抽象代数电子教案

《抽象代数》课程教案

第一章 基本概念

教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。

教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。

教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。

教学措施：黑板板书与口授教学法。

教学时数：12学时。

教学过程：

§1 集合

定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集

合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。

定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。

（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。

（2）集合表示：

习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，

习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。

若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。

表示集合通常有三种方法：

1、枚举法（列举法）：

例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。

2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。

3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系。

（3）集合的蕴含（包含）

定义：若集B 中每个元素都属于集A ，则称B 是A 的子集，记为A B ?，否则说

B 是A 的子集，记为A B ?.

定义：设A B ?，且存在B a A a ?∈但，那么称B 是A 的真子集，否则称B 不是

A 的真子集。

定义：若集合A 和B 含有完全一样的元素，那么称A 与B 相等，记为A =B . 结论：显然，A B B A B A ???=且.

（4）集合的运算 ①集合的并：{}

B x A x x B A ∈∈=或 ②集合的交：{}B x A x x B A ∈∈=且 ③集合的差：{}B x A x x B A ?∈=-且 ④集合在全集内的补：{}A x E x x A ?∈=且

⑤集合的布尔和（对称差）： ⑥集合的卡氏积：{}B b A a b a B A ∈∈=?且),(

注：B A ?中的元素可看成由A 和B 坐标轴所张成的平面上的点。 卡氏积的推广：

对上述集合运算，可以得到一批基本公式：

例题：

例1 A={ B={ 那么A ∩B={2}

A={ B={ 那么A ∩B=空集合.

例2 A={ B={ 那么A ∪B={

A={ B={ 那么A ∪B={ §2 映射

定义：设φ是集合A 到B 的一个对应法则：对于任何一个12n A A A ???的元12()()n i i a a a a A ???∈，都能够得到一个唯一的D 的元d ，那么这个法则φ

叫做集合12n A A A ???到集合D 的一个映射。

其中，元d 是12()n a a a ???在映射φ的象，a 是b 在φ下的逆象。 例1：A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合.

φ：（a 1,a 2,……,a n ）→ a 12+a 22+……+a n 2=φ(a 1,a 2,…,a n )是一个

A 1×A 2×…×A N 到D 的映射.

例2 ：A 1={东,西},A 2={南}，D={高,低}

φ1：（西,南）→高=φ1（西,南）不是一个A 1×A 2到D 的映射.

φ2:(西,南）→高，（东,南）→低，则φ2是一个A 1×A 2到D 的映射.