高中数学数列知识点总结教学提纲

高中数学数列知识点

总结

数列基础知识点

《考纲》要求：

1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；

2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题；

3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。

数列的概念

N *

或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项． 2．数列的通项公式

一个数列{a n }的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．

3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：

=n a ??

??

?≥==2

1n n a n

4．求数列的通项公式的其它方法

⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．

⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．

⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.

例1. 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴ －

3

12?，534?，－758?，9716?…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…；

⑶ 1，1，2，2，3，3， 解： ⑴ a n ＝(－1)

n

)

12)(12(12+--n n n

⑵ a n ＝)673(2

12+-n n

（提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得

)673(2

1

)43)(1(2

1

1)]53(10741[12+-=

--+=-++++++=n n n n n a n Λ

⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为

,2

1

3,202,211+++ ,,2

6,215,204Λ+++ ∴4

)1(122

2)1(111

++-++=

-++

=

n n n n n a

变式训练1.某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式： ① a n ＝

22[1＋(－1)n

] ② a n ＝n )(11-+

③ a n ＝ ??

?)

(0

)

(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是 （ ）

A ．①

B ．①②

C ．②③

D ．①②③ 解：D

例2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项．

⑴ S n ＝3n

－2

⑵ S n ＝n 2

＋3n ＋1

解 ⑴ a n ＝S n －S n －1 (n ≥2) a 1＝S 1 解得：a n ＝???

=≥?-)

1(1)2(3

21

n n n ⑵ a n ＝??

?≥+=)

2(22)1(5

n n n

变式训练2：已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *

)，则数列{a n }的通项公式为 ．

解：,110101)1lg(+=?=-?=-n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n

－10

n －1

＝9·10

n －1

．故a n ＝????

?≥?=-)2(10

9)

1(111

n n n

例3. 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．

⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2) ⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n ≥2) ⑶ a 1＝1，a n ＝

11

--n a n

n (n ≥2) 解：⑴ a n ＝2a n －1＋1?(a n ＋1)＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，a 1＋1＝2．故：a 1＋1＝2n

，∴a n ＝2n

－1．

⑵a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1－a n －2）＋…＋（a 3－a 2）＋（a 2－a 1）＋a 1＝3n －1＋3n －2＋…＋33

＋3＋1＝)13(2

1-n ．

(3)∵n

n a a n n 1

1-=-

∴a n ＝

?--?-=?????-----1

2

111232211n n n n a a a a a a a a a n n n n n n Λ n

n n 112123=???--Λ

变式训练3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2

2+n n a a (n ∈N *

)，求该数列的通项公式． 解：方法一：由a n ＋1＝

2

2+n n

a a 得 21111

=-

+n n a a ，∴{n a 1}是以111=a 为首项，2

1为公差的等差数列． ∴

n a 1＝1＋(n －1)·2

1,即a n ＝12+n 方法二：求出前5项，归纳猜想出a n ＝

1

2

+n ，然后用数学归纳证明． 例4. 已知函数)(x f ＝2x

－2－x

，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式． 解：n a f n a n a n 222)(log 2log 2log 2-=-=-

n a a n

n 21

-=-

得n n a n -+=12 变式训练4.知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n ∈N *

）． (1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；

(2) 令f (x)＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x)在点x ＝1处导数f 1

(1)． 解：(1) 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴ n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减，得： S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1 从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)

当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，∴ a 1＋a 2＝2a 1＋6, 又a 1＝5，∴ a 2＝11 ∴

1

1

1+++n n a a ＝2，即{a n ＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列. (2) 由(1)知a n ＝3×2n

－1

∵ )(x f ＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n

∴ )('x f ＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1

从而)1('f ＝a 1＋2a 2＋…＋na n

＝(3×2－1)＋2(3×22

－1)＋…＋n(3×2n

－1)

＝3(2＋2×22＋…＋n ×2n

)－(1＋2＋…＋n)

＝3[n ×2

n ＋1

－(2＋ (2)

)]－

2

)

1(+n n ＝3(n －1)·2n ＋1

－

2

)

1(+n n ＋6

1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.

