四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第九讲 奇偶分析法 竞赛篇(解析版)全国通用

第九讲奇偶分析法

编写说明

在四年级春季的第六讲“数学的思想和方法（三）”中，我们就简单给学生介绍过“奇偶分析法”，涉及到非常初步的思想判断. 奇偶分析法对于小孩子来说如同“抽屉原理”一样，比较抽象，有了证明及反证法的思想，但是只要我们帮助孩子找到方法，反复练习，其实它们都是“纸老虎”.

内容概述

奇数和偶数的概念：整数可以分成奇数和偶数两大类.

能被2整除的数叫做偶数（双数），不能被2整除的数叫做奇数（单数）.

奇数和偶数的表示方法：

因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是整数）；

因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k+1来表示奇数（这里k是整数）. 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数.最小的奇数是１，最小的偶数是０．奇数与偶数的运算性质：

性质1：偶数±偶数=偶数

奇数±奇数=偶数

偶数±奇数=奇数

同性质（指奇偶性）两数加减得偶，不同性质得奇.

性质2：偶数×奇数=偶数（推广开来我们还可以得到：偶数个奇数相加得偶数）偶数×偶数=偶数（推广开就是：偶数个偶数相加得偶数）

奇数×奇数=奇数（推广开就是：奇数个奇数相加得奇数）

对于乘法，见偶就得偶.

性质3 ：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.

你还记得吗

【复习1】桌子上有5个杯子，开口全部朝上，每次同时翻其中的4个，请问是否可以经过有限次翻动使得5个杯子都开口向下.

分析：一个杯子从开口向上变为开口向下，要翻动奇数次，5个杯子翻动的次数和为5个奇数的和，因此是奇数；从总体考虑，每次翻动4个，因此总次数是4的倍数，必然是偶数.由于奇数不等于偶数，所以不可能经过有限次翻动使得5个杯子，使得所有5个杯子都开口向下.

【复习2】某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分.请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数.

分析：对于一名参赛同学来说，如果他全部答对，他的成绩将是3×50=150，是偶数；有一道题未答，则他将丢2分，也是偶数；答错一道题，则他将丢4分，还是偶数；所以不论这位同学答的情况如何，他的成绩将是150减一个偶数，还将是偶数.所以，全班同学得分总和一定是偶数.

【复习4】从1，2，3…，100中任选两个不同的数可以组成两个加法算式(8+2与2+8算两个).这些算式中，有的和是奇数，有的和是偶数.在所有这些算式中，和为奇数的多还是和为偶数的多?多多少?

分析：把这些算式分为100类，它们第1个加数分

别为1、2、3，…，100，每类99个算式.

如果每一类都分别添上1+1，2+2，3+3。…，

100+100，那么，每类算式中和是奇数的与和是偶

数的各一半(同样多).缺了1+1，2+2，3+3，…，

100+100，这100个和是偶数的，就使和是奇数的

比和是偶数的多了100个.

【复习3】在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起

来，填在这个方格中，例如a=5+3=8，问：填入的81个数中，奇数多还是

偶数多?多多少？

分析：每两个相邻的方格，所填的数一奇一偶，将第一行的每个方格与它下面的相邻方格配对，可见第一、二行中奇数与偶数正好一样多.

同理，前八行中奇数与偶数一样多.第九行的前八个方格也可两两配对，每对相邻的方格中的数一奇一偶，所以这八格中的奇数偶数也一样多.最后，第九行，第九列有一个方格填18(=9+9)，所以81个数中，偶数恰好比奇数多1个.

例题精讲

【例1】师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只箩筐中，徒弟的产品放在2只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：78只，94只，86只，87只，82只，80只．根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗?

分析：注意到6个标数只有一个为奇数，它肯定是徒弟制造的．原因很简单：师傅的产量是徒弟的2倍，一定是偶数，它是4只箩筐中产品数的和，在题目条件下只能为四个偶数的和．徒弟的另一筐产品就得通过以下计算来确定：利用求解“和倍问题”的方法，求出徒弟加工零件总数为：(78+94+86+87+82+80)÷(2+1)=169，那另一筐放有产品169-87=82(只)．所以，标明“82只”和“87只”这两筐中的产品是徒弟制造的．

【前铺】某电影院共有2003个座位．有一天，这家电影院上、下午各演一场电影，看电影的是A、B两所中学的各2003名师生．同一学校的学生有的看上午场，有的看下午场，但每人恰看一场，有人断言：“这天看电影时，肯定有的座位上、下午坐的是两所不同学校的师生．”你认为这种断言正确吗?为什么?

