上海复旦实验中学数学几何图形初步单元测试卷附答案

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．已知，，点E是直线AC上一个动点（不与A,C重合），点F是BC边上一个定点，过点E作，交直线AB于点D，连接BE，过点F作，交直线AC于点G．

（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：．

（2）在（1）的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．

（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．

（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．

【答案】（1）解：∵

∴

∵

∴

∴

（2）解：这三个角的度数和为一个定值，是过点G作交BE于点H

∴

∵

∴

∴

∴

即

（3）解：过点G作交BE于点H

∴

∵

∴

∴

∴

即

故的关系仍成立

（4）不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°

【解析】【解答】解：(4)过点G作交BE于点H

∴∠DEC=∠EGH

∵

∴

∴∠HGF+∠BFG=180°

∵∠HGF=∠EGF-∠EGH

∴∠HGF=∠EGF-∠DEC

∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°

∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°

【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．（2）过点G作交BE于点H，根据平行线性质定理，，

，即可得到答案．（3）过点G作交BE于点H，得到

，因为，所以，得到，

即可求解．（4）过点G作交BE于点H，得∠DEC=∠EGH，因为，所以，推得∠HGF+∠BFG=180°，即可求解．

2．如图下图所示,已知AB//CD, ∠B=30°，∠D=120°;

（1）若∠E=60°，则∠F=________;

（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由.

（3）如下图所示,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数;

【答案】（1）90°

（2）解：如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB

∴EM∥AB∥FN

∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN

又∵AB∥CD，AB∥FN

∴CD∥FN

∴∠D+∠DFN=180°

又∵∠D =120°

∴∠DFN=60°∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°

∴∠EFD=∠MEF +60°

∴∠EFD=∠BEF+30°

（3）解：如图，过点F作FH∥EP

由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°

设∠BEF=2x°，则∠EFD=（2x+30）°

∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD

∴∠PEF= ∠BEF=x°，∠EFG= ∠EFD=（x+15）°

∵FH∥EP

∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG ∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°∴∠P=15°

【解析】【解答】解：（1）分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，则有AB∥EM∥FN∥CD.∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠DFN=180°-∠CDF=60°，

∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，

∴∠EFD=∠BEF+30°=90°.

【分析】（1）分别过点E、F作AB的平行线，根据平行线的性质即可求解；

（2）根据平行线的性质可得∠DFN=60°，∠BEM=30°，∠MEF=∠NFE，即可得到结论；（3）过点F作FH∥EP，设∠BEF=2x°，根据（2）中结论即可表示出∠BFD，根据角平分线的定义可得∠PEF=x°，∠EFG=（x+15）°，再根据平行线的性质即可得到结论.

3．在数轴上、两点分别表示有理数和，我们用表示到之间的距离；例如表示7到3之间的距离.

（1）当时，的值为________.

（2）如何理解表示的含义？

（3）若点、在0到3（含0和3）之间运动，求的最小值和最大值.

【答案】（1）5或-3

（2）解：∵ = ，

∴表示到-2的距离

（3）解：∵点、在0到3（含0和3）之间运动，

∴0≤a≤3, 0≤b≤3,

当时， =0+2=2，此时值最小，

故最小值为2；

当时， =2+5=7，此时值最大，

故最大值为7

【解析】【解答】（1）∵，

∴a=5或-3；

故答案为：5或-3；

【分析】（1）此题就是求表示数a的点与表示数1的点之间的距离是4，根据表示数a的点在表示数1的点的右边与左边两种情况考虑即可得出答案；

（2）此题就是求表示数b的点与表示数-2的点之间的距离;

（3）此题就是求表示数a的点与表示数2的点之间的距离及表示数b的点与表示数-2的点之间的距离和，而0≤a≤3, 0≤b≤3, 借助数轴当时，的值最小；当时，的值最大.

4．如图1，∠AOB=120°，∠COE=60°，OF平分∠AOE

（1）若∠COF=20°，则∠BOE=________°

（2）将∠COE绕点O旋转至如图2位置，求∠BOE和∠COF的数量关系

（3）在（2）的条件下，在∠BOE内部是否存在射线OD，使∠DOF=3∠DOE，且∠BOD=70°？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）40

（2）解：∵

∴

∴

（3）解：存在．理由如下：

∵

设

∴

∵

∴

∴

∴

∴

【解析】【解答】⑴

∴

∵OF平分∠AOE，

∴

∴

∴

故答案为：40。

【分析】（1）根据，∠EOF=∠COE-∠COF=40°，再由角平分线的定义得出∠AOF=∠EOF=40°，最后∠BOE=∠AOB?∠AOE=120°?80°=40°.

