华南理工大学信号与系统实验2

信号与系统实验报告书题目：信号与系统实验二

学院电子与信息学院

专业班级电子科学与技术（卓越班）

学生姓名陈艺荣

学生学号201530301043

指导教师杨俊美

课程编号

课程学分

起始日期2017.04.22-2017.05.11

目录

1.实验目的 (2)

2.实验原理 (2)

2.1.四种信号的频谱函数 (2)

2.2.四种信号的频谱函数之间的相互关系 (2)

2.3.DFT分析离散信号频谱原理 (3)

2.4.DFT分析连续信号频谱原理........................................................错误！未定义书签。

3.实验题目 (3)

4.实验结果 (5)

4.1.问题1实验结果 (5)

4.2.问题2实验结果 (7)

4.3.问题3实验结果 (10)

4.4.问题4实验结果 (10)

4.5.问题5实验结果 (11)

5.实验思考 (14)

5.1.思考题1 (14)

5.2.思考题2 (14)

5.3.思考题3 (15)

5.4.思考题4 (15)

6.附录 (15)

6.1.问题1实现代码 (15)

6.2.问题2实现代码 (16)

6.3.问题3实现代码 (18)

6.4.问题4实现代码 (18)

6.5.问题5实现代码 (19)

信号与系统实验二

1.实验目的

应用离散傅里叶变换(DFT)，分析离散信号x[k]的频谱。深刻理解DFT 分析离散信号

频谱的原理，掌握改善分析过程中产生的误差的方法。

2.实验原理

2.1.四种信号的频谱函数

根据信号傅里叶变换建立的时域与频域之间的对应关系，可以得到有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)与四种确定信号傅里叶变换的之间的关系，实现由DFT 分析其频谱。四种信号的频谱函数如表1所示。

表1四种信号的频谱函数

信号

频谱函数连续非周期信号x(t)j (j )() e d t X x t t ωω+∞--∞=

?连续周期信号 ()x

t 00j 001()() e d n t T X n x t t T ωω-<>=? 离散非周期信号x[k]Ω∞-∞=Ω?=

∑k k k x e X j -j e

][)(离散周期信号 []x k mk N

N k k x m X π2j -1

0e ][~][~?=∑-=2.2.四种信号的频谱函数之间的相互关系

信号的傅里叶变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应关系，如果信号在时域存在某种联系，则在其频谱函数之间必然存在联系。

若离散非周期信号x[k]是连续非周期信号x(t)的等间隔抽样序列，则信号x[k]的频谱函数是信号x(t)的频谱函数的周期化；

若离散周期信号[]x

k 是离散非周期信号x[k]的周期化，则信号的频谱函数是信号的频谱函数的离散化。

连续周期信号相对于离散周期信号，连续非周期信号相对于离散非周期信号，都可以

通过时域抽样定理建立相互关系。因此，在离散信号的DFT 分析方法基础上，增加时域抽样的步骤，就可以实现连续信号的DFT 分析。

2.3.DFT 分析离散信号频谱原理

（1）利用DFT 可以直接计算离散周期信号的频谱，数学原理见（1）式

2π1-j 0[][]e

, 0,1,,1N k X m x k m N -==?=-∑ (1)

（2）Matlab 中提供了fft 函数，FFT 是DFT 的快速算法

X=fft(x)：用于计算序列x 的离散傅里叶变换（DFT ）

X=fft(x,n)：对序列x 补零或截短至n 点的离散傅里叶变换。

当x 的长度小于n 时，在x 的尾部补零使x 的长度达到n 点；

当x 的长度大于n 时，将x 截短使x 的长度成n 点；

x=ifft(X)和x=ifft(X ，n)是相应的离散傅里叶反变换。

fftshift(x)将fft 计算输出的零频移到输出的中心位置。

（3）利用DFT 计算离散周期信号[]x

k 的频谱，分析步骤为：(1)确定离散周期序列[]x

k 的基本周期N ；(2)利用fft 函数求其一个周期的DFT ，得到X[m];

(3)[][]X

m X m = 。（4）利用DFT 计算离散非周期信号x[k]的频谱，分析步骤为：

(1)确定序列的长度M 及窗函数的类型。当序列为无限长时，需要根据能量分布，进行截短。

(2)确定作FFT 的点数N ；根据频域取样定理，为使时域波形不产生混叠，必须取N M ≥。

(3)使用fft 函数作N 点FFT 计算X[m]。

3.实验内容

1.利用FFT 分析信号3π[]cos(), 0,1,318

x k k k == 的频谱；(1)确定DFT 计算的参数；

(2)进行理论值与计算值比较，讨论信号频谱分析过程中误差原因及改善方法。

2.利用FFT 分析信号12[]([]k x k u k =的频谱；

(1)确定DFT 计算的参数；

(2)进行理论值与计算值比较，讨论信号频谱分析过程中误差原因及改善方法。3.有限长脉冲序列[][2,3,3,1,0,5;0,1,2,3,4,5]x k k ==，利用FFT 分析其频谱，并绘出其幅度谱与相位谱。

