全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考真题分类汇总附详细答案

全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考真题分类汇总附详细答案

一、直角三角形的边角关系

1．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．

（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；

（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．

①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．

②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时

tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1

2

3

【解析】

【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；

（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；

②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．

【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，

∵PF∥BC，

∴∠DFP=∠ADF，

∴∠DFQ=∠ADF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，

∵∠P′DF′=∠PDF，

∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，

∴∠P′DC=∠F′DB，

由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，

∵PF∥BC，

∴△DPF∽△DCB，

∴△DP′F′∽△DCB ∴

'

'

DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；

②当∠F′DB=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=1

2

BD ， ∴

'1

2

DF BD =， ∴tan ∠DBF′=

'1

2

DF BD =；

当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意； 当∠DF′B=90°时，如图所示，

∵DF′=DF=1

2

BD ， ∴∠DBF′=30°，

∴tan ∠DBF′=

33

.

【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.

2．如图，PB 为☉O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交☉O 于点A ，连接PA ，AO.并延长AO 交☉O 于点E ，与PB 的延长线交于点D ．

(1)求证：PA是☉O的切线；

(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.

【解析】

试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；

（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．

试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，

∵OP⊥AB，∴AC=BC，

∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，

∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切线；

（2）连接BE，

∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，

在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，

∴AE=2OA=4，OB=OA=2，

在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，

在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.

易证，所以,解得，

则，在中，.

考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．

3．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）连接，若，．

①求的值；

②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以

的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．

【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为

【解析】

试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；

②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.

试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.

与交于点O,且关于对称

四边形是菱形.

（2）①连接,直线分别交于点,交于点

关于的对称图形为

在矩形中，为的中点，且O为AC的中点

为的中位线

同理可得：为的中点，

②过点P作交于点

由运动到所需的时间为3s

由①可得，

点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A 即：

由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.

如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.

在中，设

解得：

和走完全程所需时间为

考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置

4．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．

【答案】故大坝的截面的周长是（345）米，面积是1470平方米．

【解析】

试题分析：先根据两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．

试题解析：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE=30m，

∴AE=18米，

在RT△ADE中，22

+34

DE AE

∵背水坡坡比为1：2，

∴BF=60米，

在RT△BCF中，22

+5

CF BF

∴周长345（345）米，

面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．

故大坝的截面的周长是（345）米，面积是1470平方米．

5．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．

【答案】（1）详见解析；（2）9 2

【解析】

【分析】

（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.

【详解】

证明：如图，连接OE，

∵AE平分∠DAC，

∴∠OAE＝∠DAE．

∵OA＝OE，

∴∠AEO＝∠OAE．

∴∠AEO＝∠DAE．

∴OE∥AD．

∵DC⊥AC，

∴OE⊥DC．

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．

∴∠EAB＝30°，

在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°3

33

在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，

∴AD=cos30°×AE=3

2×33

9

2

.

【点睛】

本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.

6．如图，直线y＝1 2 x

+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣

1

2

x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足

1

2

x+2≥﹣

1

2

x2+bx+c的x的取值范围；

（3）设点D为该抛物线上的一点、连结AD，若∠DAC＝∠CBO，求点D的坐标．

【答案】（1）2

13

2

22

y x x

=--+；（2）当x≥0或x≤﹣4；（3）D点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．

【解析】

【分析】

（1）由直线y＝

1

2

x+2求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x的取值范围；

（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，先求出CO＝1，AO＝4，再由∠DAC＝

∠CBO，得出tan∠DAC＝tan∠CBO，从而有，DE CO

AE BO

=,最后分类讨论确定点D的坐标．【详解】

解：（1）由y＝

1

2

x+2可得：

当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，

∴A（﹣4，0），B（0，2），

把A、B的坐标代入y＝﹣

1

2

x2+bx+c得：

3

2

2

b

c

?

=-

?

?

?=

?

