新编基础物理学第二版第二章习题解答

习题二

2-1．两质量分别为m 和M ()M m ≠的物体并排放在光滑的水平桌面上，现有一水平力F 作用在物体m 上，使两物体一起向右运动，如题图2-1所示，求两物体间的相互作用力。 若水平力F 作用在M 上，使两物体一起向左运动，则两物体

间相互作用力的大小是否发生变化？ 解：以m 、M 整体为研究对象， 有

()F m M a =+…①

以m 为研究对象，如解图2-1（a ），有

Mm F F ma -=…②

由①、②两式，得相互作用力大小

若F 作用在M 上，以m 为研究对象，如题图2-1（b ）有

Mm F ma =…………③

由①、③两式，得相互作用力大小

Mm

mF

F m M

=

+ 发生变化。 2-2. 在一条跨过轻滑轮的细绳的两端各系一物体，两物体的质量分别为M 1和M 2 ，在M 2上再放一质量为m 的小物体，如题图2-2所示，若M 1=M 2= 4m ，求m 和M 2之间的相互作用力，若M 1=5m ，M 2=3m ，则m 与M 2之间的作用力是否发生变化？

解： 受力图如解图2-2，分别以M 1、M 2和m 为研究对象，有 111T M g M a -= 又 12T T =，则

2

M m F =

1122M mg

M M m

++

当124M M m ==时 当125,3M m M m ==时

2109

M m mg F =，发生变化。

2-3.质量为M 的气球以加速度a v

匀加速上升，突然一只质量为m 的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。若气球仍能向上加速，求气球的加速度减少了多少？

题图2-2

题图2-1

解图2-1

解图2-2

解图2-3

解：设f r

为空气对气球的浮力，取向上为正。

分别由解图2-3（a ）、(b)可得 由此解得

2-4．如题图2-4所示，人的质量为60kg ，底板的质量为40kg 。人若想站在底板上静止不动，则必须以多大的力拉住绳子？ 解：设底板和人的质量分别为M ，m ，以向上为正方向，受力图如解图2-4（a ）、(b)所示，分别以底板、人为研究对象，则有

3'0T F mg +-=

F 为人对底板的压力，'F 为底板对人的弹力。有

又因为 则

人对绳的拉力为245N 。

题图2-4

解图

2-5．一质量为m 的物体静置于倾角为θ的固定斜面上。已知物体与斜面间的摩擦系数为μ。试问：至少要用多大的力作用在物体上，才能使它运动？并指出该力的方向。

解：如解图2-5建立坐标系，设x 方向沿斜面

向上为正方向。在mg r 与N r 所在的平面上加一外

力F r ，且02

πα≤≤

（若

2

π

απ<≤，此时F 偏大）则

解出 要求F 最小，则分母sin cos μαα+取极大值，所以sin cos μαα+对α求导为

零

cos sin μαα-=0 得 tan αμ= 带入上式

则

即 min 2

(cos sin )

1mg F μθθμ

-=+

此时

2-6. 一木块恰好能在倾角θ的斜面上以匀速下滑，现在使它以初速率0v 沿这一斜面上滑，问它在斜面上停止前，可向上滑动多少距离？当它停止滑动时，是否能再从斜面上向下滑动？ 解：匀速下滑时 则

tan μθ= ① 向上滑动时

sin cos mg mg ma θμθ--= ②

2

002aS -=v ③

联立求解得

当它停止滑动时，会静止，不再下滑．

2-7. 5kg 的物体放在地面上，若物体与地面之间的摩擦系数为0.30，至少要多大的力才能拉动该物体？ 解：受力分析如解图2-7所示 则

解图2-5

解图2-7

要求F 最小，则分母cos sin θμθ+取极大值

所以 cos sin θμθ+ 对θ求导为零，类似题2-5解得

tan θμ= 带入F 公式，则

2-8. 两个圆锥摆，悬挂点在同一高度，具有不同的悬线长度，若使它们运动时两个摆球离开地板的高度相同，试证这两个摆的周期相等． 证 如解图2-7所示，设两个摆的摆线长度分别为1l 和2l ，摆线与竖直轴之间的夹角分别为1θ和2θ，摆线中的张力分别为1F 和2F ，则 0cos 111=-g m F θ ①