2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n ≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．

3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f(n)，n

n a a 1

+＝f(n)，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．

数列的概念与简单表示法

●三维目标

知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系

过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。

情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点

根据数列的递推公式写出数列的前几项 ●教学难点

理解递推公式与通项公式的关系 1、 通项公式法

如果数列{}n a 的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 如数列

的通项公式为 ；

的通项公式为

；

的通项公式为 ；

2、 图象法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项

为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为

例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在

轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数

由小到大变化而变化的趋势． 3、 递推公式法

知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题． 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下：

第1层钢管数为4；即：1?4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2?5＝2+3

第3层钢管数为6；即：3?6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4?7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5?8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6?9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7?10＝7+3

若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）

运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

即41=a ；114512+=+==a a ；115623+=+==a a 依此类推：11+=-n n a a （2≤n ≤7）

对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 定义：

递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一

项，用

表示第一项，……，用

表示第 项，依次写出成为

4、列表法

．简记为

．

[范例讲解]

例3 设数列{}n a 满足1111

1(1).n

n a a n a -=?

?

?=+>??

写出这个数列的前五项。 解：分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：1

11-+

=n n a a

解：据题意可知：3

211,211,123121=+==+==a a a a a ，58

,3511534==+

=a a a [补充例题]

例4已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．

法一：21=a 2

2222=?=a 323222=?=a ，观察可得 n n a 2=

法二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即

21

=-n n

a a ∴

11

2322112------=????n n n n n n n a a

a a a a a a ΛΛ ∴ n

n n a a 2211=?=-

[补充练习]

1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 (1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)； (2) 1a ＝1, 1+n a ＝

2

2+n n

a a (n ∈N)； (3) 1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N).

解：(1) 1a ＝0, 2a ＝1, 3a ＝4, 4a ＝9, 5a ＝16, ∴ n a ＝(n －1)2

; (2) 1a ＝1,2a ＝

32,3a ＝4221=, 4a ＝52, 5a ＝6231=, ∴ n a ＝1

2+n ; (3) 1a ＝3＝1+20

3?, 2a ＝7＝1+21

3?, 3a ＝19＝1+22

3?,

4a ＝55＝1+233?, 5a ＝163＝1+243?, ∴ n a ＝1＋2·31-n ;

Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容：

1．递推公式及其用法；

2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n 项）之间的关系。

等差数列的定义与性质

定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+

前n 项和()()

11122

n n

a a n n n S na

d +-==+

性质：{}n a 是等差数列

（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；

（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2

；

（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则

21

21

m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）

n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，

即：当100a d ><，，解不等式组1

0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值.

当100a d <>，，由10

n n a a +≤??

≥?可得n S 达到最小值时的n 值.

(6)项数为偶数n 2的等差数列{}

n a ，有

),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ

nd S S =-奇偶，

1

+=

n n

a a S S 偶

奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}

n a ，有

)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

n a S S =-偶奇，

1

-=

n n S S 偶

奇. 等比数列的定义与性质

定义：

1

n n

a q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.

等比中项：x G y 、、成等比数列2

G xy ?=

，或G =

前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q

=??

=-?≠?

-?（要注意！）

性质：{}n a 是等比数列

（1）若m n p q +=+，则m

n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n

q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？

1n =时，11a S =；

2n ≥时，1n n n a S S -=-.

求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法 如：数列{}n a ，122111

25222

n n a a a n +++=+……，求n a 解 1n =时，

11

2152a =?+，∴114a = ① 2n ≥时，12121111

215222

n n a a a n --+++=-+……

② ①—②得：122n n a =，∴1

2n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=?=?≥?

［练习］数列{}n a 满足1115

43n n n S S a a +++=

=，，求n a 注意到11n n n a S S ++=-，代入得

1

4n n

S S +=；

又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S = 2n ≥时，113

4n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法

如：数列{}n a 中，1131

n n

a n

a a n +==

+，，求n a