第五章三角函数
5.1.1角的概念的推广
【教学目标】
1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．
2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．
3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．
【教学难点】
任意角和终边相同的角的概念．
【教学方法】
本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念．
新课
例如，
∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°．
（2）射线的旋转量：
当射线绕端点旋转时，旋转量可以
超过一个周角，形成任意大小的角.角的
度数表示旋转量的大小．
例如450°，－630°．
2．角的加减运算．
90°－30°
＝90°＋（－30°）
＝60°．
各角和的旋转量等于各角旋转量
的和．
3．终边相同的角．
所有与α终边相同的角构成的集合
可记为
S＝{x |x ＝α ＋k·360°，k∈Z}．
例1（1）写出与下列各角终边相同的
角的集合．
(1) 45°；(2) 135°；
(3) 240°；(4) 330°．
得到任意范围内的角．
1．教师画图，学生说角的度数．
2．学生练习：画出下列各角：
（1）0，360°，720°，
1 080°，－360°，－720°；
（2）90°，450°，－270°，
－630°．
学生练习：求和并作图表示：
30°＋45°，60°－180°．
师：观察我们刚画过的角，
（1）0，360°，720°，1080°，
－360°，－720°；
（2）90°，450°，－270°，
－630°．
思考：始边、终边相同的两
个角的度数有什么关系？
学生讨论后回答：终边相同
的两个角的度数相差360°的整数
倍．
师：与30°始边、终边都相
同的角有哪些？有多少个？它们
能不能统一用一个集合来表示？
得出结论．
例1（1）由学生口答，教
师给出规范的书写格式．
学生通过自己练
习画图，深刻体会“旋
转”两个字的含义，
加深对任意角的概念
的理解．
学生自己动手画
图求和，加深对旋转
变化的理解．
将例1分解为两
个小题，边讲边练，
小步子，低台阶，学
生容易消化吸收．120°
A
O
B
－120°
B
A
o
60°
90°
C
30°
5.1.2弧度制
【教学目标】
1. 理解弧度制的概念以及弧长公式，掌握角度制与弧度制的换算．
2. 理解角的弧度数与实数之间的一一对应关系．
3. 通过教学，使学生体会等价转化与辩证统一的思想．
【教学重点】
理解弧度制的概念，掌握弧度制与角度制的换算．
【教学难点】
理解弧度制的概念．
【教学方法】
本节课采用类比教学法，在复习角度制的基础上引入弧度制，深入探究它们之间的换算
方法，使学生认识它们之间相互联系、辩证统一的关系.通过弧度制与角度制的比较，使学
生认识到弧度制的优越性，逐步适应用弧度制度量角．
环节教学内容师生互动设计意图复
习导入复习初中学过的角度制．
师：初中学过角度制，1度角
是怎么定义的？
生：把一圆周360等分，则
其中一份所对的圆心角是1度
角．且1°＝60′，1′＝60″．
师：在数学和其他科学中我
们还经常用到另一种度量角的单
位制——弧度制．
复习角度制．
新课1. 弧度制的度量单位——
1弧度的角．
(1) 弧长与半径的比值
l
r等于一
个常数，只与α的大小有关，
与半径长无关．
（2）定义：等于半径长的圆弧所对
教师引导学生考察圆心角、
弧长和半径之间的关系：
如图，两个大小不同的同心
圆中圆心角为α，设α= n°，则
l＝n
2 π r
360，
l' ＝n
2 π r'
360，
由此，
l
r＝
l'
r'＝n
2 π
360．
所以，对于任何一个圆心角
α，所对弧长与半径的比值是一个
仅与角α的大小有关的常数．
这就启示我们可以用圆的半
径作单位去度量弧，从而得到一种
通过说明同心圆
中弧长与半径的比值
是一个仅与圆心角α
的大小有关的常数，
引入1弧度的概念．
l' l
O r' r
α
新课
解略．
由于角有正负，我们规定：正角
的弧度数为正数，负角的弧度数为负
数，零角的弧度数为0.
这种用“弧度”做单位来度量角
的制度叫做弧度制.
无论是用角度制还是弧度制，都
能在角的集合与实数集R之间建立一
一对应的关系.
3．弧长公式．
由弧度的定义，我们知道弧长l
与半径r的比值等于所对圆心角α的
弧度数(正值),即
α ＝
l
r，得到l＝α·r．
这是弧度制下的弧长计算公式.
