《平行线的有关证明》单元测试 (解析版)

《平行线的有关证明》单元测试

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题，满分36分，每小题4分）

1．（2019秋?孟津县期中）下列语句不是命题的是（）

A．两点之间，线段最短

B．不平行的两条直线有一个交点

C．x与y的和等于0吗？

D．两个锐角的和一定是直角

【分析】可以判定真假的语句是命题，根据其定义对各个选项进行分析，从而得到答案．

【解答】解：A、两点之间，线段最短，是命题；

B、不平行的两条直线有一个交点，是命题；

C、x与y的和等于0吗？不是命题；

D、两个锐角的和一定是直角，是命题；

故选：C．

【点评】本题考查了命题与定理．能够判断真假的陈述句叫做命题．

2．（4分）（2018秋?江汉区期末）如图，直线a，b相交于点O，因为∠1+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，所以∠1＝∠3，这是根据（）

A．同角的余角相等B．等角的余角相等

C．同角的补角相等D．等角的补角相等

【分析】根据题意知∠1与∠3都是∠2的补角，根据同角的补角相等，得出∠1＝∠3．

【答案】解：∵∠1与∠3都是∠2的补角，

∴∠1＝∠3（同角的补角相等）．

故选：C．

【点睛】本题考查了补角的知识，注意同角或等角的补角相等，在本题中要注意判断是“同角”还是“等角”．

3．（4分）（2018秋?北碚区期末）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，

∠APC＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距离；③P A，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离，其中，正确的是（）

A．②③B．①②③C．③④D．①②③④

【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．

【答案】解：①线段AP是点A到直线PC的距离，错误；

②线段BP的长是点P到直线l的距离，正确；

③P A，PB，PC三条线段中，PB最短，正确；

④线段PC的长是点P到直线l的距离，错误，

故选：A．

【点睛】此题主要考查了垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．

4．（4分）（2019春?淮北期末）如图，直线AB，CD，MN两两相交．则图中同旁内角的组数有（）

A．8组B．6组C．4组D．2组

【分析】截线AB、CD与被截线MN所截，可以得到两对同旁内角，同理AB、MN被CD所截，CD、MN被AB所截，又可以分别得到两对．

【答案】解：根据同旁内角的定义，直线AB、CD被直线MN所截可以得到两对同旁内角，

同理：直线AB、MN被直线CD所截，可以得到两对，

直线CD、MN被直线AB所截，可以得到两对．

因此共6对同旁内角．

故选：B．

【点睛】本题考查同旁内角的定义，同旁内角就是在截线的同一侧，在两条被截线的内部的两个角，是

需要熟记的内容．

5．（4分）（2019春?孝义市期末）如图，在一张半透明的纸上画一条直线l，在直线l外任取一点A、折出过点A且与直线l垂直的直线．这样的直线只能折出一条，理由是（）

A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B．两点之间线段最短

C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

【分析】在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可得答案．

【答案】解：这样的直线只能折出一条，理由是：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选：C．

【点睛】本题考查了垂线，利用了垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

6．（4分）（2019春?肥城市期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠1＝∠3；④∠6＝∠1+∠2，其中能判断直线l1∥l2的有（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．

【答案】解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；

②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；

③∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；

④∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．

故选：C．

【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．

7．（4分）（2018秋?汾阳市期末）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点O与点G，OP平分∠EOB，若∠EOP＝65°，则∠DGF的度数为（）

A．50°B．60°C．65°D．75°

【分析】依据OP平分∠EOB，即可得到∠BOG＝2∠EOP＝2×65°＝130°，再根据平行线的性质，即可得出∠DGF+∠BOE＝180°，进而得到∠DGF＝180°﹣130°＝50°．

【答案】解：∵OP平分∠EOB，

∴∠BOG＝2∠EOP＝2×65°＝130°，

又∵AB∥CD，

∴∠DGF+∠BOE＝180°，

∴∠DGF＝180°﹣130°＝50°，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．

8．（4分）（2019春?相城区期末）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分∠EAC、∠ABC和∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝∠BAC；④∠ADC＝90°﹣∠ABD．其中正确的结论是（）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

【分析】根据平行线的判定和性质，角平分线的定义一一判断即可．

【答案】解：∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，

∵∠ABC＝∠ACB，∠EAD＝∠DAC，

∴∠EAD＝∠ABC，

∴AD∥BC，故①正确，

∴∠ADB＝∠DBC，

∵∠ABD＝∠DBC，

∴∠ACB＝∠ABC＝2∠DBC＝2∠ADB，故②正确，

∵∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠DCA）

＝180°﹣（∠EAC+∠FCA）

＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）

＝90°﹣ABC

＝90°﹣∠ABD，故④正确，

无法判定③正确，

故选：D．

【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10．（4分）（2019春?嘉兴期中）如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝32°，∠AGF＝76°，FH平分∠EFG，则∠PFH的度数是（）

A．54°B．44°C．32°D．22°

【分析】由DC∥FP知∠3＝∠2＝∠1，可得DC∥AB，利用平行线的判定得到AB∥PF∥CD，根据平行线的性质得到∠AGF＝∠GFP，∠DEF＝∠EFP，然后利用已知条件即可求出∠PFH的度数．

