矩形波导中电磁波的传播模式

［摘要］人类进入21世纪的信息时代，电子与信息科学技术在飞速发展，要求人们制造各种高科技的仪器。在电磁学领域，能约束或引导电磁波能量定向传输的传输线或装置是导波系统。?矩形波导适用于频率较高的频段，但当频率足够高的时候，可以使多个波导模式同时工作，所以我们有必要对波导中的电磁波传播模式参数进行研究

关键词：矩形波导TM波TE波

矩形波导由良导体制作而成，一般为了提高导电性能和抗腐蚀性能，在波导内壁镀上一层高电导率的金或银，它是最常见的波导，许多波导元件都是由矩形波导构成的。为了简化分析，在讨论中我们

将波导的良导电体壁近似为理想导电壁。

由前面的讨论我们知道，矩形波导中不能

传输TEM 波，只能传输TE波和TM波。

设矩形波导宽为a,高为b, (a>b)沿Z轴

放置，如图(1)所示。下面分别求解矩形波

导中传输的TE波和TM波

仃M波

对于TM波，H z=O, E z可以表示为；

E z(x, y,z) = E°(x, y)e*z(1)

式中E o(x,y)满足齐次亥姆霍兹方程，故有

' 2E o(x,y) k C?°(x,y) = O ⑵

采用分离变量法解此方程，在直角坐标系中，令

E°(x,y)=X(x)Y(y) ⑶

将(3)式代入(2)式中，并在等式两边同除以 X(χ)Y(y)得:

XW Xiy) k 2 C

x(χ) Y(y)

上式中第一项仅是X 的函数，第二项仅是Y 的函数，第三项是与X 、Y 无关的常数，要使上式对任何 X 、Y 都成立，第一和第二项也应分别是常数，记为:

X ''(X) k χJ X(X^ 0

⑸

Y ''(y) k ：Y(y 「0 ⑹ 2 2 2

c = kχ + ky

⑺

常微分方程(5)和(6)的通解为

Y(X)=C i cos(k χX) C 2Sin(k χX) Y(y) =C 3C0s(k y y) C 4Sin(k y y)

将(8)式和(9)式代入(3)式，再代入(1)式，就得到 E z 的通解为 E z (x, y, z) - C 1 cos(k χX) C 2 sin( k χX) IC 3 cos( k y y) C 4 sin( k y y) ^jkZZ

由矩形波导理想导电壁的边界条件 E = 0，确定上式中的几个常数，在4个理想导电壁上，E Z 是切向分量，因此有： (1) 在X "的波导壁上，由E Z (X =O,y,z)=0得C 1 =0 ； (2)

在Y=0的波导壁上，由E z (x,y =0,z) =0得C^0；

(3) 在X = a 的波导壁上，要使E z (x = a, y, z) = 0有Sin(k x a) = 0，从而必须有

k χa =m 二，其中m =1.,2,3^为整数，由此得

(4) 在 X = b 的波导壁上，要使 E z (x,y =b, z) =0有，Sin(k y b) =0

从而必定有 k y b = n 二，其中n =1.,2,3…也为整数，由此得

x ''(χ) X(χ)

-k

这样就得到两个常微分议程和

Y ''(y) _ Y (y)

3个常数所满足的方程:

(8) (9)

k χ

(10)

(11)

""b

将以上利用边界条件求出的常数代入后，波导中 TM 波的电场纵向分量为

E z (x, y,z) = E o Sin(

)sin( a b

E 。=C 2C 4 ,由电磁波源确定。

在无源区，麦克斯韦方程组中的两个旋度方程为:

'、H= j ；： E

E(x,y,z) = E o (x,y,)i jkzz H(x,y,z) = H °(x,y)e 一jkzz

将3个矢量方程分解为6个标量方程:

(12)

H Z ■y

jk z H y = j E x

(13―― a )

-jk z H x

(13―― b)

： H X

L= ] ； T - F

X y

(13―― C)

E Z

-jk Z E X

-b l H x

(13―― d)

(13―― e )

EE y CE

I -X

X ：y

由(13―― a )和(13―― e )以及(13―― b )和

1 CE Z

Il CH Z

E x -jk z 一 z - j ，. Z )