例4如图，⌒
AB所对的圆心角为60°，
半径为5 cm，求⌒
AB的长l (精确到
0.1 cm)．
B
解因为60°＝
π
3，
所以l＝αr＝
π
3×5≈5.2.
即⌒
AB的长约为5.2 cm.
在例4中，可加上
求扇形的面积一问，
为课后B组第4题
作准备．
小结本节知识点：
（1）弧度制的定义；
（2）角度制与弧度制的换算公式；
（3）弧长公式．
让学生根据板书自己总结本
节主要内容．
归纳整理知识点，明
确弧度制的意义．
作业必做题：
教材P131，练习A组第6题，
60
O
A
5.2.1任意角三角函数的定义
【教学目标】
1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定
义及画法．
2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
任意角三角函数的定义．
【教学难点】
单位圆及三角函数线．
【教学方法】
本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，
定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和
象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为
单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解．【教学过程】
环节教学内容师生互动设计意图
导入复习锐角三角函数定义．
师：初中时我们学过锐角三
角函数，当时是怎样定义的？
以旧引新．
新课1.任意角的三角函数定义．
已知α是任意角，P(x，y)，P'(x'，
y')是角α的终边与两个半径不同的同
心圆的交点．
(r＝x2+y2，r'＝x'2+y'2)
如图所示：
问题1：当我们把锐角的概
念推广为转角后，我们如何定义
任意角的三角函数呢？
如左图所示，由相似三角形
对应边成比例得，
|x|
r＝
|x'|
r'，
|y|
r＝
|y'|
r'，
|y|
x＝
|y'|
x' .
由于点P，P' 在同一象限
内，所以它们的坐标符号相同，
因此，
x
r＝
x'
r'，
y
r＝
y'
r'，
y
x＝
y'
x'，
所以三个比值
x
r，
y
r，
y
x只依
赖于α的大小，与点P 在α
终边上的位置无关．
说明三角函数定
义的理论根据．
y
P
r
r′y
y′
O x′x x
P'’
新课练习1 教材P138，练习A组第1、4、
5题．
例2 试确定三角函数在各象限的符号．
解由三角函数的定义可知，
sin α＝
y
r，角
α终边上点的纵坐
标y 的正、负与角α的正弦值同号；
cos α＝
x
r，角
α终边上点的横坐
标x 的正、负与角α的余弦值同号；
由tan α＝
y
x，则当x 与y 同号
时，正切值为正，当x 与y 异号时，
正切值为负．
三角函数在各象限的符号如下图
所示：
练习2 确定下列各三角函数值的符号：
(1)sin(－
π
4)；(2)cos 130?；(3)tan
4π
3．
例3 使用函数型计算器，计算下列三
角函数值：
(1)sin67.5?，cos372?，tan (－86?)；
(2) sin1.2，cos
3π
4，tan
5π
6．
解略．
3. 单位圆与三角函数线．
如图，以原点为圆心，半径为1的
圆称作单位圆．
点；
（２）求三角函数值时用到的三
个量x，y，r以及三者的关系；
教师可通过教材P138 练
习A组第1题中的练习让学生
自己总结出三角函数在各象限
的符号．
根据三角函数的定义，及
各象限内点的坐标的符号得出
三角函数在各象限的符号，教师
总结口诀，帮助学生记忆：
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，
Ⅲ正切，Ⅳ余弦．
练习2也可以用计算器直
接求出三角函数值，然后确定符
号．
师：在任意角三角函数的
定义中，当角α的终边上一点
P（x，y）的坐标满足r＝x2+y2
＝1时，三角函数的正弦、余弦
习B组第1、2、3做
铺垫.
通过练习1，熟练已知
角的终边上一点求三
角函数值的步骤．
由练习中的具体
题目到例2的理论分
析，由特殊到一般加
深学生对三角函数符
号的理解.
