2020届高三数学(理)“小题精练”21

2020届高三数学（理）“小题速练”21

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知集合A ＝{x |x －1>0}，B ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，2] B.(1，2) C ．(1，＋∞)

D.(2，＋∞)

2．已知向量a ＝(2m －1，m )，b ＝(3，1)，若a ∥b ，则a ·b ＝( ) A ．1 B.－1 C ．－10

D.±1

3．已知α是第二象限角，若sin ????π2－α＝－1

3，则sin α＝( )

A ．－2 2

3

B.－13

C.13

D.2 23

4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3与a 8的等差中项为10，则S 10＝( ) A ．200 B ．100 C ．50

D ．25

5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题的个数是( ) ①若m ?α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；

③若α∩β＝n 且m ∥n ，则m ∥α，且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. A ．3 B ．2 C ．1

D ．0

6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )

A ．11

B.9

7．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件

8．双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线的离心率为( )

A.233

B.

63

C.62

D.2

9.我国明代著名乐律学家朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个c 1键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为

12

2的等比数列的原理，也即高音c

的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音a 1的频率为440 Hz ，那么频率为220 2 Hz 的音名是( )

A ．d

B ．c

C ．#d

D ．f

10．已知点P 为直线l ：x ＝－2上任意一点，过点P 作抛物线y 2＝2px (p >0)的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )

A ．2 B.p 2

4 C ．p 2 D.4

11．函数f (x )＝(x 2－4x ＋1)·e x 的大致图象是( )

12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为34

(a 2＋c 2

－b 2)，周长为6，则b 的最小值是( )

C ．3

D ．4 33

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．若????x －4

x n

的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为________．

14．某公司招聘员工，以下四人中只有一人说真话，只有一人被录取．甲说：“我没有被录用”；乙说：“丙被录用”；丙说：“丁被录用”；丁说：“我没有被录用”．根据以上条件，可以判断被录用的人是________．

15．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为________．

16．(2019·河南名校联考改编)已知六棱锥P -ABCDEF ，底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面的射影为其中心．将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形ABCDEF 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为________，此时正六边形的边长为________．

2020届高三数学（理）“小题速练”21（答案解析）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知集合A ＝{x |x －1>0}，B ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，2] B.(1，2) C ．(1，＋∞)

D.(2，＋∞)

解析：选B 依题意A ＝{x |x >1}．由2－x >0，解得x <2，所以B ＝{x |x <2}，则A ∩B ＝{x |1

D.±1

解析：选C 由a ∥b 得2m －1－3m ＝0，解得m ＝－1，即a ＝(－3，－1)，则a ·b ＝－3×3＋1×(－1)＝－10.故选C.

3．已知α是第二象限角，若sin ????π2－α＝－1

3，则sin α＝( )

A ．－2 2

3

B.－13

C.13

D.2 23

解析：选D 由sin ????π2－α＝－13，得cos α＝－1

3.又α是第二象限角，则sin α＝

1－cos 2α＝22

3

.故选D.

4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3与a 8的等差中项为10，则S 10＝( ) A ．200 B ．100 C ．50

D ．25

解析：选B 由a 3与a 8的等差中项为10得a 3＋a 82＝10，则a 3＋a 8＝a 1＋a 10＝20，故S 10＝10（a 1＋a 10）2＝

10×20

2＝100.故选B.

5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题的个数是( ) ①若m ?α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；

③若α∩β＝n 且m ∥n ，则m ∥α，且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β.

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

解析：选C 对于①，若m ?α，n ∥α，则m 与n 平行或异面，故不正确；对于②，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交或平行，故不正确；对于③，若α∩β＝n ，m ∥n ，则m 也可能在平面α或β内，故不正确；对于④，垂直于同一直线的两平面平行，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，故④正确．综上，是真命题的只有④.故选C.

6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )

A ．11 B.9 C ．7

D.5

解析：选C 执行程序，n ＝1，S ＝0，判断为否，S ＝0＋11×3＝12·????1－13＝13，n ＝3；判断为否，S ＝12????

1－13＋13－15＝25，n ＝5；判断为否，S ＝1

2????1－13＋13－15＋15－17＝37

，n ＝7；判断为是，退出循环，输出n ＝7.故选C. 7．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选A 当a ＝b ＝1

时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i

时，可得?

????a 2－b 2＝0，

ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b

＝－1.所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．故选A.