【答案】解：∵DC∥FP，

∴∠3＝∠2，

又∵∠1＝∠2，

∴∠3＝∠1，

∴DC∥AB；

∵DC∥FP，DC∥AB，∠FED＝32°，

∴∠EFP＝∠FED＝32°，AB∥FP，

又∵∠AGF＝76°，

∴∠GFP＝∠AGF＝76°，

∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝76°+32°＝108°，

又∵FH平分∠GFE，

∴∠GFH＝∠GFE＝54°，

∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝76°﹣54°＝22°．

故选：D．

【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，首先利用同位角相等两直线平行证明直线平行，然后利用平行线的性质得到角的关系解决问题．

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

11．（4分）（2019春?包河区期末）如图，已知，AB、CD、EF相交于O点，∠1＝35°，∠2＝35°，则∠3的度数是110°．

【分析】依据AB、CD、EF相交于O点，∠1＝35°，∠2＝35°，即可得到∠BOC＝180°﹣∠1﹣∠2＝110°，再根据对顶角相等，即可得出∠3＝∠BOC＝110°．

【答案】解：∵AB、CD、EF相交于O点，∠1＝35°，∠2＝35°，

∴∠BOC＝180°﹣∠1﹣∠2＝110°，

又∵∠3与∠BOC是对顶角，

∴∠3＝∠BOC＝110°，

故答案为：110°．

【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，平角的定义，准确识图是解题的关键．

12．（4分）（2019春?上杭县期末）已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是如图中的图乙（填甲或乙），你选择的依据是在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（写出你学过的一条公理）

【分析】根据题意画出图形即可．

【答案】解：根据题意可得图形，依据是在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

故答案为：乙；在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

【点睛】此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．13．（4分）（2019春?闵行区校级期末）如图，与∠1构成内错角的角是∠DEF或∠DEC．

【分析】根据内错角的定义即可判断，注意有两解．

【答案】解：∠1与∠DEF可以看成直线AB与直线EF被直线DE所截的内错角，

∠1与∠DEC可以看成直线AB与直线AC被直线DE所截的内错角，

故答案为∠DEF或∠DEC．

【点睛】本题看成内错角、同位角、同旁内角等知识，解题的关键是理解内错角的定义，属于基础题．14．（3分）（2018秋?襄汾县期末）如图，直线a∥b，直角角板的直角顶点C在直线b上，若∠1＝32°，则∠2＝58°．

【分析】由平行线a∥b，其性质得∠1＝∠3，∠2＝∠4，再由平角的定义得3+∠ABC+∠4＝180°，直角，角的和差和等量代换求得∠2＝58°．

【答案】解：如图所示：

∵a∥b，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，

又∵∠1＝32°，

∴∠3＝32°，

又∵∠3+∠ABC+∠4＝180°，

∠ABC＝90°，

∴∠3+∠4＝90°，

∴∠4＝58°，

∴∠2＝58°．

故答案为58°．

【点睛】本题综合考查了平行线的性质，平角的定义，角的和差和等量代换等知识，重点掌握平行线的判定．

15．（4分）（2019春?张店区期末）如图，点E是AD延长线上一点，∠B＝30°，∠C＝120°．如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为∠1＝30°或∠2＝120°．（只填一个即可）

【分析】根据平行线的判定即可解决问题．

【答案】解：可以添加：∠1＝30°或∠C＝120°即可．

理由：∵∠1＝30°，∠B＝30°，

∴∠B＝∠1，

∴BC∥AE．

∵∠C＝∠2＝120°，

∴BC∥AE．

故答案为：∠1＝30°或∠2＝120°．

【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

16．（3分）（2019春?锦江区期末）如图，m∥n，A，B为直线m，n上的两点，且AB⊥BC，∠BAC＝28°，则∠1与∠2的度数之和为62°．

【分析】如图，作CE∥直线m，首先证明∠1+∠2＝∠ACB，求出∠ACB即可

【答案】解：如图，作CE∥直线m，

∵m∥n，

∴CE∥n，

∴∠1＝∠ACE，∠2＝∠ECB，

∴∠ACB＝∠1+∠2，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC＝90°，

∵∠BAC＝28°，

∴∠ACB＝62°，

∴∠1+∠2＝62°．

故答案为62°．

【点睛】本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

三．解答题（共6小题，满分52分）

17．（8分）（2018秋?潜江期末）如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE与∠AOC互为余角，∠AOF：

∠FOD＝2：3，∠AOC＝30°，求∠COE，∠AOF的度数．

【分析】首先根据∠AOF：∠FOD＝2：3，设∠AOF＝2x°，∠FOD＝3x°，根据平角的定义列方程可得x的值，从而得∠AOF的度数，根据∠COE与∠AOC互为余角进而得出∠COE的度数．

