上海民办新竹园中学数学几何图形初步单元测试卷(解析版)
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.已知如图,∠COD=90°,直线AB与OC交于点B,与OD交于点A,射线OE与射线AF交于点G.
(1)若OE平分∠BOA,AF平分∠BAD,∠OBA=42°,则∠OGA=________;
(2)若∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,∠OBA=42°,则∠OGA=________;
(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA= ”,其它条件不变,求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
(4)若OE将∠BOA分成1︰2两部分,AF平分∠BAD,∠ABO= (30°< α <90°),求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
【答案】(1)21°
(2)14°
(3)解:∵∠BOA=90°,∠OBA=α,
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+α,
∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD
∴∠GAD=30°+ α,∠EOA=30°,
∴∠OGA=∠GAD?∠EOA= α.
(4)解:当∠EOD:∠COE=1:2时,
∴∠EOD=30°,
∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°,
∵AF平分∠BAD,
∴∠FAD= ∠BAD,
∵∠FAD=∠EOD+∠OGA,
∴2×30°+2∠OGA=α+90°,
∴∠OGA= α+15°;
当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°,
同理得到∠OGA= α?15°,
即∠OGA的度数为α+15°或α?15°.
【解析】解:(1)∵∠BOA=90°,∠OBA=42°,
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°,
∵AF平分∠BAD,OE平分∠BOA,∠BOA=90°,
∴∠GAD= ∠BAD=66°,∠EOA= ∠BOA=45°,
∴∠OGA=∠GAD?∠EOA=66°?45°=21°;
故答案为21°;
⑵∵∠BOA=90°,∠OBA=42°,
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°,
∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,
∴∠GAD=44°,∠EOA=30°,
∴∠OGA=∠GAD?∠EOA=44°?30°=14°;
故答案为14°;
【分析】(1)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;
(2)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;
(3)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出
即可;
(4)讨论:当∠EOD:∠COE=1:2时,利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°,∠FAD=∠EOD+∠OGA得到2×30°+2∠OGA=α+90°,
则∠OGA= α+15°;当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°,同理得∠OGA= α-15°. 2.如图,直线l上有A、B两点,AB=24cm,点O是线段AB上的一点,OA=2OB.
(1)OA=________cm,OB=________cm.
(2)若点C是线段AO上一点,且满足AC=CO+CB,求CO的长.
(3)若动点P、Q分别从A、B同时出发,向右运动,点P的速度为2cm/s,点Q的速度为1cm/s,设运动时间为t(s),当点P与点Q重合时,P、Q两点停止运动.
①当t为何值时,2OP﹣OQ=8.
②当点P经过点O时,动点M从点O出发,以3cm/s的速度也向右运动.当点M追上点Q后立即返回,以同样的速度向点P运动,遇到点P后立即返回,又以同样的速度向点Q 运动,如此往返,直到点P、Q停止时,点M也停止运动.在此过程中,点M行驶的总路程为________ cm.
【答案】(1)16;8
(2)解:设CO=x,则AC=16﹣x,BC=8+x,
∵AC=CO+CB,
∴16﹣x=x+8+x,
∴x= ,
∴CO=
(3)48
【解析】【解答】解:(1)∵AB=24,OA=2OB,
∴20B+OB=24,
∴OB=8,0A=16,
故答案分别为16,8.(3)①当点P在点O左边时,2(16﹣2t)﹣(8+t)=8,t= ,当点P在点O右边时,2(2t﹣16)﹣(8+t)=8,t=16,
∴t= 或16s时,2OP﹣OQ=8.
②设点M运动的时间为ts,由题意:t(2﹣1)=16,t=16,
∴点M运动的路程为16×3=48cm.
故答案为48cm.
【分析】(1)由OA=2OB,OA+OB=24即可求出OA、OB.(2)设OC=x,则AC=16﹣x,
BC=8+x,根据AC=CO+CB列出方程即可解决.(3)①分两种情形①当点P在点O左边时,2(16﹣2t)﹣(8+t)=8,当点P在点O右边时,2(2t﹣16)﹣(8+x)=8,解方程即可.
