高考数学填空压轴题：函数
高考数学填空压轴题：函数
1.已知函数12)2(24)(2
2
+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使
0)(>c f ，则实数p 的取值范围是________)2
3,3(-
解析：反面考虑，补集思想，???≤≤-0
)1(0)1(f f 23
,3≥-≤?p p
2. 设函数3
()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实
数a 的值为 4
解析：本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，23
31
a x x ≥- 设()23
31g x x x =
-，则()()4312-'=x g x x ， 所以()g x 在区间10,2?? ???
上单调递增，在区间1,12??
????
上单调递减，因此()max 142g x g ??
==
???
，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤
23
31x x -，()
()'
4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4 特殊方法：抓住??
?≥≤????
??≥≥-440)2
1(0
)1(a a f f 3.函数1)3()(2
+-+=x m mx x f 的 图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数
m 的取值范围为_______1≤m
解析：显然0≤m 成立，当0>m 时，100230
≤
??>--≥?m m
m
4.设函数)(x f y =在),(+∞-∞内有定义.对于给定的正数K ，定义函数
??
?>≤=K
x f K K x f x f x f k )(,)(),()(，取函数x
e x x
f ---=2)(，若对任意的),(+∞-∞∈x ，恒有)()(x f x f k =，则K 的取值范围是_______1≥K
解析：由定义知，若对任意的),(+∞-∞∈x ，恒有)()(x f x f k =即为K x f ≤)(恒成立，即求)(x f 的最大值，由'()10,x
f x e
-=-=知0x =，所以(,0)x ∈-∞时，'()0f x >，当
(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，所以max ()(0)1,f x f ==即()f x 的值域是(,1]-∞
5. 已知函数()log (2)a f x ax =+的图象和函数1()log (2)a
g x a x =+(0,1a a >≠)的图象
关于直线y b =对称（b 为常数），则a b += 2
解析：b x g x f 2)()(=+b x a ax a a 2)2(log )2(log =+-+?，2,1;0,1====a x b x 6. 已知定义在R 上的函数)(x F 满足()()()F x y F x F y +=+，当0x >时，()0F x <. 若
对任意的[0,1]x ∈，不等式组2
2
(2)(4)
()(3)
F kx x F k F x kx F k ?-<-??-<-??均成立，则实数k 的取值范围是 .(3,2)-
解析：0)0(=F ，令x y -=得)(x F 奇函数，设)()()(,121221x F x F x x F x x -+=-<
0)()(12<-=x F x F ，)(x F 减函数，
?????->-->-3
422
2
k kx x k x kx ???
????
)0(0)4(222k t t t x x k k F f k kx x 7. 已知函数31++-=
x x y 的最大值为M ,最小值为m ,则
M
m 的值为_____22
解析：法一：平方 ； 法二：向量)3,1(),1,1(+-x x 数量积 8. 设函数3
1
()12x f x x -=--的四个零点分别为1234x x x x 、、、，1234()f x x x x =+++ .
19
解析：令)0(2)(,13≥-==-t t t g t x t
画出t
y t y 2,3
==图象，它们在第一象限有两个交
点，则,11t x =-21t x =-242312111,1,1,1t x t x t x t x -=+=-=+=?
,44321=+++x x x x 19)4(=f
9. 定义在R 上的函数()y f x =，若对任意不等实数12,x x 满足
1212
()()
0f x f x x x -<-，且y
x ,
满足不等式22
(2)(2)0f x x f y y -+-≤成立.函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，则当 14x ≤≤时，
y x 的取值范围为________]12
1-[， 解析：)(22
2
y x y x -≥-，（1）0=-y x 时，
1=x y 成立；（2）121-2
0≤≤????≥+≥-x y
y x y x
（3）??
?
??≤≤≤+<-4120
x y x y x 无解
10. 已知1,0≠>a a ，若函数)(log )(2
x ax x f a -=在]4,3[是增函数，则a 的取值范围是
________),1(+∞
解析：x ax x g -=2
)(对称轴是a x 21=，当321≤a 时，10
)3(161>????????>>≥a g a a ；
当421≥a 时， φ????
?
???><<≤0)4(1081g a a 11. 若直角坐标平面内两点Q P ,满足条件：①Q P ,都在函数)(x f 图象上；②Q P ,关于原点对称，则称点对),(Q P 是函数)(x f 的一个“友好点对”（点对),(Q P 与),(P Q 看作同一
个“友好点对”）.已知函数???