211

1111

sin sin m F l θθ=v ②

解得

111

1

sin cos gl θθ=v

第一只摆的周期为

同理可得第二只摆的周期

由已知条件知

所以这两个摆的周期相等

2-9. 质量分别为M 和M +m 的两个人，分别拉住定滑轮两边的绳子往上爬，开始时两人与滑轮的距离

都是h 。设滑轮和绳子的质量以及定滑轮轴承处的摩擦力均可忽略不计，绳长不变。试证明，如果质量轻的人在t 秒末爬到滑轮，这时质量重的人与滑轮的距离为

212m h gt M m ??

+

?+??

（假定人和绳子之间的摩擦力是恒定的）

证明：如解图2-9（b ）、（c ），分别以M 、M+m 为研究对象，设M 、M+m 对地的加速度大小分别为1a （方向向上）、2a （方向向下），则对M ，有 则对M+m ，有 而 则

则质量重的人与滑轮的距离

（b ） (c)

解图2-9

m

m

题2-8

解图2-8

2221122m h h a t h gt M m ??

'=+=+

?+??

此题得证。 2-10.质量为110kg m =和220kg m =的两物体，用轻弹簧连接在一起放在光滑水平桌面上，以200N F =的力沿弹簧方向作用于2m ,使1m 得到加速度

21120cm s a -=?，求2m 获得的加速度大小。

解：物体的运动如解图2-10（a ），以m 1为研究对象，受力分析如解图（b ）所示，有

以m 2为研究对象，受力分析如解图（c ）所示，有

'122F F m a -=

因为 则

2-11. 在一水平的直路上，一辆汽车以v = 108 km·h ?1 的速度运行， 刹车后经 s =35m 距离而停止．如果路面相同，但有1∶15的

下降坡度，那么这辆汽车若仍以原有速度运行，则刹车后经多少距离而停止。

解： 11108km h 36m s --=?=?v 在水平的直路上刹车，摩擦力 刹车距离

在斜坡上，对汽车有 由此得 刹车距离

2-12． 如题图2-12所示，已知两物体A 、B 的质量均为 3.0kg m =，物体A 以加速度21.0m s -?运动，求物体B 与桌面间的摩擦力。（滑轮与绳子的质量不计）

解：受力分析如解图2-12所示，以A 为研究对象，其中L F 、R F 分别为滑轮左右两边绳子的拉力。有

解图2-10

题图2-12

且 L R F F = 以B 为研究对象，在水平方向上，有

L B B F f m a '-=

又

L L F F '=，2B A A 2, 1.0m s a a a -==? 联立以上各式，可解得

2-13．一质量为m 的小球最初位于如题图2-13所示的A 点，然后沿半径为r 的光滑圆轨道ADCB 下滑，试求小球到达C 点时的角速度和对圆轨道的作用力.

解：小球下滑过程机械能守恒

21

cos 2

mgr m α=

v …………① 又

,r r ωω=?=v v r r r

此时,………② 由①、②可得 法向

2

cos N mg m r

α-=v ……③

由①、③可得

2-14 摩托快艇以速率v 0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为F = ?k v 2（k 为正常数）。设摩托快艇的质量为m ，当摩托快艇发动机关闭后，

(1) 求速率v 随时间t 的变化规律。 (2) 求速度v 与路程x 之间的关系。

解 (1) 由牛顿第二定律F =ma 得

2d d k ma m t

-==v v ①

分离变量并积分，有

解图2－

（a ）

（b ）

解

图

题图2-13

(2) 将d d d d d d d d x t

t x

x

=?v v v =v 代入①式中得

2d d k m x

-=v v v

② 分离变量并积分，有 得

2-15．如题图2-15所示，A 为定滑轮，B 为动滑轮，三个物体的质量分别为1200g m =，2100g m =，350g m =. （1）求每个物体的加速度