分析：此题读来费神，但仔细一想，道理却很简单．如果每个座位上、下午坐的都是同一所学校的，那么这所学校的人数就等于上午本校看电影人数的2倍，肯定为偶数，这就与人数为奇数2003矛盾．所以题中断言是正确的．

【巩固】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数?为什么?

分析：此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关.

由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数.

送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数.另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数一所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数一偶数=偶数.他们的总人数必

须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数.所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数.

【例2】如右图所示，如果按照箭头的方向转动摇把，图中所悬吊的物体A

会，物体B会．(填“上升”或“下降”)

分析：传动带交叉奇数次，滑轮转动方向改变．传动带交叉偶数次，滑轮转动方向

不变．如图中，传动带交叉6次，则滑轮转动方向不变，故A会上升，B会下降．

【例3】有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一

组相对的面上都写着数字1，第二组相对的面上都写着数字2，第三组相对的面

上都写着数字3(如图1)．现在把这8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方

体。问：是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好

组成6个连续的自然数?

分析：没有．假设满足条件的大正方体ABCD—EFGH可以拼成(见图2)，即它

的每个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数．那么这个大正方体的

六个面上的24个数字之和S就等于这6个连续自然数之和．又因为，6个连

续自然数之中必有三个偶数、三个奇数，所以6个连续自然数之和必是奇数，

即S是奇数．

另一方面，考虑大正方体的8个顶点A、B、C、D、E、F、G、H，它们分别是一个小正方体的顶点．由于，交于这些顶点的小正方体的三个面互不相对，因此，在这三个面上所写的3个数字分别为1、2、3．这样大正方体的六个面上的24个数之和

S= 8×(1+2+3)= 48．即S又应该是偶数．这是不可能的．

【例4】如下图所示的十二张扑克牌，2点、6点、10点各四张．你能从中选出七张牌，使上面点数之和恰等于52吗?说明理由．

分析：不能．由于各牌点数都等于2×奇数，即2=2×1，6=2×3，10=2×5．从十二张牌中任取七张牌点数之和，等于2乘以七个奇数之和，这数是一个奇数的两倍．但52=2×26是一个偶数的两倍．因此，无论怎样从十二张牌中选取七张牌，其点数之和都不会等于52．点评由于从所给十二张牌中的每个被4除都余2，则任取七张点数之和被4除也都余2，而52被4整除，所以不能相等．

【例5】用1、2、3、4、5这五个数两两相乘.可以得到10个不同的乘积.问乘积中是偶数多还是奇数多?

分析：如果二个整数乘积是奇数，那么这二个整数都必须是奇数.五个数中有三个奇数，这三个奇数两两相乘，只有3个乘积，也就是说总共只有3个奇数，而偶数的乘积有10-3=7个，因此乘积中偶数比奇数多.

【前铺】100个自然数，它们的和是100000，在这些数里，奇数的个数比偶数的个数多.问：这些数里至多有多少个偶数?

分析：因为这100个数的和是偶数，那么奇数的个数必须是偶数.又因为奇数的个数比偶数多，所以奇数的个数至少有52个，偶数至多有48个.比如取52个1，47个2和1个9854，它们的和为10000.

