2006年大学生数学竞赛(天津市)试题参考及答案
2006年大学生数学竞赛(天津市)试题参考及答案
2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案
（理工类）
一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．若
()??
???≤->-=,x ,a x ,x f x x
x
01e 0,arctan e 122
sin 是()+∞∞-,上的连续函数，则
a = －1 。
2．函数x x y 2sin +=在区间??
?
??
?ππ,2上的最大值为
33
2+π
。
3．()=+?--2
2
d e
x x x x
2
6e 2-- 。
4．由曲线??
?==+0
122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋
转面在点()2
30,,
处的指向外侧的单位法向量为
{}3
205
1
,, 。
5．设函数()x,y z z =由方程2
e =+----x
y z x x y z 所确定，
则
=z d ()y x x x x
y z x
y z d d e
1e 1-1+++---- 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）
1． 设函数f (x )可导，并且()50
='x f ，则当0
→?x 时，该函数在点0
x 处微分d y 是y ?的（ A ）
（A ）等价无穷小； （B ）同阶但不等价的无穷小； （
C
）
高
阶
无
穷
小
；
（D ）低阶无穷小。
2． 设函数f (x )在点x = a 处可导，则()x f 在点x = a 处不可导的充要条件是（ C ） （A ） f
(a )
= 0，且
()0
='a f ； （B ）f (a )≠0，但()0='a f ；
（C ） f (a ) = 0，且()0
≠'a f ；
（D ）f (a )≠0，且()0≠'a f 。
3． 曲线1
2+-+=x x x y （ B ）
（
A
）
没有
渐
近
线
；
（B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；
（C ）有一条铅直渐近线； （D ）有两条水平渐近线。
4． 设()()x,y x,y f ?与均为可微函数，且()0≠'x,y y
?。
已知()0
,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ?下的一个极
值点，下列选项中的正确者为（ D ） （A ）若()00
=',y
x f x
，则()000=',y x f y ；
（B ）若
()0
00=',y x f x ，则()00
≠',y
x f y
；
解：由t
t t t t y t 2ln 12e 22ln 1e d d 2ln 1+=
?+=+，t t
x
4d d =，得到()t x y 2ln 12e d d +=，所以
()()()222222ln 14e 412ln 12e
2
412ln 12e d d d d 1d d d d d d t t t t t t
t t t
x x y t x y +-=?+-=????? ??+=???? ??=。
而当x = 9时，由2
21t x +=及t > 1，得t = 2，故
()()
2
22222ln2116e
22ln 14e 9d d +-==+-==t t t x x y 。
五、设n 为自然数，计算积分()?
+=20
d sin 12sin π
n
x
x
x
n I 。
（本题7分）
解：注意到：对于每个固定的n ，总有
()1
2sin 12sin lim
0+=+→n x
x
n x ，
所以被积函数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。又
()()x
nx x n x n sin 2cos212sin 12sin =--+，
于是有
()()0
sin21d cos22d sin 12sin 12sin 22020
1===--+=-??
-π
nx n x nx x x x n x n I I π
π
n n ，
上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有1
1I I I
n n
===- 。所以
2
d cos 2d cos2d sin cos sin2sin cos2d sin sin32022020201π
π
π
π
π
=
+=+===????x x x x x x x x x x x x x I I n 。
六、设f (x )是除x = 0点外处处连续的奇函数，x = 0为其第一类跳跃间断点，证明()?x t t f 0
d 是连续
的偶函数，但在x = 0点处不可导。（本题7分） 证明：因为x = 0是f (x )的第一类跳跃间断点，所以()x f x +
→0lim 存在，设为A ，则A ≠0；又因f (x )
为奇函数，所以()A
x f x -=-
→0lim
。
命：
()()()??
???<+=>-=.A,x x f ;
x ,;
A,x x f x 0000?
则()x ?在x = 0点处连续，从而()x ?在()+∞∞-,上处处连续，且()x ?是奇函数：
当x > 0，则－x < 0，()()()()[]()x A x f A x f A x f x ??-=--=+-=+-=-；
当
x
<
0，则－x
>
0，
()()()()[]()x A x f A x f A x f x ??-=+-=--=--=-,
即()x ?是连续的奇函数，于是()?x
t t 0
d ?是连续的偶函
数，且在x = 0点处可导。又
()()x A t t f t t x x -=??
d d ?，
即 ()()x A t t t t f x
x
+=??0
d d ?，
所以()?x
t
t f 0
d 是连续的偶函数，但在x = 0点处不
可导。
七、设f (u , v )有一阶连续偏导数，
()
()xy ,y x f z cos 22-=，??sin cos r y ,r x ==，证明：
()xy v
z y u z x z r r z sin 2sin 1cos ??-??=??-?????。
（本题7分）
解： 设：()
xy v ,y x
u cos 22
=-=，则
()()()????sin cos sin sin cos 2x y xy v
z
y x u z y v v z y u u z r y x v v z x u u z r x r y y z r x x z r z +???--??=????