O x
y
＋
＋
－
－
sin α
O x
y
＋
－
＋
－
cos α
O x
y
＋
－
－
＋
tan α
O M x
αA(1，0)
1 P(cos α，sin α)
y
O cos α x
P (cos α，sin α)
y sin α
1
5.2.2 同角三角函数的基本关系式
【教学目标】
1. 理解并掌握同角三角函数的基本关系式，会运用公式求值，化简，证明．
2. 通过教学，培养学生用方程（组）解决问题的方法，培养学生分析问题，解决问题的能力．
3. 通过学习，揭示事物间普遍联系的辨证唯物主义思想． 【教学重点】
同角三角函数的基本关系式的推导及应用（求值、化简、恒等式证明）． 【教学难点】
同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用． 【教学方法】
本节主要采用讲练结合的方法．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用．课堂中，充分发挥学生的主体作用，让学生自主探究问题并解决问题，使学生熟练用方程（组）解决问题的方法．
教学
环节 教学内容
师生互动
设计意图 复习 导 入
复习三角函数定义、单位圆和三角函数
线、勾股定理．
教师提出问题，学生回答．
推出
sin 2α＋cos 2α＝1 sin α
cos α
＝tan α 这两个基本关系式．
新 课
在单位圆中，由三角函数的定义和勾股
定理，可得同角三角函数的基本关系式： sin 2 α＋cos 2α＝1； sin α
cos α ＝tan α ．
师讲解： 1．sin 2α，cos 2α 的读法、写法． 2．让学生验证30°，45°，60°的正弦，余弦，正切值满足两个关系式． 3．“同角”的概念与角的表达形式无关，如：sin 2 β＋cos 2 β＝1． 4．同角的意义：一是“角相同”； 二是“任意一个角”． 初步认识和记忆两个关系式，理解“同角”的含义．
当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数定义，就可求出这个角的另外几个三角函数值．此外，还可用它们化简三角函数式和证明三角
5.2.3诱导公式
【教学目标】
1. 理解并掌握诱导公式，会求任意角的三角函数值与证明简单的三角恒等式；
2. 了解对称变换思想在数学问题中的应用；
3. 通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简．
【教学难点】
诱导公式(一)、（二）、（三）的推导．
【教学方法】
本节课主要采用启发诱导与讲练结合的教学方法，引导学生借助单位圆和三角函数线，充分利用对称的性质，揭示诱导公式与同角公式之间的联系，然后讲练结合，使学生牢固掌握其应用．
【教学过程】
y
α
x
P (x ，y )
M O
-α
P ' (x ，-y )
图5-17
新 课 新 课
1．角α与α＋k ·2π（k ∈Z ）的三角函数间的关系．
直角坐标系中，α与α＋k ·2π (k ∈Z )的终边相同，由三角函数的定义，它们的三角函数值相等． 公式（一）：
sin(α＋k ·2π) ＝ sin α；
cos(α＋k ·2π) ＝ cos α （k ∈Z ）； tan(α＋k ·2π) ＝ tan α． 例1 求下列各三角函数的值： (1) sin 13 π2 ；(2) cos 19 π3 ；(3) tan 405?．
解 (1)sin 13 π2＝sin(π
2
＋6 π)
＝sin π
2
＝1；
(2) cos 19 π3＝cos(π3
＋6 π)
＝cos π3 ＝12
；
(3) tan 405?＝tan (45?＋360?)
＝tan 45?＝1．
2. 角α 和角－α 的三角函数间的关系． 如图5-17，设单位圆与角α和角－α的终边的交点分别是点P 和点P′．
容易看出，点 P 与点 P′ 关于 x 轴对称．
已知P (cos α，sin α)和 P '(cos(－α)，sin(－α))． 于是，得到
公式（二）：sin （－α）＝－sin α；
师生共同探讨得出公式（一）的结构特征：等号两边是同名函数，且符号都为正．
例1由学生试着完成． 教师在例1结束后小结公式(一)的作用：把任意角的三角函数转化为0~360o之间角的三角函数．
练习：教材P146，练习A 组第1
（1）（2）题，第2（1）（2）题，第3（1）（2）题．
观察图5-17，教师引导学生回答，点 P′ 与点 P 的位置关
系怎样？它们的坐标之间有什
么关系？推出诱导公式（二）．
体会诱导公式(一)的作用．
熟练应用公式(一)求值．
新课
cos（－α）＝cos α；
tan（－α）＝－tan α．
例2 求下列各三角函数的值：
(1) sin (－
π
6)；(2) cos(－