??≥<++=0,20
,142)(2x e
x x x x f x ，则)(x f 的“友好点对”有____
个 2个
解析：数形结合，即看0,2≥=
x e
y x
关于原点对称函数0,2≤-=x e y x
与
0,1422<++=x x x y 有几个交点。
当1-=x 时，121
->-=-e
y ，故有2个交点
12. 已知函数321
,(,1]12()111
,[0,]
3
62x x x f x x x ?∈?+?
=???-+∈?，函数()??? ??=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在
12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是________14
[,]
23
解析：即两函数在]1,0[上值域有公共部分，先求)(x f 值域]1,0[]6
1,0[]1,6
1[????????=， ]232,22[)(a a x g -+-∈，故??
?
??≥-≤-023
21
22a a 13. 设()ax x x f +=2
，{}{}
()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠?，则满足条件
的所有实数a 的取值范围为_______________04a ≤<
解析：00)(=?=x x f 或a x -=；0)(0))((=?=x f x f f 或a x f -=)(，由
00)(=?=x x f 或a x -=，则a x f -=)(即02=++a ax x 无解或根为0或a -，
400<
14.
如图为函数()1)f x x =
<<的图象，其在点(())M t f t ，处的切线为l ，l 与y 轴
和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N （0，1），
若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 .18,427??
???
解析：令)2)(2
1
1(21),10(2x x x S b x x t --=
=<<=? )2)(2(4
1
2x x x --=
，x x x b x g 444)(23+-== )23)(2()('--=x x x g ，27
3241< 15.已知函数42)(,43 41ln )(2+-=+- =bx x x g x x x x f ，若对任意)2,0(1∈x ，存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f ≥，则实数b 的取值范围为_______2 14 ≥ b 解析：即min min )()(x g x f ≥，求导易得2 1 )1()(min ==f x f ，)(x g 对称轴是b x = 当1≤b 时，)(x g 增，4 9 2125)1()(min ≥?≤-==b b g x g 矛盾； 当21< 142214)()(2 min ≥>?≤ -==b b b g x g ； 当2≥b 时，)(x g 减，8 15 2148)2()(min ≥?≤ -==b b g x g 2≥?b 16. 已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有)1(2)2(+=+x f x f )(x f -，且6)3(,2)1(==f f ，则_______)2009(=f 4018 解析：实际上是等差数列问题 17. 如果函数1)1(2 131)(2 3+-+-= x a ax x x f 在区间)4,1(上为减函数，在),6(+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是_________]7,5[ 解析：0)6(',0)4(',0)1('≥≤≤f f f 18. 若关于x 的方程021=--a a x 有两个相异的实根，则实数a 的取值范围是____)2 1 ,0( 解析：数形结合a a x 21=-，对a 分10<a 讨论 19. 已知函数f (x )＝ x x ＋a ，若函数y ＝f (x ＋2)－1为奇函数，则实数a ＝________－2 解析：a x a a x x x f ++-=-+++= -+21221)2(，显然2-=a 有人说0=a 可以吗？不行！此时，)0(1)(≠=x x f ，显然y ＝f (x ＋2)－1定义域不 关于原点对称！ 20. 已知可导函数()()f x x R ∈的导函数()f x '()()f x f x '>满足，则当0a >时， ()f a 和(0)a e f （e 是自然对数的底数）大小关系为 )0()(f e a f a > 解析：构造函数0)()) ()('()(',)()(2>-==x x x e x f x f e x F e x f x F ，)(x F 增， )0() 0()(0f e f e a f a => 21. 若对任意的D x ∈，均有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则称函数)(x f 为函数)(1x f 到函数 )(2x f 在区间 D 上的“折中函数”.已知函数 x x x h x g x k x f ln )1()(,0)(,1)1()(+==--=且)(x f 是)(x g 到)(x h 在区间]2,1[e 上的 “折中函数”，则实数k 的值是_______2 解析：即要求x x x k ln )1(1)1(0+≤--≤在]2,1[e 恒成立.