PH Z

(13—— f)

(13―― d )可得:

(14―― a)

(1) 矩形波导中的TM 波m,π至少一个从零开始，否则全部的场分量为零,

当m,π =1,2,3,…对应有无限多组解;

(2)

对于给定m,π值的每一组解，如果k z 为实数，其场为沿Z 方向传播的非均匀平面波，在X 、Y 方向为驻波分布，m,π分别表示在宽边和窄边上驻波的波腹个数；

(3)

对于不同m,π值的场，有两方面不同：一是横截面的场分布不同：二是沿传播方向的k z 不同。我们将波导中一对

( — jk

-Z E

-X

(14——b)

H X 二(j ；旦-

k c :

jk Z 亠

(14―― C)

SE z H y=庐 k c

式代入(20)式中，就可以得到波导中TM 波的其他场分量

k z jk^-H -Z ) :y

(14——d)

将 (18)

E x (x,y,z^ - j-τ( k c a k n 二 -j-2(-)E 0Sin( k c b

—)E 0 cos

X)Sin(匸 y)r

jkzz

(14―― a )

E y (x,y, Z)- ∏JT 一 y)cos( x)e a b Hk Z

H χ(x, y,z)=

m 7

；■■? ■- n 二 m 二 n 二 .l j r (-)E o Siπ(-y)cos(-)^jkZZ

k c b a b

H y (χ, y, Z)二

?k τ

(m -)E °cos(m

- X)Siπ(± y)e%Z

k c a a b

(14—— -b)

(14——

(14

— -d)

其中

k ：

k 2

(15)

从式 13)式中可以看出:

m,π值对应的一个TM 模式,

2TE 波

对于TE 波,Ez=O 用求解TM 波的方法可以得到TE 波各场分量的表达式

(1)

矩形波导中的TE 波中的 m,n 不可同时为零，当m,n

=1,2,3^值取不同值的

无限多组解；

(2) 对于给定m,n 值，如果k z 为实数，其场为沿Z 方向传播的非均匀平面波，在

X 、Y 方向为驻波分布，m,n 也分别表示在宽边和窄边上驻波的波腹的个数 m 或n 等

于零意味着场在对应方向无变化，是均匀的；

(3) 对于不同m,n 值的场，也同样有两个方面不同：一是横截面的场分布不同; 二是沿传播方向的k z 不同。我们将波导中一对m,n 值对应的TE 波称为一个T E 模式，记作TE mn 。如当m=1, n =0,对应的TE 模应为TEg 。

上述的TM mn 和TE mn 模统称为矩形波导内的正规模，具有很重要的特性。容易看出矩形波导内的正规模构成了一个完备的正交系。所以，波导内传输的任意电磁波可以表示为正规模的线性叠加。这就是正规模的正交性和完备性。所谓正交性是指正规模能够独立存在，能量互不耦合；所谓完备性是指任意电磁波都可以用正规模线性叠

H z (χ, y,z)=

mπ

X CO y

< a 丿

< b J

(16—a)

H χ(χ, y,z)=

k C 2 m

二 (一 a

mπ )H 0 si n —— I a

X cos J y ^jk Z

Z (16— b)

H y (χ, y,z)二 j ?s

n 二 )H O

COS

——X Sin a J J e

-jk z Z

(16— C )

E x (x, y,z) CO S m π Sin 'n π 、 ,b y

丿 X Ia 丿

E y (X, y,z)

由上式可以看

出： +

HOSin

——X COS a J

y ^jk Z

Z (16— e)

e-jk z z

H O jk z

(16—

ω卩

+ H O

加。

参考文献：

[1] 曹伟、徐立勤.电磁场与电磁波理论[M]. 北京.北京邮电大学出版社2006.217-229

[2] 冯恩信.电磁场与电磁波[M] ，西安.西安交通大学出版社，2006.280-303

[3] 张伟、臧延新．电磁场与电磁波[M] ，西安．电子科技大学出版社2007.206-217

[4] 焦其祥．电磁场与电磁波[M] ，科技出版社2004.351-371