模糊推理方法

几种典型的模糊推理方法

根据模糊推理的定义可知，模糊推理的结论主要取决于模糊蕴含关系),(~

Y X R 及模糊关系与模糊集合之间的合成运算法则。对于确定的模糊推理系统，模糊蕴含关系),(~

Y X R 一般是确定的，而合成运算法则并不唯一。根据合成运算法则的不同，模糊推理方法又可分为Mamdani 推理法、Larsen 推理法、Zadeh 推理法等等。 一、Mamdani 模糊推理法

Mamdani 模糊推理法是最常用的一种推理方法，其模糊蕴涵关系),(~

Y X R M 定义简单，可以通过模糊集合A ~和B ~

的笛卡尔积(取小)求得，即

)()(),(~~~y x y x B A R

M

μμμΛ= (3.2.1) 例3.2.1 已知模糊集合3211.04.01~

x x x A ++=，3

3211.03.05.08.0~y y y y B +

++=。求模糊集合A ~和B ~

之间的模糊蕴含关系),(~

Y X R M 。

解：根据Mamdani 模糊蕴含关系的定义可知：

??

??

?

?????=??

??

?

?????=?=1.01.01.01.01.03.04.04.01.03.05.08.0]1.03.05.08.0[1.04.01~~),(~ B A Y X R M

Mamdani 将经典的极大—极小合成运算方法作为模糊关系与模糊集合的合成运算法则。在此定义下，Mamdani 模糊推理过程易于进行图形解释。下面通过几种具体情况来分析Mamdani 模糊推理过程。

(i) 具有单个前件的单一规则

设*~A 和A ~论域X 上的模糊集合，B ~是论域Y 上的模糊集合，A ~和B ~间的模糊关系是),(~

Y X R M ，有

大前提(规则)： if x is A ~ then y is B ~

小前提(事实)： x is *~

A

结论： y is ),(~

~~**Y X R A B M =

当)()(),(~~~y x y x B A R

M

μμμΛ=时，有 )()}()]()({[V )]}()([)({V )(~~~~X

x ~~~X

x ~***y y x x y x x y B

B A A

B A A

B μωμμμμμμμΛ=ΛΛ=ΛΛ=∈∈ (3.2.2) 其中)]()([V ~~X

x *x x A

A μμωΛ=∈，称为A ~和*

~

A 的适配度。

*~~~*~

3.2.1所示。

图3.2.1 单前提单规则的推理过程

根据Mamdani 推理方法可知，欲求*~

B ，应先求出适配度ω（即)()(~~*x x A

A μμΛ的最大值）；然后用适配度ω去切割

B ~的MF ，即可获得推论结果*~

B ，如图3.2.1中后件部分的阴影区域。所以这种方法经常又形象地称为削顶法。

对于单前件单规则（即若x 是A ~则y 是B ~

）的模糊推理，当给定事实x 是精确量0x

时，基于Mamdani

图3.2.2 事实为精确量时的单前提单规则推理过程

例3.2.2 设A ~

和B ~

分别是论域X 和Y 上的模糊集合，其中论域X (水的温度) = { 0, 20, 40, 60, 80, 100 }，Y (蒸汽压力) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }，A ~＝温度高，B ~＝压力大。模糊规则“若A ~则B ~

”，*~*~

B 。 的确定

7

1

685.057.045.033.021.010)(~++++++=y B

μ

求*

~A 对A ~

的适配度ω

85.0)100

8.08085.0606.0403.0201.000(V )

100

8.0180185.06075.06.0404.03.02015.01.001.00(V X x X x =+++++=Λ+Λ+Λ+Λ+Λ+Λ=∈∈ω

用适配度ω去切割B ~

的隶属函数，即可获得*~

B

7

85.0685.057.045.033.021.01071685.057.045.033.021.01085.0)()(~~*

++++++=?

?? ??++++++Λ=Λ=y y B

B μωμ

推理结果是“*~

B ＝压力较大”，这与我们平常的推理结果是一致的。

(ii) 具有多个前件的单一规则

设*~A 、A ~、*~B 、B ~和*~C 、C ~分别是论域X 、Y 和Z 上的模糊集合，已知A ~、B ~和C ~

间的模糊关系为),,(~Z Y X R M 。根据此模糊关系和论域X 、Y 上的模糊集合*~A 、*~

B ，推出论域Z 上新的模糊集合。即

大前提(规则)： if x is A ~ and y is B ~，then z is C ~

小前提(事实)： x is *~A and y is *~

B

后件(结论)： z is *~

C 根据Mamdani 模糊关系的定义，有

)()()(),,(~~~~y y x z y x C B A R

M

μμμμΛΛ= 笛卡尔积 取小 (3.2.3) 此时

)()()()]}()([V )]()([V {)()]}()([)]()({[V )]()()([)]()([V )(~~~~y ~~X

x ~~~~~Y

y X

x ~~~~~Y

y X

x ~*******z z y x y x z y x y x z y x y x z C

B A

C B B

Y

A A

C B A B A

C B A B

A C

μωωμμμμμμμμμμμμμμμμΛΛ=ΛΛΛΛ=ΛΛΛΛ=ΛΛΛΛ=∈∈∈∈∈∈ (3.2.4)