对于左边：1=x 时，2≥k ， e x 2=时，e k 211+ ≥，故2≥k ；右边：x x x k 1 ln )1(1++≤-，对右边函数求导后得增函数，则211≤?≤-k k ，综上，2=k 22. 已知函数2 ln )(x x a x f -=，若对区间（0，1）内任取两个不等的实数q p ,，不等式 1) 1()1(>-+-+q p q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是_________),10[+∞ 解析： 0) 1()1()] 1()1([)]1()1([>+-++-+-+-+q p q q f p p f ，故x x f x g -=)()(是（1,2）上增 函数，012)('≥--= x x a x g 在（1,2）上恒成立，则x x a +≥22 23. 设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x D ∈，都有x k D +∈，且()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数” ．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||2f x x a a =--，若()f x 为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ．2011 6 a < 解析：本题类似于第24题，但由于函数不同，方法截然不同，本题对a 分正负0三种情况 讨论，利用数形结合较好。（1）当0 单调递增显然成立；（2）当0=a 时，x x f =)(，显然递增成立；（3）当 0>a 时，如图 离为a a a 6)(5=--，故必须且只需6 2011 20116< ? x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为D 上的l 高调函数，如果定义域是[0,)+∞的 函数2 ()(1)f x x =-为[0,)+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 ),2[+∞ 解析：即存在实数m 使得对),0[+∞∈?x 都有2 2 )1()1(-≥-+x m x 恒成立，即 0)22(≥-+m x m 恒成立，当0≥m 时，x m 22-≥恒成立，即2≥m ；当0 x m 22-≤恒成立，而x 22-无最小值，此时m 不存在 注：本题和第23题定义相同 25. 设函数()f x 在R 上的导函数为' ()f x ，且' 2 2()().f x xf x x +>下列不等式在R 上恒成立的是 13 .（把你认为所有正确命题的序号都填上） （1）()0;f x > （2）()0;f x < （3）21();4f x x > （4）21().4 f x x < 解析：注意到])(')(2[)(')(2]'4 1)([2324 2 x x xf x f x x x f x x xf x x f x -+=-+=-，下面分x 正负讨论即可。 26.已知])9,1[(2log )(3∈+=x x x f ，则函数)()]([2 2x f x f y +=的最大值是 _____________．13 解析：注意定义域[1,3] 27. 已知奇函数()log (01)2 a x m f x a a x +=>≠-且在区间(3,)a r -上的值域为(1,)+∞，则a r -=2或225- 解析：由奇函数可求出2=m ，当1>a 时，2 4 122)(-+=-+= x x x x g 在),2(+∞上恒正且 单调递减，在)2,(--∞上恒负，故)(x f 在),2(+∞上单调递减，则 ?? ??? =--=-+ ????+∞=-=0 232 41)3(1)(a a r a f r f 2=-?r a 同理，当10< ??=+=--????+∞==-0 25 1 )(1)3(r a a a r f a f 28. 已知函数)(x f 的导函数92)('-=x x f ，且)0(f 的值为整数，当]1,(+∈n n x *)(N n ∈时，)(x f 的值为整数的个数有且只有1个，则=n ________4 解析：设c x x x f +-=9)(2 ，c 为整数，由此得82)()1(-=-+n n f n f ，显然当4≠n 时，282)()1(≥-=-+n n f n f ，不符合题意；当4=n 时，20)5()4(-==c f f ，注意到二次函数c x x x f +-=9)(2 ，顶点481)29(-=c f ，显然在区间]20,4 81 [--c c 上整数只有20-c ，适合题意，故4=n 29. 若函数22 ()243f x x a x a =++-的零点有且只有一个，则实数a = 2 3 解析：令t x =，则342)(2 2 -++=a at t x f 必有一个0根，且另一根为负根，由 230)0(± =?=a f ，经验证2 3=a 30. 已知定义域为D 的函数f(x),如果对任意x ∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K ∣x ∣成 立，那么称函数f(x)是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)=2x ② ()f x =2sin()4x π+；③()f x ()f x =2 1 x x x -+，其中是“倍约束函数的序号是 ①③④ 解析：①x x 22≤；②数形结合不可能存在k 使|||)4 sin(2|x k x ≤+ π 恒成立；③ ) 1(1 12 2≥-≥ ?