【例6】在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到66，88，237．问：原来写的三个整数能否为1，3，5 ？

分析：此题单从具体的数来，无从下手．但抓住其操作过程中奇偶变化规律，问题就变得很简单了．如果原来三个数为1，3，5，为三奇数，无论怎样，操作一次后一定为二奇一偶，再往后操作，可能有以下两种情况：一是擦去一奇数，剩下一奇一偶，其和为奇，因此换上去的仍为奇数；二是擦去一偶数，剩下两奇，其和为偶，因此，换上去的仍为偶数．总之，无论怎样操作，总是两奇一偶，而66，88，237是两偶一奇，这就发生矛盾．所以，原来写的不可能为1，3，5．

【例7】现有6张桌子排成一排，每张桌上放着一只盘子．现规定每次操作必须将两只盘子由原来桌子移到相邻的桌子上．问：能否操作有限次后，将所有盘子移到一张桌上去?说明理由．

分析：请画图帮助分析.我们将桌子依次编为l号，2号，…，6号．我们来考察盘子所在桌子的号码和．显然，最初的号码和为：l+2+3+4+5+6=21．而如果能办到，即6只盘子都在n号桌上，号码和为6n．再看每次操作号码和有何变化．每只被移动的盘子的号码要么加l要么减1，两只盘子对号码和的影响是：要么都加1，即加2；要么一加一减，即不变；要么都减1，即减2．但是不管怎样，都不会改变号码和的奇偶性，而21和6n的奇偶性显然不同．因此要把所有盘子移到一起是不可能的．

【例8】能否将1～16这16个自然数填入4×4的方格表中(每个小方格只填一个数)，使得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数?如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由．

分析：不能．将所有的行和与列和相加，所得之和为4× 4的方格表中所有数之和的2倍．即为(1+2+3+…+15+16)×2=16×17．而8个连续的自然数之和设为：k+(k +1)+ (k+2)+(k +3)+(k +4)+(k +5)+(k +6)+(k +7) =8k+28．若4×4的方格表中各行之和及各列之和恰好

是8个连续的自然数，应有8k +28=16×17，即2k +7=4×17 ，显然左端为奇数，右端为偶数，得出矛盾．

【拓展】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格中，使得每个横行中的三个数之和都是偶数?

分析：显然不能．如果能，我们把三个横行的和相加，其和就是三个偶数之和必为偶数，然而它也恰是九个数之和，即1+2+3+…+9=45，而偶≠奇．

【例9】将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045?

分析：不可能．因为45045是奇数，所以它只能表示成3个奇数的连乘积，但是对任何两个奇数x和y (x

【巩固】是否存在自然数a和b，使得ab(a+5b)= 15015?

分析：不存在．因为15015是奇数，所以a、b、a+5b都应为奇数，但是当a和b均为奇数时，a +5b却是偶数．

【例10】如果把8个整数分别填在方框内，使四个算式都成立，那么填入的数中

最多能有多少个奇数?

分析：一个加法或减法算式中，至少有一个偶数，所以我们把第一横排第二空，第

三横排第一空取偶数，就可满足条件，且偶数最少，那么此时奇数最多有6个．

【前铺】下面的四个算式中(如图)，每个方框代表一个整数.其中每个算式至少有

一个奇数和一个偶数.问：这12个整数中，共有几个偶数?

口+口=口

口-口=口

口×口=口

口÷口=口

分析：加法算式，只可能有三种情况.即：奇+偶=奇，奇+奇=偶，偶+偶=偶，但已知至少有一个奇数，所以第三种情况被排除，因而式中只有一个偶数.同理，第二个算式中也只有一个偶数.

乘法算式，只可能有三种情况，即：奇×偶=偶，偶×偶=偶，奇×奇=奇；由已知，只留下第一种情况，因而算式中有2个偶数.同理，第四个算式中有2个偶数.因此，4个算式中共有6个偶数.

【例11】甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数?”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗?

分析：甲的两张纸片，23是奇数，32是偶数．因此，只要能判断出甲的左手中握的是奇数，

即可知左手握的是23．

设甲左手握的数为a，右手握的数为b，乙同学请甲计算所得结果为f，则 3×a+2×b=c．

(1)若C为奇数，则3×a为奇数，所以左手握的数a是奇数．

(2)若C为偶数，则3×a为偶数，所以左手握的数a是偶数．

因此，从c的奇偶性就可以断定左手握的数a的奇偶性，从而确定左手握的数是23还是32．在本题中，c为奇数，因此合于第(1)种情况，a是奇数，即左手中握的是23．

【例12】甲、乙二人做游戏，先任意指定7个整数(允许有相同的).甲先把这7个整数以任意的顺序填在图中第一行的方格内，然后，乙再将这7个数以任意的顺序填在图第二行的方格内。最后，将所有的同一列的两个数的差(这样的差当然有7个)相乘.约定：如果积为偶数，算甲胜；如果积为奇数，算乙胜.你能判断谁胜吗?