其中)]()([V ~~X

x *x x A

A A μμωΛ=∈是A ~ *~A 隶属函数的最大值，表示*

~A 对A ~

的适配度； )]()([V ~~y *y x B

B Y

B μμωΛ=∈是*~~B B 隶属函数的最大值，表示*

~B 对B ~

的匹配度； 10018085.0606.0403.0201.000)(~+++++=x A μ

1008.08016075.0404.02015.001.0)(*~+++++=x A

μ

由于模糊规则的前件部分由连词“与”连接而成，因此称B A ωωΛ为模糊规则的激励强度或满足度，它表示规则的前件部分被满足的程度。图3.2.3给出了多个前件的单一规则的Mamdani 模糊推理过程，其中推理结果*~C 的MF 是模糊集合C ~

的MF 被激励强度ω(B A ωωωΛ=) 截切后的结果。

图3.2.3 多前提单规则的Mamdani 模糊推理过程

对于两前件单规则（即若x 是A ~和y 是B ~，那么z 是C

~

）的模糊推理，当给定事实为精确量时（即x 是0x ，y 图3.2.4 给定事实为精确量时Mamdani 推理过程

例3.2.3 已知*~

A 、A ~

、*~

B 、B ~

和*~

C 、C ~

分别是给定论域},{21x x X =、},,{321y y y Y =和},{21z z Z =上的模糊集合，若215.01~

x x A +=

且3211

5.01.0~y y y B ++=，则2

112.0~z z C +=。现在知道21*1.08.0~x x A +

=及3

21*02.05.0~

y y y B ++=，求模糊集合*~C 。

解法一：由于C B A z y x R C B A

~~~),,(~~~~??=，故先求B A y x R B

A ~

~),(~~~?= ??

????=??????=?=5.015.05.01.01.0]15.01.0[5.01~~),(~

~~ B A y x R B

A 然后将),(~~~y x R

B A 写成列向量的形式，并以),(~

*

~~y x R B

A 表示，即 []T

B

A y x R 5.05.01.015.01.0),(~*~~= 于是可以求得：

[]????????

?

????????

?=??????????????????=?=??=5.05.01.02.02.01.015.01.02.02.01

.012.05.05.01.015.01.0~),(~~~~),,(~

*~~~~~ C y x R C B A z y x R B

A C

B A 由于),,(~)~~(~~~~***z y x R B A

C C B A ?=，令*

*~~~

~),(~**B A y x R B

A ?=，有 []??

????=??????=?=01.01.002.05.002.05.01.08.0~~),(~

**~~** B A y x R B

A 将),(~**~~y x R

B A 写成行向量，并以),(~

*

~~**y x R B

A 表示，即 []01.01.002.05.0),(~*

~~**=y x R B

A 于是可以求得*~

C

]2.02.0[5.05.01.015.01.02.02.01.02

.02.01

.0]01.01.002.05.0[),,(~

),(~~~~~*~~***=?????

?

??

?????

????

?== z y x R y x R C C B A B

A

即 2

1*2

.02.0~

z z C +

=

解法二：首先*~

A 与A ~

、*~

B 与B ~

的适配度，即

8.0)1

.08.0(V )1.05.08.01(V 2

1X x 21X

x ~=+=Λ+Λ=∈∈x x x x A

ω

2.0)02.01.0(V )012.05.05.01.0(V 32

1Y y 321Y

y ~=++=Λ+Λ+Λ=∈∈y y y y y y B

ω

然后求激励强度ω，即

2.02.08.0~~=Λ=Λ=B

A

ωωω 最后用激励强度ω去切割C ~的隶属函数，即可获得*~

C

2121

~~2

.02.012.02.0)()(*z z z z y y C C

+=????

??+Λ=Λ=μωμ

(iii) 具有多个前件多条规则的模糊推理

设*~A 、1~A 、2~A 、*~B 、1~B 、2~B 和*~C 、1~C 、2~C 分别是论域X 、Y 和Z 上的模糊集合， ),,(~

1Z Y X R M 是1~A 、1~B 和1~C 间的模糊蕴含关系，),,(~2Z Y X R M 是2~A 、2~B 和2~

C 间的模糊蕴含关系。已知论域X 、Y 上的模糊集合*~A 、*~B ，推出论域Z 上新的模糊集合*~

C 。即

大前提1 (规则1)： if x is 1~A and y is 1~B ，then z is 1~

C 大前提2 (规则2)： if x is 2~A and y is 2~B ，then z is 2~

C 小前提 (事实)： x is *~A and y is *~

B

后件(结论)： z is *~

C

对于多个前件多条规则的模糊推理问题，通常将多条规则处理为相应于每条模糊规则的模糊关系的并集。上述的模糊推理问题可以表示为

)(V )()},,()]()([V {V )},,()]()([V {)],,(V ),,([)]()([V )(*2

*1

2

**1

**21***~~~~~Y

y X

x ~~~Y

y X

x ~~~~Y

y X

x ~z z z y x y x z y x y x z y x z y x y x z C

C

R B

A

R B

A

R R B

A C

M M M M μμμμμμμμμμμμμ=ΛΛΛΛ=ΛΛ=∈∈∈∈∈∈ (3.2.5)

其中：)(V )()(),,(1111

~~~~z x x z y x C B A R

M μμμμΛ=； )(V )()(),,(2

22

2

~~~~z x x z y x C B A R

M μμμμΛ=； )(*1

~z C

μ和)(*2

~z C

μ分别是在规则1和规则2下所得到的模糊集合。 对于两个前件两条规则（即x 是1~A 和y 是1~B ，则z 是1~C ；x 是2~A 和y 是2~B ，则z 是2~

C ）的模糊推理问题，当已知事实为模糊集合时（即x 是*~A 和y 是*~

B ），模糊推理过程见图3.2.5。