正比例函数和反比例函数的区别
(完整版)正比例函数、反比例函数测试题(经典)
初二数学练习 班级 姓名 一、填空 1、已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 2、2 3 (2)m y m x -=-是正比例函数，则m= 3、已知正比例函数x a y )21(-=，如果y 的值随着x 的值增大而减小，则a 的取值范围是 4、如果正比例函数y=kx （k ≠0）的自变量增加5，函数值减少2，那么当x=3时， y= 5、若反比例函数2 32k x k y --=)(，则k = ，图象经过 象限 6、已知反比例函数x k y =的图像经过点)4,5(-A 、)5,(a B ，则a = 7、函数21 a y x += （x>0），当x 逐渐增大时，y 也随着增大，则a 的范围 。 8、已知A(x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1____y 2?；(填“>”, “<”或“=”) 9、直线 x 21= y 与双曲线 x y 2 = 的交点是 10、已知函数x x x f 2 2)(-=，则=)2(f 11、若函数12,1 1 21-=-= x y x y ，则函数y =y 1+y 2中，自变量x 的 取值范围是 12、如图：A 、B 是函数x y 1 =图象上关于原点O 对称的任意两点， AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，则△ABC 的面积是 . 二、选择 13、下列语句不正确的是 （ ） (A) 1+x 是x 的函数 （B ）速度一定，路程是时间的函数 （C ）圆的周长一定，圆的面积是圆的半径的函数 （D ）直角三角形中，两个锐角分别是x 、y ，y 是x 的函数
正比例与反比例的比较
《正比例与反比例的比较》 一、教学目标： １、通过具体问题，认识正比例与反比例的量。 ２、能找出正比例与反比例量的实例，并进行交流。 ３、能根据给出的正比例与反比例关系的数据在有关坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量估计另一个量的值。 二、教学重难点： １、判断实例是否成比例，成正比例还是反比例。 ２、生活中比例知识的具体应用。 三、教具： 多媒体课件。 四、教学过程： （一）导入： 师：前面我们学了正比例与反比例，通过学习你都了解了哪些知识呢？ 生自由发言。 师：那它们究竟有什么不同呢？今天我们来对正比例与反比例进行对比，师揭示课题：（正比例与反比例） （二）教学新知： １、出示课件： 师：表中有哪两个量？它们是什么关系呢？ 生个别回答。 ２、学生画图，比较正比例与反比例的图象。 师：如果用字母怎样表示这两个量的关系呢？ 生回答。课件出示，这两种量成什么比例呢？抽生回答。 ３、判断下列各题成什么比例？（课件出示） （１）长方形的面积一定，长与宽。
（２）长方形的周长一定，长与宽。 （３）圆的周长一定，半径与圆周率。 （４）圆锥体积一定，底面积与高。 （５）收入一定，支出与结余。 （６）路程一定，速度与时间。 个别学生回答，并说明理由。 ４、思考三种量：速度、时间、路程分别是什么关系？ 抽学生回答，并说明理由。 师生小结： 速度一定，路程与时间成正比。 时间一定，路程与速度成反比。 路程一定，速度与时间成反比。 练习：单价、数量、总价三个量之间的关系。 生个别发言。 ５、学生比较正比例与反比例的相同点与不同点。 学生以小组为单位进行讨论。 汇报发言，师生共同小结。并板书：课件出示表格 ６、讨论总结判断正比例与反比例的步骤： 一列二找三判断。 三、作业设计： 教材第６３页练习。 四、课堂小结： 这节课你有什么收获？请说给同伴听听。 （学生自由发言） 板书设计： 正比例与反比例的比较
正比例和反比例的意义学习知识点
正比例和反比例的意义 知识点一：正比例和反比例的意义 （1）正比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么正比例关系可以写成： ()一定k x y = 例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。 工总 工时 ＝工效（一定） 工总和工时是成正比例的量 路程时间 ＝速度（一定） 所以路程与时间成正比例。 （2）反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么反比例关系可以写成： x ×y =k （一定） 例如，长×宽＝面积（一定） 长和宽是成反比例的量 每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定） 每本的页数和装订的本数是成反比例的量 知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？ （1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（ 2 ）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。 正比例 反比例 相同点 不 同 点 知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。 （2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。