4.某周期序列由3个频率组成：7π9ππ[]cos(

)cos()cos()16162x k k k =++，利用FFT 分析其频谱。如何选取FFT 的点数N ？此3个频率分别对应FFT 计算结果X[m]中的哪些点？若选取的N 不合适，FFT 计算出的频谱X[m]会出现什么情况？

5.某离散序列2π 2.3π[]cos(

)0.75cos(),0631515x k k k =+≤≤，利用FFT 分析其频谱。(1)对x[k]做64点FFT ，绘出信号频谱，能分辨出其中的两个频率吗？

(2)对x[k]补零到256点后计算FFT ，能分辨出其中的两个频率吗？

(3)选用非矩形窗计算FFT ，能够分辨出其中的两个频率吗？

(4)若不能够很好地分辨出其中的两个频谱，应采取哪些措施？

6.已知序列2(0.1)2e

,50[]0,others

k k x k -??≤=???利用FFT 分析下列信号的幅频特性，频率范围为[,)ππΩ∈-，N=500点。

(1)[][2]

y k x k =(2)[][4]

g k x k =(3)若将上述x[k]乘以cos(k/2)π，重做(1)和(2)。

4.实验结果

4.1.问题1实验结果

图1问题1实验结果（N=32）

图2问题1实验结果（N=16）

图3问题1实验结果（N=64）

(1)对于非周期连续信号，时域取样定理：2s m f f ≥。频域取样定理：一个时间受限的信号

其长度为2τ在频域取样间隔12o f <条件下,能够从样点集合完全恢复原来信号的频谱。本题3()cos()8

x n n π=为周期信号，无直流分量，所以取样点数可为2*N=32,但必须保证都是独立的样点。从取样点数N=32和N=16可以看出，取样点数的不同，会造成频率谱和相位谱的不同。当N=16时，n=3或-3时有幅度值，而在N=32时，n=-10和22时有幅度值，在N=64时，n=-20和44时有幅度值，得到在N=32时，其频谱已经和N=64时一致（刚好成2倍关系），且N=16时已经产生混频现象。

综上所述，本题比较合适的取样点数可为32。

(2)在频谱分析过程中由于取样频率过低或者由于信号的截取长度不当将会产生误差。取样频率过低,可能会产生混频现象，可以适当提高取样率（如将N 从16提高到32甚至

64），增加样点数，来减少混叠对频谱分析所造成的误差。截取信号长度不当，会产生功率泄露，对周期序列进行频谱分析时，为避免泄露应做到：截取的长度应取一个基本周期

或基本周期的整数倍，若待分析的周期信号事先不知道其确切的周期，则可截取较长时间长度的样点进行分析，以减少功率泄露误差。当然，必须在取样频率满足取样定理的条件下进行，否则混叠与泄露同时存在给频谱分析造成困难。

4.2.问题2实验结果

问题2分别选取N=20、40、80进行测试：

图4问题2实验结果（N=20）

图5问题2实验结果（N=40）

图6问题2实验结果（N=80）信号12[]()[]k x k u k 是离散非周期信号，且为无限长的信号。根据理论分析，一个时间

有限的信号其频谱宽度为无限，一个时间无限的信号其频带宽度则为有限，因此，对一个时间有限的信号，应用DFT 进行分析，频谱混叠难以避免。对一个时间无限的信号虽然频带有限，但在时间运算中，时间长度总是取有限值，所以频谱泄露难以避免。当原始信号事有限长，截取的长度等于原始信号的长度，则可以不考虑泄露的影响。当原始的非周期信号为无限长或比较长，而截取的长度有限或不等于原始信号的长度，则需考虑频谱泄露引起的不良影响。

在实验中采用先画出信号的部分序列（当N 大于等于），然后使用试探法，比较图4、图5、图6，最终得到比较适合的采样长度N=40。

4.3.问题3实验结果

图7问题3实验结果图4.4.问题4实验结果

图8问题4实验结果

x[k]的基波周期为N=32。故取N为32的整数倍，这里取N=64，幅度谱在m=±9、±8、±7依次对应cos(9kπ/16)、cos(kπ/2)cos(7kπ/16)。只要N取基波周期的整数倍，就能得到正确的结果。如果截取信号长度不当，会产生功率泄露，对周期序列进行频谱分析时，为避免泄露应做到：截取的长度应取一个基本周期或基本周期的整数倍，若待分析的周期信号事先不知道其确切的周期，则可截取较长时间长度的样点进行分析，以减少功率泄露误差。当然，必须在取样频率满足取样定理的条件下进行，否则混叠与泄露同时存在给频谱分析造成困难。