≤-x x x k x k x 成立；④11122+-≥?≤+-x x k x k x x x 31. 若函数()(1)x f x a a =>的定义域和值域均为],[n m ，则a 的取值范围是 __1 (1,)e e _ 解析：等价于方程x a x =有两解n m ,，即x a x ln ln =有两解，)(ln ln x g x x a == ，0ln 1)('2 =-= x x x g ，当e x =时有最大值，故e e g a 1 )(ln 0=<< 32. 已知定义在R 上的函数() (),(),()()()(),() x f x f x g x a f x g x f x g x g x ''=<满足 且 (1)(1)5(),{}(1)(1)2()f f f n g g g n -+=-则数列的前10项的和是 1024 1023 解析：令)()()(x g x f x h = ，则由条件知0)(' =+-a a ，得2 1=a 33. 已知函数)1,0()21(log )(2 ≠>+-=a a x ax x f a 在]2 3,1[上恒正，则实数a 的取值范 围是______________),2 3 ()98,21(+∞? 解析：分类讨论.当10< +-=x ax x g 在]2 3,1[上值域)1,0(?，即 12102<+- ???? ? -+=+ <+ --=->21)11(212121)11(212 12222x x x a x x x a ，]1,32[1∈x 9821<<∴a ；当1>a 时，1212>+-x ax 在]23,1[上恒成立，即21 )11(212-+>x a ，得2 3>a 34. 已知函数3(0) ()(1)(0)x a x f x f x x -?-≤=?->? 若关于x 的方程()f x x =有且仅有二个不等实根， 则实数a 的取值范围是__________)3,2[ 解析：数形结合。若01≤-a ，则?? ? ??≤->-≤-130 301a a a 若110≤- ?<≤<≤?2 11 0a a 矛盾！ 35. 函数f （x ）＝|x 2 －a | 在区间［－1，1］上的最大值M （a ）的最小值是 2 1 解析：?????>-≤-=) 0() 0()(22a a x a a x x f ，画图可知，???? ????? >≤<-≤-=)21()210(1) 0(1)(a a a a a a a M 36. 若关于x 的方程x ax x =-23有不同的四解，则a 的取值范围为 2>a 解析：首先可知0≥x ，02 3=±-x ax x 即01,01,02 2 =--=+-=ax x ax x x 共有四个 不同解，而012=--ax x 的042 >+=?a ，有两个不同解，但正根只有一个 2 42++=a a x （负根舍去），且不为0；则方程012=+-ax x 必有两不相等正根，则 042>-=?a 2>?a 37. 已知,,a b c 为正整数，方程2 0ax bx c ++=的两实根为1212,()x x x x ≠，且 12||1,||1x x <<，则a b c ++的最小值为_______．11 解析：依题意，可知212124000b ac b x x a c x x a ? ??=->? ? +=- ?=>?? ，，， 从而可知12,(1,0)x x ∈-，所以有 21240(1)01. b a c f a b c c x x a ? ?->?-=-+>???= ，， 24,,.b ac b a c c a ?>? ?<+???≥，所以22444a b ac a a ≥>=?>．从而5a ≥，所以 2420b ac >≥． 又516b <+=，所以5b =，因此a b c ++有最小值为11． 下面可证2c ≥时，3a ≥，从而2 424b ac >≥，所以5b ≥． 又5a c b +>≥，所以6a c +≥，所以11a b c ++≥． 综上可得，a b c ++的最小值为11． 38. 已知0>a ，设函数120092007 ()sin ([,])20091 x x f x x x a a ++=+∈-+的最大值为M ，最小值为 N ，那么=+N M ．4016 解析：x x f x x sin 12009120092008)(++-+=，注意到1 20091 2009+-x x 和x sin 都为奇函数，故对函 数)(x f 考虑构造新函数x x g x x sin 1 20091 2009)(++-=为奇函数，而)(2008)(x g x f +=，在区间],[a a -上由奇函数的对称性知0)()(=+-x g x g ，故401622008=?=+N M 39. 已知0a ≥，若函数2 2()()1 x a f x x +=+在[1,1]-上为增函数，则a 的取值集合为 ____{1} 解析：0) 1() 1)((2)('2 2≥+-+= x ax a x x f 在[1,1]-上恒成立，即0)1()(22≤--+=a x a ax x g 在[1,1]-上恒成立10 )1(0 )1(=??? ?≤≤-?a g g 40. 已知函数21,0,()1, 0,x x f x x ?+≥=? (1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是 ____)12,1(-- 解析：注意函数)(x f 的图象和单调性，则?????>->-0 1212 2 x x x ∈?x )12,1(-- 41. 