质点运动学习题和答案
知识点一、位移、速度、加速度 1、位矢：r xi yj zk =++ 位移：2
1r r r xi yj zk
?=-=?+?+?
平均速度：
r v t x y z
i j k t t t
????=
=++???? （瞬时）速度：
d d d d d d d d r x y z
v i j k t t t t =
=++
（瞬时）加速度：22222222d d d d d d d d dv r x y z
a i j k
dt t t t t ===++
2、路程s ：物体通过的实际距离。 平均速率：
s v t ?=
? （瞬时）速率：d ds
v t =
速
度的大小等于速率
问题1、如何由r 求v ，如何由v 求a 。
利用求导
dr
v dt =
，
dv a dt =
。 问题2、如何由a 求v ，如何由v 求r 。
若()a a t =，利用
00()()v t v dv
a t dv a t dt
dt =?=??
若()a a v =，利用
00()()v t v dv
dv a v dt
dt a v =?=??
若()a a x =，利用 ()()()dv dv dx dv
a x a x v a x dt dx dt dx =?=?=00()v t v vdv a x dx
?=??
问题3、如何由r 求位移和路程。 位移：
21r r r xi yj zk
?=-=?+?+?
路程：1、d 0
d r
t =，求得速度为零的时间1t ，然后求出
10t -的路程1s 和1t t -的路程2s
［ C ］1、[基础训练1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收
绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是
(A) 匀加速运动．(B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动．
【解答】
如图建坐标系，设船离岸边x 米，
222l h x =+，22dl dx
l
x
dt dt
=， 22dx l dl x h dl dt x dt +==，0dl
v dt
=-，
2
2
0dx h x
v i v i dt x
+=
=- 2203v h dv dv dx
a i dt dx dt x
==?=-
可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化。
［ B ］2、[基础训练2]一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为
(A) 5m ． (B) 2m ．
(C) 0． (D) -2 m ．
(E) -5 m. 【解答】质点在x 轴上的位置即为这段时间内v-t 曲线下的面
积的代数和。 4.50
(1 2.5)22(21)122()s
x vdt m =
=+?÷-+?÷=?
［C ］3、[自测提高6]某物体的运动规律为t k t 2
d /d v v -=，式中的k 为大于零的常量．当0=t 时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是
(A) 0221v v +=kt (B) 0221v v +-=kt (C) 02121v v +=kt (D) 0
21
21v v +
-=kt 【解答】t k t 2
d /d v v -=，分离变量并积分，020
v t
v dv ktdt v =-??，得02v 1
2v 1+=kt
4、[基础训练12 ]一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t －t 2 (SI)，则在t 由0至4s 的时
间间隔内，质点的位移大小为 8m ，在t 由0到4s 的时间间隔内质点走过的路程为 10m ．
【解答】（1）x = 6 t －t 2 (SI)，位移大小(
)2
4064408 ()r x x m ?=-=?--=；
（2）62x dx
v t dt
=
=-，可见，t<3s 时，x v >0；t=3s 时，x v =0；而t>3s 时，x v <0；所以，路程=()()()3034()909810 ()x x x x m -+-=-+-=
5、[基础训练13 ]在x 轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为0v ，初始位置为x 0，
v
x
o
x
l
h
加速度2
Ct a =（其中C 为常量），则其速度与时间的关系为3
03
C v v t =+
，运动学方程为4
00+12
C x x v t t =+
。 【解答】
（1）2
dv a Ct dt ==，020
v
t
v dv Ct dt =??，得：3
03C v v t =+.
（2）303C dx v v t dt =+=，03003x t
x C dx v t dt ?
?=+ ??
???，得：400+12C x x v t t =+.