②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间,设点M运动的时间为ts由题意得:t(2﹣1)=16由此即可解决.
3.如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=120°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,另一边ON仍在直线AB 的下方.
(1)若OM恰好平分∠BOC,求∠BON的度数;
(2)若∠BOM等于∠COM余角的3倍,求∠BOM的度数;
(3)若设∠BON=α(0°<α<90°),试用含α的代数式表示∠COM.
【答案】(1)解:∵∠BOC=120°,OM恰好平分∠BOC
∴∠BOM=∠BOC=60°
又∵∠MON=90°
∴∠BON=∠MON?∠BOM
=90°?60°=30°
(2)解:设的余角为x°,
则
由题意得:,
x=15,
3x=45,
所以的度数为45°
(3)解:(0°< <90°).
.
【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义求出∠BOM的度数,再根据∠BON=∠MON?∠BOM,即可求出结果。
(2)设∠ C O M 的余角为x°,表示出∠COM的度数,再根据∠BOM=∠COM余角的3倍,建立方程求解即可。
(3)根据角的和与差计算即可。
4.如图1,△ABC中,∠ABC=∠BAC,D是BC延长线上一动点,连接AD,AE平分∠CAD 交CD于点E,过点E作EH⊥AB,垂足为点H.直线EH与直线AC相交于点F.设∠AEH=,∠ADC= .
(1)求证:∠EFC=∠FEC;
(2)①若∠B=30°,∠CAD=50°,则=________,=________;
②试探究与的关系,并说明理由;
(3)若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”,其它条件不变,请在图2中补全图形,并直接写出与的关系.
【答案】(1)证明:∵∠ABC=∠BAC,EH⊥AB.
∴∠EFC=∠AFH=90°-∠BAC,∠FEC=90°-∠ABC,
∴∠EFC=∠FEC.
(2)35°;70°;解:② , 理由如下: 由(1)可知:
, 又∵ , ∴ . ∴ .
(3)解:图形如下:
∵∠ABC=∠BAC,∠BHE=90°-∠ABC,∠F=90°-∠BAC,
∴ .
又∵,
∴在△CEF中有:∠ECF+2∠CEF=180°,
即 .
.
∵2∠EAC=∠DAC, ,
∴ .∴即 .
∴ .
【解析】【解答】解:(2)①∵∠CAD=50°,AE平分∠CAD,
∴∠ =∠AFH-∠EAC=90°-∠BAC-∠EAC=90°-30°-25°=35°.
∵∠ACB=∠ABC+∠BAC=60°,∠CAD=50°,
∴∠ =180°-∠ACB-∠CAD=180°-60°-50°=70°.
故答案为:35°,70°.
【分析】(1)利用等角的余角相等的性质证明即可.(2)①利用外角定理和角平分线的性质求解即可;②分别用∠和∠表示出∠AEC即可解.(3)画出图形,将所有的角度集中在△CEF 的内角和上,列出等式求解即可.
5.如图,已知点,且,满足 .过点分别作轴、轴,垂足分别是点A、C.
(1)求出点B的坐标;
(2)点M是边上的一个动点(不与点A重合),的角平分线交射线于点
N,在点M运动过程中,的值是否变化?若不变,求出其值;若变化,说明理由. (3)在四边形的边上是否存在点,使得将四边形分成面积比为1:4的两部分?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)解:由得:
,解得:
∴点的坐标为
(2)解:不变化
∵轴
∴BC∥x轴
∴
∵平分
∴
∴
∴
(3)解:点P可能在OC,OA边上,如下图所示,
由(1)可知,BC=5,AB=3,故矩形的面积为15
若点P在OC边上,可设P点坐标为,则
三角形BCP的面积为,
剩余部分面积为,
所以,解得,
P点坐标为;
若点P在OA边上,可设P点坐标为,则
三角形BAP的面积为,
剩余部分面积为,
所以,解得,
P点坐标为 .
综上,点的坐标为, .
【解析】【分析】(1)由绝对值和算术平方根的非负性可知由两个非负数的和为0,则这两个数都为0,由此可列出关于,的二元一次方程组,解之即可得出B点坐标;(2)根据平行线和角平分线的性质可证明,所以比值不变化;
(3)点P只能在OC,OA边上,表示出两部分的面积,依比值求解即可.