（2）求两根绳中的张力T1F 和T2F （滑轮和绳子质量不计，绳子的伸长和摩擦力可略）。

解：如解图2-15(a)、(b)、(c)，分别是123m m m 、、的受力图。

设123B a a a a 、、、分别是123m m m 、、、B 对地的加速度；23B B a a 、分别是23m m 、对B 的加速度，以向上为正方向，可分别得出下列各式

'1111m g T m a -+=…………… ①

'2222m g T m a -+=………… ②

3233m g T m a -+=………… ③

又： 且

则2312,,B B a a a a a +==-且则

2312a a a +=-

…………④ 又

''1122T T T T ==+ …………⑤ '22T T =

…………⑥

则由①②③④⑤⑥，可得 （2）将a 3的值代入③式，可得

解图2－15

题图2-15

2-16．桌面上有一质量 1.50kg M =的板，板上放一质量为

2.45kg m =的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的摩

擦系数均为0.25. 要将板从物体下面抽出，至少需要多大的水平力？

解：由牛顿第二定律得

如题图2-16（c ），以m 为研究对象，''11,N f 分别为M 给m 的支持力、摩擦力。则有 又因为

则M m a a ≥可化为 解出

2-17．已知一个倾斜度可以变化但底边长L 不变的斜面： （1）求石块从斜面顶端无初速地滑到底所需时间与斜面倾角α之间的关系，设石块与斜面间的滑动摩擦系数为

μ；

（2）若斜面倾角为006045和时石块下滑的时间相同，问滑动摩擦系数μ为多大？

解：（1）石块其沿斜面向下的加速度为 又

21

cos 2

L s at a =

=，则： （2）当60α=?时

12cos60(sin 60cos60)

L

t g μ=

??-?，

当45α=?时 根据题意 解出

2-18，如题图2-18所示，用一穿过光滑桌面上小孔的轻绳，将放在桌面上的质点m 与悬挂着的质点M 连接起来，m 在桌面上作匀速率圆周运动，问m 在桌面上圆周运动的速率v 和圆周半径r 满足什么关系时，才能使M 静止不动？

解：如题图2-18，以M 为研究对象,有

解图2－16

解图2－17

题图2-18

'Mg T =………………①

以m 为研究对象，水平方向上，有

2

n T ma m r

==v ……②

又有

'T T =………………③ 由①、②、③可得

2-19．一质量为0.15kg 的棒球以-1040m s =?v 的水平速度飞来，被棒打击后，速度仍沿水平方向，但与原来方向成1350角，大小为-150m s =?v 。如果棒与球的接触时间为0.02s ，求棒对球的平均打击力大小及方向。 解：在初速度方向上，由动量定理有

10cos135F t m m -=?-V v v ①

在和初速度垂直的方向上，由动量定理有

2cos 45F t m =?V v ②

平均打击力

F = ③

由①②③带入数据得

arctan ?=???

?

??-15512F F 2-20. 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0kg 的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。已知此人竖直跌落的距离为 2.0m ，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s 。求安全带对人的平均冲力。

解 以人为研究对象，按分析中的两个阶段进行讨论。在自由落体过程中，人跌落2.0m 时的速度为

要缓冲过程中，根据动量定理，有 其中2=0v ，解得

2-21. 两质量均为M 的冰车头尾相接地静止在光滑的水平冰面上，一质量

为m 的人从一车跳到另一车上，然后再跳回，试证明，两冰车的末速度之比为()m M +/M 。

解：任意t 时刻，由系统的动量守恒有

所以两冰车的末速度之比

2-22．质量为m 的物体，由水平面上点O 以初速度0v 抛出，0v 与水平面成仰角α。若不计空气阻力，求：

（1）物体从发射点O 到最高点的过程中，重力的冲量； （2）物体从发射点落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。 解：（1）在竖直方向上只受到重力的作用，由动量定理有 得