（2）由角平分线的定义得出∠AOE=2∠EOF，再利用等量代换得∠AOE=120°?∠BOE=2(60°?∠COF) , 整理得∠BOE=2∠COF；

（3）∠DOF=3∠DOE，设∠DOE=α，∠DOF=3α ，∠AOF=∠EOF=2α ，根据∠AOD+∠BOD=120°，构建一个含α的方程，5α+70°=120°求出α，进而求出∠DOF和∠COF.

5．如图

（1）如图1，AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°。求∠EPF的度数。

小明想到了以下方法(不完整)，请填写以下结论的依据：

如图1，过点P作PM∥AB，

∴∠1=∠AEP=40°(________)

∵AB∥CD，(已知)

∴PM∥CD，(________)

∠2+∠PFD=180°(________)

∵∠PFD=130°，∴∠2=180°-130°=50°

∴∠1+∠2=40°+50°=90°

即∠EPF=90°

（2）如图2，AB∥CD，点P在AB，CD外，问∠PEA，∠PFC，∠P之间有何数量关系?请说明理由；

（3）如图3所示，在(2)的条件下，已知∠P=α，∠PEA的平分线和ZPFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数是________。(直接写出答案，不需要写出过程)

【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补

（2）解：

理由如下：过点作，则

∴

∵

∴

∵

∴

∴

即 .

（3）

【解析】【解答】（3）如图：

∵EG平分∠PEA，FG平分∠PFC，

∴∠1=∠PFC，∠2=∠PEA，

∴∠1-∠2=∠PFC-∠PEA=（∠PFC-∠PEA），

∵∠PFC=∠PEA+∠P，

∴∠PFC-∠PEA=∠P，

∴∠1-∠2=∠P，

∵∠3=∠P+∠2，

∴∠G=∠3-∠1=∠P+∠2-∠1=∠P=α.

【分析】（1）根据平行线的性质及平行公理，即可求解；

（2）过点P作PN∥AB，根据平行公理得PN∥CD，得出∠PFC=∠FPN，由AB∥CD得出∠PEA=∠NPE，

从而得出∠FPN=∠PEA+∠FPE，即可求出∠PFC=∠PEA+∠FPE，即可求解；

（3）根据角平分线的定义得出∠1=∠PFC，∠2=-∠PEA，由∠PFC=∠PEA+∠P，得出∠1-∠2=

∠P，由三角形的外角性质得出∠G=∠3-∠1，∠3=∠P+∠2，从而求出∠G=α.

6．已知，AB//CD,（1）如图，若E 为DC 延长线上一点，AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE 的平分线.

（1）求证：AF//CG.

（2）若 E 为线段 DC 上一点（E 不与 C 重合），AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，画出图形，试判断 AF，CG 的位置关系，并证明你的结论.

【答案】（1）证明：∵AB//CD

∴∠BAC=∠ACE，

∵AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，

∴∠CAF= ∠BAC, ∠ACG= ∠ACE,

∴∠CAF=∠ACG

∴AF//CG.

（2）解：AF⊥CG，理由如下：

如图，AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，

∴∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD,

∵AB//CD,

∴∠BAC+∠ACD=180°，

∴∠1+∠2= ∠BAC+ ∠ACD= （∠BAC+∠ACD）=90°，

∴∠3=180°-（∠1+∠2）=90°，

∴AF⊥CG.

【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出∠BAC=∠ACE，根据角平分线的定义得出∠CAF=∠ACG ，进而根据内错角相等，二直线平行得出AF∥CG；

（2）根据题意作出图形，根据角平分线的定义得出∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD, 根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BAC+∠ACD=180°，从而即可得出∠1+∠2= 90°，根据三角形的内角和定理得出∠3=90°，进而根据垂直的定义得出AF⊥CG.