分析：甲必胜.这是因为，在7个整数中，奇数的个数与偶数的个数是不相等的.因此，每一列的两个数不可能奇偶性都不相同 (因为如果每列中的两个数奇偶性都不同，那么7个数中奇数与偶数的个数一定相等)，也就是至少有一列的两个数的奇偶性相同，这两个数的差是偶数.于是，乘积必为偶数.

【例13】现有ll块铁，每块的重量都是整数.任取其中10块，都可以分成重量相等的两组，每组有5块铁.试说明：这11块铁每块的重量都相等.

分析：任取一块后，其余的可分成两组，重量相等，因此，其余的铁块的重量的和是偶数，换句话说，11块铁的总重量与其中任一块铁的重量，奇偶性相同.这样，11块铁的重量，或者全是奇数，或者全是偶数.

如果全是偶数，将每块铁的重量减少一半，仍然符合题中的条件.

如果全是奇数，将每块铁的重量增加1，仍然符合题中的条件.

不断采取以上两种做法.注意铁的重量增加1后，就应当除以2(即减少一半).因此铁的总重量将不断减少.除非每块铁的重量都是1.

因为铁的总重量不能无限的地减少下去，所以经过若干次上述的做法后，铁块的重量全变为1，即全都相等.将这一过程返回去，就知道上一步铁块的重量也都相等，于是最初的铁块重量也都相等.

附加题目

【附1】扑克牌中的J、Q、K分别表示1l、12、13．甲取13张红心，乙取13张草花，两人都各自任意出一张牌凑成一对，这样一共可凑成13对．如果将每对求和，再将这13个

和相乘．从积的奇偶性看，积应是奇数还是偶数？

分析：每人有7个奇数6个偶数，所以至少有一对是2个奇数，其和为偶数．因为自然数与偶数相乘是偶数，所以这13个和相乘，积必是偶数．

【附2】从起点起，每隔1米种一棵树。如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离数是偶数(以米为单位).为什么?

分析：给每棵树编号，每棵树的号码数，也就是这棵数到零点的一棵树的距离。假定挂牌的三棵树的编号分别为a、b、c，那么这三个数只有四种可能：

(1)三数都是奇数；

(2)两个奇数，一个偶数；

(3)三数都是偶数；

(4)两个偶数，一个奇数。

不管怎样挂，至少有两棵挂牌树之间的距离数是偶数(以米为单位).

【附3】(1)如图，你能否把从1到7的所有的数安排在圆周上，使它们每个数都能

被它的两个相邻数之差所整除?

(2)如果上述要求不变，但要把从1到7改为从1到9的各数呢?

分析：(1)是可以安排的，具体做法见右图．其中任何一数都能被它两个邻数之差

所整除．如果你注意到奇数不可能被偶数整除的话，就会明白圆周上不可能出现“偶一奇一偶”的安排．由此可见奇数一定会成对出现．但是在1，2，…，9之间却存在了5个奇数，所以它们不可能全都成对出现，这就说明(2)是不可能安排的．

【附4】能否将1，1，2，2，3，3，…，10，10这20个数排成一排，使得两个1之间夹着这20个数中的1个数，两个2之间夹着这20个数中的2个数……两个10之间夹着这20个数中的10个数？为什么？

分析：不能。如果能排成，那么按这种排法将这20个数从左到右依次编为1号，2号 (20)

号。因为两个1之间只有一个数，所以两个1的序号奇偶性相同。同理，任何一对相同奇数的序号奇偶性也相同，而任何一对相同偶数的序号奇偶性不同。20个序号奇偶各10个，其中五对偶数数的序号占了奇偶各5个，剩下的奇偶各5个序号不可能是五对偶数的序号。

练习九

1. 在的4×4方格中还有12个空格，希望填入12个自然数，使得同一行中相邻两数

的差(大数减小数)都相等，同一列中相邻两数的差(大数减小数)也相等.问：这件事

能否办到？为什么？

分析：按照题目要求，第二行第三列的数既应与1奇偶性相同，又应与6奇偶性相同，

矛盾.