6.如图1,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角尺(∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方.
(1)若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度,沿顺时针方向旋转t秒,当OM恰好平分∠BOC时,如图2.
①求t值;
②试说明此时ON平分∠AOC;
(2)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转,设∠AON=α,∠COM=β,当ON在∠AOC内部时,试求α与β的数量关系;
(3)若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时,射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转,如图3,那么经过多长时间,射线OC第一次平
分∠MON?请说明理由.
【答案】(1)解:①∵∠AOC=30°,OM平分∠BOC,∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°,∴∠COM=∠BOM=75°.
∵∠MON=90°,∴∠CON=15°,∠AON+∠BOM=90°,∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°,∴∠AON=∠CON,∴t=15°÷3°=5秒;
②∵∠CON=15°,∠AON=15°,∴ON平分∠AOC
(2)解:∵∠AOC=30°,∴∠NOC=∠AOC-∠AON=90°-∠MOC,∴30°-α=90°-β,∴β=α+60°
(3)解:设旋转时间为t秒,∠AON=5t,∠AOC=30°+8t,∠CON=45°,∴30°+8t=5t+45°,∴t=5.
即t=5时,射线OC第一次平分∠MON.
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论;(2)根据∠NOC=∠AOC-∠AON=90°-∠MOC即可得到结论;(3)分别根据转动速度关系和OC 平分∠MON列方程求解即可.
7.如图,在△ABC中,点E在AC边上,连结BE,过点E作DF∥BC,交AB于点D.若BE 平分∠ABC,EC平分∠BEF.设∠ADE=α,∠AED=β.
(1)当β=80°时,求∠DEB的度数.
(2)试用含α的代数式表示β.
(3)若β=kα(k为常数),求α的度数(用含k的代数式表示).
【答案】(1)解:∵β=80°,
∴∠CEF=∠AED=80°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠BEC=∠CEF=80°,
∴∠DEB=180°﹣80°﹣80°=20°;
(2)∵DF∥BC,
∴∠ADE=∠ABC=α,
∵BE平分∠ABC,
∴∠DEB=∠EBC=
∵EC平分∠BEF,
∴β=∠CEF=(180°﹣)=90°﹣α;
(3)∵β=kα,
∴90°﹣α=kα,
解得:α=
【解析】【分析】(1)根据对顶角的性质得到∠CEF=∠AED=80°,根据角平分线的定义即可得到结论;
(2)根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论;
(3)根据题意列方程即可得到结论.
8.己知AB∥CD,点E在直线AB,CD之间。
(1)如图①,试说明:∠AEC=∠BAE+∠ECD;
(2)若AH平分∠BAE,将线段CE沿射线CD平移至FG。
①如图②,若∠AEC=90°,FH平分∠DFG,求∠AHF的度数;
②如图③,若FH平分∠CFG,试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由。
【答案】(1)解:如图①
【法1】过点E作直线EK∥AB
因为AB∥CD,所以EK∥CD
所以∠BAE=∠AEK,∠DCE=∠CEK
所以∠AEC=∠AEK+∠CEK=∠BAE+∠ECD
【法2】连接AC,则∠BAC+∠DCA=180°
则∠BAC+∠DCA=180°
即∠BAE+∠EAC+∠ECA+∠ECD=180°
所以∠BAE+∠ECD=180°-(∠EAC+∠ECA)=∠AEC
即∠AEC=∠BAE+∠ECD
(2)解:①【法1】因为AH平分∠BAE,FH平分∠DFG,所以∠BAH=∠EAH,∠DFH=∠GFH
又因为FG∥CE,所以∠GFD=∠ECD
由(1)知,∠AHF=∠BAH+∠DFH
= ∠BAE+ ∠DFG= ∠BAE+ ∠DCE
= (∠BAE+∠DCE) = ∠AEC= ×90°=45°
【法2】因为AH平分∠BAE,所以∠BAH=∠EAH
因为HE平分∠DFG,设∠GFH=∠DFH=x
又CE∥FG,所以∠ECD=∠GFD=2x
又∠AEC=∠BAE+∠ECD,∠AEC=90°
所以∠BAH=∠EAH=45°-x
由(1) 知,易证∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°
②【法1】因为AH平分∠BAE,FH平分∠CFG,所以∠BAH=∠EAH,∠CFH=∠GFH
又因为FG∥CE,所以∠GFD=∠ECD
由(1)知,∠AHF=∠BAH+∠DFH
= ∠BAE+∠GFH+∠GFD= ∠BAE+ ∠CFG+∠GFD