知识点四：正比例和反比例的判断 （1）先判断两种量x 和y 是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。 （2）若符合 ()一定k x y =，则x 和y 成正比例；若符合x ×y =k （一定） ，则x 和y 成反比例；否则，这两种量就不成比例关系。 【典型例题】 题型一：根据图标填写信息 例1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。 重量（千克） 1 2 3 4 5 6 … 总价（元） 1.9 3.8 5.7 7.6 9.5 11.4 … （1 ）的变化而变化。 （2）与总价7.6元相对应的重量是（ ）千克；与6千克相对应的总价是（ ）元。 （3）总价与重量中相对应的两个数的比值所表示的意义是（ ）。 （4）因为比值一定，所以表中总价和重量叫做成（ ）的量。 题型二：根据关系式正比例反比例的判断 例2：判断下面两种相关联的量成不成比例，如果成比例，成什么比例。 （1）瓷砖面积一定，瓷砖的块数和瓷砖的面积。
正比例函数与一次函数知识点归纳
正比例函数与一次函数 知识点归纳 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
《正比例函数与一次函数》知识点归纳 《正比例函数》知识点 一、表达式：y=kx （k≠0的常数） 二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的 直线； 说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”； 三、性质特征： 1、图像经过的象限: k>0时，直线过原点，在一、三象限； k<0时，直线过原点，在二、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 四、成正比例关系的几种表达形式: 1、y与x成正比例：y=kx (k≠0); 2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0); 3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0);
4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0); 《一次函数》知识点 一、表达式：y=kx+b （k≠0, k, b为常数） 注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 二、图像： 一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。 说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”； （2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）； 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）. 三、性质特征： 1、图像经过的象限： （1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； （2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限； （3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限； （4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限；
正比例反比例一次函数
正比例、反比例、一次函数 1．若函数y ＝（m ＋1）x m 2+3m+1是反比例函数，则m 的值是（ ） (A) m ＝－1 （B ）m ＝-2 （C ）m ＝2或m ＝1 （D ）m ＝－2或m ＝－1 2．已知一次函数y ＝（m ＋2）x ＋（1－m ），若y 随x 的增大而减小，且该函数的图像与x 轴的交点在原点的右侧，则m 的取值范围是（ ） （A ）m>－2 （B ）m<1 （C ）－2
考点训练： 1． y= x 的图象是一条过原点及点(-3,3 2 )的直线 2．一次函数y=kx+b 的图象经过P(1,0) 和Q(0,1)两点，则k= ,b= . 3．正比例函数的图象与直线y= -23 x+4平行，则该正比例函数的解析式为 ， 该正比例函数y 随x 的增大而 . 4．已知y-2与x 成正比例，且x=2时,y=4,则y 与x 之间的函数关系是 ，若点(m,2m+7), 在这个函数的图象上，则m = 5． 函数y=(m-4)x m2-5m-5的图象是过一、三象限的一条直线，则 m = 6．函数y=k x (k ≠0)的图象经过点( 2 ,3),则k= ,当x>0时，y 随着x 的增大而 7．如果一次函数y=kx+b 和反比例函数y=k x 的图象都经过(-2,1)点，则b 的值是 8．已知一次函数y=kx+b 的y 随x 的增大而减小，那么它的图象必经过 象限。 9．已知函数y= -2x-6。（1）求当x= -4时，y 的值，当y= -2时，x 的值。 （2）画出函数图象； （3）求出函数图象与坐标轴的两个交点之间的距离； （4）如果y 的取值范围-4≤y ≤2,求x 的取值范围. 10.已知z 与y- 3 成正比例,x 与 6 z 成反比例，（1）证明：y 是x 的一次函数；(2)如果这个一次函数的图象经过点(-2,3 3 )，并且与x 、y 轴分别交于A 、B 两点。求两 点的坐标。 ＊11．已知函数y=k x 的图象上有一点P （ｍ，ｎ），且ｍ，ｎ关于ｔ的方程ｔ2－4ａｔ＋4ａ2－6ａ－8＝0的两个实数根，其中ａ是使方程有实数根的最小整数，求函数y=k x 的解析式，