7．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，E分别是x轴和y轴上的任意点．BD是∠ABE的平分线，BD的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C．

（1）探究：

求∠C的度数．

（2）发现：当点A，点B分别在x轴和y轴的正半轴上移动时，∠C的大小是否发生变化？若不变，请直接写出结论；若发生变化，请求出∠C的变化范围．

（3）应用：如图2在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，CF平分∠DCB，CF的反向延长线与∠EDC外角的平分线相交于点P，求∠P的度数．

【答案】（1）解：∵∠ABE＝∠OAB+∠AOB，∠AOB＝90°，

∴∠ABE＝∠OAB+90°，

∵BD是∠ABE的平分线，AC平分∠OAB，

∴∠ABE＝2∠ABD，∠OAB＝2∠BAC，

∴2∠ABD＝2∠BAC+90°，

∴∠ABD＝∠BAC+45°，

又∵∠ABD＝∠BAC+∠C，

∴∠C＝45°

（2）解：不变．

理由如下：∵∠ABE＝∠OAB+∠AOB，∠AOB＝90°，

∴∠ABE＝∠OAB+90°，

∵BD是∠ABE的平分线，AC平分∠OAB，

∴∠ABE＝2∠ABD，∠OAB＝2∠BAC，

∴2∠ABD＝2∠BAC+∠AOB，

∴∠ABD＝∠BAC+ ∠AOB，

又∵∠ABD＝∠BAC+∠C，

∴∠C＝∠AOB＝45°

（3）解：延长ED，BC相交于点G．

在四边形ABGE中，

∵∠G＝360°﹣（∠A+∠B+∠E）＝50°，

∴∠P＝∠FCD﹣∠CDP＝（∠DCB﹣∠CDG）

＝∠G＝ ×50°＝25°

【解析】【分析】（1）（2）根据三角形外角的性质和角平分线的性质进行解答；

（3）延长ED，BC相交于点G，根据四边形形内角和为360°求得∠G的度数，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求∠P的度数.

8．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.

小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即

已知:如图1，，为、之间一点，连接，得到 .

求证:

小明笔记上写出的证明过程如下:

证明:过点作，

∴

∵，

∴

∴ .

∵

∴

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

（1）如图，若，，则 ________.

（2）如图，，平分，平分，，则

________.

【答案】（1）240°

（2）51°

【解析】【解答】（1）解：作EM∥AB，FN∥CD，如图，

AB∥CD，

∴AB∥EM∥FN∥CD，

∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，

∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF +180°，

∵，

∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；（2）解：如图，分别过G、H作AB的平行线MN和

RS，

∵平分，平分，

∴∠ABE= ∠ABG，∠SHC=∠DCF= ∠DCG，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥RS∥MN，

∴∠RHB=∠ABE= ∠ABG，∠SHC=∠DCF= ∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，

∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°- (∠ABG+∠DCG)，

∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°，

∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC，

又∵∠BGC=∠BHC+27°，

∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°，

∴∠BHC =51°．

【分析】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，根据平行线的性质得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代换计算∠B+∠F+∠C；（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG 分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H．

9．已知，，点在射线上， .

（1）如图1，若，求的度数；

（2）把“ °”改为“ ”，射线沿射线平移，得到，其它条件不变（如图2所示），探究的数量关系；

（3）在（2）的条件下，作，垂足为，与的角平分线交于点，若，用含α的式子表示（直接写出答案）.

【答案】（1）解：∵CD//OE，

∴∠AOE=∠OCD=120°，

∴∠BOE=360°-90°-120°=150°

（2）解：如图2，过O点作OF//CD，

∴CD//OE，

∴OF∥OE，

∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠EO'O=180°-∠BO'E，

∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E=360°-（∠OCD+∠BO'E）=120°，

∴∠OCD+∠BO'E=240°

（3）30°+

【解析】【解答】解：（3）如图，

∵CP是∠OCD的平分线，

∴∠OCP= ∠OCD，

∴∠CPO'=360°-90°-120°-∠OCP

=150°- ∠OCD

=150°- （240°-∠BO'E）

=30°+

【分析】（1）先求出到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求解；

（2）过O点作OF//CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO'E的数量关系；（3）根据四边形内角和为360°，再结合（2）的结论以及角平分线的定义即可解答.