π
4)；
(3) tan(－
π
3)；(4) sin(－
7π
3)．
解(1) sin (－
π
6)＝－sin
π
6＝－
1
2；
(2) cos(－
π
4)＝cos
π
4＝
2
2；
(3) tan(－
π
3)＝－tan
π
3＝－ 3 ；
(4) sin(－
7π
3)＝－sin
7π
3
＝－sin(
π
3＋2π)＝－sin
π
3＝－
3
2．
3.角α与α±π的三角函数间的关系．
如图5-18，角α与α±π 的终边与
单位圆分别相交于点P 与点P′，容易看
出，点P 与点P′ 关于原点对称，它们的
坐标互为相反数P( x，y)，P′(－x，－y)，
所以得到公式（三）
sin (α±π) ＝－sin α；
cos (α±π) ＝－cos α；
tan (α±π ) ＝tan α．
4.角α与π－α的三角函数间的关系．
学生独立完成，并交流解题
心得．
例2结束后教师小结诱导公
式(二)的作用：把任意负角的三
角函数转化为正角三角函数．
练习：教材P146，练习A组第1
（3）（4）题，第2（3）（4）题，
第3（3）（4）题．
教师引导学生观察图5-18，
并回答，点P′ 与点P 的位置
关系怎样？它们的坐标之间有
什么关系？推出诱导公式（三）．
熟练应用公式
（二）求值．
教师用语言叙
述公式，更利于学
生理解掌握公式特
征．
Ｐ(x，y)
x
y
O
α
α+π
P'(-x,-y)
α-π
图5-18
新课
如图5-19，角α与π－α和单位圆
分别交于点P与点P′，由P′与点P关于
y轴对称，可以得到α与π－α之间的三
角函数关系：
sin(π－α)＝sin α；
cos(π－α)＝－cos α．
即互为补角的两个角正弦值相等，余弦
值互为相反数．
例如：sin
5π
6＝sin
π
6＝
1
2；
cos
3π
4＝－cos
π
4＝－
2
2．
例3求下列各三角函数的值：
(1) sin
4π
3；(2) cos(－
8π
3)；
(3) tan(－
10π
3)；(4) sin 930?．
解略．
例4求下列各三角函数的值：
(1) sin(－
55π
6)；(2) cos
11π
4；
(3) tan(－
14π
3)；(4) sin870?．
解(1)sin(－
55π
6)＝－sin(
π
6＋9π)
＝－(－sin
π
6)＝
1
2；
(2)cos
11π
4＝cos(－
π
4＋3π)＝cos(π
－
π
4)＝－cos
π
4＝－
2
2；
学生独立完成，并交流解题
心得．
教师在例3结束后小结诱导
公式(三)的作用：把任意负角的
三角函数转化为正角的三角函
数．
教师总结解题步骤：先用诱
导公式(二)把负角的三角函数化
为正角的三角函数，然后再用诱
导公式(三)把它们化为锐角的三
角函数来求．进一步强化学生运
用公式的灵活性．
解题关键是找出题中各角
与锐角的关系，转化为求锐角的
利用例3，熟练
运用公式(三)求三
角函数值．
利用例4，学会
综合运用诱导公式
求任意角的三角函
数值．
Ｐ
P′
x
y
O
α
π-α
图5-19
第五章三角函数5.2三角函数的概念(新教材教师用书)
第五章 三角函数 5.2 三角函数的概念 课时作业44 三角函数的概念 知识点一 三角函数的定义 1.已知角α的终边与单位圆交于点P ? ???? －32，－12，则cos α的值为( ) A ．－3 2 B ．－12 C ．32 D ．12 答案 A 解析 由三角函数的定义可知cos α＝－3 2. 2．若角α的终边上有一点P (－4a,3a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α的值是( ) A ．25 B ．25或－25 C ．－25 D ．与a 有关但不能确定 答案 B 解析 当a >0时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当a <0时，sin α＝－3 5，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25. 3．已知角α的终边经过点P (5m,12)，且cos α＝－5 13，则m ＝________. 答案 －1 解析 cos α＝－5 13<0，则α的终边在第二或第三象限，又点P 的纵坐标是正数，所以α是第二象限角，所以m <0，由 5m 25m 2＋144 ＝－ 5 13，解得m ＝－1. 4．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝3 4y ，求cos α和tan α的值． 解 sin α＝ y 3＋y 2＝3 4 y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.