已知函数( )f x =在()1,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为 1-≤a 解析：a x a a x x f -++-=3 )(，当3-≤a 显然成立，当3->a 时，13-≤<-a 42. 已知函数f(x)=(31)4(1) log (1)a a x a x x x -+ 1 [)71,0(+∞?? 解析：当1>a 时，x a log 和a x a 4)13(+-都递增，则当1=x 时， 017413>-=+-a a a ， 显然不是单调递增函数，适合题意；当10< 17013a a 3171<≤a ，此时有)1,31 [)71,0(? 43. 已知kx x x x f ++-=2 2 |1|)(，若关于x 的方程0)(=x f 在)2,0(有两个不同的解，则 k 的取值范围是 . 【答案】12 7 -<<-k 解析：???>-+≤<+=1,121 0,1)(2x kx x x kx x f ，画图象，当0≥k 时，显然在)2,0(上不可能有两解， 当0 =?=+k x kx ， 即1- =-+kx x 在)2,1(有且只有一个根，即1270)2()1(-<<-? 7 -<<-k ；当1-=k 时 两根相等都是1，不合题意；当01<<-k 时，01=+kx 在]1,0(无解，则要求 12)(2-+=kx x x f 在)2,1[有两个不等实根，但此时02 1 21<- =?x x 不合题意 44. 已知,0,0,0>≤ -的最小值为__________4 解析：222)2(4124-=-?-=?-=-b ac b b ac ac b ac b 而20)1(202≤?≥--?≥-b b b ac b ，又0≤b ，故4)2(2 ≥-b 45. 已知()2x f x =可以表示成一个奇函数() g x 与一个偶函数() h x 之和，若关于x 的不等 式()(2)0ag x h x +≥对于[1,2]x ∈恒成立，则实数a 的最小值是 _____176 - 解析：222)(,222)(x x x x x g x h ---=+=，则x x x x x x x x a -----+--=-+-≥2 22 )22(2222222 令t x x =--22，则由]4,2[2∈x ，得]415,23[∈t ，)2(t t a +-≥，故6 17-≥a 46. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数, 若方程 f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则 1234_________. x x x x +++=-8 54题 47. 设函数)0()(2<++= a c bx ax x f 的定义域为D ，若所有点),))((,(D t s t f s ∈构成 一个正方形区域，则a 的值为_______-4 解析：由题意知)(x f 的值域]4, 0[a ? -与其定义域区间长度相同，即a x x 421? -=- 44-=?? -=?? a a a 48. 函数13)(3 +-=x x x f ，}1|{+≤≤=t x t x A ，}1|)(||{≥=x f x B ，集合B A ?只含有一个元素，则实数t 的取值范围是__________)13,0(- 解析：直接解不等式1|)(|≥x f 。 49. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，则不等式() 221f x x <+的解集为__ _() (),11,-∞-+∞ 解析：由()1f x ' 221f x x <+1)1()(2 2 -<-?f x x f 12 >?x 50. 存在t t x x x 则实数成立使得不等式,||202--<<的取值范围是 )2,4 9 (- 解析：数形结合或者存在0 22++-<<-+?-<-x x t x x x x t 成立。 51. 已知函数f (x )=3 (21)34,,a x a x t x x x t -+-≤?? ->? ，无论t 取何值，函数f (x )在区间(-∞，+∞)总是不单调．则a 的取值范围是___________1 2 a ≤ 解析：因必存在t 使x x y -=3 在t x >时为增函数，故若2 1 > a ，则t x ≤时 43)12()(-+-=a x a x f 也单调递增，与任意t 都不单调矛盾，当2 1 ≤a 显然)(x f 不单调 52. 设函数()||f x x x bx c =++，则下列命题中正确命题的序号有 ①③④. （请将你认为正确命题的序号都填上） ①当0b >时，函数()f x 在R 上是单调增函数；②当0b <时，函数()f x 在R 上有最小值； ③函数()f x 的图象关于点(0,)c 对称； ④方程()0f x =可能有三个实数根. 解析：数形结合（分)0,0,0=<>b b b 53. 若函数2()(,,)cx f x a b c R x ax b =∈++),,,(R d c b a ∈， 其图象如图所示，则a b c ++= 5 .学科 网a 解析：奇函数得0=a ，再由4,10)1(',2)1(====c b f f 54. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(4)()f x f x -=-，在[0，2]上()f x 是增函数，则下列结论：①若1212044x x x <<<+=且x ，则12()()0f x f x +>；②若 1204,x x <<<且12125,()()x x f x f x +=>则③若方程()f x m =在[-8，8]内恰有四个不 同的角1234,,,x x x x ，则12348x x x x +++=±，其中正确的有 个 3 解析：类似第46题. 