【答案】解：设∠AOF＝2x°，∠FOD＝3x°，

∵∠AOC＝30°，

∴2x+3x+30＝180，

x＝30°，

∴∠AOF＝60°，

∵∠COE与∠AOC互为余角，

∴∠COE+∠AOC＝90°，

∵∠AOC＝30°，

∴∠COE＝60°．

【点睛】此题主要考查了平角的定义，余角的定义及角的和与差，关键是正确理清图中角之间的和差关系．

18．（8分）（2015秋?北仑区期末）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．

（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；

（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；

（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．

【答案】解：（1）∵两点之间线段最短，

∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．

（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．

“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．【点睛】本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用．

19．（8分）（2019春?市北区期末）已知：如图，AB∥CD，∠B＝∠D．点EF分别在AB、CD上．连接AC，分别交DE、BF于G、H．

求证：∠1+∠2＝180°

证明：∵AB∥CD，

∴∠B＝∠BFC．两直线平行，内错角相等

又∵∠B＝∠D，

∴∠D＝∠DFC．（等量代换）

∴DE∥BF．同位角相等，两直线平行

∴∠l+∠2＝180°．两直线平行，同旁内角互补

【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．

【答案】证明：∵AB∥CD，

∴∠B＝∠BFC．（两直线平行，内错角相等）

又∵∠B＝∠D，

∴∠D＝∠DFC．（等量代换）

∴ED∥BF．（同位角相等，两直线平行）

∴∠l+∠2＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）．

故答案为：∠BFC，∠BFC，两直线平行，内错角相等，∠D，ED，BF，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．

20．（8分）（2019春?滦州市期末）已知：如图，直线AB，CD与直线EF分别相交于点M和N，MP平分∠AMF，若NQ平分∠END，若∠AME＝∠DNF，请对MP∥NQ说明理由．

【分析】由等角的补角相等易证AB∥CD，则有∠AMN＝∠DNM，进而由角平分线得出∠PMN＝∠QNM，由内错角相等两直线平行即可得出结论．

【答案】证明：∵∠AME＝∠DNF，∠AME+∠AMN＝∠DNF+∠DNM＝180°，

∴∠AMN＝∠DNM，

又∵，，

∴∠PMN＝∠QNM，

∴MP∥NQ．

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，先根据题意得出AB∥CD是解答此题的关键．

21．（10分）（2019春?韶关期末）如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．

（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；

（2）若BF⊥AC，∠2＝150°，求∠AFG的度数．

【分析】（1）由于∠AGF＝∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1＝∠3，由∠1+∠2＝180°得出∠3+∠2＝180°判断出BF∥DE；

（2）由BF∥DE，BF⊥AC得到DE⊥AC，由∠2＝150°得出∠1＝30°，得出∠AFG的度数

【答案】解：（1）BF∥DE，理由如下：

∵∠AGF＝∠ABC，

∴GF∥BC，

∴∠1＝∠3，

∵∠1+∠2＝180°，

∴∠3+∠2＝180°，

∴BF∥DE；

（2）∵BF∥DE，BF⊥AC，

∴DE⊥AC，

∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°，

∴∠1＝30°，

∴∠AFG＝90°﹣30°＝60°．

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．

22．（10分）（2019春?安庆期末）小明同学在完成第10章的学习后，遇到了一些问题，请你帮助他．（1）图1中，当AB∥CD，试说明∠AEC＝∠BAE+∠DCE．

（2）图2中，若∠AEC＝∠BAE+∠DCE，则AB∥CD吗？请说明理由．

（3）图3中，AB∥CD，若∠BAE＝x°，∠AEF＝y°，∠EFD＝z°，∠FDC＝m°，则m＝x+z﹣y．（直接写出结果，用含x，y，z的式子表示）

【分析】（1）过E作EM∥AB，求出AB∥CD∥EM，根据平行线的性质得出∠BAE＝∠AEM，∠DCE＝∠CEM，即可得出答案；

（2）过E作EM∥AB，根据EM∥AB得出∠BAE＝∠AEM，求出∠DCE＝∠CEM，根据平行线的判定得出EM∥CD即可；

（3）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，求出AB∥CD∥EM∥FN，根据平行线的性质得出∠BAE＝∠

AEM，∠FEM＝∠EFN，∠DFN＝∠CDF，求出∠BAE+∠EFD＝∠AEF+∠CDF，代入即可得出答案．

【答案】解：（1）

过E作EM∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EM，

∴∠BAE＝∠AEM，∠DCE＝∠CEM，

∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠BAE+∠DCE；

（2）

过E作EM∥AB，

∵EM∥AB，

∴∠BAE＝∠AEM，

∵∠AEC＝∠BAE+∠DCE，

∴∠DCE＝∠CEM，

∴EM∥CD，

∵AB∥EM，

∴AB∥CD；

（3）

过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EM∥FN，

∴∠BAE＝∠AEM，∠FEM＝∠EFN，∠DFN＝∠CDF，

∴∠BAE+∠EFN+∠DFN＝∠AEM+∠FEM+∠CDF，

∴∠BAE+∠EFD＝∠AEF+∠CDF，

∵∠BAE＝x°，∠AEF＝y°，∠EFD＝z°，∠FDC＝m°，

∴x+z＝y+m，

∴m＝x+z﹣y，

故答案为：x+z﹣y．

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．