当y ≠0时，由 y 3＋y 2＝34 y ，解得y ＝± 21 3. 当y ＝213时，P ? ???? －3， 213，r ＝433， ∴cos α＝－34，tan α＝－7 3. 当y ＝－213时，P ? ???? －3，－ 213，r ＝433， ∴cos α＝－34，tan α＝7 3. 知识点二 三角函数的符号 5.若sin θ
九年级三角函数竞赛题(含答案)
锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=α αsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 2 1sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
三角函数知识点公式定理记忆口诀1
三角函数知识点公式定理记忆口诀 2008-9-2 14:12:26 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割； 中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角， 顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小， 变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变， 将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值， 余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。 逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。 万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用； 1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范； 三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围； 利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。 【文字：大小】 口口之和仍口口 赛赛之和赛口留 口口之差负赛赛 赛赛之差口赛收
高中数学三角函数公式定理口诀 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范； 三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集
必修第五章三角函数测试题(含答案)
必修第五章三角函数测试题 一、选择题(每小题5分,共10小题50分) 1、在平面直角坐标系中,点 是角 终边上的一点,若 ,则 ( ) B. C. D. 2、若函数的图象向右平移 个单位长度后，与函 数的图象重合，则的最小值为( ) A. B. C. D.3、若,则使函数有意义的 的取值范围是( ) A. B. C. D. 4、已知,则 ( ) A. B. C. D. 5、如果函数的图象关于直线对称,那么该函数的 ( ) A. B. C. D. 6、若，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、当时，函数 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 8、设函数 满足，且当 时， ．又函数，则函数 在 上的零点个数为( ) A. B. C. D. 9、函数的部分图像如图 所示,已知,函数 的图像可由 图像向右 平移 个单位长度而 得到,则函数 的解析式为( )
10、设函数则下列结论错误的是( ) A.的一个周期为 B.的图像关于对称 C. 一个零点为 D. 在 减 二、填空题(每小题5分,共7小题35分) 11、已知：① ，② ，③ ，④ ，其中是第一象限角的 为__________(填序号)． 12、已知函数 的部分图像如图所示,若图中在点, 处 取得极大值,在点, 处 取得极小值,且四边形 的面积为 ,则 的值是__________. 13、关于函数 ，下列命题： ①若存在，有 时， 成立； ②在区间 上是单调递增； ③函数的图像关于点成中心对称图像； ④将函数 的图像向右平移 个单位后将与 的图像重合． 其中正确的命题序号__________（注：把你认为正确的序号都填上） 14、确定下列三角函数值的符号： __________; __________; __________ __________; __________; __________ 15、函数__________,最小值为__________. 16、已知角 终边上一点 的坐标为 ,则 是第__________象限角, __________.
(完整word版)三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法
从俞诗秋的文章修改而来，原来的口诀不太好记 原文：三角函数双曲函数及其导数积分公式的六边形记忆法 三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法 2. 三角函数的定义 [三角函数的定义和符号变化] 名称 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 定 义 r y ==斜边对边αsin r x ==斜边邻边αcos x y == 邻边对边αtan y x ==对边邻边αcot x r ==邻边斜边αsec y r ==对边斜边αcsc 符 号 与 增 减 变 化 Ⅰ +↑ +↓ +↑ +↓ +↑ +↓ Ⅱ +↓ -↓ -↑ -↓ -↑ +↑ Ⅲ -↓ -↑ +↑ +↓ -↓ -↑ Ⅳ -↑ +↑ -↑ -↓ +↓ -↓ 1 sinx cosx cscx cotx secx tanx + -
1. 三角函数的记忆： ●对角线倒数:对角线互为倒数sinx=1/cscx，指在三角函数六边形 中,过中点且连接两个顶点的线段中，两端点处的函数乘积等于中间的数1，即sinxcscx=1, cosxsecx=1, tanxcotx=1. ●倒三角形平方和:指在三角函数六边形中,每个有阴影的三角形下 顶处函数的平方等于上面两个顶处函数平方的和.即sin2x+cos2x=1, tan2x+1=sec2x, cot2x+1=csc2x. ●邻点积:指在三角函数六边形中,任何一个顶处的函数等于相邻两 个顶处函数的乘积.即sinx=tanxcosx, cosx=sinxcotx, cotx=cosxcscx, cscx= cotxsecx, secx=cscxtanx, tanx=secxsinx. 2.三角函数求导数 图中左面“+”号表示六边形左面三个顶角处函数的导数为正值，右面“-”号表示六边形右面三个顶角处函数的导数为负值。 ●上互换:指在三角函数求导六边形中，上顶角处函数的导数为另一 上顶角处函数的导数.即:(sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx。 ●中下2:指在三角函数求导六边形中,中间顶角处函数的导数为对 应边下顶角处函数导数的平方.即:(tanx)’=sec2x，(cotx)’=-csc2x。 ●下中下:指在三角函数求导六边形中,下顶角处函数的导数为对应 边中间顶角处函数的导数与下顶角处函数的导数之乘积。 即:(secx)’=tanxsecx，(cscx)’=-cotxcscx。 3.三角函数求积分 由于积分是导数的逆运算,我们立即可以有求积分记忆口诀:
新人教版第六章实数知识点归纳
实数知识点总结 一、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 (1）如果一个正数x的平方等于a，即,那么这个正数ｘ叫做a的算术平方根。 （２)如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。如果,那么x叫做a的平方根。 (3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做ａ的立方根(或a 的三次方根)。如果,那么x叫做a 的立方根。 2、运算名称 (1）求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 （1）正数a的算术平方根,记作“a”。 （2)ａ(a≥0)的平方根的符号表达为。 (３）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 ，ａ的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那(1)若a≥０，则a的平方根是a 个叫它的算术平方根;０的平方根和算术平方根都是０;负数没有平方根。实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,0的立方根是0。（2)若ａ<0，则ａ没有平方根和算术平方根;若a为任意实数,则a的立方根是。 （3）正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 二、小数点移动规律 平方根（如果被开方数的小数点,向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位)立方根（开立方的小数点移动规律:被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位） 三、实数的概念及分类 1、实数的分类
新编高中数学竞赛用三角函数公式大全
三角函数公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：αααcos sin tan = 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ +2、απ -2、απ+23、απ-2 3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (?+?=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
特殊角的三角函数值的巧记