6、[自测提高11]一质点从O 点出发以匀速率1 cm/s 作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m ，如图所示．当它走过2/3圆周时，走过的路程是4π/3=4.19
（m ），这段时
间内的平均速度大小为3
)=4.1310(/) m s π-?，方向是__与x 轴正方向逆
时针成600．
【解答】
24S 2R (m);33
ππ=
?=路程 0r 2cos30v m /s S t 400v
π??===?平均速度大小（）
；方向如图。 7、[基础训练16 ]有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = 4.5 t 2 – 2 t 3 (SI) ．试求：
(1) 第2秒内的平均速度；（2）第2秒末的瞬时速度；（3）第2秒内的路程． 【解答】
（1）t 1=1s: x 1=2.5m; t 2=2s: x 2=2m ;
∴ 21212 2.5
0.5(/)21
x x v i i i m s t t --=
==--- （2）,)69(2i t t i dt
dx v
-==
)/(6)4629(22s m i i v s t -=?-?==∴时， （3）令0)69(2
=-=i t t v ， 得：' 1.5t s =. 此时x ’=3.375m;
∴第二秒内的路程s=(x ’-x 1)+(x ’-x 2)=（3.375-2.5）+(3.375-2)=2.25m 知识点二、圆周运动（曲线运动）
角速度：
d d t θ
ω=
角加速度：
d d t ωβ=
线速度t t t d d d d s r v e e r e t t θω=== 加速度：2n d d t t n v v a a a e e t R =+=+2
d ()d t n
v v e e t ρ+
v
问题1、如何由θ求ω，通过求导
d d t θω=
问题2、如何由β求ω，通过积分
00d d d d ωt ωω
ωt
t ββ=
?=??
［D ］1、[基础训练4] 质点作曲线运动，r
表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度分量，下列表达式中， (1) a t = d /d v ， (2) v =t r d /d ，
(3) d d /t =s v ， (4) t a t =d /d v
．
(A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的．
(C) 只有(2)是对的． (D) 只有(3)是对的． 【解答】根据定义式d d t =
s v ，d d t a t
=v
，d d a a t ==v 即可判断。
2、[基础训练10 ] 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v
的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°，则物体在A 点的切向加速度a t = -0.5g ，轨道的曲率半
径2
v g
.（重力加速度为g ）
【解答】
如图，将重力加速度分解为切向加速度分量和法向加速度分量，得
2
2
sin 300.5, cos 30 cos 30t n v v a g g a g g ρρ=-=-==∴=
3、[自测提高9 ]一质点从静止出发沿半径R=1m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变化规律为2
126 (SI)t t β=-，则质点的角速度ω =3
2
43 (/) t t rad s -；加速度切向分量a t =2
2
126 (/) t t m s -。
【解答】
（1）2
126d t t dt ωβ=-=，()
200
126t
d t t dt ωω=-??，32
43 (/)t t rad s ω=-；
（2）22126 (/)t a R t t m s β==-；
4、[基础训练19 ]质点沿半径为R 的圆周运动，加速度与速度的夹角?保持不变，求该质点的速度随时间而变化的规律，已知初速为0v 。 【解答】
,n t
a tg a ?= 将t dv
a dt =
，2n v a R =代入，得2dv v dt Rtg ?=， 分离变量并积分：
00200011, v
t
v v Rtg dv dt t
v v Rtg v v Rtg Rtg v t ????=-+=∴=-??
5、[自测提高15 ]质点按照2
12
s bt ct =-
的规律沿半径为R 的圆周运动，其中s 是质点运动的路程，b 、c 是常量，并且b 2
>cR 。问当切向加速度与法向加速度大小相等时，质点运动了多少时间？ 【解答】
212s bt ct =-，速率ds
v b ct dt
==-，
切向加速度大小t dv a c c dt ==-=，法向加速度大小()2
2
n b ct v
a R R
-==； 当切向加速度与法向加速度大小相等时：()2
b ct
c R
-=
，即b ct -=
得1b t c
=
；
2b t c
+=
。 知识点三、相对运动，参考系'
s 相对于参考系s 做匀速直线运动，速度为s s '。 位移变换关系：s s ps ps r r r ''
+= 速度变换关系：s s ps ps ''+= 加速度的变换关系：'ps ps =
［C ］1、[基础训练6]一飞机相对空气的速度大小为 200 km/h, 风速为56 km/h ，方向从西向东．地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h ，方向是
(A) 南偏西16.3°；(B) 北偏东16.3°；(C) 向正南或向正北； (D) 西偏北16.3°； (E) 东偏南16.3°． 【解答】
根据三个速率的数值关系，以及伽利略速度变换式=+v v v →→→机地机空气空气地，可以画出三个速度之间的矢量关系，如图所示。
=200km/h, 56/,
km h v v v →→→=机空气空气地机地,根据余弦定理，
222
200=56192256192cos θ+-??，解得
cos =0θ，所以=2
π
θ±
.