《正比例和反比例》教学设计
《正比例和反比例》教学设计 教学内容：西师版小学数学六年级下册第63—65页的内容。 教学目标： 1、知识技能目标： （1）通过具体问题进一步理解正比例和反比例的意义和特点,体会它们的联系与区别；（2）能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值； （3）能找出生活中成正比例和成反比例量的实例、并进行交流。 2、过程性目标： （1）在交流讨论中完善自己判断正、反比例关系的经验认识，掌握判断正、反比例关系的方法； （2）通过数“形”结合，进一步感受和领会正、反比例关系的变化规律及特点，进一步渗透函数思想。 3、情感态度目标： 逐步增强数学学习的自信心,体验当独立思考解决不了问题时,与他人合作的成就感,逐步增强团队精神。 教学重点：进一步掌握正、反比例的意义。 教学难点：掌握正确判断两个量是否成正比例或反比例的方法。 教学过程： 一、情境引入导入复习 1、揭示课题师：今天我们一起来复习正比例和反比例的相关知识。板书课题：正比例反比例。 2、比一比师：通过前面的学习，我们知道生活中成正比例关系或反比例关系的例子有很多，现在我们就来玩个小比赛，我们以小组为单位，比比哪组同学能举出更多的成正比例关系的量或成反比例关系的量。学生小组内举例并记录下来。教师巡视，收集成正比例、反比例、不成正比例和反比例的例子各一个，记录在卡片上。 3、反馈评价。教师根据各组举例的情况进行评比，并进行激励性评价。 二、回顾整理建构网络 1、过渡师：刚才同学们举了这么多的例子，但是老师发现这些例子中有的是成正比例，有的是成反比例，有的是不成正比例也不成反比例。那么，该怎么样判断两个量是成正比例还是成反比例呢？ 2、复习正比例 （1）师：（用投影仪出示收集到的成正比例的例子）这两个量是否成正比例或反比例？为什么？（正比例）学生回答，多让几个学生说说。教师根据学生回答进行小结，并板书：正比例：一种量随着另一种量的变化而变化，两种量的比值一定。 （2）师：成正比例的两种量可以用多种方式表示这两种量之间的关系。（课件出示：一辆汽车在高速公路上行使，速度保持在100千米/时，说一说汽车行驶的路程随时间变化的情况，并用多种方式表示这两个量之间的关系。）师：你们有什么方法能把题中的路程与时间的关系表示出来呢？（列表、画图、用式子表示）学生回答。学生介绍完每一种方法时，教师让他们说一说要怎样做？师：其实刚才同学们介绍的方法就是课本第63页的三种方法，请大家打开课本第63页，仔细读一读，并把三种方法补充完整。学生独立完成，教师巡视指导。师：（课件出第63页的表格）谁来告诉大家，表格里的空格应填几？（200、300、400、500）你是怎样算的？（根据“速度*时间=路程”计算）指名回答。师：（课件出示课本第63页的坐标图）谁来说说这幅图又该怎样做呢？（根据表格中的数据描点）仔细
人教版六年级下册《正比例和反比例的意义》数学教案_教学设计
人教版六年级下册《正比例和反比例的意义》数学教案_教学设计 人教版六年级下册《正比例和反比例的意义》数学教案 教学目标：经历从具体实例中认识成正比例和反比例的量的过程，理解正比例、反比例的意义，学会判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。 教学过程： (一)导引探究，由表及里 教学例1，认识成正比例的量。 1．谈话引出例1的表格。一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表。 时间（时） 1 2 3 4 5 6 路程（千米）80 160 240 320 400 480 在让学生说一说表中列出了哪两种量之后，教师引导学生逐步探究：行驶的时间和路程有关系吗？行驶的时间是怎样随着路程的变化而变化的？行驶的时间和路程的变化有什么规律？(学生探究第3个问题时，教师可进行适当的引导，如引导学生写出几组路程和时间对应的比，并要求学生求出比值。) 2．引导学生交流并聚焦以下内容：路程和时间是两种相关联的量，路程随着时间的变化而变化；时间扩大、路程也扩大，时间缩小、路程也缩小；路程和时间的比值总是一定的，也就是路程／时间=速度(一定) (板书关系式)。 3．教师对两种量之间的关系给予具体说明：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和对应时间的比值总是一定(也就是速度一定)时，我们就说行驶的路程和时间咸正比例(板书路程和时间成正比例)，行驶的路程和时间是成正比例的量。 4．让学生根据板书完整地说一说表中路程和时间成什么关系。 [数学概念是客观现实中数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。数学概念的来源一般有两个方面：一是直接从实际经验中概括得出；二是在原有的初级概念基础上通过新旧概念的相互作用而获得。正比例概念的形成属于前者，因此例1的教学可以充分利用表格，让学生通过对表中数据的观察和分析，由浅入深，由表及里，逐步认识成正比例的量的特点。本环节先让学生观察例题中的表格，说一说表中列出的是哪两种量；接着用三个引探性的问题逐步引导学生在探究学习活动中发现路程与时间之间的关系及变化趋势；最后，聚焦、明晰这两种量之间的关系，让学生初步认识正比例的特点。这样的教学有利于学生经历正比例概念的形成过程。] (二)自主探究，尝试归纳 出示例2：汽车从甲地开往乙地，行驶的速度和所用时间如下表，它们之间有什么规律？ 速度（千米/时）40 60 80 100 120 时间（时）30 20 15 12 10 1．出示供学生自主探究的问题：当速度变化时，时间是否也随着变化？这种变化与例1中两种量的变化有什么不同？速度和时间的变化有什么规律？ 2．引导学生在自主探究、交流中认识成反比例的量的特点：速度和时间是两种相关联的量，速度变化，时间也随着变化；例 2 中两种量的变化规律是：一种量扩大，另一种量