，，

∴抛物线的解析式为：2

13

2

22

y x x

=--+

（2）当x≥0或x≤﹣4时，1

2

x+2≥﹣

1

2

x2+bx+c

（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，

由2

13

2

22

y x x

=-+令y＝0，

解得：x1＝1，x2＝﹣4，

∴CO＝1，AO＝4，

设点D的坐标为（m，2

13

2

22

m m

--+），

∵∠DAC＝∠CBO，

∴tan∠DAC＝tan∠CBO，

∴在Rt△ADE和Rt△BOC中有DE CO

AE BO

=，

当D在x轴上方时，

2

13

21

22

42

--+

=

+

m m

m

解得：m1＝0，m2＝﹣4（不合题意，舍去），

∴点D的坐标为（0，2）．

当D在x轴下方时，

2

13

(2)1

22

42

---+

=

+

m m

m

解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），

∴点D的坐标为（2，﹣3），

故满足条件的D点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．

【点睛】

本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点．

7．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．

（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；

（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．

【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3

BE=

【解析】

【分析】

（1）①补全图形即可，

②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3

得出结果．

【详解】

解：（1）①补全图形如图1所示，

②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，

连接BG，如图2所示，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，

∵EG⊥AC，

∴∠EGC＝90°，

∴△CEG是等腰直角三角形，EG＝GC，

∴∠GEC＝∠GCE＝45°，

∴∠BEG＝∠GCF＝135°，

由平移的性质得：BE＝CF，

在△BEG和△GCF中，

BE CF

BEG GCF EG CG

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BEG≌△GCF（SAS），

∴BG＝GF，

∵G在正方形ABCD对角线上，

∴BG＝DG，

∴FG＝DG，

∵∠CGF＝∠BGE，∠BGE+∠AGB＝90°，

∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.

（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝32，

在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH ＝

3

＝

323

＝6，

∴DG ＝2GH ＝26， ∴DF ＝2DG ＝43， 在Rt △DCF 中，CF ＝(

)

2

243

6-＝23，

∴BE ＝CF ＝23．

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．

8．关于三角函数有如下的公式： sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ① cos （α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②

tan（α+β）=③

利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：

tan105°=tan（45°+60°）==﹣

（2+）．

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：

如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．

【答案】建筑物CD的高为84米．

【解析】

分析：

如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，

∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.

详解：

如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，

CD=BE，∠ADE=60°，

∴在Rt△ABC和Rt△ADE

AB=BC?tan75°=42tan75°=，

AE=，

∴CD=AB﹣AE=（米）.

答：建筑物CD的高为84米.

睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.

9．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A(1, ﹣1)，B(5, ﹣1)，与y轴交于点C．

（1）求抛物线表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作?CBPQ，若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且?CBPQ的面积为30，

①求点P坐标;

②过此二点的直线交y轴于F, 此直线上一动点G,当GB+

2

GF

2

最小时,求点G坐标.

（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值

【答案】（1）y=x2﹣6x+4（2）①P(2, -4)或P(3, -5) ②G(0, -2)（3）313

【解析】

【分析】

（1）把点A（1，-1），B（5，-1）代入抛物线y=ax2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；

（2）①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，可求得直线BC的解析式

为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因为?CBPQ的面积为30，所以S△PBC=1 2

×(?t+4?t2+6t?4)×5＝15，解得t的值，即可得出点P的坐标；②当点P为（2，-4）时，求

得直线QP的解析式为：y=-x-2，得F（0，-2），∠GOR=45°，因为GB+

2 2

GF=GB+GR，所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点G的坐标；当点P为（3，-5）时，同理可求；

（3）先用面积法求出sin∠213

tan∠ACB=

2

3

，在Rt△ABE中，求得圆的直径，

因为MB⊥NB，可得∠N=∠AEB=∠ACB，因为tanN=MB

BN

＝

2

3

，所以BN=

3

2

MB，当MB为

直径时，BN的长度最大．

【详解】

(1) 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，-1），B（5，-1），

∴

14

12554

a b

a b

-++

?

?

-++

?

＝

，

＝

解得

1

6

a

b

?

?

-

?

＝

，

＝

∴抛物线表达式为y=x2﹣6x+4．

(2)①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，

设直线BC的解析式为y=kx+m，

∵B（5，-1），C（0，4），

∴

15

4

k m

m

-+

?

?

?

＝

＝

，解得

1

4

k

m

＝

，

＝

-

?

?

?

∴直线BC的解析式为：y=-x+4，

设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），

∵?CBPQ的面积为30，

∴S△PBC=1

2

×(?t+4?t2+6t?4)×5＝15，

解得t=2或t=3，

当t=2时，y=-4

当t=3时，y=-5，

∴点P坐标为（2，-4）或（3，-5）；

②当点P为（2，-4）时，

∵直线BC解析式为：y=-x+4， QP∥BC，

设直线QP的解析式为：y=-x+n，

将点P代入，得-4=-2+n，n=-2，

∴直线QP的解析式为：y=-x-2，

∴F（0，-2），∠GOR=45°，

∴GB+2

2

GF=GB+GR

当G于F重合时，GB+GR最小，此时点G的坐标为（0，-2），同理，当点P为（3，-5）时，直线QP的解析式为：y=-x-2，

同理可得点G的坐标为（0，-2），

(3) ）∵A（1，-1），B（5，-1）C（0，4），

∴AC=26，BC=52，

∵S△ABC=1

2AC×BCsin∠ACB＝

1

2

AB×5，

∴sin∠ACB=213，tan∠ACB=2

3

，∵AE为直径，AB=4，

∴∠ABE=90°，

∵sin∠AEB=sin∠ACB=213

13＝

4

AE

，

∴AE=213，

∵MB⊥NB，∠NMB=∠EAB，∴∠N=∠AEB=∠ACB，

∴tanN=MB

BN ＝

2

3

，

∴BN=3

2

MB，

当MB为直径时，BN的长度最大，为313．

【点睛】

题考查用到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，圆周角定理，锐角三角函数定义，平行四边形性质．解决（3）问的关键是找到BN与BM之间的数量关系．