特殊角的三角函数值的巧记 特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背． 那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法 根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法． 首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系． 对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、 斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意 一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点． 在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三 角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义． 二、列表法：
说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法 口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号， 不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ． 例1.tan30°的值等于（ ）
新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 学案(知识点考点汇总及配套练习题)
第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制..................................................................................................... - 1 - 5.1.1 任意角 ......................................................................................................... - 1 - 5.1.2 弧度制 ....................................................................................................... - 10 - 5.2 三角函数的概念................................................................................................... - 18 - 5.2.1 三角函数的概念 ........................................................................................ - 18 - 5.2.2 同角三角函数的基本关系 ........................................................................ - 28 - 5.3 诱 导公式(1) ........................................................................................................ - 36 - 5.3 诱 导公式(2) ........................................................................................................ - 44 - 5.4 三角函数的图象与性质 ....................................................................................... - 51 - 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 .................................................................... - 51 - 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1) ............................................................... - 60 - 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2) ............................................................... - 67 - 5.4.3 正切函数的性质与图象 ............................................................................ - 76 - 5.5 三角恒等变换..................................................................................................... - 101 - 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................................. - 101 - 5.5.2 简单的三角恒等变换 .............................................................................. - 108 - 5.6 函数y ＝A sin(ωx ＋φ) ......................................................................................... - 116 - 5.7 三角函数的应用................................................................................................. - 135 - 5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角 内 容 标 准 学 科 素 养 1.结合具体实例，了解任意角的概念． 数学抽象 逻辑推理 2.能区分正角、负角和零角． 3.掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合表示这些角. 授课提示：对应学生用书第76页 [教材提炼] 知识点一 角的概念
高中数学竞赛讲义_三角函数
三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α sec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ±
三角函数诱导公式及经典记忆方法
三角函数诱导公式及记忆方法 一、同角三角函数的基本关系式 （一）基本关系 1、倒数关系 tanα ·cotα=1 s inα ·cscα=1 cosα ·secα=1 2、商的关系 sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanα cosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα 3、平方关系 sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α （二）同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 1、倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 2、商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 3、平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 二、诱导公式的本质 所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。（一）常用的诱导公式 1、公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）=sinα，k∈z cos（2kπ+α）=cosα，k∈z tan（2kπ+α）=tanα，k∈z cot（2kπ+α）=cotα，k∈z sec（2kπ+α）=secα，k∈z csc（2kπ+α）=cscα，k∈z 2、公式二：α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα sec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα 3、公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
2019-2020年数学必修第一册课件课后作业三角函数：第五章复习课5 三角函数(人教A版)
复习课(五) 三角函数 考点一 三角函数的概念 设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则x ＝cos α，y ＝sin α，y x ＝tan α.三角函数的概念是研究三角函数的基础． 【典例1】 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [解] ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2 ＝5|t |， 当t >0时，r ＝5t ， sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34； 当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝3 5， cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34. 综上可知，t >0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－3 4； t <0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－3 4. (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值． ②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式