4.5.问题5实验结果

图9问题5实验结果（N=64）

1、对x[k]做64点FFT，绘出信号频谱，不能分辨出其中的两个频率。假设号离散序

列

2π 2.3π

[]cos()0.75cos(),063

1515

x k k k k

=+≤≤，以fs=15Hz进行取样得来的，则△f=（2.3-2）

π/2π=0.15Hz,根据公式：N≥fs/△f得N最小应该为100.

图10问题5实验结果（N=256）

2、时域补零的结果L的数量增加到256，原本的频域N为64，因为L要小于等于N，所以此时的N要扩大为256，致使频域的样点数也增加，所以此时采取时域补零的方法能提高频率分辨力。但如果是在时域补零法得到的L的个数仍小于频域样点数N，则时域补零法并没有增加信息量，增加后但在频域的N并没有变化，所以采取时域补零的方法不能提高频率分辨力，因为分辨力主要取决于频域样点数N的变化。

3、若选用非矩形窗，因为滤波器不理想，通带至阻带有衰减过度，信号经过其滤波作用后两个信号的频谱分离得并不明显，也就很难分辨出两个频率了。

4、可以提高取样频率，增加频域的取样点数。当然，如果在T不变条件下，真正增加时域取样长度L，使提供所载荷的信息量增加，功率泄露减少，也会在一定程度上改善频率分辨力，但这不是通过补零使时域长度延长的结果，因为补零不增加信息量。

4.6.问题6实验结果

第（1）和第（2）问结果如下图11：

图11问题6实验结果(1)(2)问

第（3）问结果如下图12：

图12问题6实验结果第(3)问

5.实验思考

5.1.思考题1

1.既然可直接由DTFT定义计算序列DTFT，为何利用DFT分析序列的频谱？不用作答

5.2.思考题2

2.若序列持续时间无限长，且无解析表达式，如何利用DFT分析其频谱？

不用作答

5.3.思考题3

3.在利用DFT分析离散信号频谱时，会出现哪些误差？如何克服或改善？不用作答

5.4.思考题4

4.在利用DFT分析离散信号频谱时，如何选择窗函数？

不用作答

5.5.思考题5

5.序列补零和增加序列长度都可以提高频谱分辨率吗？两者有何本质区别？不用作答

6.附录

6.1.问题1实现代码

%shiyan2_1.m信号与系统实验二第1题MATLAB求解

%题目说明题目要求利用FFT分析离散周期信号的频谱

%N离散k点的总个数

%k离散时间点

%x题目给定信号

%X傅里叶变换结果

%Chen Yirong修改于2017-05-10

%代码编辑matlab版本：MATLAB R2014a

clear,clc;%刷新工作区

%--------函数主体--------%

%离散傅里叶变换,N=32

figure('Name','N=32','Position',[60,80,600,600]);%创建第1个显示图形的窗口N=32;%N个离散时间点

k=0:N-1;

x=cos(3*pi/8*k);%题目给定信号

X=fft(x,N);%计算序列x的离散傅里叶变换

%绘图

subplot(2,1,1);

stem(k-N/2,abs(fftshift(X)));%绘制幅度频谱

title('N=32');

ylabel('Magnitude');

xlabel('Frequency(rad)');

subplot(2,1,2);

stem(k-N/2,angle(fftshift(X)));%绘制相位频谱

ylabel('Phase');

xlabel('Frequency(rad)');

%离散傅里叶变换,N=16

figure('Name','N=16','Position',[350,80,600,600]);%创建第2个显示图形的窗口N=16;%N个离散时间点

k=0:N-1;

x=cos(3*pi/8*k);%题目给定信号

X=fft(x,N);%计算序列x的离散傅里叶变换

%绘图

subplot(2,1,1);

stem(k-N/2,abs(fftshift(X)));%绘制幅度频谱

ylabel('Magnitude');

xlabel('Frequency(rad)');

title('N=16');

subplot(2,1,2);

stem(k-N/2,angle(fftshift(X)));%绘制相位频谱

ylabel('Phase');

xlabel('Frequency(rad)');