= ∠BAE+ ∠(180°-∠GFD)+∠GFD=90°+ (∠BAE+∠GFD)
=90°+ (∠BAE+∠ECD)=90+ ∠AEC
【法2】设∠BAH=∠EAH=x,∠CED=y,则∠GFD=y
因为HF平分∠CFG,所以∠GFH=∠CFH=90°-
由(1)知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y
∠AHF=∠BAH+∠DFH=∠BAH+∠DFG+∠GFH
=x+y+90°- =x+ +90°= (2x+y)+90°= ∠AEC+90°
所以∠AHF= ∠AEC+90°(或2∠AHF=∠AEC+180°或2∠AHF-∠AEC=180°)
【解析】【分析】(1)过点E作直线EK∥AB,根据平行线的性质即可求解;也可连接AC,根据平行线的性质和三角形内角和定理求解;
(2)①根据(1)的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH,再结合平行线的性质和角平分线的定义表示出∠AHF,即可求解;也可设∠GFH=∠DFH=x,则∠BAH=45°-x,再根据∠AHF=∠BAH+∠DFH求解;
②根据(1)的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH,结合角平分线的定义将∠AHF用∠AEC表示出来;也可设∠BAH=∠EAH=x,∠CED=∠GFD=y,则有∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y,再结合∠AHF=∠BAH+∠DFH即可求解.
9.请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记,然后解决问题.
小明:老师说在解决有关平行线的问题时,如果无法直接得到角的关系,就需要借助辅助线来帮助解答,今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即
已知:如图1,,为、之间一点,连接,得到 .
求证:
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明:过点作,
∴
∵,
∴
∴ .
∵
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法,完成下面的两个问题.
(1)如图,若,,则 ________.
(2)如图,,平分,平分,,则
________.
【答案】(1)240°
(2)51°
【解析】【解答】(1)解:作EM∥AB,FN∥CD,如图,
AB∥CD,
∴AB∥EM∥FN∥CD,
∴∠B=∠1,∠2=∠3,∠4+∠C=180°,
∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF +180°,
∵,
∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°;(2)解:如图,分别过G、H作AB的平行线MN和RS,
∵平分,平分,
∴∠ABE= ∠ABG,∠SHC=∠DCF= ∠DCG,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥RS∥MN,
∴∠RHB=∠ABE= ∠ABG,∠SHC=∠DCF= ∠DCG,∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°,
∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°- (∠ABG+∠DCG),
∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°,
∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC,
又∵∠BGC=∠BHC+27°,
∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°,
∴∠BHC =51°.
【分析】(1)作EM∥AB,FN∥CD,如图,根据平行线的性质得AB∥EM∥FN∥CD,所以∠B=∠1,∠2=∠3,∠4+∠C=180°,然后利用等量代换计算∠B+∠F+∠C;(2)分别过G、H作AB的平行线MN和RS,根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG 分别表示出∠H和∠G,从而可找到∠H和∠G的关系,结合条件可求得∠H.
10.问题情景:如图1,AB//CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
小明的思路是:
过点P作PE//AB,
∴∠PAB+∠APE=180°.
∵∠PAB=130°,∴∠APE=50°
∵AB//CD,PE//AB,∴PE//CD,
∴∠PCD+∠CPE=180°.
∵∠PCD=120°,∴∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
问题迁移:如果AB与CD平行关系不变,动点P在直线AB、CD所夹区域内部运动时,∠PAB,∠PCD的度数会跟着发生变化.
(1)如图3,当动点P运动到直线AC右侧时,请写出∠PAB,∠PCD和∠APC之间的数量关系?并说明理由.
