频谱分析的思想

谱可能是信号处理中最重要的概念之一了。信号处理与数学分析之间最大的区别之一在于信号处理经常要在时域与频域之间的转换，这种转换称为傅里叶变换，也常叫做频谱分析。在信号处理中，我们经常会遇到频谱、功率谱、能量谱、幅度谱、相位谱等各式各样的关于谱的概念。

那么，谱的概念最初是从哪里得来的呢？和牛顿有关系吗？我们的故事，正要从1666这个科学史上的奇迹年开始。

牛顿疾步走到窗前，并拉上窗帘，实验室变得完全黑暗。然后快速回到他的实验桌边，急切地开始他的实验。虽然他对实验的结果已经确信无疑，但他还是要用事实来证明这个结果。为这个实验，他已经准备了很长时间。

这是公元1669年，牛顿刚刚成为剑桥大学卢卡斯席位的特聘教授。也许是这个席位与生俱来的贵族传统，也许是牛顿的声名太显赫，这个教授席位在日后的科学史中，不仅是剑桥的荣耀，不仅是英国科学家的荣耀，更记载着人类对自然探索的光荣。成为卢卡斯教授后，牛顿开始的第一项研究即是光学，为此甚至不惜推后对微积分理论的进一步完善。实际上，不管是光学，还是微积分，基础都来源于他1665至1666年在老家躲避瘟疫的开创性工作。而对于光学，最开始是因为他发现了一种几乎是完美的研磨透镜的新方法。

利用这些透镜，他发现当白光通过透镜的时候会产生很多颜色的光，也就是色差现象。如何来解释这一现象呢？牛顿自己的理论是白光由各种颜色的光组成，透镜本身并不能产生颜色，他们仅仅是将光的组成部分进行了分解。但是在严格的实验验证之前，他还不能贸然发表他的这些观点。上述实验或许将证明他的理论。

牛顿在仔细检查了一下实验设备。主要设备是两个三棱镜：一个用于将白光分解为各种不同颜色的光，另一个希望能将各种颜色的光恢复成白光。之前，他已经非常仔细地研磨这些三棱镜，保证即便实验不成功也不会是棱镜的原因。一切准备就绪后，他小心地举起光源，并将其对准第一个三棱镜。然后他看到了他所预想的现象：在两个棱镜之间是七色的彩虹，在第二个棱镜之后，又是白光。然后，又经过多次的反复实验，每次都得到了预想的结果。于是他确信，对这个实验，即便是皇家学会那些最挑剔的批评者也将无话可说了。

牛顿认识到，白光包含了各种颜色的光。他将这些通常用肉眼看不见的各种种颜色的光，看做是幽灵一般。于是，在他的拉丁文手稿中用了specter这个词。后来，经过逐步的演化，人们用spectrum来表示谱：意思是彩虹中的各种颜色。这就是谱（spectrum）的由来。

牛顿的下一步工作本来应该是去深入认识这些不同颜色的光源于其频率的不同。然而很遗憾的是，即便是牛顿这样那个时代最杰出的科学家，也终于没能迈出这一步，主要是因为他坚信光的粒子性而不是波动性。在此之后，光的波粒大战还将延续几百年，并深刻影响着物理学的进程，这已经是题外话了。

将频率与谱联系并统一起来，才构筑了信号处理中我们通常所说的频谱的概念。

功率信号在时间域上是无限的、不收敛，所以无法直接做傅立叶变换。如果对时间T内的信号做傅立叶变换，T在趋于无穷，其实也就是得到了功率信号的频谱，其模的平方也就是功率谱了。

如果这个信号不是确定信号，而是随机信号，那功率普的计算为其自相关函数的傅立叶变换。

不过在实际实现中，通过一段随机信号的采样来计算出其自相关函数，然后做傅立叶变换得到的功率谱，其实和把它看成一段确知信号，做傅立叶变换再取模平方得到的功率谱是一样的。这个我实验过