由图看出①③显然正确，对于②，若21≥x 显然成立，当21 55. 已知函数1)1(ln )(2 +-+=x a x a x f 是减函数，则对于任意的),0(,21+∞∈x x , 21214)()(x x x f x f -≥-的充要条件是 .1-≤a 解析：)0(0)1(2)('2>≤+-= x x a x a x f 恒成立，显然0≤a ，设210x x <<，则 )(4)()(1221x x x f x f -≥-4)('44-≤?-≤?≥-?x f k k 恒成立，即 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 x y 1 2 1- 2- )0(4)1(2)('2>-≤+-=x x a x a x f 恒成立，即)0(04)1(22>≤++-x a x x a 恒成立，又 0≤a ，而对称轴01 1 >-- =a x ，故必须 1020)1(8162-≤?≥--?≤--=?a a a a a 另法：设210x x <<，则22114)(4)(x x f x x f +≥+，构造函数x x f x F 4)()(+=，显然它在0>x 时是单调减函数，故04)1(20)('2 ≤++-?≤a x x a x F ，以下同法一 56. 函数32)(-=x x f ，若120+< 3的取值范围是____________)0,16 5 (- 解析：如图， a b b a 2332-=?=++，4 1122120< ?+- )0,165 ()410(31)31(32322-∈?<<--=-=T a a a a T 57. 设m N ∈ ，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ．{}0,3,14,30 解析：令010≥=-t x ，2 10t x -=当0=m 时，显然适合题意；当0≠m 时，由于 Z x ∈,m N ∈，故N t ∈，由0302010)10(222=-++?=+---m mt t m mt t )1(4228 )1(3013022+=+-=--=+-=?t n n n n n t t m ，则n 可能取1,2,4,7,14,28， 分别检验m 值，可得结论 【注】关于整数问题，一般有两种途径：1、转化为分子被分母整除问题（本题即是）；2、可以先利用不等关系求出整数的一个范围，然后再一一验证. 58. 已知函数2 3 )(x x x f -=在1=x 处切线的斜率为b ，若x a x b x g - =ln )(，且2)(x x g <在),1(+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是__________1-≥a 解析：易得1=b ，)(ln )(32x h x x x a x x g =->?<，031ln )('2 <-+=x x x h 对),1(+∞恒成立（为什么？可以再次求导判断），故1)1(-=≥h a 59. 若函数()3 213 f x x a x = -满足： 对于任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12||1f x f x -≤恒成立，则a 的取值范围是 ___________.??? 解析：对于任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12||1f x f x -≤恒成立，即为最大值与最小值的差 1≤。而))(()('a x a x x f -+=，若0>a ，)(x f 草图为 再分1>a 与1≤a 讨论即可，对0和1a ≤讨论即可 60. 已知()2g x mx =+，()22 2 34 x f x x x -=-，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存 在 2[1x ∈，使得()()g x f x >12，则m 的取值范围是__________1 (,1)2 - 解析：即为)(x g 的最小值大于)(x f 的最小值。 61. 对任意实数b a ,，定义：|)|(21 ),(b a b a b a F --+= ， 如果函数2 325)(,)(2+==x x g x x f ， 2)(+-=x x h ，那么函数))()),(),((()(x h x g x f F F x G =的最大值等于 1 解析：直接化为分段函数，分为三段?? ? ? ? ? ??? <≤--<≥=121)(21)(1)()(x x f x x g x x h x f 62. 设21,x x 是0122=++bx x a 的两实根；43,x x 是012 =++bx ax 的两实根。若 4213x x x x <<<，则实数a 的取值范围是____________1>a 解析：若0>a ，如图 2 122111)(0)(x a ax x f x g 1>?a ；若0a x f x g ，矛盾 63. 偶函数()y f x =的定义域为R ，当x ≥0时，2()2f x x x =-，设函(),[,]y f x x a b =∈ 的值域为11[,]a b -- 则b 的值为_ ____ ．1-=b 解析： a=,b=-1，对b 正负讨论，画图后，0,111>-≤?≤-b b b 当0>b 时，001,01>?