一次函数与正比例函数练习题目
1.下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） A.222 -=x y B.11+= x y C.2x y = D.22 1 +-=x y 2. 下列函数中，是正比例函数，且y 随x 增大而减小的是（ ） A.14+-=x y B. 6)3(2+-=x y C. 6)2(3+-=x y D. 2 x y -= 3.直线63+=x y 与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） 4.直线111b x k y +=与直线222b x k y +=交y 轴于同一点.则1b 和2b 的关系是（ ） A. 1b 大于2b B. 1b 小于2b C. 1b =2b D.不能确定 5.一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图像表示为（ ） 6.平分坐标 轴夹角的直线是（ ） A.1+=x y B.1+-=x y C.1-=x y D.x y -= 7．下面两个变量是成正比例变化的是 ( ) A ． 正方形的面积和它的边长． B ． 变量x 增加,变量y 也随之增加; C ． 矩形的一组对边的边长固定,它的周长和另一组对边的边长． D ． 圆的周长与它的半径． 8．已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y= - 1 2 x+2上， 则y 1 与y 2大小关系是 ( ) A ． y 1 > y 2 B ． y 1 = y 2 C ．y 1 < y 2 D ． 不能比较 9．下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是 （ ） x y o A x y o B x y o D x y o C
10．直线y=kx ＋b 经过一、二、四象限,则k 、b 应满足 ( ) A ． k>0, b<0 B ． k>0, b>0 C ． k<0, b<0; D ． k<0, b>0 11．关于函数12+-=x y ，下列结论正确的是 （ ） A ．图象必经过点（﹣2，1） B ．图象经过第一、二、三象限 C ．当2 1 > x 时，0 常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数 1．正比例函数 如果y=kx （k 是常数，K ≠0），那么，y 叫做x 的正比例函数 一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线 一次函数的性质 当k>0时y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。 2、反比例函数 (1) 反比例函数及其图象 如果)0,(≠=k k x k y 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质 当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小； 当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 3．对勾函数()b f x ax x =+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 （1） 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如 f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） a>0 b>0 a<0b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 第四章比例 正比例和反比例的意义复习题 1根据你的经验，判断下面各题中的两个量是否成正比例，是的打“√”，不是的打“×”。 (1)汽车行驶的路程和时间。( ) (2)人的年龄和身高。( ) (3)x与y的比值是1 5 ，x与y。( ) (4)被除数一定，除数和商。( ) (5)做一项工程，工作效率与完成的时间。( ) 2根据下面的关系式，说出哪种量一定，哪两种量成正比例。 (1)总价＝单价×数量。 ( )一定，( )和( )成正比例。 (2)长方形面积＝底×高。 ( )一定，( )和( )成正比例。 (3)xy＝z。 ( )一定，( )和( )成正比例。 (4)铺地面积＝方砖面积×方砖块数。 ( )一定，( )和( )成正比例。 (5)路程＝速度×时间。 ( )一定，( )和( )成正比例。 3根据表中两种量相对应的比值，判断它们是不是成正比例，并说明理由。 (1) (2) 4小英和妈妈的年龄变化情况如下，把表填写完整。 