对功率信号,其傅立叶变换不存在，这句话应该不确切。对于有些能量无限信号，如正弦，是不满足傅氏变换的条件的，但是引入delta函数后，还是可以有傅立叶变换。

对于随机信号，从时间研究是没多大意义（除了大数据），所以有了维纳－辛钦定理。

从物理含义上分析更容易理解一些：

1）时间信号与功率和能量；2）频谱与功率谱和能量谱，它们其实是对同一个信号的不同角度的看法而已。

从时间的角度来看，一个信号有实时的时间信号x(t)，对应地有其功率和能量。而对于功率信号来说，其能量是无限大的，功率是有限大的；对于能量信号来说，能量有限，功率为0。从频率的角度来看，x(f)，其功率谱就相当于时间角度的功率，能量与时间角度的能量的含义是相同的。

对一个时域信号进行傅里叶变换，就可以得到信号的频谱，信号的频谱由两部分构成：幅度谱和相位谱。这个关系倒还是简单。那么，什么是功率谱呢？什么又是能量谱呢？功率谱或能量谱与信号的频谱有什么关系呢？

要区分功率谱和能量谱，首先要清楚两种不同类型的信号：功率信号和能量信号。我们从一个具体的物理系统来引出能量信号和功率信号的概念。已知阻值为R的电阻上的电压和电流分别为v(t)和i(t)，则此电信号的瞬时功率为：p(t) = v2(t)/R = i2(t)R。我们在做定性分析时，为了方便起见，通常设定电阻R为1，从而就得到归一化的功率值。做定量计算时候可以通过去归一化，即将实际电阻值代入既可以得到实际功率。将上面对电信号功率的思考方法做一个抽象，对信号x(t)定义其瞬时功率为|f (t)|2，在时间间隔(-T/2T/2)内的能量为:

E=int(|f (t)|2 ,-T/2,T/2) （1）

该间隔内的平均功率为：p = E/T (2)

当且仅当f(t)在所有时间上对应所得到的能量不为0且有限时，该信号为能量信号，即(1)

式中的T趋于无穷大的时候E为有限。典型的能量信号如方波信号、三角波信号等。但是有些信号不满足能量信号的条件，如周期信号和能量无限的随机信号，此时就需要用功率来描述这类信号。当且仅当x(t)在所有时间上对应所得到的功率不为0且有限时，该信号为功率信号，即(2)式中的T趋于无穷大的时候p为有限。一般来说，周期信号和随机信号是功率信号，而非周期的确定信号是能量信号。将信号区分为能量信号和功率信号可以简化对各种信号和噪声的数学分析。还有一类信号其功率和能量都是无限的，如f(t) = t，这类信号很少会用到。

了解了信号可能是能量信号也可能是功率信号，或者非能量信号非功率信号（这类信号实际太少，基本可不考虑），就可以很好地理解功率谱和能量谱。对于能量信号，常用能量谱来描述。所谓的能量谱，也称为能量谱密度，是指用密度的概念表示信号能量在各频率点的分布情况。也即是说，对能量谱在频域上积分就可以得到信号的能量。能量谱是信号幅度谱的模的平方，其量纲是焦/赫。对于功率信号，常用功率谱来描述。所谓的功率谱，也称为功率谱密度，是指用密度的概念表示信号功率在各频率点的分布情况。也就是说，对功率谱在频域上积分就可以得到信号的功率。从理论上来说，功率谱是信号自相关函数的傅里叶变换。因为功率信号不满足傅里叶变换的条件，其频谱通常不存在，维纳-辛钦定理证明了自相关函数和傅里叶变换之间对应关系。在工程实际中，即便是功率信号，由于持续的时间有限，可以直接对信号进行傅里叶变换，然后对得到的幅度谱的模求平方，再除以持续时间来估计信号的功率谱。

对确定性的信号，特别是非周期的确定性信号，常用能量谱来描述。而对于随机信号，由于持续期时间无限长，不满足绝对可积与能量可积的条件，因此不存在傅立叶变换，所以通常用功率谱来描述。周期性的信号，也同样是不满足傅里叶变换的条件，常用功率谱来描述，这些在前面已经有所说明。只有如单频正弦信号等很少的特殊的信号，在引入delta函数之后，才可以求解信号的傅里叶变换。

对于用功率谱描述的随机信号而言，白噪声是一个特例。根据定义，白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。严格地说，白噪声只是一种理想化模型，因为实际噪声的功率谱密度不可能具有无限宽的带宽，否则它的功率将是无限大，是物理上不可实现的。然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。