8．双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线的离心率为( )

A.233

B.63

C.62

D.2

解析：选A 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，不妨取直线y ＝b a x ，则圆心(2，0)到直线y ＝b a x 的距离为|2b |

a 2＋

b 2

＝

1，平方得

a 2＋

b 2＝4b 2，即a 2＝3b 2.由e 2＝

c 2a 2＝1＋b 2a 2＝43得e ＝2 33

.故选A.

9.我国明代著名乐律学家朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个c 1键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为

12

2的等比数列的原理，也即高音c

的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音a 1的频率为440 Hz ，那么频率为220 2 Hz 的音名是( )

A ．d

B ．c

C ．#d

D ．f

解析：选C 依题意q ＝ 12

2，则2202·q n －

1＝440，解得n ＝7，则频率为220 2 Hz 的音名为#d .故选C.

10．已知点P 为直线l ：x ＝－2上任意一点，过点P 作抛物线y 2＝2px (p >0)的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )

A ．2 B.p 2

4 C ．p 2

D.4

解析：选D 由于点P 为直线l ：x ＝－2上任意一点，不妨设点P (－2，0)，由题意可知切线的斜率存在，故可设切线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线方程联立得

k 2x 2＋(4k 2－2p )x ＋4k 2＝0，则

x 1x 2＝4k 2

k

2＝4.故选D.

11．函数f (x )＝(x 2－4x ＋1)·e x 的大致图象是( )

解析：选A f ′(x )＝(x 2－2x －3)e x ＝(x ＋1)(x －3)e x ，令f ′(x )>0，得x <－1或x >3，令f ′(x )<0，得－10，e x >0，f (x )>0恒成立，排除C.故选A.

12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为34

(a 2＋c 2

－b 2)，周长为6，则b 的最小值是( )

A ．2

B ．3

C ．3

D ．4 33

解析：选A 由题意及余弦定理可得△ABC 的面积为12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝3

4×2ac cos B ，化简得tan B ＝

3.∵0

－3×（a ＋c ）2

4＝

（a ＋c ）24(当且仅当a ＝c 时，取等号)，即b ≥a ＋c 2.∵a ＋c ＋b ＝6，∴b ≥6－b

2

，∴b ≥2，故b 的最小值为2.故选A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．若???

?x －4

x n

的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为________． 解析：在???

?x －4

x n 中，令x ＝1可得，其展开式中各项系数的和为(－3)n ＝81，解得n ＝4.又展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x

4－r ·???

?－4x r

＝C r 4(－4)r x 4－2r ，令4－2r ＝0，解得r ＝2，所以常数项为C 24×(－4)2

＝96. 答案：96

14．某公司招聘员工，以下四人中只有一人说真话，只有一人被录取．甲说：“我没有被录用”；乙说：“丙被录用”；丙说：“丁被录用”；丁说：“我没有被录用”．根据以上条件，可以判断被录用的人是________．

解析：若甲说的是真话，则根据四人中只有一人说真话可知乙、丙、丁都说假话，所以丁被录用，又丙说：“丁被录用”，所以丙说的也是真话，这与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，故被录用的人是甲(实际上甲、乙、丙、都说假话，丁说真话)．

答案：甲

15．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为________．

解析：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为{a n }是等差数列，S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(a 1＋a 2)2＝a 1(a 1＋a 2

＋a 3＋a 4)，因为a 3＝5，所以(5－2d ＋5－d )2＝(5－2d )(5－2d ＋15)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以5＝a 1＋(3－1)×2，即a 1＝1，所以a n ＝2n －1.

答案：a n ＝2n －1

16．(2019·河南名校联考改编)已知六棱锥P -ABCDEF ，底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面的射影为其中心．将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形ABCDEF 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为________，此时正六边形的边长为________．

解析：如图，设点P 在底面的射影为点O ，取CD 中点G ，连接OG ，PG .设正六边形ABCDEF 的边长为x (x >0)，故OG ＝3

2

x .又∵展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在

一个半径为5的圆上，∴PG ＝5－

32x >0，∴0

， 故PO ＝

?

???5－32x 2－????32x 2

＝25－53x ，

∴六棱锥的体积V ＝13×6×12×x 2×32×25－53x ＝15

2

5x 4－3x 5.

令f (x )＝5x 4－3x 5????

0

当x ∈????

0，433时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；

当x ∈??

?

?

433，1033时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．

故当x ＝433时，函数f (x )取得最大值，即体积最大，体积最大值为815

3.

答案：8153 43

3