方向竖直向下。

（2）由于上升和下落的时间相等，物体从发射点落回至同一水平面的过程中，重力的冲量 方向竖直向下。

2-23．一个质量为50g 的小球以速率120m s -?做平面匀速圆周运动，在1/4周期内向心力给它的冲量是多大？

解：由解图2-23可得向心力给物体的冲量大小

2-24．自动步枪连续发射时，每分钟射出120发子弹，每发子弹的质量为7.90g ，出口速率1735m s -?，求射击时枪托对肩膀的平均冲力。 解：由题意知枪每秒射出2发子弹，则由动量定理有 由牛顿第三定律有：枪托对肩膀的平均冲力

2-25. 如题图2-25所示，已知绳能承受的最大拉力为9.8N ，小球的质量为0.5kg ，绳长0.3m ，水平冲量I 等于多大时才能把绳子拉断（设小球原来静止）。

解：由动量定理有

0m I -=v ①

由牛顿第二定律有

2

F mg m l

-=v

②

由①②带入数据得

2-26. 质量为M 的木块静止在光滑的水平面桌面上，质量为m ，速度为0v 的子弹水平地射入木块，并陷在木块内与木块一起运动。求：

题图2-25

解图2－23

（1）子弹相对木块静止后，木块的速度和动量； （2）子弹相对木块静止后，子弹的动量； （3）在这个过程中，子弹施于木块的冲量。

解：（1）由于系统在水平方向上不受外力，则由动量守恒定律有 所以木块的速度 动量

（2）子弹的动量

（3）对木块由动量定理得

2-27．一件行李的质量为m ，垂直地轻放在水平传送带上，传送带的速率为v ，它与行李间的摩擦系数为μ，问： （1）行李在传送带上滑动多长时间？ （2）行李在这段时间内运动多远？ 解：（1）对行李由动量定理有 得

（2）行李在这段时间内运动的距离，由

ma mg =μ， g a μ=

得

2-28．体重为P 的人拿着重为Q 的物体跳远，起跳仰角为?，初速度为0v ，到达最高点该人将手中物体以水平向后的相对速度u 抛出，问跳远成绩因此增加多少？

解：在最高点由系统动量守恒定律有

0()cos ()P Q P Q u ?+=+-v v v ①

增加成绩

00sin (cos )

s g

?

??=-v v v ② 由①②可得

2-29. 质量为m 的一只狗，站在质量为M 的一条静止在湖面的船上，船头垂直指向岸边，狗与岸边的距离为0S ．这只狗向着湖岸在船上走过l 的距离停下来，求这时狗离湖岸的距离S （忽略船与水的摩擦阻力）． 解：设V 为船对岸的速度，u 为狗对船的速度，由于忽略船所受水的阻力，狗与船组成的系统水平方向动量守恒 即

船走过的路程为 狗离岸的距离为

2-30 一物体在介质中按规律2x ct =作直线运动，c 为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由x 0=0运动到x =l 时，阻力所做的功。（已知阻力系数为k ）

解 由运动学方程2x ct =，可得物体速度 物体所受阻力大小为 阻力做的功为

2-31．一辆卡车能沿着斜坡以115km h -?的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tan 0.02α=，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，则卡车的速率是多少？ 解：如解图2-31所示，由于斜坡角度很小所以有 且阻力