10．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），固定三角板，另一三角板的边从边开始绕点顺时针旋转，设旋转的角度为．

（1）当时；

若，则的度数为________；

（2）若，求的度数；

（3）由（1）（2）猜想与的数量关系，并说明理由；

（4）当时，这两块三角尺是否存在一组边互相垂直？若存在，请直接写出所有可能的值，并指出哪两边互相垂直（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．【答案】（1）150°

（2）∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，

∴∠DCB=130°?90°=40°，

∴∠DCE=90°?40°=50°；

（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：

①当时，如图1，

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，

∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；

②当时，如图2，∠ACB+∠DCE=180°，显然成立；

③当时，如图3，∠ACB+∠DCE=360°-90°-90°=180°．

综上所述：∠ACB+∠DCE=180°；

（4）存在，理由如下：

①若AD⊥CE时，如图4，则 =90°-∠A=90°-60°=30°，

②若AC⊥CE时，如图5，则 =∠ACE=90°，

③若AD⊥BE时，如图6，则∠EMC=90°+30°=120°，

∵∠E=45°，

∴∠ECD=180°-45°-120°=15°，

∴ =90°-15°=75°，

④若CD⊥BE时，如图7，则AC∥BE，

∴ =∠E=45°．

综上所述：当 =30°时，AD⊥CE，当 =90°时，AC⊥CE，当 =75°时，AD⊥BE，当

=45°时，CD⊥BE．

【解析】【解答】（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，

∴∠DCB=90°?30°=60°，

∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，

故答案是150°；

【分析】（1）①先根据直角三角板的性质求出∠DCB的度数，进而可得出∠ACB的度数；②由∠ACB=130°，∠ACD=90°，可得出∠DCB的度数，进而得出∠DCE的度数；（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别证明∠ACB与∠DCE的数量关系，即可；（3）分4种情况：①若AD⊥CE时，②若AC⊥CE时，③若AD⊥BE时，④若CD⊥BE

时，分别求出的值，即可．

11．直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动.

（1）如图1，∠BAO=70°,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB 的度数.

（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.

（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数.

【答案】（1）解：∵∠POM＝60°，∠BAO=70°，

∴∠ABO=50°.

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠EAB= ∠OAB=35°，∠EBA= ∠OBA=25°，

∴∠AEB=180°-35°-25°=120°

（2）解：不发生变化，理由如下：

如图，延长BC、AD交于点F，

∵点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点，

∴∠FAB= ∠PAB= （180°-∠OAB），∠FBA= ∠MBA= （180°-∠OBA），

∴∠FAB+∠FBA= （180°-∠OAB）+ （180°-∠OBA）= （180°+∠AOB）=90°+ ∠AOB，∵∠AOB=60°，

∴∠F=180°-（∠FAB+∠FBA）=90°- ∠AOB=60°，

同理可求∠CED =90°- ∠F=60°；

（3）∠DCE的度数40°或80°

【解析】【解答】解：（3）①当∠DCE=2∠E时，显然不符合题意；

②当∠DCE=2∠CDE时，∠DCE= =80°；

③当∠DCE= ∠CDE时，∠DCE= =40°，

综上可知，∠DCE的度数40°或80°.

【分析】（1）由∠POM＝60°，∠BAO=70°，可求出∠ABO的值，根据AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，可得∠EAB和∠EBA的值，在△EAB中，根据三角形内角和即可得出∠AEB的大小；（2）不发生变化，延长BC、AD交于点F，根据角平分线的定义

以及三角形内角和可得∠F =90°- ∠AOB，∠CED =90°- ∠F，即可得出∠CED的度数；（3）分三种情况求解即可.

12．如图1，，点，分别在，上，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转.射线转动的速度是每秒度，射线转动的速度是每秒度.

（1）直接写出的大小为________；

（2）射线、转动后对应的射线分别为、，射线交直线于点，若射线比射线先转动秒，设射线转动的时间为秒，求为多少时，直线直线？

（3）如图2，若射线、同时转动秒，转动的两条射线交于点，作，点在上，请探究与的数量关系.

【答案】（1）60°

（2）解：设灯转动t秒，直线直线，

①当时，如图，

，

，

，

，

，

，

解得；

②当时，如图，

，，

，

，，解得，

综上所述，当秒或秒时直线；

（3）解：和关系不会变化，

理由：设射线AM转动时间为m秒，

作，，，