5已知ab＝c，a、b都不为0。先写两个正比例关系式，再填空。 ______( )一定，( )和( )成正比例。 ______( )一定，( )和( )成正比例。 6填空： (1)每公顷的施肥量一定，施肥总量与公顷数成( )比例。 (2)要修的路程一定，每天修的路程与天数成( )比例。 (3)肥料总数一定，每平方米施肥量和平方米成( )比例。 (4)钱的总数一定，铅笔数量和单价成( )比例。 (5)制造一批零件的个数一定，制造一个零件的时间和需要的总时间成( )比例。 7下面常用的一些相关联的量成什么比例。 (1)速度×时间＝路程。 速度一定，( )和( )成( )比例。 时间一定，( )和( )成( )比例。 路程一定，( )和( )成( )比例。 (2)单价×数量＝总价。 单价一定，( )和( )成( )比例。 数量一定，( )和( )成( )比例。 总价一定，( )和( )成( )比例。 8选择正确答案的字母填入括号内。 A．成正比例B．成反比例C．不成比例(1)平行四边形的底一定，高和面积。( ) (2)积一定，一个因数与另一个数。( ) (3)一本书的页数一定，已看的页数和没看的页数。( ) (4)工作效率一定，工作总量和工作时间。( ) 正比例函数与一次函数 教学目标 掌握函数的概念，函数解析式中自变量与因变量的意义，熟悉一次函数与正比例函数。 重难点分析 重点：1、函数的概念； 2、正比例函数的概念与表达式； 3、一次函数的概念与表达式； 4、函数与坐标平面内点的关系。 难点：1、正比例函数、一次函数的判别； 2、自变量、函数值、点的坐标的关系。 知识点梳理 1、常量与变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值不发生变化的量为常量。 2、函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意： （1）在某一变化过程中有两个变量x与y。 （2）这两个变量互相联系，当变量x取一个确定的值时，变量y的值就随之确定。 （3）对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的一个值与它对应，如在关系式y2＝x(x＞0)中，当x＝9时，y对应的取值为3或－3，不唯一，则y不是x的函数。 3、函数的三种表示形式： （1）列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做列表法。 （2）图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法。（3）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法。 4、函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b．即当x＝a时，y＝b，那么b叫做自变量x的值为a时的函数值。 5、一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数。特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数。 《正比例函数与一次函数》知识点归纳 《正比例函数》知识点 一、表达式：y=kx （k≠0的常数） 二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的直线； 说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”； 三、性质特征： 1、图像经过的象限: k>0时，直线过原点，在一、三象限； k<0时，直线过原点，在二、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 四、成正比例关系的几种表达形式: 1、y与x成正比例：y=kx (k≠0); 2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0); 3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0); 4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0); 《一次函数》知识点 一、表达式：y=kx+b（k≠0, k, b为常数） 注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 二、图像： 一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。 说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”； （2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）； 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）. 