更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． [针对训练] 1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25 5，则y ＝_____. [解析] r ＝x 2 ＋y 2 ＝16＋y 2 ，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝ y 16＋y 2＝－25 5，所以θ为第四角限角，解得y ＝－8. [答案] －8 考点二 同角三角函数的基本关系式和诱导公式 由三角函数的概念不难得出同角三角函数的基本关系式、诱导公式，这是化简求值的基础． 【典例2】 已知f (α)＝ sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α) sin (－π＋α)·tan (－α＋3π). (1)化简f (α)； (2)若f (α)＝18，且π4<α<π 2，求cos α－sin α的值； (3)若α＝－47π 4，求f (α)的值． [解] (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α (－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α. (2)由f (α)＝sin α·cos α＝1 8可知， (cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34， 又∵π4<α<π 2，∴cos α 2015届高考数学一轮总复习 4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式 基础巩固强化 一、选择题 1．(文)设cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2 k C. k 1－k 2 D ．－ k 1－k 2 [答案] B [解析] ∵sin80°＝1－cos 280° ＝1－cos 2(－80°)＝1－k 2， ∴tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k 2k . (理)(2012·辽宁理，7)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.2 2 D ．1 [答案] A [解析] 解法1：由题意知，sin α－cos α＝2，sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，sin2α＝－1，∵α∈(0，π)． ∴2α∈(0,2π)，∴2α＝3π2，α＝3π 4， ∴tan α＝tan 3π 4 ＝－1. 解法2：设tan α＝k ，则sin α＝k cos α，代入sin α－cos α＝2中得，cos α＝2k －1，∴sin α＝2k k －1， ∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴2k 2(k －1)2＋2 (k －1)2＝1，∴k ＝－1. 2．已知△ABC 中，tan A ＝－5 12 ，则cos A ＝( ) A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213 [答案] D [解析] 在△ABC 中，由tan A ＝－512<0知，∠A 为钝角，所以cos A <0,1＋tan 2 A ＝sin 2A ＋cos 2A cos 2A ＝ 第六章实数 知识网络： 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类 （1）开方开不尽的数，如32 ,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现） 判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0 π 不是无理数。 3、有理数与无理数的区别 （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 考点二、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 （1）如果一个正数x的平方等于a ，即，那么这个正数x叫做a的算术平方 根。 （2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟） 。如果，那么x叫做a的平方根。 （3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。如果，那么x叫做a的立方根。 2、运算名称 （1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 （1）正数a的算术平方根，记作“a”。 （2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。 （3）一个数a 的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 （1）若a≥0，则a 的平方根是a 它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。 实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 （2）若a <0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是 。 （3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 考点三、实数的性质 有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。 1、相反数 （1）实数a 的相反数是-a ；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零） （2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a +b =0，a =-b ，反之亦成立。 2、绝对值 （1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a |≥0。 （2）若|a |=a ，则a ≥0；若|a |=-a ，则a ≤0，零的绝对值是它本身。 （3） ?? ?<-≥)0()0(a a a a 3、倒数 （1）如果a 与b 互为倒数，则有ab =1，反之亦成立。实数a 的倒数是1/a （a ≠0） （2）倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点四、实数的三个非负性及性质 1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。 2、非负数有三种形式 （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( )。 3、非负数具有以下性质 （1）非负数有最小值零； （2）非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 考点五、实数大小的比较 实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同： （1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。 （4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方． 考点六、实数的运算 （1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 （2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立 （3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。 （4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。 二、典例剖析，综合拓展 知识点1：算术平方根 1. 1691的算术平方根为（ ） （A ）131 （B ）－131 （C ）±131 （D ）（169 1）2 算术平方根的定义： 全国高中数学竞赛专题三 角函数 This manuscript was revised on November 28, 2020 三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负 角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴 重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到 原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α =x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=α csc 1 ，co s α =α sec 1； 商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α =co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α （奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。 单调区间：在区间????? ? +-22,22ππππk k 上为增函数，在区间 ?? ????++ππππ232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<2015届高考数学一轮总复习 4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式
新人教版第六章实数知识点总结及练习
全国高中数学竞赛专题三角函数
三角函数知识点归纳