(2)如图4,AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,请直接写出∠AQC和∠APC的数量关系________.
(3)如图5,点P在直线AC的左侧时,AQ,CQ仍然平分∠PAB,∠PCD,请直接写出∠AQC和角∠APC的数量关系________
【答案】(1)∠PAB+∠PCD=∠APC
理由:如图3,过点P作PF∥AB,
∴∠PAB=∠APF,
∵AB∥CD,PF∥AB,
∴PF∥CD,
∴∠PCD=∠CPF,
∴∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC,
即∠PAB+∠PCD=∠APC
故答案为:∠PAB+∠PCD=∠APC
(2)
(3)2∠AQC+∠APC=360°
【解析】【解答】(2)
理由:如图4,
∵AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,
∴∠QAB= ∠PAB,∠QCD= ∠PCD,
∴∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD),由(1),可得∠PAB+∠PCD=∠APC,
∠QAB+∠QCD=∠AQC
∴∠AQC= ∠APC
故答案为:∠AQC= ∠APC;(3)2∠AQC+∠APC=360°理由:如图5,过点P作PG∥AB ,
∴∠PAB+∠APG=180°,
∵AB∥CD,PG∥AB,
∴PG//CD,
∴∠PCD+∠CPG=180°,
∴∠PAB+∠APG+∠PCD+∠CPG=360°,
∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°,
∵AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,
∴∠QAB= ∠PAB,∠QCD= ∠PCD,
∴∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+PCD)
由(1)知,∠QAB+∠QCD=∠AQC,
∴∠AQC= (∠PAB+∠PCD)
2∠AQC=∠PAB+∠PCD,
∵∠PAB+∠PCD+∠APC=360°,
∴2∠AQC+∠APC=360°.
【分析】(1)过点P作PF∥AB,可得∠PAB=∠APF,根据AB∥CD,PF∥AB,可得∠PCD=∠CPF,所以∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC,即可证得∠PAB+∠PCD=∠APC;
(2)已知AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,根据角平分线性质,可得∠QAB= ∠PAB,
∠QCD= ∠PCD,∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD),再根据(1)结论,
即可证明∠AQC= ∠APC.(3)过点P作PG∥AB,根据平行线的性质可得∠PAB+∠APG=180°,由已知可得PG//CD,∠PCD+∠CPG=180°,证明得∠PAB+∠PCD+∠APC=360°,,再根据AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,可得
∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD),即可证明得出结论2∠AQC+∠APC=360°.
11.AB∥CD,C在D的右侧,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在的直线交于点E.∠ADC=70°.
(1)求∠EDC 的度数;
(2)若∠ABC=30°,求∠BED 的度数;
(3)将线段 BC沿 DC方向移动,使得点 B在点 A的右侧,其他条件不变,若∠ABC=n°,请直接写出∠BED 的度数(用含 n的代数式表示).
【答案】(1)∵平分,
∴;
(2)过点作,如图:
∵平分,;平分,
∴,
∵,
∴
∴,
∴;
(3)过点E作,如图:
∵DE平分,;BE平分,
∴,
∵,
∴
∴,
∴.
【解析】【分析】(1)根据角平分线定义即可得到答案;(2)过点作,然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解;(3)过点作,然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解.
12.
(1)①如图1,已知,,可得 ________.
②如图2,在①的条件下,如果平分,则 ________.
③如图3,在①、②的条件下,如果,则 ________.
(2)尝试解决下面问题:已知如图4,,,是的平分线,,求的度数.
【答案】(1)60°;30°;60°
(2)解:∵,
∴,
∵,
∴ .
∵是的平分线,
∴
∵,
∴ .
【解析】【解答】解:(1)①由两直线平行,内错角相等得到∠BCD=60°;
②如果平分,则 =30°;
③如果,则 90°- 60°.
【分析】(1) ①根据两直线平行,内错角相等即可求解;②根据角平分线的定义求解即可;③根据互余的两个角的和等于90°,计算即可;(2)先根据两直线平行,同旁内角互补和角平分线的定义求出∠BCN的度数,再利用互余的两个角的和等于90°即可求出.