上坡时牵引力为 下坡时牵引力为

由于上坡和下坡时功率相同，故 所以

2-32．某物块重量为P ，用一与墙垂直的压力N F 使其压紧在墙上，墙与物块间的滑动摩擦系数为μ，试计算物块沿题图2-32所示的不同路径：弦AB ，劣弧AB ，折线AOB 由A 移动到B 时，重力和摩擦力的功。已知圆弧半径为r 。 解：重力是保守力，而摩擦力是非保守力，其大小为

f N μ=。

（1） 物块沿弦AB 由A 移动到B 时，重力的功 摩擦力的功

（2） 物块沿圆弧AB 由A 移动到B 时，重力的功 摩擦力的功

?21

2

f W f AB Nr πμ=?= 2

（3） 物块沿折线AOB 由A 移动到B 时，重力的功

解图2-31

题图2-32

3G W mgh Pr ==。

摩擦力的功

2-33．求把水从面积为250m 的地下室中抽到街道上来所需做的功。已知水深为1.5m ，水面至街道的竖直距离为5m 。

解：如解图2-33以地下室的O 为原点，取x 坐标轴向上为正，建立坐标轴。

选一体积元d d V S x =，则其质量为

d d d m p V pS x ==。

把d m 从地下室中抽到街道上来所需做的功为 故

2-34．一人从10 m 深的井中提水．起始时桶中装有10 kg

的水，桶的质量为1 kg ，由于水桶漏水，每升高1 m 要漏去0.2 kg 的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功．

解：选竖直向上为坐标y 轴的正方向，井中水面处为坐标原点. 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F 等于水桶的重量，即 人的拉力所做的功为 0d d H

W W F y ==??＝

10

(107.8 1.96)d =980 (J)y y -?

2-35．一质量为m 、总长为l 的匀质铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂。试求铁链滑离桌面边缘时重力所做的功。 解： 选一线元d x ，则其质量为

d d m

m x l

=。

铁链滑离桌面边缘过程中，OA 段的重力做的功为

OB 段的重力的功为

故总功

2-36．一辆小汽车，以i =r

v v v 的速度运动，受到的空气阻力近似与速率的

平方成正比，2

F A i =-r r v ，A 为常量，且220.6N s m A -=??。

（1）如小汽车以180km h -?的恒定速率行驶1km ，求空气阻力所做的功； （2）问保持该速率,必须提供多大的功率？ 解：（1）小汽车的速率为

解图2-33

解图2-35

空气阻力为

则空气阻力所做的功 （2）功率为

2-37．一沿x 轴正方向的力作用在一质量为3.0kg 的质点上。已知质点的运动方程为2334x t t t =-+，这里x 以m 为单位，时间t 以s 为单位。试求： （1）力在最初4.0s 内做的功； （2）在=1s t 时，力的瞬时功率。 解：(1) 2d ()383d x

t t t t

==-+v 则

由功能原理，得 (2) d ()68d a t t t

=

=-v

1t s =时

则瞬时功率

2-38．质量为m 的物体置于桌面上并与轻弹簧相连，最初m 处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度0v 向右运动，弹簧的劲度系数为k ，物体与支承面间的滑动摩擦系数为μ，求物体能达到的最远距离。

解：设物体能达到的最远距离为(0)x x >根据机械能守恒定律，有 即 解得

2-39. 质量为3.0kg 的木块静止在水平桌面上，质量为5.0g 的子弹沿水平方向射进木块。两者合在一起，在桌面上滑动25cm 后停止。木块与桌面的摩擦系数为0.20，试求子弹原来的速度。

解：在子弹沿水平方向射进木块的过程中，由系统的动量守恒有

0()M M m =+v v

①

一起在桌面上滑动的过程中，由系统的动能定理有

21

()()2

M m M m gl μ+=+v ②

由①②带入数据有

2-40. 光滑水平平面上有两个物体A 和B ，质量分别为A m 、B m 。当它们分

m

解图2-38

别置于一个轻弹簧的两端，经双手压缩后由静止突然释放，然后各自以A v 、

B v 的速度做惯性运动。试证明分开之后，两物体的动能之比为：

A B

B A

k k E m E m =。 解：由系统的动量守恒有

所以

物体的动能之比为

2-41．如题图2-41所示，一个固定的光滑斜面，倾角为θ，有一个质量为m 小物体，从高H 处沿斜面自由下滑，滑到斜面底C 点之后，继续沿水平面平稳地滑行。设m 所滑过的路程全是光滑无摩擦的，试求： （1）m 到达C 点瞬间的速度； （2）m 离开C 点的速度； （3）m 在C 点的动量损失。 解：（1）由机械能守恒有 带入数据得 方向沿AC 方向