???????+???????+??? ???????+???????=?????+?????=?? 类似可得
()()()?????cos sin sin cos sin 2x y xy r v
z
y x u z r z -???++??-=??，
代入原式左边，得到
()()()()
()()()xy v
z y u z x x y xy v z u
z
x y xy v z y x u z z
r r z sin 2cos sin sin sin ycos xsin sin 2sin cos sin cos sin cos 2cos sin 1cos ??-??=-??-+???++????--???=??-????????????????
?
八、设函数f (u )连续，在点u = 0处可导，
且f (0)= 0，()30-='f 求：()
???
≤++→++2
222d d d 1
lim 222
4
t z y x t z
y x z y x
f
πt
。（本
题7分）
解：记()(
)
???≤++++=2
222d d d 1
2224
t z y x z
y x z y x f πt
t G ，应用球坐标，
并同时注意到积分区域与被积函数的对称性，有
()()()4
20
220
20
4
d 4d d sin d 8
t
r
r r f r r r f πt
t G t
t
????
=
=π
π
???
于是有
()()()()()()300lim 44lim d 4lim
lim 03204
20
-='=-===→→→→?f t f t f t
t t f t
r
r r f t G t t t
t t 。
九、计算?+++-=L
y
x x y
x x y I d d ，其中L 为1=++y x x 正向一周。（本题7分）
解：因为L 为1=++y x x ，故
()[]?????=--=
+-=D
D
L
y
x x y I σσd 2d 11d d 格林公式
其中D 为L 所围区域，故??D
σd 为D 的面积。为此
我们对L 加以讨论，用以搞清D 的面积。
当00≥+≥y x x 且时，0121=-+=-++y x y x x ； 当0且0≤+≥y x x 时，011=--=-++y y x x ； 当0且0≥+≤y x x 时，011=-=-++y y x x ； 当0且0≤+≤y x x 时，0121=---=-++y x y x x ，
故D 的面积为2×1=2。从而4d d =+++-=?L
y
x x y x x y I 。 十、⑴ 证明：当x 充分小时，不等式4
2
2
tan 0x x
x ≤-≤成立。
⑵ 设∑=+=n
k n
k
n x 12
1tan
，求n
n x ∞
→lim 。（本题8分）
证明：⑴ 因为
32tan lim 3231sec lim 2tan lim tan lim tan lim 2202
200304220==-=+?-=-→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x ，
又注意到当x 充分小时，x x ≥tan ，所以成立不等式
4
22tan 0x x x ≤-≤。
⑵ 由⑴知，当n 充分大时有，
()2
2
1
11tan 1
k n k n k
n k
n ++
+≤
+≤+，故
()n k
n k n k n x k n n
k n k n k n n
k 1
1111112
11++≤+++≤≤+∑∑∑∑====，
而
∑∑==+=+n k n
k n
k n k n 11
11
11，于是
ln2
d 1111
1lim 1lim 1011=+=+=+?∑∑=∞→=∞→x x n
k n k n n k n n
k n ，
由夹逼定理知ln2
lim =∞
→n
n x
。
十一、设常数1ln2->k ，证明：当x > 0且x ≠ 1时，()()
1ln 2ln
12
>-+--x k x x x 。（本题8分）
证明：设函数()()01
ln 2ln 2
>-+-=x x k x x x f ，
故要证()()
1ln 2ln
12
>-+--x k x x x ，
只需证：当()010<< 显然：()()k x x x x k x x x f 2ln 212ln 21+-=+-='。 命：()k x x x 2ln 2+-=?，则()x x x x 2 21-=-='?。 当x = 2时，()0='x ?，x = 2为唯一驻点。又()2 2x x =''?， ()02 1 2>= ''?，所以x = 2为()x ?的唯一极小值点，故 ()()()[]01ln222ln2122>--=+-=k k ?为()x ?的最小值(x > 0)，即 当x > 0时()0>'x f ，从而()x f 严格单调递增。 又因()01=f ，所以当()010<< 解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z 轴上，则由于对称性，所求引力在x 轴与y 轴上的投影x F 及y F 均为零。 设k 为引力常数，则半球壳对细棒引力在z 轴方向的分量为： () [] ()[ ]() [] ??? ??∑--+∑ ? ??? ?? -++---++=-++-=ds d ds 2 1222 2 122 21 2 32122 1 a z y x l a z y x k z z z y x z z k F l a a z ρμρμ 记l ρ M ,μπR M ==221 2。在球坐标下计算z F ，得到 ()()[][ ] ()??? ?????+-+++++=? ??? ??-+-+-++=?- -l a R l a R a R a R Rl M kM a a R l a R l a R R k F z 2 2222102 1 22212 22 d sin cos 2cos 22π ? ?? ?ρμπ 若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z 轴上，则 ()??? ? ????+-+--++=l a R a R a R l a R Rl M M F z 222 221G 。