七下实数辅导讲义(一)终极版
七下实数辅导讲义(一)终极版
第六章实数辅导讲义
【知识要点】
1、平方根
（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
即：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a（a称为被开方数）。
（2）平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根.
（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方a”。
（5a a≥0a a≥0。（6）公式：a)2=a（a≥0）；
2、立方根
（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x3=a,把x叫做a的立方根。数a的立方根用符号3a”表示，读作“三次根号a”。
（2）立方根的性质：
?????
?
?
?
?
????????????????????负无理数负分数
负整数负有理数负实数负数）
零（既不是正数也不是正无理数正分数
正整数正有理数正实数实数
（3）实数与数轴的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系． （4）、绝对值
①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数，
③零的绝对值是零。
一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。 注意：
题型规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那
00
0a a a a a a >??
==??-
??
?
??<-=>==00
002a a a a a a a
个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3a a ≥0a 有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴a )2=a （a ≥0）3
a
-3
a -a 取任何数）。
5、区分a 2=a （a ≥0），与
2
a =a
6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
7.一般来说，被开放数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小）n 倍，例如50
2500,525== 8、.识记常用平方表：（自行完成）
9.易混淆的三个数（自行分析
它们）： （1）2
a （2）2
)
(a （3）33
a
10、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字： 2≈___________ 3≈___________
5≈___________
6≈___________
7≈___________
12
= 62
= 112
= 162
= 21
2
=
22= 72= 122= 172= 222
=
32
= 82
= 132
= 182
= 23
2
=
42= 92= 142= 192= 242= 52= 102= 152= 202= 25
2=
【典型例题】
题型一、平方根定义的运用
例1、一个正数的平方根为a -3和32+a ，求这个数？
变式1、已知12-a 和2+-a 是m 的平方根，求m 的值？
变式2、已知某个数的平方根分别为3+a 和152-a ，求a 和这个数？
例2、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 ① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2
（2） 下列说法对不对？为什么？
① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根 ③ 任何数都有平方根 ④ 若 a ＞0，a 有两个平方根，它们互为相反数
例3、求下列各数的平方根：
(1) 9 (2) (3) 0.36 (4)
变式3、.下列语句中，正确的是（ ）
A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B ．负数没有立方根
C ．一个实数的立方根不是正数就是负数
D ．立
14
16
9
方根是这个数本身的数共有三个 变式4. 下列说法正确的是（ ）
A ．-2是（-2）2的算术平方根
B ．3是-9的算术平方根
C ．16的平方根是±4
D ．27的立方根是±3
题型三、化简求值
例1、已知30< )12(2--+x x 变式1、若 2 1,011）（化简：x x x +=+++ 例2已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简2 2 ()a a b c a b c --+-+- 变式2、实数a 在数轴上的位置如图所示,化简:2 )2(1-+-a a = 变式3如图所示,数轴上A 、B 两点分 别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ）A. 5 －2 a 20 ≥0 a ≥B. 2－5 C. 5 －3 D.3－5 例3、当a<0时，化简 的结果是( ) A 0 B -1 C 1 D ? 例4、化简下列各式： (1) |-1.4| (2) |π-3.142| (3) |-| 【变式1】化简： 题型四、利用非负数的性质求代数式 三种常见的非负数： 注意：(1)任何非负数的和仍是非负数； (2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0. 0(0) a a ≥≥ 例1、已知实数x ，y 满足 2 x -+(y+1)2 =0，则x-y 等于 【变式1】 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为 【变式2】已知那么a+b-c 的值为___________ 【变式3】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z 3的值。 求被开方数中的未知数的值 例2若y=5-x +x -5+2017，则x+y= 变式111x x --2 ()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 变式2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 变式3、已知2 322234+-+-=a a b ,求b a 1 1+的值？ 