（2）由于物体在水平方向上动量守恒，所以

cos c m m θ=v v ，

得

方向沿CD 方向。

（3）由于受到竖直的冲力作用，m 在C 点损失的动量 方向竖直向下。

2-42.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm ，问击第二次时能击入多深？(假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。) 解：设铁钉进入木板内x 时，木板对铁钉的阻力为 由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故 解得

所以，第二次时能击入

(21)cm -深。

题图2－41

2-43．从地面上以一定角度发射地球卫星，发射速度

v应为多大才能使卫

星在距地心半径为r的圆轨道上运转？

解：设卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转速度为v, 地球质量为M, 半

径为

e

R,卫星质量为m.

根据机械能守恒，有

又由卫星圆周运动的向心力为

卫星在地面附近的万有引力即其重力，故

联立以上三式，得

2-44．一轻弹簧的劲度系数为1

100N m

k-

=?，用手推

一质量0.1kg

m=的物体A把弹簧压缩到离平衡位置

为

10.02m

x=处，如题图2-44所示。放手后，物体

沿水平面移动距离

20.1m

x=而停止，求物体与水平

面间的滑动摩擦系数。

解：物体沿水平面移动过程中，由于摩擦力做负功，致使系统（物体与弹簧）的弹性势能全部转化为内能（摩擦生热）。

根据能量关系，有

所以

2-45．一质量0.8kg

m=的物体A，自2m

h=处落到弹簧上。当弹簧从原长

向下压缩

00.2m

x=时，物体再被弹回，试求弹簧弹回至下压0.1m时物体的速度。

解：如解图2-45所示，设弹簧下压0.1m时物体的速度为v。把物体和弹簧看作一个系统，整体系统机械能守恒，选弹簧从原长向下压缩

x的位置为重力势能的零点。

当弹簧从原长向下压缩

00.2m

x=时，重力势能完全转化为弹

性势能，即

当弹簧下压0.1m

x=时，

所以

2-46．长度为l的轻绳一端固定，一端系一质量为m的小球，绳的悬挂点正下方距悬挂点的距离为d处有一钉子。小球从水

平位置无初速释放，欲使球在以钉子为中心的圆周

上绕一圈，试证d至少为0.6l。

证：如解图2-46所示，小球运动过程中机械能守恒，

解图2-45

解图2-46

题图2-44

选择小球最低位置为重力势能的零点。设小球在A 处时速度为v ，则 又小球在A 处时向心力为

其中，绳张力为零时等号成立。联立以上两式，解得 2-47．弹簧下面悬挂着质量分别为1m 、2m 的两个物体，开始时它们都处于静止状态。突然把1m 与2m 的连线剪断后，1m 的最大速率是多少？设弹簧的劲度系数18.9N m k -=?，而

12500,300m g m g ==。

解：如解图2-47所示，设连线剪断前时弹簧的伸长为x ，取此位置为重力势能的零点。1m 系统达到平衡位置时弹簧的伸长为

x ',根据胡克定律，有

系统达到平衡位置时，速度最大，设为v 。由机械能守恒，得 联立两式，解之

2-48 质量m 1= 2.0×10?2

kg 的子弹，击中质量为 m 2=10

kg 的冲击摆，使摆在竖直方向升高h = 7×10?2 m ，子弹嵌入其中，问： (1)子弹的初速度0v 是多少？

(2)击中后的瞬间，系统的动能为子弹初动能的多少倍？ 解 (1) 动量守恒

子弹和冲击摆一起上升h 高过程机械能守恒 由上两式可解得

(2) 子弹的初动能 击中后的瞬间，系统的动能

2-49 一劲度系数为k 的轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端系一质量为m A 的物体A ，