三、性质特征： 1、图像经过的象限： （1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； （2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限； （3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限； （4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 3、一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）中“k和b的作用”： （1） k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向 k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； （2）∣k∣的作用：∣k∣决定直线的倾斜程度 ∣k∣越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大； 正比例函数和反比例函数 一、知识梳理 1. 如果变量y是自变量X的函数，对于X在定义域内取定的一个值a ,变量y的对应值叫做当 x=a时的函数值。 (为了深入研究函数，我们把“ y是X的函数”用记号y=f(x)表示，这里括号里的X表示自变量，括号外的字母f表示y随X变化而变化的规律。f(a)表示当x=a时的函数值) 2. 函数的自变量允许取值范围，叫做这个函数的定义域。 3. 正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质 4. 函数的表示法有三种：列表法，图像法，解析法。 二、典型题选讲 ?概念辨析 1. 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做 _______________ . 保持数值不变的量叫做 _________________ 达两个变量之间依赖关系的数学式子称为 ____________________ . 2. 写出下列函数的定义域： (1) ^X 1 (2) y=-(3) X n⑷厂' x—1 j√χ-4 3. 已知：f (X) =_x2+1，f (O) = _________ , f (T) = _______ , f ⑵= __________ . 4. 解析式形如y =kx(k式0)的函数叫做_______________ . 5. 函数y=3x的图像是经过（1, 3）和______________ ■勺一条 __________ .当自变量X的值从小到大逐渐变化时，函数值y相应地从 __________ 到_______ 渐变化? 6. 反比例函数的解析式是 ________ ,反比例函数的图像叫______________ . 7. 已知：反比例函数y =?8,点A（-2，-4）_________ 它的图像上（填“在”或“不在”）. X 8. 反比例函数γ=立的图像的两支在第___________ 限。在其各自的象限内，y随X的增大而 X 7、已知旳十科2, yι与x2成正比例，y与X -1成反比例，当X = - 1时，y = 3；当X = 2 时，y = —3, (1)求y与X之间的函数关系式； (2)当Xi 2时，求y的值。 8?已知y与X —1成正比例，且当X=3时，y=4, (1)求y与X的函数关系式；(2)当x=-1时，求y的值. 9、如图，直线I交X轴、y轴于点A、B,与反比例函数的图像交于C D两点，如果A( 2, 0)，点 C D分别在一、三象限，且OA= OB= AC= BD求反比例函数的解析式。 Iy 第1题图 正比例和反比例仍意义 课题一：正比例的意义 教学内容：教科书第19—21页正比例的意义，练习六的1—3题。 教学目的： 1．使学生理解正比例的意义，能够根据正比例的意义判断两种量是不是成正比例。 2．初步培养学生用事物相互联系和发展变化的观点来分析问题。 3．初步渗透函数思想。 教具准备：投影仪、投影片、小黑板。 教学过程： 一、复习 用，投影片逐一出示下面的题目，让学生回答。 1．已知路程和时间，怎样求速度?板书：＝速度 2．已知总价和数量，怎样求单价?板书：＝单价 3．己知工作总量和工作时间，怎样求工作效率?板书： ＝工作效率 4，已知总产量和公顷数，怎样求公顷产量?板书：＝公顷产量 二、导人新课 教师：这是我们过去学过的一些常见的数量关系。这节课我们进一步来研究这些数量关系中的一些特征，首先来研究这些数量之间的正比例关系。(板书课题：正比例的意义) 三、新课 1．教学例1。 用小黑板出示例1：一列火车行驶的时间和所行的路程如下表： 提问： “谁来讲讲例1的意思?”(火车1小时行驶60千米，2小时行驶120千米……) “表中有哪几种量?” “当时间是1小时，路程是多少?当时间是2小时，路程又是多少?……” “这说明时间这种量变化了，路程这种量怎么样了?”(也变化了。) 教师说明：像这样，一种量变化，另一种量也随着变化，我们就说这两种量是两种相关联的量。(板书：两种相关联的量)“时间和路程是两种相关联的量，路程是怎样随着时间变化而变化的呢?”教师指着表格：我们从左往右观察(边讲边在表格上画箭头)，时间扩大2倍，对应的路程也扩大2倍3时间扩大3倍，对应的路程也扩大3倍……从右往左观察(边讲边在表格上画反方向的箭头)，时间缩小8倍，对应的路程也缩小8倍；时间缩小7倍，对应的路程也缩小7倍……时间缩小2倍，对应的路程也缩小2倍。通过观察，我们发现路程是随着时间的变化而变化的。时间扩大路程也扩大，时间缩小路程也缩小。它们扩大、缩小的规律是怎么样的呢? 让每一小组(8个小组)的同学选一组相对应的数据，计算出它们的比值。教师板书出来：=60．=60，=60…… 让学生双察这些比和它们的比值，看有什么规律。教师板书：相对应的两个数的比值(也就是商)一定。 