<-<-a a b ，)(x f 在],[b a 上递减，故??? ???? - =-=a b f b a f 1)(1)(得 b a ,是方 程0122 3 =--x x 两根，但求导后发现该方程只有一根，不合题意；当1-≤b 时， 110,110<-<≤- ???? =-=1 2151)(1)(b a b b f a a f 64. 若函数2()x f x x a = +(0a >)在[)1,+∞ 则a 1- 1)(22++=bx x a x f 2252-=-?-=r a r 法二：当1>a 时，),2(+∞∈x 上)(x f 单调递减，且0)(>x f ，而奇函数决定)2,(--∞∈x 时， 0)( ???==??? ?=+∞=-3 5 1)()3(r a r f a f ；当10< 4 5 )0,1(-或与中间相切两种位置 67.设函数3)(2 ++-=a ax x x f ，a ax x g 2)(-=.若存在R x ∈0，使得0)(0 0)(0 解析：先考察简单函数)2(2)(-=-=x a a ax x g ，对a 分正负讨论 当0>a 时，要使0)(0 ，当422 ≥?≥a a 时，)(x f 在)2,(-∞减函数，则必须最小值70)2(>? (- f 或6>a 不成立；同理， 当0? 68. 已知])9,1[(2log )(3∈+=x x x f ，则函数)()]([2 2x f x f y +=的最大值是 _____________．13 解析：注意复合函数定义域 [1,3] 69. 若不等式a ＋21x x -≥2log 2x 在x ∈(12 ，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为 1≥a 解析：不等式即为a ≥21x x --＋2log 2x ，在x ∈(12 ，2)上恒成立．而函数 ()f x ＝2 1x x -- ＋2 log 2x ＝112112 x x x x ?< 为1，所以a ≥1． 70. 设1,0≠>a a ，函数) 32lg(2 )(+-=x x a x f 有最大值，则不等式0)75(log 2 >+-x x a 的 解集为_________)3,2( 解析：由于)32lg(2 +-x x 有最小值2lg ，故10< 71. 已知关于x 的不等式组2212 ≤++≤k x kx 有唯一实数解，则实数k 的取值集合是_________. 1=k 或2 5 1-= k 解析：数形结合，若0>k ，则222 =++k x kx 只有一个零点，若0 =++k x kx 只有一个零点. 72. 设函数()f x x x a =-，若对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式 0) ()(2 121>--x x x f x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 3a ≤ 解析：有条件知)(x f 在),3[+∞上是增函数，画出函数图象（分0,0<≥a a ） 73. 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时， f (x )=1-|x -3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c = 1或2 当1=c 显然成立 注意到c cf f c f c f f ==== =)3()6(;1 )3(1)23(,1)3(而这三点共线，故可解得2,1==c c ，严格意义上还要验证2=c 时是否满足题意，即充分性验证，这里略. 74. 已知三次函数32()()32a b f x x x cx d a b = +++<在R 上单调递增，则 a b c b a ++-的最小值为 3 解析:由题意2()f x ax bx c '=++≥0在R 上恒成立，则0a >，△24b ac =-≤0． ∴22a b c a ab ac b a ab a ++++=--≥2 222111()441 b b a ab b a a b ab a a ++++= -- 令(1)b t t a => a b c b a ++-≥2 22111(2)1(13)194(16)1414141t t t t t t t t t +++-+===-++----≥3． （当且仅当4t =，即44b a c ==时取“=” 75. 定义在R 上的函数f (x )的图象过点M （－6，2）和N （2，－6），对任意正实数k ，有 f (x ＋k )＜f (x )成立，则当不等式| f (x －t )＋2|＜4的解集为(－4，4)时，实数t 的值为 ．2 解析： 2626)6()()2(2)(6+<<-?<-<-?-<- 2424 6=?? ? ?=+-=-t t t 76. 设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足(1)f ＞－2，(2)f ＝m － 3 m ，则m 的取值范围是 ．(-∞，1)(0-，3) 解析：23 )2()1(->+ -=-=m m f f 77. 方程2x －1＝0的解可视为函数y ＝x 的图象与函数y ＝ 1 x 的图象交点的横坐标．若4x ＋ax －9＝0的各个实根1x ，2x ，…，k x (k ≤4)所对应的点9 ()i i x x ， (i ＝1， 2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 ．(-∞，24)(24-，)+∞ 方程4x ＋ax －9＝0的根是函数x y 9 = 与函数a x y +=3 的交点横坐标，要求在直线x y =同侧，当0>a 时，即要求x y =与x y 9 = 的交点（-3，-3）在a x y +=3 下方，即243)3(>?->+-3