2．能不能在下式：1口2口3口4口5口6口7口8口9=10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立?

分析：在一个只有自然数加减法运算的式子中，如果把式子中任一减法运算改成加法运算，那么所得结果的奇偶性不变.因此无论在每个方框中怎样填加减号，所得结果的奇偶性，与在每个方框中都填入加号所得结果的奇偶性一样.但是，每个方框中都填入加号所得结果是奇数.而式子的右边是10，是个偶数.因而无论怎样填加减号，两边的奇偶性不同，所以不能使等式成立.

3．有3个不同的自然数组成一等式：口+△+O=口×△一○，这三个数中最多有多少个奇数？

分析：因为2+4+1=2×4-l，所以这三个数中可以有一个奇数.如果这三个数中有2个奇数和1个偶数，那么等式左边必为偶数，等式右边必为奇数，不可能.如果这三个数均为奇数，那么等式左边必为奇数，而等式右边必为偶数，不可能.因此，这三个数中最多有1个奇数.

4．把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都

是奇数？试讲出理由.

分析：不可能.假设在同一条直线上的红圈数都是奇数，5条直线上的红圈总数就会是

奇数（奇数乘以奇数仍是奇数）.因为每个红圈均在两条直线上，所以按各条直线上的

红圈数计算和时，每个红圈都被算了两次，所以红圈总数应是偶数.这就出现了矛盾，所以假设在同一条直线上的红圈数都是奇数是不可能的.

5．3～9这七个数，两两相乘后所得的乘积的和，是奇数还是偶数？为什么？

分析：七个数中有四个奇数，只有这四个奇数两两相乘得到6个奇数，其余都是偶数，所以和是偶数.

6．平面上有11个齿轮咬合成一圈．试问，能否使这些齿轮同时转动起来?

分析：不能．假设齿轮1顺时针转动，则齿轮2就应当逆时针转动，齿轮3—

顺时针转动，齿轮4—逆时针转动……．很清楚，凡“奇数号“齿轮均应顺

时针转动，而“偶数“号，齿轮则相反．这样一来，齿轮1和齿轮11均为顺时针转动，这是不可能的．

注：这道题解答的关键是：齿轮的转动应当是顺时针与逆时针交替变化,要想同时转动，必须是偶数个齿轮相连．

课外故事

态度是一件奇妙的东西

态度是一件奇妙的东西，它会产生神奇的力量。美国哈佛大学的一项实验，证实了态度的魔力。若干年前，罗伯特博士在哈佛大学主持一项为期六周老鼠通过迷阵吃干酪的实验，其对象是三组学生与三组老鼠。

他对第一组学生说："你们太幸运了，因为你们将跟一群天才老鼠在一起。这群聪明的老鼠将迅速通过迷阵抵达终点，然后吃许多干酪，所以你们必须多准备些干酪放在终站。"

他对第二组学生说："你们将跟一群普通的老鼠在一起。这群平庸的老鼠最后还是会通过迷障抵达终点，然后吃一些干酪。因为它们智能平平，所以期望不要太高。"

他对第三组学生说："很抱歉，你们将跟一群笨老鼠在一起。这群笨老鼠的表现会很差，不太可能通过迷障到达终点，因此你们根本不用准备干酪。"

六个星期之后，实验结果出来了。天才老鼠迅速通过迷阵，很快就抵达终点：普通老鼠也到达终点，不过速度很慢：至于愚笨的老鼠，只有一只通过迷障抵达终点。

有趣的是，其实根本没有什么天才老鼠与笨老鼠，它们全都是同一窝的普通老鼠。这些老鼠之所以表现有天壤之别，完全是因为实验的学生受了罗伯特博士的影响，对他们态度不同所产生的结果，学生们当然不懂老鼠的语言，然而老鼠知道学生对它们的态度。

此一实验证明了态度的神奇力量。因此，一个人要成功，除了努力之外，必须具备正确的态度。