放在光滑水平面上。当把弹簧压缩x 0后，再紧

靠着A 放一质量为m B 的物体B ，如题图2-49所示。开始时，由于外力的作用系统处于静止，若除去外力，试求B 与A 离开时B 运动的速度和A 能到

解图2-47

题图2-49

达的最大距离。

解 选弹簧处于自然长度时，物体A 的位置为坐标原点O ，向右为x 轴正方向。系统的机械能守恒，且A 、B 离开时恰好是A 处于原点处，因此

此时B 的速度

分离后，物体A 继续向右运动A 和弹簧组成系统机械能守恒，且A 达到最大距离时其速度为零。 解得

2-50．地球质量为246.010kg ?，地球与太阳相距111.510m ?，视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。 解：

111124402122 1.5101.510 6.010 2.6810(kg m s )365246060

r L rm rm T ππ-??===???=??????v

2-51．我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度439km d =近，远地点高度2384km d =远，地球半径6370km R =地，求卫星在近地点和远地点的速度之比。

解：角动量守恒 所以

2-52．一个具有单位质量的质点在力场2(34)(126)F t t i t j =-+-r r r

中运动，式

中t 为时间，设该质点在0t =时位于原点，且速度为零，求2t =s 时该质点受到的对原点的力矩和该质点对原点的角动量。 解：对质点由牛顿第二律得

又因为d d a t

=v v v

所以

得

同样由d d r

t

=r v v 得

所以t=2时

2-53. 一质量为m 的粒子位于（x, y ）处，速度为x y i j =+r r v

v v v ，并受到一

个沿x 方向的力f ，求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。 解：角动量

力矩

2-54．电子的质量为319.110kg -?，在半径为115.310m -?的圆周上绕氢核作匀速率运动。已知电子的角动量为2h

π

（h 为普朗克常量, 346.6310J s)h -=??，求其角速度。

解：由角动量定义 2L r m ω=得

2-55．在光滑的水平桌面上，用一根长为l 的绳子把一质量为m 的质点联结到一固定点O . 起初，绳子是松弛的，质点以恒定速率0v 沿一直线运动。质点与O 最接近的距离为b ，当此质点与O 的距离达到l 时，绳子就绷紧了，进入一个以O 为中心的圆形轨道。

（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。并回答能量到哪里去了？ （2）当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动，绳断后质点对O 的角动量如何变化？ 解：（1）当质点做圆周运动时，质点角动量守恒 可得其速度

所以最终动能与初始动能之比

其他能量转变为绳子的弹性势能，以后转化为分子内能.

（2）绳子断后，质点将按速度0b l

=v v 沿切线方向飞出，做匀速直线运动质点对0点的角动量

0J m b ==v 恒量。

2-56．A 、B 两个人溜冰，他们的质量各为70kg ，各以14m s -?的速率在相距1.5m 的平行线上相对滑行。当他们要相遇而过时，两人互相拉起手，因而绕他们的对称中心做圆周运动，如题图2-56所示，将此二人作为一个系统，求： （1）该系统的总动量和总角动量； （2）开始作圆周运动时的角速度 解：（1）系统的总动量 总角动量

（2）作圆周运动时的角速度

2-57人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，若不计空气阻力和其他星球的作用，在卫星运行过程中，卫星的动量和它对地心的角动量都守恒吗？为什么？

答：人造卫星的动量不守恒，因为它总是受到外力──地球引力的作用．人造卫星对地心的角动量守恒，因为它所受的地球引力通过地心，而此力对地心的力矩为零。

题图2-56