计数原理及二项式定理概念公式总结

排列组合及二项式定理概念及公式总结

1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有

N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法

分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别:

如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.

4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.

（1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列

的个数.用符号m

n A 表示

（2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n

或m n

A )!

(!

m n n -=()

n m N m n ≤∈*,,

n

n

A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定 0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合

（1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个

数，用m

n C 表示

（2）组合数公式:

(1)(2)(1)

!

m m n n

m m A n n n n m C A m ---+==

或

)!

(!!

m n m n C m n -=

),,(n m N m n ≤∈*且

（3）组合数的性质：

① m n n m n C C -=．规定：10=n C ； ②m n C 1+＝m n C +1-m n C .

③0132n

n n n

n n C C C C ++++= ④n C C n n n ==-11 ⑤1=n n C

6.二项式定理及其特例： （

1

）

二

项

式

定

理

()()*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n

n n k k n k n n n n n n 110

展开式共有n+1项，其中各项的系数{}()n k C k

n ,,2,1,0 ∈叫做二项

式系数。

（2）特例：1

(1)1n r r

n n

n x C x C x x +=++++

+.

7.二项展开式的通项公式： k

k n k n k b a C T -+=1 （为展开式的第r+1项）

8．二项式系数的性质：

（1）对称性：在()n b a +展开式中，与首末两端 “等距”的两个二项式系数相等即m n n m n C C -=，直线2

n r =是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值：当2

1

+<

n k 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。 n 是偶数时，在中间一项2n n

C 取得最大值； 当n 是奇数时，在中间两项12n n

C -，12n n

C

+取得最大值．

9.各二项式系数和： （1）

012

2n r

n

n n n n n C C C C C =+++

++

+

（2）15

314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C

10.各项系数之和：（采用赋值法） 例：求()932y x -的各项系数之和

解：()992728190932y a y x a y x a x a y x ++++=-

令1,1==y x ，则有()()132********-=-=++++=-a a a a y x ， 故各项系数和为-1