%离散傅里叶变换,N=64

figure('Name','N=64','Position',[700,80,600,600]);%创建第3个显示图形的窗口N=64;%N个离散时间点

k=0:N-1;

x=cos(3*pi/8*k);%题目给定信号

X=fft(x,N);%计算序列x的离散傅里叶变换

%绘图

subplot(2,1,1);

stem(k-N/2,abs(fftshift(X)));%绘制幅度频谱

title('N=64');

ylabel('Magnitude');

xlabel('Frequency(rad)');

subplot(2,1,2);

stem(k-N/2,angle(fftshift(X)));%绘制相位频谱

ylabel('Phase');

xlabel('Frequency(rad)');

%--------函数主体--------%

6.2.问题2实现代码

%shiyan2_2.m信号与系统实验二第2题MATLAB求解

%题目说明题目要求利用FFT分析离散非周期信号的频谱

%k离散时间点

%N离散k点的总个数

%x原始信号

%Chen Yirong修改于2017-05-10

%代码编辑matlab版本：MATLAB R2014a

clear,clc;%刷新工作区

%--------函数主体--------%

%离散傅里叶变换,N=20

figure('Name','N=20','Position',[60,80,600,600]);%创建第1个显示图形的窗口N=20;

k=0:N;

x=0.5.^k;

subplot(2,1,1);

stem(k,x);%画出序列的时域波形

title('时域波形');

subplot(2,1,2);

w=k-N/2;

plot(w,abs(fftshift(fft(x))));%画出序列频谱的幅度谱

title('幅度谱(N=20)');

%离散傅里叶变换,N=40

figure('Name','N=40','Position',[350,80,600,600]);%创建第2个显示图形的窗口N=40;

k=0:N;

x=0.5.^k;

subplot(2,1,1);

stem(k,x);%画出序列的时域波形

title('时域波形');

subplot(2,1,2);

w=k-N/2;

plot(w,abs(fftshift(fft(x))));%画出序列频谱的幅度谱

title('幅度谱(N=40)');

%离散傅里叶变换,N=80

figure('Name','N=80','Position',[700,80,600,600]);%创建第3个显示图形的窗口N=80;

k=0:N;

x=0.5.^k;

subplot(2,1,1);

stem(k,x);%画出序列的时域波形

title('时域波形');

subplot(2,1,2);

w=k-N/2;

plot(w,abs(fftshift(fft(x))));%画出序列频谱的幅度谱

title('幅度谱(N=80)');

%--------函数主体--------%

6.3.问题3实现代码

%shiyan2_3.m信号与系统实验二第3题MATLAB求解%题目说明题目要求

%k离散时间点

%N离散k点的总个数

%x原始信号

%Chen Yirong修改于2017-05-10

%代码编辑matlab版本：MATLAB R2014a

clear,clc;%刷新工作区

%--------函数主体--------%

N=6;

k=0:N-1;

x=[2,3,3,1,0,5];

subplot(3,1,1);

stem(k,x);%绘制信号波形

ylabel('x');

xlabel('k');

subplot(3,1,2);

w=k;

plot(w,abs(fftshift(fft(x))));%绘制幅度频谱

ylabel('Magnitude');

xlabel('Frequency');

subplot(3,1,3);

plot(w,angle(fftshift(fft(x))));%绘制相位频谱

ylabel('Phase');

xlabel('Frequency');

%--------函数主体--------%

6.4.问题4实现代码

%shiyan2_4.m信号与系统实验二第4题MATLAB求解

%题目说明题目要求

%k离散时间点

%N离散k点的总个数

%x原始信号

%Chen Yirong修改于2017-05-10

%代码编辑matlab版本：MATLAB R2014a

clear,clc;%刷新工作区

%--------函数主体--------%

N=64;%修改此处,改变取样长度

n=0:N-1;

w=-N/2+1:N/2;

x=cos(pi*7/16*n)+cos(pi*9/16*n)+cos(pi*1/2*n);

X=fft(x,N);

subplot(2,1,1);

stem(w,abs(fftshift(X)));

title('问题4实验结果');

ylabel('Magnitude');

xlabel('Frequency(rad)');

subplot(2,1,2);

stem(w,angle(fftshift(X)));

ylabel('Phase');

xlabel('Frequency(rad)')

%--------函数主体--------%

6.5.问题5实现代码

%shiyan1_5.m信号与系统实验二第5题MATLAB求解

%题目说明题目要求

%k离散时间点

%Chen Yirong修改于2017-04-14

%代码编辑matlab版本：MATLAB R2014a

clear,clc;%刷新工作区

%--------函数主体--------%

%对x[n]做64点FFT

N=64;

n=0:N-1;

x=cos(pi*2/15*n)+0.75*cos(2.3*pi/15*n);

X=fft(x,N);

figure('Name','N=64','Position',[60,80,600,600]);%创建第1个显示图形的窗口