(1) 解：∵ f(－x)＝
＝－
＝－f(x)，∴ f(x)是奇函数．
(2) 证明：设x1，x2为区间(－2，2)上的任意两个值，且x1 ＝ ， 因为－2 (3) 解：因为f(x)为奇函数，所以由f(2＋a)＋f(1－2a)>0得，f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a －1)， 因为函数f(x)在(－2，2)上是增函数， 所以 即 故a ∈.