题型五、解方程 (1) 0 4) 2(2 =-+x (2) 27)3(3=++x (3) 0 125273=+x (4) 25 )12(2=-x 题型六、整数部分和小数部分的探讨 例1、已知x 是10 的整数部分，y 是10 的小数部分，求 1 10x y -（） 的平方根。 变式1设m 是13 7+ 的小数部分，n 为13 7- 的小数部分，求 2017)(n m +的值？ 题型六 关于平方根、立方根的求值 例1、求下列各式的值 （1）81 ±； （2）16 -； （3） 25 9； （4） 2 )4(- 解（1）因为81 9 2 =，所以± 81 =±9. 例2（1）64的立方根是 （2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =3 3，③ 64 的 立方根是2，④ ()4 83 2 ±=±。正确的有 （ ） . 102.22的值，求，小数部分是的整数部分是、已知变式b a b a + A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 题型八、探索找规律 1 （盐城市）现规定一种新的运算“※”：a ※b =a b ，如3※2=32=9，则12 ※3＝（ ） 2 (资阳市)若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！＝4×3×2×1，…，则100!98!的值为( ) A ．5049 B ．99! C ．9900 D ．2！ 3．如果有理数a ,b 满足∣ab －2∣+∣1－b ∣=0， 试求) 2)(2(1)1)(1(11++++++b a b a ab +…+) 2016)(2016(1 ++b a 的值． 4.观察思考下列计算过程：∵ 112 =121，∴ 121 =11；同样： ∵ 1112 =12321，∴ 12321 =111；…由此猜想： 7654321 1234567898= 题型八 实数比较大小的方法 1、方法一：差值比较法 差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先 求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a-b ＝0，得到a=b 。 例1、比较1-2与1-3的大小。 3、方法二：商值比较法 商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数， 先求出a 与b 得商。当b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当b a =1时，a=b 。来比较a 与b 的大小。 例2、比较 83 13-与8 1的大小。 4、方法三：平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2 a ＞2 b 得到a ＞b 来比较大 小，这种方法常用于比较无理数的大小。 例3、比较27与33的大小 5、方法四：估算法 估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例4、比较8 313-与8 1的大小。 综合演练 一、填空题 1、（-0.7）2的平方根是 2、若2 a =25, b =3, 则a+b= 3、已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是 4、ππ-+-43＝ ____________ 5、若m 、n 互为相反数，则n m +-5＝ _________ 6、若 a a -=2，则a______0 7、若 7 3-x 有意义，则x 的取值范围是 8、16的平方根是±4”用数学式子表示为 9、大于-2，小于10的整数有______个。 10、一个正数x 的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=__ ___，x=___ __。 11、当_______x 时，3 x -有意义。 12、当_______x 时， 3 2-x 有意义。 13、当_______x 时， x -11 有意义。 14、当________x 时，式子2 1--x x 有意义。 15、若 1 4+a 有意义，则a 能取的最小整数为 二、选择题 1． 9的算术平方根是（ ） A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．81 2．下列计算正确的是（ ） A 4±2 B 2(9)81 - C.6 36=± D. 9 92-=- 3．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B 16 2 1616 2 4． 64的平方根是（ ） A ．±8 B ．±4 C ．±2 D 2 5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．1 4 6．下列结论正确的是（ ） A 6 )6(2-=-- B 9 )3(2=- C 16 )16(2±=- D 2516 25162 =??? ? ??-- 7．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即7 49±= B 、7是2 )7(-的 平方根，即 7 )7(2=- C 、7±是49的平方根，即7 49=± D 、7±是49的 平方根，即± 7 49±= 8．下列语句中正确的是（ ） A 、9-的平方根是3- B 、9的平方根是3 C 、 9的算术平方根是3± D 、9的算术平方根是3 9．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3 是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 10．下列语句中正确的是（ ） A 、任意算术平方根是正数 B 、只有正数才有算术平方根 C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3 D 、1-是1的平方根 三、利用平方根解下列方程． （1）（2x-1）2 -169=0； （2）4（3x+1）2 -1=0； 四、解答题 1、求9 72的平方根和算术平方根。 2、计算 33 841627-+-+的值 3、若0 )13(12=-++-y x x ，求 2 5y x +的值。 4、若a 、b 、c 满足0 1)5(32=-+++-c b a ，求代数式a c b -的值。 5、已知0 525 22=-++-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。