［B ］2、[自测提高7]在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y
方向单位矢用i 、j
表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为
(A) 2i ＋2j ． (B) -2i ＋2j ． (C) －2i －2j ． (D) 2i
－2j ．
【解答】B A 对v
=B 对v 地+A 对v 地 =B 对v 地-A 对v 地 =2222 (/)j i i j m s -=-+.
3、[自测提高17 ] 一敞顶电梯以恒定速率v =10 m/s 上升．当电梯离地面h =10 m 时，一小孩竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率=0v m/s ．试问：
v →机地
v →空气地
v →空气地
空气
v →机地
(1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？(2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？ 【解答】
(1) 根据伽利略速度变换式对对对v v v =+球地球梯梯地，可得球相对地面的初速度：方向向上，
大小为2010对v =+=球地30 m/s 。
球到达最高点时，对地的速度为零。可得最大高度为245.92对v h g
==球地
m/s
离地面高度为H = (45.9+10) m =55.9 m
(2) 以地面作为参考系：球回到电梯上时，电梯上升的高度＝球上升的高度，即
21
2
v v 对对t t gt =-梯地球地
解得：02v
0 4.08t t g
===（舍去）
或 s 4、[自测提高14 ]小船从岸边A 点出发渡河，如果它保持与河岸垂直向前划，则经过时间t 1到达对岸下游C 点；如果小船以同样速率划行，但垂直河岸横渡到正对岸B 点，则需与A 、B 两点联成的直线成α角逆流划行，经过时间t 2到达B 点．若B 、C 两点间距为S ，则
(1) 此河宽度l
(2) α =()112 cos / t t -或1
2sin
-???
?
。
【解答】
设小船速度为v ，水流速度为u ，如图。
保持与河岸垂直向前划时，①1 l vt =；②1S ut =；
成α角逆流划行时，③()2
cos l v t α=；④2l =.
联立①和③得：()()1
1212cos /, cos
/t t t t αα-=∴=；
联立①、②和④，可求出v ，再代入①得：l =
附加题：[ 自测提高
16 ] 一飞机相对于空气以恒定速率v 沿正方形轨道飞行，在无风天气
其运动周期为
T ．若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为)1
(<<=k k V v ．求飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少． 【解答】
解：如图，设风对地v kvj =，正方形边长为L ，根据+风对地机对地
机对风v v
v =求解。
（
1）A →B ， 机对地v =
==
AB L t v ∴=
=
=机对地
； α
v
u
v
（2）B →C ，()1机对地v v kv k v =-=-，
()()
141BC L L T
t v v k k ∴=
=
=--机对地
；
（3）C →D 的飞行时间与A →B 的飞行时间相等，CD AB t t =； （4）D →A ，()1机对地v v kv k v =+=+
()()
141DA L L T
t v v k k ∴=
=
=++机对地
所以，有恒定小风时飞行周期为'AB BC CD DA T t t t t =+++， 与无风时相比，周期增加了'T T T ?=-。根据上述计算结果，可得
()(
)222
121211
221T k T k T k ?
--?
??=-??=
-?
-?
因为1k <<
和
2
11k
-展开，并保留到2
k 项，得 2
22
131122
24T k T T k k ???≈
+++-≈????
x
y
A B C
风对地v 机对风v 风对地
v 机对风
v 机对地
v 机对地v