然后教师指着=60，=60 = 60……问：“比值60，实际上是火车的什么：你能将这些式子所表示的意义写成一个关系式吗?板书：=速度(—定) 教师小结：通过刚才的观察和分析．我们知道路程和时间是两种什么样的量?(两种相关联的量。) 《正比例和反比例》教学设计 甘肃省会宁县东关小学730700 温志旺（） 【教材分析】： 《正比例和反比例》是新课程标准苏教版六年级下册第五单元的内容。正比例和反比例的认识是在常见数量关系的基础上编排，通过对两个数量保持商一定或积一定的变化，理解正比例关系和反比例关系，渗透初步的函数思想，为学生今后学习中学数学和物理、化学打下基础。正比例和反比例历来是小学数学里的重要内容之一，与过去的教材相比，新教材进一步加强正、反比例的概念教学，突出正比例关系的图像及简单应用，淡化脱离现实背景判断比例关系，重视正、反比例与现实生活的联系。 【教学设想】： 数学学习活动是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。改变教与学的方式，创设“现实的、有意义的、学生感兴趣的数学问题情境”，引导学生观察分类、自主探索、合作交流，不断激发学生探究两种相关联量变化规律的热情，在不断探究两种相关联量变化规律的活动中学习正反比例的意义，体验探索成功的乐趣，树立学好数学的信心。 【目标导航】： 1、使学生理解正、反比例的意义，能够初步判断两种相关联的量是否成比例，成什么比例。 2、能够正确区分正比例和反比例。 3、通过观察、比较、归纳，提高学生综合、概括和推理的能力。 4、渗透辩证唯物主义的观点，进行“运用变化观点”的启蒙教育。在学生独立思考的基础上加强交流，体验与同伴合作的快乐，培养合作交流的意识，提高学习的信心。 【教学重点】：正比例、反比例的意义。 【教学难点】：正比例与反比例的联系与区别。 【教学流程】： 一、创设情境，导入新课 师：为了刺激消费，会宁县“凯尔亮”超市对购物达到500元者，可以享受10次的摸奖机会。请咱班购物达500元的同学汇报一下你摸奖的情况，你摸了几 课前准备 教师准备多媒体课件 教学过程 ⊙谈话导入 师：谁能用比的知识说一说我们班男女同学的人数情况？ (指名汇报) 师：今天我们就一起来整理和复习比和比例的有关知识。 ⊙回顾与整理 1．(1)举例说一说什么是比，什么是比例，什么是比例尺以及它们的应用。 预设 生1：两个数相除又叫作两个数的比，如5÷2，可以写成5∶2。 生2：表示两个比相等的式子叫作比例，如8∶4＝24∶12。 生3：图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，如一幅地图的比例尺是。比例尺可分为数值比例尺和线段比例尺。 生4：配制农药会应用到比的知识；地图上一般都有比例尺。 …… (3)出示教材83页“回顾与交流”2题。 学生独立完成，思考比、分数、除法之间的关系，并全班交流。 预设 生1：除法算式中的被除数相当于分数的分子，相当于比的前项；除法算式中的除数相当于分数的分母，相当于比的后项；除号相当于分数的分数线，相当于比的比号。 生2：除法算式的商相当于分数的分数值，相当于比的比值。 强调：因为0不能作除数，所以所有分数的分母及比的后项都不能为0。 (4)先想一想比的基本性质是什么，再应用比的基本性质化简下面的比。 30∶1201∶∶0.1∶10 2．5∶60.5∶3.225∶∶ 先思考比的基本性质，然后交流，最后独立完成，集体订正。 (5)复习按比例分配问题。 ①什么是按比例分配？ (把一个数量按照一定的比进行分配，这种分配方法叫作按比例分配) ②按比例分配应用题有什么特点？ 预设 生1：用比或者连比反映各部分数量占总数量的份数。 生2：直接给出各部分数量占总数量的份数。 ③按比例分配应用题的一般解题步骤是什么？ 预设 生：找出或求出要分配的总数量；根据已知的比求总份数；按照要分配的各部分数量占总数量的几分之几，分别求出每一部分数量是多少。 (6)完成教材83页3题。 学生独立完成，然后交流订正，并说一说解决问题时都用到了哪些知识。 2．(1)说一说。 师：我们学习了正比例和反比例的知识，请你先回忆一下，然后说一说你对这部分内容的了解。 预设 生1：我知道了什么是变化的量。 生2：我知道了什么是正比例，什么是反比例。 师：举例说明什么是变化的量。 预设 生：上学时，我走的路程的多少是随着时间的增加而增加的。路程和时间就是变化的量。师：如果你走的速度是一定的，那么你走的路程和时间有什么关系？ 生：成正比例关系。 师：你能说明理由吗？ 生：我走的速度不变，走的路程随着时间的增加而增加，所以路程和时间成正比例关系。 (2)议一议。 正比例和反比例在生活中有着广泛的应用，请你想一想生活中有哪些是成正比例的量？有哪些是成反比例的量？(四人一组，互相举例说一说，并说明自己举的例子为什么是成正比例的量或者成反比例的量) (3)全班交流。 师：每组举成正、反比例关系的实例各一个，其他小组注意不要重复，并把本组需要交流的问题展示出来。 预设 生1：买苹果时，苹果的单价一定，那么花费的总钱数和买的数量成正比例关系。如果花费的总钱数一定，苹果越便宜，买的数量就越多，苹果越贵，买的数量就越少，这时苹果的单价和数量成反比例关系。 马西小学六年级下册正比例和反比例的意义练习题二 一、判断． 1．一个因数不变，积与另一个因数成正比例．（） 2．长方形的长一定，宽和面积成正比例．（） 3．大米的总量一定，吃掉的和剩下的成反比例．（） 4．圆的半径和周长成正比例．（） 5．分数的分子一定，分数值和分母成反比例．（） 6．铺地面积一定，方砖的边长和所需块数成反比例．（） 7．