10．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．

(1)求AE的长及sin∠BEC的值；

(2)求△CDE的面积．

【答案】（1）52，sin∠BEC=3

5

；（2）

75

4

【解析】

【分析】

（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B，点A坐标，继而可得

∠A=∠B=45°，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，

CF=BF=32，

设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x 的值即可求得答案；

（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，根据三角形面积公式则可得

S△CDE=S△AED=

2

4

AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，利用勾股定理求

出y，继而可求得答案.

【详解】

（1）如图，作CF⊥BE于F点，

由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，

又∵点C是OB中点，

∴OC=BC=6，CF=BF=32，

设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，

在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（92-x）2+（32）2，

解得：x=52，

故可得sin∠BEC=

3

5

CF

CE

，AE=52；

（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，

则S△CDE=S△AED=1

2

AD?EM=

1

2

AD×AEsin∠EAM=

1

2

AD?AE×sin45°=

2

4

AD×AE，

设AD=y，则CD=y，OD=12-y，

在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，

解得：y=15

2

，即AD=

15

2

，

故S△CDE=S△AED=

2

4

AD×AE=

75

4

．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.

11．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝43，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，

（1）求弦AD的长；

（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？

（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

【答案】（1）23

（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形

（3）不变，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；

（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后

根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=1

2

3

3

；

当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，

又∠M=∠DAE=30°，MD=ME ，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°

，根据等腰直角三角形的性质得到； （3）连AP 、AQ ，DP ⊥AB ，得AC ∥DP ，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB ，∠AQC=∠P ，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD ，易证得△AQC ≌△APD ，得到

DP=CQ ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD ，而△ADC 为等边三角形，DP-DQ 的值． 【详解】

解：（1）∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 中点，BC ＝ ∴AD ＝

1

2

BC ＝ （2）连DE 、ME ，如图，∵DM ＞DE ， 当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰， ∴OE ⊥DM ， 又∵AD ＝AC ，

∴△ADC 为等边三角形， ∴∠CAD ＝60°， ∴∠DAO ＝30°， ∴∠DON ＝60°，

在Rt △ADN 中，DN ＝1

2

AD ，

在Rt △ODN 中，ON ＝

3

DN ＝1， ∴当ON 等于1时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形； 当MD ＝ME ，DE 为底边，如图3，作DH ⊥AE ， ∵AD ＝∠DAE ＝30°，

∴DH ∠DEA ＝60°，DE ＝2，

∴△ODE 为等边三角形， ∴OE ＝DE ＝2，OH ＝1， ∵∠M ＝∠DAE ＝30°， 而MD ＝ME ， ∴∠MDE ＝75°，

∴∠ADM ＝90°﹣75°＝15°， ∴∠DNO ＝45°，

∴△NDH 为等腰直角三角形， ∴NH

＝DH ∴ON ﹣1；

综上所述，当ON 等于11时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；

（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝23．理由如下：

连AP、AQ，如图2，

∵∠C＝∠CAD＝60°，

而DP⊥AB，

∴AC∥DP，

∴∠PDB＝∠C＝60°，

又∵∠PAQ＝∠PDB，

∴∠PAQ＝60°，

∴∠CAQ＝∠PAD，

∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，

∴△AQC≌△APD，

∴DP＝CQ，

∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．

【点睛】

本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．

12．如图，正方形ABCD的边长为2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，

（1）求证：△ABF∽△ACE；

（2）求tan∠BAE的值；

（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB2﹣1；（3）PE+PF的最小值为

22

【解析】

【分析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；

（2）如图1中，作EH ⊥AC 于H ．首先证明BE=EH=HC ，设BE=EH=HC=x ，构建方程求出x 即可解决问题；

（3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小，最小值为线段EH 的长； 【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ACE ＝∠ABF ＝∠CAB ＝45°， ∵AE 平分∠CAB ， ∴∠EAC ＝∠BAF ＝22.5°， ∴△ABF ∽△ACE ．

（2）解：如图1中，作EH ⊥AC 于H ．

∵EA 平分∠CAB ，EH ⊥AC ，EB ⊥AB ， ∴BE ＝EB ，

∵∠HCE ＝45°，∠CHE ＝90°， ∴∠HCE ＝∠HEC ＝45°， ∴HC ＝EH ，

∴BE ＝EH ＝HC ，设BE ＝HE ＝HC ＝x ，则EC 2， ∵BC 2+1， ∴x+x 2+1， ∴x ＝1，

在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°， ∴tan ∠EAB ＝

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BE AB ＝＝ 1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．