铺地面积一定，方砖面积和所需块数成反比例．（） 8．除数一定，被除数和商成正比例．（） 二、选择． 1．把一堆化肥装入麻袋，麻袋的数量和每袋化肥的重量．（） A．成正比例 B ．成反比例 C ．不成比例2．和一定，加数和另一个加数．（） A．成正比例 B ．成反比例 C ．不成比例3．在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（），成反比例关系是（）． A．汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数． B．汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数． C．汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数． 正比例反比例练习（一） 一、判断题： 1、圆的面积和圆的半径成正比例。（） 2、圆的面积和圆的半径的平方成正比例。（） 3、圆的面积和圆的周长的平方成正比例。（） 4、正方形的面积和边长成正比例。（） 5、正方形的周长和边长成正比例。（） 6、长方形的面积一定时，长和宽成反比例。（） 7、长方形的周长一定时，长和宽成反比例。（） 8、三角形的面积一定时，底和高成反比例。（） 9、梯形的面积一定时，上底和下底的和与高成反比例。（） 10、圆的周长和圆的半径成正比例。（） 二．选择题 (1)根据表格判断数量间的比例关系。 时间（小时） 2 3 5 7 8 路程（千米）100 150 250 350 400 时间与路程 ( ) 。 A. 成正比例 B. 成反比例 C. 不成比例 （ 2）圆柱体底面积与高( ) 。A. 成正比例 B. 成反比 例 C.不成比例 圆柱体底面积 300 200 150 120 100 （平方分米） 圆柱体高 2 3 4 5 6 （分米） (3) 年龄与身高 ( ) 。 A. 成正比例 B. 成反比 例 C.不成比例 年龄（岁） 2 3 4 5 6 身高（厘米）94 110 119 125 131 三．看图表填空 （ 1）根据规律判断比例关系，并填空。 正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象 一、正比例函数性质和图象： 概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。 当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。 当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。 ： 概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。 图像和性质： ①k>0,b>O,则图象过象限 ②k>0,b<0,则图象过象限 当k＞0时， y随x的增大而。 ③k<0,b>0,则图象过象限 ④k<0,b<0,则图象过象限 当k＜0时, y随x的增大而。 三、反比例函数性质和图象： 1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。 其他形式 2.图像：反比例函数的图像是双曲线。 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而减小。 当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴 所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 练习题 1、若y =(m －1)x 22m -是正比例函数，则m 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（ ） A 、2 5y x = B ．2 5y x =－1 C ．24 5y x = D ．2 5y x =- 3、下列函数中，反比例函数是（ ） A 、y=x+1 B 、y= C 、=1 D 、3xy=2 4、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（ ） 5、直线44 3--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A 3 B 4 C 12 D 6 6、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ） 7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（ ） A 、x 1>x 2>x 3 B 、x 1>x 3>x 2 C 、x 3>x 2>x 1 D 、x 3>x 1>x 2 8、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y= 的函数值随x 的增大而__________。高中数学 常见函数：正比例函数、反比例函数与对勾函数
正比例与反比例意义练习附答案
一次函数与正比例函数
《正比例函数与一次函数》知识点归纳知识讲解
正比例函数和反比例函数(很好很经典题目)
正比例和反比例的意义
正比例和反比例---教学设计
正比例与反比例
(完整版)六年级下册正比例和反比例的意义练习题.doc
正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象